tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

【全程复习方略】山东专用2014版高考数学 第十一章 第二节 证明不等式的基本方法课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第十一章 第二节 证明不等式 的基本方法课时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.设 a>b,a+b>0,则下列不等式中不一定成立的是( ) (A)a >ab>-a
2 2

(B)

a2 >2a-b b b2 >2b-a a
b?m b ? ( ) a?m a

(C)a >b

2

2

(D)

2.(2013·孝感模拟)已知 a,b,m 是正实数,则不等式 (A)当 a>b 时成立 (C)是否成立与 m 有关

(B)当 a<b 时成立 (D)一定成立

3.设实数 a,b,c 满足:a+b+c=0 且 abc≠0,则必有( ) (A)abc>0 (B)

1 (a+b+c)≥ 3 abc 3
3 3 3

(C)ab+bc+ac<0 (D)a +b +c >abc 4.若 x +xy+y =1,且 x,y∈R,则 n=x +y 的取值范围是( ) (A)0<n≤1 (C)n≥2 (B)2≤n≤3 (D)
2 2 2 2

2 ≤n≤2 3

5.已知 a,b 为正实数, x ? 3 a 3 ? b3 , y ? a 2 ? b2 , 则有( ) (A)x<y (B)x≤y (C)x≥y (D)x>y

6.已知 a>0,b>0, m ? ( )

a b ? ,n ? a ? b,p ? a ? b, 则 m,n,p 的大小顺序是 b a

(A)m≥n>p (C)n>m>p 7. P ?

(B)m>n≥p (D)n≥m>p

x y z ? ? (x>0,y>0,z>0)与 3 的大小关系是( ) x ?1 y ?1 z ?1
-1-

(A)P≥3

(B)P=3

(C)P<3

(D)P>3

8.(2013·武汉模拟)设 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1), 则必有( ) (A)0≤M<

1 a

1 b

1 c

1 8

(B)

1 ≤M<1 8

(C)1≤M<8

(D)M≥8 )

9.已知函数 f(x)=-2x+1,对于任意正数ε ,使得|f(x1)-f(x2)|<ε 成立的一个充分但不必要条件是( (A)|x1-x2|<ε (C)|x1-x2|< (B)|x1-x2|<

? 2 ? 4

? 4

(D)|x1-x2|>

10.设 a,b 是正实数,以下不等式: ① ab ? ④ab+

2ab ; ②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2; a?b

2 >2.其中恒成立的序号为( ) ab
(B)①④ (C)②③ (D)②④

(A)①③

11.设 a,b,c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( ) (A)(a+3) >2a +6a+11
2 2

1 1 ≥a ? 2 a a 1 (C)|a-b|+ ≥2 a?b
(B) a ?
2

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a 二、填空题 12.设 x=a b +5,y=2ab-a -4a,若 x>y,则实数 a,b 应满足的条件为________. 13.若{an}是各项都为正的等比数列,且公比 q≠1,则 a1+a4 与 a2+a3 的大小关系是________. 14.已知 a,b,c 为正实数,则
2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? 与 ? ? 的大小关系是________. a b c ab bc ac

15.已知α ,β 是实数,给出下列四个论断: ①|α +β |=|α |+|β |;②|α -β |≤|α +β |;③|α |> 2 2, |β |> 2 2; ④|α +β |>5. 以其中的两个论断为条件,其余两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________. 三、解答题 16.(2013·荆州模拟)(1)设 x 是正实数,求证:
-2-

(x+1)(x +1)(x +1)≥8x . (2)若 x∈R,不等式(x+1)(x +1)(x +1)≥8x 是否仍然成立?如果成立,请给出证明,如果不成立,请举出 一个使它不成立的 x 的值.
2 3 3

2

3

3

答案解析 1.【解析】选 B.由条件 a>b,a+b>0 可知,b 的符号不确定,故不等式

a2 >2a-b 不一定成立. b

2.【解析】选 B.∵

b?m b b?m b ? ,∴ ? ? 0, a?m a a?m a



(a ? b)m ? 0, ∵a>0,b>0,m>0, a(a ? m)

∴a-b<0,即 a<b,故选 B. 3.【解析】选 C.∵a+b+c=0,∴(a+b+c) =0, 即 a +b +c +2ab+2bc+2ac=0, ∴ab+bc+ac= ?
2 2 2 2 2

1 2 (a ? b 2 ? c 2 ). 2
2 2

∵abc≠0,∴a +b +c >0,∴ab+bc+ac<0. 【变式备选】已知 x>y>z,且 x+y+z=0,则下列不等式恒成立的是( ) (A)xy>yz (C)xy>xz (B)xz>yz (D)x|y|>z|y|

【解析】选 C.由 x+y+z=0,且 x>y>z 得 x>0,z<0,而 y>0,y=0,y<0 均有可能.若 y=0,A,D 错误. 又 x>y,z<0,所以 xz<yz,因此 B 错误,同理 C 正确. 4.【思路点拨】可利用 xy ? 【解析】选 D.∵x +y ≥2xy,
2 2 ∴1=x +y +xy≤ (x ? y ), 即 n≥ . 2 2

x 2 ? y2 2 建立关于 n 的不等式,同时要注意隐含条件(x+y) ≥0. 2

3 2
2

2

2

2 3

又∵(x+y) =x +y +2xy=n+2(1-n)≥0,
-3-

2

2

∴n≤2,∴

2 ≤n≤2. 3
6 6

5.【思路点拨】化简 y -x ,配方后判断符号得出答案. 【解析】选 A.∵y -x = ( a 2 ? b2 )6 ? ( 3 a 3 ? b3 )6 =(a +b ) -(a +b )
6 6 2 2 3 3 3 2

=a +3a b +3a b +b -a -2a b -b =3a b (a-b) +4a b >0, ∴ a 2 ? b2 > 3 a3 ? b3 . 6.【解析】选 A.由已知, m ?

6

4 2

2 4

6

6

3 3

6

2 2

2

3 3

a b 得 a=b>0 时 m=n,可否定 B,C.比较 A,D 项,不 ? ,n ? a ? b, b a
1 9 ? , 2 2

必论证 m,n 与 p 的关系.取特值 a=4,b=1,则 m ? 4 ? n=2+1=3,∴m>n,可排除 D. 7.【解析】选 C.∵x>0,y>0,z>0, ∴P ?

x y z x ?1 y ?1 z ?1 ? ? ? ? ? ? 3. 故选 C. x ?1 y ?1 z ?1 x ?1 y ?1 z ?1
a?b?c a ?b?c a ?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) ? 1) ? ( ? 1) ? ( ? 1) = ≥ a b c abc

8. 【 解 析 】 选 D. 由 已 知 得 M ? (

8 ab bc ac =8. abc
【变式备选】已知 a,b∈(0,+∞),且 a+b=1,求证:

1 1 1 ? ? ≥8. a b ab 1 2 2 (2)a +b ≥ . 2 1 1 (3) 2 ? 2 ≥8. a b 1 2 1 2 25 . (4) (a ? ) ? (b ? ) ≥ a b 2 1 1 25 . (5) (a ? )(b ? ) ≥ a b 4
(1) (6) 2a ? 1 ? 2b ? 1 ≤ 2 2. 【思路点拨】 以上六个不等式的左边都含有(或隐含有)ab 或 就能够证出以上六个不等式.

1 1 , 因此只要利用 a+b=1 得出 ab 及 的范围, ab ab

-4-

?a ? b ? 2 ? ab, ? 1 1 1 【证明】由 ?a ? b ? 1, 得 ab ? ? ab≤ ? ≥4. 2 4 ab ?a, b ? (0, ??), ? ?
(1)∵

1 1 1 1 1 1 ? ? ? (a ? b)( ? ) ? a b ab a b ab

≥ 2 ab ? 2 ∴

1 +4=4+4=8, ab

1 1 1 ? ? ≥8. a b ab
2 2 2

(2)∵a +b =(a+b) -2ab=1-2ab≥ 1 ? 2 ? ∴a +b ≥ .
2 2

1 1 ? , 4 2

1 2

(3)∵

1 1 2 1 1 ? 2 ≥ ≥8,∴ 2 ? 2 ≥8. 2 a b a b ab

(4)由(2)、(3)的结论,知

1 1 1 1 1 25 (a ? )2 ? (b ? ) 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 ? 2 ? 2 ≥ ? 4 ? 8 ? , a b a b 2 2 1 2 1 2 25 . ∴ (a ? ) ? (b ? ) ≥ a b 2
(5)方法一: 欲证原式,即证 4(ab) +4(a +b )-25ab+4≥0, 即证 4(ab) -33ab+8≥0,即证 ab≤
2 2 2 2

1 或 ab≥8. 4

∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8 不可能成立. ∵1=a+b≥ 2 ab, ∴ab≤ , 从而得证. 方法二: ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥ 2 ab, ∴ab≤

1 4

1 , 4

1 1 25 a 2 ? 1 b 2 ? 1 25 (a ? )(b ? ) ? ? ? ? a b 4 a b 4
=

4a 2 b 2 ? 33ab ? 8 (1 ? 4ab)(8 ? ab) ? ≥0. 4ab 4ab
1 a 1 b 25 . 4
-5-

∴ (a ? )(b ? ) ≥

方法三: ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥ 2 ab, ∴ab≤ ∴1-ab≥ 1 ?

1 , 4

1 3 9 ? ? (1-ab)2≥ ? 4 4 16

25 ? (1 ? ab) 2 ? 1 ? , ? (1 ? ab) 2 ? 1 25 ? 16 , ? ≥ ? 1 4 ab ? ? 4, ? ? ab
即 (a ? )(b ? ) ≥ (6)方法一: ∵x>0,y>0,∴x+y≥ 2 xy, ∴2(x+y)≥(x+y)+ 2 xy ? ( x ? y)2 ∴ x ? y ? 2(x ? y), 由此得: 2a ? 1 ? 2b ? 1 ≤ 2[ (2a ?1) ? (2b ?1)] = 2[2 ? a ? b ? ? 2] = 2(2 ?1 ? 2) ? 2 2. 方法二: 要证 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2, 即证 ( 2a ? 1 ? 2b ? 1)2 ? 8, 即证 2(a+b)+2+ 2 2a ? 1 ? 2b ? 1 ≤8, ∵a+b=1,从而只需证 2a ? 1 ? 2b ? 1 ≤2, 即证 4ab ? 2(a ? b) ?1 ≤2,只需证 ab≤ 而 a>0,b>0,1=a+b≥ 2 ab, ∴ab≤

1 a

1 b

25 . 4

1 , 4

1 显然成立,故原不等式成立. 4 ? 2

9. 【解析】 选 C.由|f(x1)-f(x2)|=|(-2x1+1)-(-2x2+1)|=2|x1-x2|<ε 知|x1-x2|< , ∴选项 A 是必要但不充分 条件,选项 B 是充要条件,选项 C 是充分但不必要条件,选项 D 是既不充分也不必要条件. 10.【解析】选 D.∵a>0,b>0,∴a+b≥ 2 ab,
-6-


2

2ab 2ab ? ? ab, 故 不 等 式 ① 缺 等 号 , 不 恒 成 立 , 因 此 排 除 选 项 A , B , 又 ∵ a ? b 2 ab
2 2 2 2 2

(a +b )-(4ab-3b )=a -4ab+4b =(a-2b) ≥0,故不等式③也缺等号,也不恒成立,因此又排除选项 C,故选 D. 11.【解析】选 C.(a+3) -(2a +6a+11)=-a -2<0, 故 A 不成立; 在 B 项 中 不 等 式 的 两 侧 同 时 乘 以 a , 得 a +1 ≥ a +a ? (a -a )+(1-a) ≥ 0 ?
2 4 3 4 3 2 2 2

a (a-1)-(a-1) ≥

3

0 ?(a-1) (a +a+1)≥0,所以 B 项中的不等式恒成立;
2 2

对 C 项中的不等式,当 a>b 时,恒成立,当 a<b 时,不成立; 由不等式

2 2 ≤ 恒成立,知 D 项中的不等式恒成立.故选 C. a ? 3 ? a ?1 a?2? a
2 2 2

12.【解析】若 x>y,则 x-y=a b +5-(2ab-a -4a) =a b -2ab+a +4a+5=(ab-1) +(a+2) >0, ∴ab≠1 或 a≠-2. 答案:ab≠1 或 a≠-2 【方法技巧】1.作差比较法 (1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、判断符号、得出结论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为 了判断差的符号,常用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等. (2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时,常用作差比较法. 2.作商比较法 (1)作商比较法的一般步骤是:作商、变形、判断与 1 的大小关系,得出结论. (2)若所证不等式的两边是积、商、幂、对数、根式形式时,常用作商比较法. (3)利用作商比较法时,要注意分母的符号. 13.【解析】(a1+a4)-(a2+a3) =a1+a1q -a1q-a1q =a1(1+q)(1-q) , ∵an>0,∴q>0,又 q≠1, ∴a1(1+q)(1-q) >0,即 a1+a4>a2+a3. 答案:a1+a4>a2+a3 14.【解析】因为
2 3 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 ? ?2 , a b ab
-7-

1 1 1 1 1 1 ? ≥2 , ? ≥2 , b c bc a c ac
三式相加可得

1 1 1 1 1 1 ? ? ≥ ? ? . a b c ab bc ac

答案:

1 1 1 1 1 1 ? ? ≥ ? ? a b c ab bc ac

15.【解析】①③成立时,|α +β |=|α |+|β |> 4 2 >5, ∴④成立.又由①,知α β >0,∴|α -β |≤|α +β |成立, 即②成立,同理②③? ①④. 答案:①③? ②④或②③? ①④(写一个即可) 16. 【解析】(1)因为 x 是正数,由基本不等式知, x+1≥ 2 x , 1+x ≥2x,x +1≥ 2 x 3 ,
2 3

故(x+1)(x +1)(x +1)≥ 2 x ? 2x ? 2 x3
2 3

=8x (当 x=1 时等号成立). (2)若 x∈R,不等式(x+1)(x +1)(x +1)≥8x 仍然成立. 由(1)知,当 x>0 时,不等式成立;当 x≤0 时,8x ≤0. 而 (x ? 1)(x ? 1)(x ? 1)
2 3
3 2 3 3

3

=(x+1) (x +1)(x -x+1) =(x+1) (x +1)[ (x ?
2 2

2

2

2

1 2 3 ) ? ]≥0, 2 4

此时不等式仍然成立. 【方法技巧】不等式证明的方法与技巧 (1)不等式证明常用的方法有:比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式最基本的方法. ①比较法证不等式有作差(商)、变形、判号、结论四个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过 程必须详细叙述;如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证. ②综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗透,互为前提,充分运用这一辩证关 系,可以增加解题思路,开扩视野. (2)不等式证明还有一些常用的技巧:拆项、添项、逆代、换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别 式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换,在应用换元法时,要注意代换的等价性.放缩法是不等式证
-8-

明中最重要的变形方法之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中提取 .有些不等式,从正面证如 果不易说清楚,可以考虑反证法.凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法. (3)证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推 理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.在证明的过程中要正确运用不等式的有关性质及重要的结 论.

-9-



推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com