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【解析版】湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中2015届高三联考+数学理试题


湖南省浏阳一中、醴陵一中、攸县一中 2015 届高三联考

理科数学试题
【试卷综述】 全卷重点考查中学数学主干知识和方法; 侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查; 侧重于知识交汇点的考查.全面考查了考试说明中要求的内容,如复数、旋转体、简易逻辑试卷都有所考 查.在全面考查的前提下,高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆

锥曲线、 概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容,尤其是解答题,涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了 中学数学的教学方向和考生的学习方向. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 【题文】1、已知 a、b ? R ,则复数 a ? bi 是虚数的充分必要条件是 A. ab ? 0 B. a ? 0 C. b ? 0 A2 ( )

D. a ? 0 且 b ? 0

【知识点】复数的意义;充要条件. L4

【答案】 【解析】C 解析:根据虚数的定义:复数 a ? bi ( a、b ? R ) ,当 b ? 0 时,是虚数.故选 C. 【思路点拨】根据虚数的定义得结论. 【题文】2.函数 f ( x) ? A.[-1,4]

? x 2 ? 3x ? 4 ? lg( x ? 1) 的定义域是
B.

( D.



? ?1, 4?

C.[1,4]

?1, 4?

【知识点】函数定义域的求法;一元二次不等式的解法. 【答案】 【解析】D 解析:由 ?

B1 E3

?x ?1 ? 0
2 ?? x ? 3x ? 4 ? 0

? 1 ? x ? 4 ,故选 D.

【思路点拨】根据函数定义域的意义,得关于 x 的不等式组,解此不等式组即可. 【题文】3.已知集合 A={0,1,2,3},B={x|x=2a,a∈A},则 A∩B 中元素的个数为( A.0 B.1 C.2 B1 A1 D.3 )

【知识点】函数值的意义;集合运算.

【答案】 【解析】C 解析:∵A={0,1,2,3},B={x|x=2a,a∈A},∴B={0,2,4,6}, ∴A∩B={0,2},故选 C. 【思路点拨】由函数值的意义得集合 A 中元素,从而 A∩B. 【题文】4、设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,a3=5,Sk+2﹣Sk=36,则 k 的值为( A.8 B.7 C.6 【知识点】等差数列及其前 n 项和. D2 【答案】 【解析】A 解析:由 a1=1,a3=5 得 d=2,所以 D.5 )

Sk+2﹣Sk= ak ?1 ? ak ? 2 ? 2a1 ? ? 2k ? 1? d ? 2 ? ? 2k ? 1? ? 2 ? 36 ,解得:k=8,故选 A. 【思路点拨】由等差数列的通项公式,前 n 项和公式求得结论. 【 题 文 】 5. 已 知 函 数 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 在 区 间 [0, ?? ) 上 单 调 递 增 , 若

a ? f (sin

2? 5? 5? ), b ? f (cos ), c ? f (tan ) ,则 7 7 7 A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a
B3 E1





D. a ? b ? c

【知识点】函数单调性的应用;数值大小的比较. 【答案】 【解析】B 解析:∵

?

2 5? 5? 2? ∴ tan ,∵函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且在区间 [0, ??) 上单调递增,∴函数 f ( x) ? cos ? sin 7 7 7
是 R 上的增函数,∴ c ? b ? a .故选 B

?

5? 3? 5? 5? 2? ,∴ tan <0,又 sin ? ? ?1 ? cos ? 0, 7 4 7 7 7

5? 5? 2? 的大小关系,再利用函数 f ( x) 的奇偶性、单调性确定结论. , cos ,sin 7 7 7 1 1 【题文】6 .由直线 y ? , y ? 2 ,曲线 y ? 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是 ( ) 2 x 1 5 A. 2 ln 2 B. 2 ln 2 ? 1 C. ln 2 D. 2 4
【思路点拨】先判断 tan 【知识点】定积分;微积分基本定理. 【答案】 【解析】A 解析: S ? B13

?

2

1 2

1 dy ? ln y |2 1 ? 2 ln 2 ,故选 A. y 2

【思路点拨】根据定积分的几何意义,及微积分基本定理求解. 【 题 文 】 7 . 已 知 点 E、F、G 分 别 是 正 方 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 AA1、CC1、DD1 的 中 点 , 点

M、N、Q、P 分别在线段 DF、AG、BE、C1 B1 上. 以 M、N、Q、P 为顶点的三棱锥 P ? MNQ 的俯
视图不可能是( )

【知识点】几何体的三视图.

G2

【答案】 【解析】C 解析:当 M 与 F 重合、N 与 G 重合、Q 与 E 重合、P 与 B1 重合时,三棱锥 P ? MNQ 的 俯视图为 A;当 M、N、Q、P 是所在线段的中点时为 B;当 M、N、P 是所在线段的非端点位置,而 E 与 B 重 合时,三棱锥 P ? MNQ 的俯视图有选项 D 的可能.故选 C. 【思路点拨】由运动变化的观点,分析三棱锥 P ? MNQ 的俯视图的可能情况,从而得出其不可能情况. 【 题 文 】 8. 运 行 如 左 下 图 所 示 的 程 序 , 如 果 输 入 的 n 是 6 , 那 么 输 出 的 p 是 ( )

A.120

B.720

C.1440 L1 L2

D.5040

【知识点】算法与程序.

【答案】 【解析】B 解析:程序运行的过程为: (1)p=1,k=2;(2)p=2,k=3;(3)p=6,k=4;(4)p=24,k=5; (5)p=120,k=6;(6)p=720,k=7,这时不满足 k ? 6 ,所以输出的 p 是 720 【思路点拨】根据程序描述的意义,依次写出每次循环的结果即可. 【题文】9、函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) (ω >0,0≤φ ≤π )的部分图象如图所示,其 中 A,B 两点之 间的距离为 5,则 f(x)的递增区间是 A.[6K-1,6K+2](K∈Z) C.[3k-1,3k+2] (K∈Z) ( ) ,故选 B.

B. [6k-4,6k-1] (K∈Z) D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质.

C4

【答案】 【解析】 B 解析:由图可得 T ? 52 ? 42 ? 3 ? T ? 6 ? ? ? B(2,-2),所以 2 ?

7? , k ? Z ,因为 0≤φ ≤π ,所以 3 2 6 5? ? 5? ? ? 5? ? ,即 f ( x) ? 2sin( x ? ?? ) ,解不等式 2k? ? ? x ? ? 2 k? ? 得 6 3 6 2 3 6 2 ? ? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ?

?

?

1 2

?
3

,又最低点

f(x)的递增区间是[6k-4,6k-1] (K∈Z).故选 B. 【思路点拨】先根据图像求得函数解析式,再利用正弦函数的单调区间求 f(x)的递增区间. 【题文】10、已知 A(1,0) ,曲线 C : y ? e ax 恒过点 B ,若 P 是曲线 C 上的动点,且 AB ? AP 的最小值为 2 , 则

a?

( B.-1

). C.2 D.1 B6 F2 F3 B12

A. ?2

【知识点】指数函数的定点性;向量数量积的坐标运算;导数的应用. 【答案】 【解析】D 解析:根据题意得 B(0,1),设 P x, e ax ,则

?

?

AB ? AP ? ? ?1,1? ? ? x ? 1, e ax ? ? ? x ? 1 ? e ax ? 2 ? e ax ? x ? 1 ? 0 ,即函数

f ? x ? ? e ax ? x ? 1 有最小值 0. 因为 f ?( x) ? ae ax ? 1 ,所以当 a ? 0 时 f(x) 无最小值;当 a>0 时,有
x?? ln a 1 ln a 时 f(x)=0,即 ? ? 1 ? 0 ? ln a ? a ? 1 ,显然 a=1 是此方程的解,故选 D. a a a

【思路点拨】易得 B(0,1) ,设出点 P 坐标,利用向量数量积德坐标运算,转化为函数最值问题,再利用 导数求函数取得最值得条件. 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 【题文】11、已知各项均为正数的等比数列 ?an ?中, a2 ? 1 ? a1 , a4 ? 9 ? a3 , 则 a4 ? a5 ? 【知识点】等比数列. D3 。

【答案】 【解析】27 解析: ? 所以 a4 ? a5 ?

? 1 ?a2 ? 1 ? a1 ? a1 ? q ? 1? ? 1 ? q ? 3 (负值舍去) ? a1 ? , 2 4 ? ?a4 ? 9 ? a3 ? a1q ? q ? 1? ? 9

1 3 1 4 ? 3 ? ? 3 ? 27 . 4 4 1 1 CB ? CA ,则 MA ? MB = 3 2

【思路点拨】由已知条件求出首项和公比即可. 【题文】12. 若等边△ABC 的边长为 1,平面内一点 M 满足 CM ? 【知识点】向量的线性运算;向量的数量积. F1 F3 【答案】 【解析】 ? .

2 9

解析: MA ? MB =

1 1 1 1 ? ?2 ? 1 ?CA ? CM ? ? ?CB ? CM ? ? ? ? CA ? CB ? ? ? CB ? CA ? ? CA ? CB ? (CA) 4 3 2 ?2 ? ?3 ? 2
【思路点拨】用 CA, CB 表示所求数量积中的向量,再用数量积公式求解. 【题文】13. 在 ?ABC 中,若 a 2 ? c 2 ? b 2 ? tan B ? 3 ? ac ,则角 B= 【知识点】同角三角函数关系;余弦定理的应用. C2 【答案】 【解析】 C8

2

?

2 CB 9

? ?

2

2 ?? . 9

?

?



?
3



2? 3

解 析 : 把 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B, tan B ?

sin B ,代入已知等式得: cos B

sin B ?

3 ? 2? ,又 B ? ? 0, ? ? ,所以角 B= 或 . 2 3 3 3 ? ,又 B ? ? 0, ? ? ,所以角 B= 2 3

【思路点拨】把余弦定理、同角三角函数关系,代入已知等式得 sin B ? 或

2? . 3
2

【题文】14、设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x ,若对任意 x∈[a,a+2],不等 式 f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数 a 的取值范围是 【知识点】函数奇偶性、单调性的应用. 【答案】 【解析】 ? ??, ?5? B3 B4 .

解析:因为当 x≥0 时,f(x)= x 2 ,所以 f(x)是 ? 0, ?? ? 的增函数,又 f(x)

是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(x)是 R 上的增函数, 所以若对任意 x∈[a, a+2], 不等式 f (x+a) ≥f (3x+1) 恒成立,即对任意 x∈[a,a+2]

x ? a ? 3x ? 1 ? a ? 2 x ? 1 ,因为函数 2x+1 是[a,a+2]上的增函数,所以 2x+1 有最大值 2a+5,所以 a ? 2a ? 5 ? a ? ?5 .
【思路点拨】先根据已知判定函数 f(x)是 R 上的单调增函数,然后把命题转化为对任意 x∈[a,a+2],a

? 2x+1 恒成立问题求解.
【题文】15 、对于函数 y ? f ( x) ,若在其定义域内存在 x0 ,使得 x0 f ( x0 ) ? 1 成立,则称函数 f ( x) 具有性 质 P. (1)下列函数中具有性质 P 的有 ① f ( x) ? ?2 x ? 2 2 ② f ( x) ? sin x ( x ? [0, 2? ]) ③ f ( x) ? x ?

1 , ( x ? (0, ??)) x
.

(2)若函数 f ( x) ? a ln x 具有性质 P,则实数 a 的取值范围是 【知识点】函数中的新概念问题; 导数法求最值. B1 B12

【答案】 【 解 析 】 (1) ① ② ; ( 2 ) a ? 0 , 或 a ? ?e .

解析: ( 1 ) ① 由 x (?2 x ? 2 2) =1 得 :

2x2 ? 2 2x ? 1 ? 0 ? x ?

2 ,所以①具有性质 P. ②设 h( x) ? x sin x ? 1 , 2

∵h(0)=-1<0, h ?

?? ? ? ?2 ? ?? ? 0 ,∴ h( x) ? x sin x ? 1 ? 0 ? x sin x ? 1 在 ? 0, ? 上有解,所以②具有性质 P. ?? 2 ?2? ? 2?

③由 x ? x ?

? ?

1? 2 ? ? 1 ? x ? 0 ? x ? 0 ? ? 0, ?? ? ,所以③不具有性质 P; x?

(2)若函数 f ( x) ? a ln x 具有性质 P,则 ax ln x ? 1 ? x ln x ?

1 在 ? 0, ?? ? 上 有解,令 a

h ? x ? ? x ln x ? h?( x) ? ln x ? 1 ? 0 ? x ? e ?1 ,可得 h(x)在 x ? e ?1 有最小值 ?e ?1 ,所以

1 ? ?e ?1 ? a ? 0 或 a ? ?e . a
【思路点拨】 (1)只需分析方程 xf(x)=1 在函数 f(x)的定义域上是否有解即可; ( 2 )转化为方程 x ln x ?

1 1 在 ? 0, ?? ? 上 有解,即 在函数 h ? x ? ? x ln x 的值域上取值,用导数求函数 a a

h ? x ? ? x ln x 的值域即可.
【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内.

【题文】16. (本题满分 12 分)在△ABC 中,已知 A= (I)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

?
4

, cos B ?

2 5 . 5

【知识点】诱导公式;同角三角函数关系;正弦定理;余弦定理. C2 C8 【答案】 【解析】(I) ? 解析: (Ⅰ)? cos B ?

10 ; (Ⅱ) 5 . 10

2 5 且 B ? (0 5

,180 ) ,∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ?

5 5

?2 分

cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos(

3? ? B) 4

???????4 分

? cos

3? 3? 2 2 5 2 5 10 cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? 4 4 2 5 2 5 10

???6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ? 10 ) 2 ? 3 10
10 10

?8 分

由正弦定理得

BC

sin A sin C

?

AB

,即 2

5 2 2

?

AB 3 10 10

,解得

AB ? 6 .??10 分

在 ?BCD 中, CD 2 ? (2 5 ) 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 2 5 ?

2 5 ? 5 ,所以 CD ? 5 ??12 分 5

【思路点拨】(I)利用同角三角函数关系求得 sinB,再用诱导公式求解; (Ⅱ)由(I)及同角三角函数关系 得 sinC 的值,再用正弦定理求得 AB=6,然后在 ?BCD 中,用余弦定理求 CD 长. 【题文】17.(本题满分 12 分) 在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为 x 、 y ,设 O 为坐标原点, 点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ) ,记 ? ? OP . (I)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 【知识点】古典概型;离散型随机变量的分布列;数学期望. K2 K6 K8 【答案】 【解析】 (I) ? 的最大值为 5 , ? 取得最大值的概率 (Ⅱ)则随机变量 ? 的分布列为:
2

2 ; 9

?
P

0
1 9

1

2

5
2 9

?

4 9

2 9

数学期望为 2. 解析: (I)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,???1 分

? x ? 2 ? 1, y ? x ? 2 ,
?? ? ( x ? 2) 2 ? ( x ? y ) 2 ? 5 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 .
因此,随机变量 ? 的最大值为 5 ??????3 分
?

有放回摸两球的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种? P (? ? 5) ?

2 ??6 分 9

(Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 .

? ? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况.

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,
? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.
? P(? ? 0) ? 1 4 2 , P (? ? 1) ? , P (? ? 2) ? ??????8 分 9 9 9

则随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0
1 9

1

2

5
2 9
?????10 分

?

4 9

2 9

因此,数学期望 E? ? 0 ?

1 4 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 ??????12 分 9 9 9 9
2 2

【思路点拨】 (I) ? 的表达式为 ? ? ( x ? 2) ? ( x ? y ) ,数组(x,y)有 9 个,且 x、 y 取值为 1 、 2 、 3 , (Ⅱ)由(I)的方法可得 ? 将 x、y 的取值代入 ? 的表达式得 ? 的最大值,据此可得 ? 取得最大值的概率; 的所以取值和取各值的概率,从而求得 ? 的分布列和数学期望. 【题文】18、 (本题满分 12 分)如图,三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB ? BC ,

AF ? AC , AF // 2CE , G 是线段 BF 上一点, AB ? AF ? BC ? 2 .

(Ⅰ)当 GB ? GF 时,求证: EG / / 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BF ? A 的正弦值; (Ⅲ)是否存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG ?并说明理由. 【知识点】线面平行的判定;线面垂直的条件;二面角求法. G4 G5 G11

【答案】 【解析】 (Ⅰ)证明:见解析; (Ⅱ)

2 2 ; (Ⅲ)不存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG ,理由:见解 3

析.解析: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连接 GD, CD ,?1 分

F

G

E A

D
B

C

又 GB ? GF ,所以 AF // 2GD . 因为 AF // 2CE ,所以 GD // CE , 四边形 GDCE 是平行四边形,????2 分 所以 CD // EG 因为 EG ? 平面 ABC , CD ? 平面 ABC 所以 EG // 平面 ABC .????4 分 (Ⅱ)因为平面 ABC ? 平面 ACEF ,平面 ABC 平面 ACEF = AC ,

且 AF ? AC ,所以 AF ? 平面 ABC ,所以 AF ? AB , AF ? BC ????5 分 因为 BC ? AB ,所以 BC ? 平面 ABF .如图,
z F

G A B x

E y C

以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 F (0,0,2), B(2,0,0), C (2,2,0), E (2,2,1) ,???6 分

BC ? (0,2,0) 是平面 ABF 的一个法向量.
设平面 BEF 的法向量 n ? ( x, y , z ) ,则

? ? 2 y ? z ? 0, ? n ? BE ? 0, ,即 ? ? ? ?2 x ? 2 z ? 0. ? ?n ? BF ? 0.
令 y ? 1 ,则 z ? ?2, x ? ?2 ,所以 n ? (?2,1, ?2) ,

所以 cos ? n, BC ??

n ? BC 1 ? ,?????8 分 | n || BC | 3

故二面角 E ? BF ? A 的正弦值为

2 2 。?????9 分. 3

(Ⅲ)因为 BF ? AE ? ( ?2,0,2)(2,2,1) ? ?2 ? 0 ,所以 BF 与 AE 不垂直,???11 分 所以不存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG .????12 分 【思路点拨】 (Ⅰ)取 AB 中点 D ,证明四边形 GDCE 是平行四边形即可; (Ⅱ)以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AF 为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz .通过求平面 ABF 的法向量与平面 BEF 的法向量夹角余 弦值, 求二面角 E ? BF ? A 的正弦值; (Ⅲ) 若存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG , 则 BF ? AE,由 BF ? AE ? 0 判断不存在点 G 满足 BF ? 平面 AEG .

【题文】19.(本题满分 13 分)已知椭圆 C : 求椭圆的方程;

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 2 , 且过点 A( , ) .(1) 2 2 2 a b

(2)已知 l : y ? kx ? 1 ,是否存在 k 使得点 A 关于 l 的对称点 B (不同于点 A )在椭圆 C 上?若存在求 出此时直线 l 的方程,若不存在说明理由. 【知识点】待定系数法求椭圆方程;直线与椭圆的位置关系. H5 H8 【答案】 【解析】 (1)

x2 (2)不存在 k 满足条件,理由:见解析. ? y2 ? 1; 3 解析: (1)由已知,焦距为 2c= 2 2 ????1 分
2 2 2

又 a ? b ? c ? 2 ????2 分 点 A( , ) 在椭圆 C :

3 1 2 2

9 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,? 2 ? 2 ? 1 ????3 分 2 a b 4a 4b

x2 ? y 2 ? 1 ?????5 分 3 3 5 (2)当 k ? 0 时,直线 l : y ? ?1 ,点 B ( , ? ) 不在椭圆上;????7 分 2 2 1 3 1 当 k ? 0 时,可设直线 AB : y ? ? ( x ? ) ? ,即 2 x ? 2ky ? 3 ? k ? 0 ????8 分 k 2 2
故,所求椭圆的方程为 代入

x2 ? y 2 ? 1 整理得 (4k 2 ? 12) y 2 ? 4k (k ? 3) y ? (k ? 3) 2 ? 12 ? 0 3

因为 y1 ? y2 ?

4k (k ? 3) 4k 2 (k ? 3) 12(k ? 3) ,所以 x1 ? x2 ? (k ? 3) ? (ky1 ? ky2 ) ? k ? 3 ? ? 2 2 4k ? 12 4k 2 ? 12 4k ? 12

6(k ? 3) 2k (k ? 3) , ) 在直线 y ? kx ? 1 上??10 分 4k 2 ? 12 4k 2 ? 12 3 1 2k (k ? 3) 6k (k ? 3) 所以 ? ? 1 ,解得 k ? 1 因为此时点 A( , ) 在直线 l 上,??12 分 2 2 2 2 4k ? 12 4k ? 12 所以对称点 B 与点 A 重合,不合题意所以不存在 k 满足条件.????13 分
若 A, B 关于直线 l 对称,则其中点 ( 【思路点拨】 (1)由已知条件得关于 a、b 的方程组求解; (2)讨论 k ? 0 与 k ? 0 两种情况, 当 k ? 0 时得点 B ( , ? ) 不在椭圆上,所以 k ? 0 不成立;当 k ? 0 时,可设直线 AB : y ? ? ( x ? ) ? 即 2 x ? 2ky ? 3 ? k ? 0 ,代入

3 2

5 2

1 k

3 2

1 , 2

x2 ? y 2 ? 1 整理得: 3

(4k 2 ? 12) y 2 ? 4k (k ? 3) y ? (k ? 3) 2 ? 12 ? 0 ,由 AB 中点在直线 y ? kx ? 1 上求得 k=1,而这时直线 y=x-1 过
点 A( , ) ,由此得 k=1 也不成立,所以不存在 k 满足条件. 【题文】20. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ln x ? mx(m ? R ) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率 为 2. (Ⅰ)求实数 m 的值;

3 1 2 2

f ( x) ? x ,讨论 g ( x) 的单调性; x ?1 m n n * (Ⅲ)已知 m, n ? N 且 m ? n ? 1 ,证明: ? n m m
(Ⅱ)设 g ( x) ?

【知识点】导数的几何意义;导数的应用;不等式的证明.

B11 B12

E7

【答案】 【解析】 (Ⅰ)1;(Ⅱ) g ( x) 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 都是单调递增的,此函数无减区间;(Ⅲ) 证 明:见解析. 解析: (Ⅰ) f ( x) ? x ln x ? mx,
'

所以 f ( x) ? 1 ? ln x ? m ??1 分
'

由题意 f (1) ? 1 ? ln1 ? m ? 2 ,得 m ? 1 ??3 分 (Ⅱ) g ( x) ?

x ? 1 ? ln x f ( x) ? x x ln x . ??4 分 ? ( x ? 0, x ? 1) ,所以 g , ( x) ? x ?1 x ?1 ( x ? 1) 2
1 . x

设 h( x) ? x ? 1 ? ln x, h, ( x) ? 1 ? 当 x ? 1 时, h, ( x) ? 1 ? 所以 g ( x) ?
'

1 ? 0 , h( x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 0 , x

x ? 1 ? ln x ? 0 ,故 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数; ?????5 分 ( x ? 1) 2
1 ? 0 , h( x) 是减函数, h( x) ? h(1) ? 0 , x

当 0 ? x ? 1 时, h, ( x) ? 1 ? 所以 g ( x) ?
,

x ? 1 ? ln x ? 0 ,故 g ( x) 在 ? 0,1? 上为增函数; ( x ? 1) 2

所以 g ( x) 在区间 (0,1) 和 (1, ??) 都是单调递增的。 ?????8 分 (Ⅲ)因为 m ? n ? 1(m, n ? N * ) ,由(Ⅱ)知 g (m) ? g (n) 成立, 即

m ln m n ln n ???9 分 ? m ?1 n ?1 , n ?1 m ?1 ln n ln m ln m ? ln n ,即 ? ? ln n ? ln m, ???12 分 n m m n
m

从而

所以 n

n n ? 。???13 分 m m

【思路点拨】 (Ⅰ) 、由导数的几何意义得 f ?(1) ? 2 ,解得 m 值;(Ⅱ)、定义域上导函数大于零的 x 范围 是 增 区 间 , 导 函 数 小 于 零 的 x 范 围 是 减 区 间 ; ( Ⅲ ) 、 由 ( Ⅱ ) 知 g ( x) 在 (1, ??) 上 单 调 递 增 , 而

m ? n ? 1(m, n ? N * ) ,所以 g (m) ? g (n) ,即
m ln m n ln n n ?1 m ?1 ln n ln m ? ? ln m ? ln n ? ? ? ln n ? ln m m ?1 n ?1 n m m n

? ln m n ? ln n m ? ln

m m n n n n n ? ln n ? ln ? n ? . m m m m m

【典例剖析】综合法是证明不等式的常用方法,但寻找推证不等式的基础不等式比较困难. 本题第(Ⅲ)问的证明,采用了第(Ⅱ)问的结论:函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,从而得 g (m) ? g (n) , 由此变形、拆项,再用对数函数的性质证得结论,总的来说这是一个较典型的考题.
2 【题文】21.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x sin x ,各项均不相等的有限项数列 {xn } 的各项 xi 满足
n n

| xi |? 1 .令

F (n) ? ? xi ? ? f ( xi )
i ?1 i ?1

, n ? 3 且 n ? N ,例如: F (3) ? ( x 1 ? x2 ? x3 ) ? ( f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )) .

(Ⅰ)若 an ? f ? ? ? ,数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn,求 S19 的值; (Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假,并说明理由。 ①存在数列 {xn } 使得 F (n) ? 0 ;②如果数列 {xn } 是等差数列,则 F (n) ? 0 ; ③如果数列 {xn } 是等比数列,则 F (n) ? 0 。 【知识点】数列求和;数列性质得研究. D2 D3 D4

?n ? ?2 ?

【答案】 【解析】(Ⅰ) ?50? 2 ; (Ⅱ)①③是真命题,②是假命题.理由:见解析.

解析: Ⅰ ? ?? an ? f ? ? ? ? ? ? ? ? sin? ? ? ???1 分

?n ? ?n ? ?2 ? ?2 ?

2

?n ? ?2 ?

? a4 k ?3 ? a4 k ? 2 ? a4 k ?1 ? a4 k ? ? ? ?2 ? 4k ?? 2 , ?k ? N ? ? ???3 分 ? S19 ? S 20 ? ??2 ? 6 ? 10 ? 14 ? 18?? ? 2 ? ?50? 2 ???5 分
(Ⅱ)①显然是对的,只需 {xn } 满足 x1 ? x2 ? ②显然是错的,若 x1 ? x2 ? ③也是对的,理由如下:??10 分
2 2 首先 f ( x) ? x sin x 是奇函数,因此只需考查 0 ? x ? 1 时的性质,此时 y ? x , y ? sin x 都是增函数,从而

? xn ? 0 ???7 分

? xn ? 0 , F (n) ? 0 ???9 分

f ( x) ? x 2 sin x 在 [0,1] 上递增,所以 f ( x) ? x 2 sin x 在 [?1,1] 上单调递增。若 x1 ? x2 ? 0 ,则 x1 ? ? x2 ,所以
f ( x1 ) ? f ( ? x2 ) ,即 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 .同理若 x1 ? x2 ? 0 ,可得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 0 时, ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 . 由此可知,数列 {xn } 是等比数列,各项符号一致的情况显然符合; 若各项符号不一致,则公比 q ? 0 且 q ? ?1 ,? x1 ? x2 ? ? ? xn ? 若 n 是偶数, ( x2i ?1 ? x2i ) ? x1q
2i ? 2

x1 1 ? q n 恒不为零 , 1? q

?

?

(1 ? q ), i ? 1, 2,

n , 符号一致, 2

又 ( x2i ?1 ? x2i ),[ f ( x2i ?1 ) ? f ( x2i )] 符号一致,所以符合 F (n) ? 0 ; 若 n 是奇数,可证明 x1 ? x2 ? ? ? xn ?

x1 1 ? q n 总和 x1 符号一致” , 1? q

?

?

同理可证符合 F (n) ? 0 ;?????12 分 综上所述,①③是真命题;②是假命题?????13 分 【思路点拨】(Ⅰ)、由 sin( (Ⅱ) 、 ① 当 x1 ? x2 ?
x1 ? x2 ?

n? ) 取值得周期性,寻找前 n 项和的求和规律 ; 2

? xn ? 0 时 , F (n) ? 0 . 所 以 ① 是 对 的 ; ② 当 数 列 {xn } 是 等 差 数 列 , 且

? xn ? 0 时, F (n) ? 0 .所以②是错的;③当数列 {xn } 是等比数列时,根据已知条件得公比 q

? ?1 ,分 q>0,q<0 两种情况讨论得 F (n) ? 0 .所以③是对的.


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