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2012年全国高中数学联合竞赛河南省预赛试题 Word版含答案


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分 140 分
一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用 的取法种 数为_________________. 2、将长为的 线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、在 ?ABC 中,?C<

br />
? ,?B ? , AC ? 2 , M 2 6

?

?

为 AB 中点,将 ?ACM 沿 CM

折起,使 A, B 之间的距 离为 2 4、若锐角

2 ,则点 M

到面 ABC 的距离为_ ___ ___________ __.

?

满足

1 tan 2

?

? 2 3

t a no1?0

?

, t a n则 角 ? 2

的度数为

_________________.

5 、 函 数

, ?| l o xg ? |x ? 0 2 ? f ( x) ? ? 2 2 70 ? 3 x ? 8x ? 3 , x ? 4 ?

4
, 若

a, b, c, 互 d

不 相 同 , 且

f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,则 abcd 的取值范围是_________________.
6、各项均为正数的等比数列 _________________.
[来源:Zxxk.Com]

?an? 中, 2a4 ? a3 ? 2a2 ? a1 ? 8 ,则 2a8 ? a7 的最小值为
A1B1C1D1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点 C1 的最
超 过 实 数

7、 一只蚂蚁由长方体 ABCD ?

短距离为 6,则长方体的体 积最大值为______________. 8 、

? x?







x















?log 2 1? ? ?log 2 2? ? ?log 2 3? ? ? ? ?log 2 2012? ? _________ .
二 、 本 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 (

E ? ABCD

的地面为菱形,且

?ABC ?

?
3

, AB ?

EC ? 2 , AE ? BE ? 2 .

(1)求证:平面 EAB ? ABCD 平面; (2)求二面角 A ? EC ? D 的余弦值. 三、 (本题满分 20 分)已知函数 (1)当时 x ? 0 ,求证:

f ( x) ?

ln(1 ? x) x

(2)当 x

? ?1且 x ? 0 时,不等式 f ( x) ?

1 ? kx 成立,求实数的值. 1? x
1 n ?1

四、 (本题 满分 20 分)数列

?xn? 中, x1 ? 1且 xn?1 ? 1 ? x ?an? 的通项公式.

(1)设 an

?

1 xn ? 2

,求数列

(2)设 bn

? xn ? 2

,数列

?bn? 的前 n 项的和为 Sn ,证明: Sn ?

2 . 2


五、 (本题满分 20 分) 已知椭圆

x2 过 ? y 2 ? 1,P 是圆 x2 ? y2 ? 16 上任意一点, P 4 ??? ??? ? ? 作椭圆的切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,求 PA ? PB 的最大值和最小值.

[来源:学科网 ZXXK]

2012 年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题 一、选择题(满分 36 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第 1

页指定地方,答对得 6 分,答错或不答均记 0 分) 2+x x>0 1.{5 x=0 则 f(-2)+f(0)+f(1)+f(3)的值为 x 2 x<0 (A) 8. (B) 11. (C)13·1/4 (D)15·1/2 2. 一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式 ax?+bx+c 的不同的两个根,则 a、b、c 之间的关系 是 (A) b?=a?-4ac (B) b?=a?+4ac (C) b?=a?-2ac (D) b?=a?+2ac 3.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x),当 x∈[0,2]时,f(x)=x? -2x,则 f(x)在 x ∈[-4,-2]上的最小值为 (A)-1/9 (B)-1/3 (C)1/3 (D)1/9 + + 4. 定义在正整数集 Z 上的函数 f,对于每一个 n∈Z 和无理数 π=3.14159265358...满足 f(n )= { k?的 末位数字, (π 的小数点后第 n 位数字 k≠0) 3 (π 的小数点后第 n 位数字 k=0) 若函数 f(f(n)的值域记为 M ,则 A 1 M B 5 M C 6 M D 9 M

5.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠C=90°,以 C 为圆心,CB 为 半径作圆交 AB 边于 M, AC 边于 N, 为 CM 与 BN 的交点, AN=1, 交 P 若 则 S△CPN-S△ BPM 等于 (A)1/8 (B)√3/8 (C)1/4 (D) √3/4

6.定义在(-1,1)上的函数 f(x)满足 f(x)-f(y)=f(x-y/1-xy),且当 x∈(-1,0)时,f(x)>0,若 P=f(1/4)+f(1/5),Q=f(1/6),R=f(0);则 P,Q,R 的大小关系为 (A)R>P>Q. (B)R>Q>P. (C)P>R>Q. (D)Q>P>R. 二、填空题(满分 64 分,每小题 8 分,请将答案填入第 1 页指定地方) 1、求 log2sin(π/3)+log2tan(π/6)+log2cos(π/4)的值
[来源:Z。xx。k.Com] [来源:Z&xx&k.Com]

2. 已知 f(x)是四次多项式,且满足 f(i)=1/i ,i=1,2,3,4,5,求 f(6)的值

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

3. 若[x]表示不超过 x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012 的自然数 n 的值 4、如图,半径为 1 的两个等圆相交,在圆的公共部分 一内接正方形 ABCD。如果圆心距 O1O 等于 1,试求正 形 ABCD 的面积. 作 方

5.求

的值 6. 在 为 积.

单位正方形 ABCD 中,分别以 A、B、C、D 四点为圆心,以 1 半径画弧,如右图所示.交点为 M,N,L,K,求阴影部分的面

7、已知二次函数 f(x)满足 f(-10)=9,f(-6)=7,f(2)=-9,求 f(100)的值 8、上底 BC=2,下底 AD=3 的梯形 ABCD 的对角线相交于点 O,彼此外切于点 O 的两个圆分别切 直线 AD 于点 A 和 D,交 BC 分别于点 A 和 D,交 BC 分别交于点 K 和 L,求 AK?+DL? 的值


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