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江苏省淮安市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷 (Word版含答案)


淮安市 2014-2015 学年度第二学期期末高一调查测试 数 学 试 卷
本试卷满分共 160 分;考试时间 120 分钟。
参考公式 1 n 1 n 样本数据 x1,x2,…,xn 的方差 s2= ∑(xi-- x )2,其中- x = ∑xi. n i=1 n i=1 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.只要求写出结果,不必写

出计算和推理过程.请
....... 把答案写在答题卡相应位置上.

2015.07

1.已知集合 A ? ??1,1,3? , B ? x x ? 3 ,则 A 2.已知角 ? 的终边过点 P ? ?3, 4 ? ,则 cos ? ? 3.方程 22 x ?1 ?

?

?

B?
▲ .

▲ .

1 的解 x ? 4





4. 某单位有青年职工、中年职工、老年职工共 900 人,其中青年职工 450 人,为迅速了解 职工的家庭状况,采用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 15 人,则抽 取的样本容量为 ▲ . 5.下图是一个算法的流程图,当 n 是 ▲ 时运算结束. n ? n ?1 否 开始
S ?1
n ?1

S ? S ? 2n

S ≥ 33



输出 S

结束 ▲ .

第 5 题图 6.已知函数 f ? x ? ? m ? 2 x ? 2? x cos x ? x ? R ? 是奇函数,则实数 m ?

?

?

7.现有 7 根铁丝,长度(单位:cm)分别为 2.01,2.2,2.4,2.5,2.7,3.0,3.5,若从 中一次随机抽取两根铁丝,则它们长度恰好相差 0.3cm 的概率是 ▲ . ▲ .

? ?? 8.已知函数 f ? x ? ? 1 ? 3 tan x cos x, x ? ?0, ? ,则 f ? x ? 的最大值为 ? 2?

?

?

9. 已知等比数列 {an } 中,a6 ? 2 , 公比 q ? 0 , 则 log 2 a1 ? log 2 a2 ?

? log 2 a11 ?

▲ .

? x ≥ 0, y ≥ 0, ? 10. 已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ≤ 8, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 ▲ . ?3 x ? y ≤ 9, ?
11.已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是 ▲

?2 x ? 1,


x?0

2 ? ? x ? 2 x, x ≤ 0

,若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 3 个零点,则实数 m 的 A E
版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com D

B 第 12 题

C

12.如图,在 ?ABC 中,若 BE ? 2 EA , AD ? 2 DC ,

DE ? ? (CA ? BC ) ,则实数 ? =

▲ .

13. 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? , 其前 n 项和为 S n , 若 a1 , a3 , a4 成等比数列, 则 的值为 ▲ .

S3 ? S 2 S5 ? S3

9x 1 ? m 2 x ? 2mx ? ?2 14. 已知函数 y ? lg( ? 1) 的定义域为 A , 若对任意 x ? A 都有不等式 2 ? 2 x x 恒成立,则正实数 m 的取值范围是 ▲ .
二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案写在答题
..... 卡相应位置上. ..

15.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? 2 ? 4 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设等差数列 ?bn ? 满足 b7 ? a3 , b15 ? a4 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

? 3 ? 16.在平面直角坐标系上,第二象限角 ? 的终边与单位圆交于点 A ? ? , y0 ? . ? 5 ?

(1)求 2sin 2 ? ? sin 2? 的值; (2)若向量 OA 与 OB 夹角为 60? ,且 OB ? 2 ,求直线 AB 的斜率. 17. (本小题满分 14 分) 下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各 10 名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位: 分).已知甲代表队数据的中位数为 76, 乙代表队数据的平均数是 75. (1)求 x , y 的值; (2)若分别从甲、乙两队随机各抽取 1 名成绩 不低于 80 分的学生,求抽到的学生中,甲队 学生成绩不低于乙队学生成绩的概率;

甲队 5 6 5 4 8 2 0 6 7 8

乙队

8 8 0 2 y 0 6 8 9

7 6 x 1 1

(3)判断甲、乙两队谁的成绩更稳定,并说明 理由(方差较小者稳定).

第 17 题图
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18.(本小题满分 16 分) 对于函数 f1 ( x), f 2 ( x), h( x) ,如果存在实数 a, b 使得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x ) ,那么 称 h( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. (1)下面给出两组函数, h( x) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由; 第一组: f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? cos x, h( x) ? sin( x ?

?
3

);

第二组: f 1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1 ; (2)设
f1 ? x ? ? log 2 x, f 2 ? x ? ? log 1 x, a ? 2, b ? 1
2

,生成函数 h( x) .

若不等式 3h 2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ? [2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分) 如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种植 甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍, 但种植甲水果需要有辅助光照. 半圆周上 的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要, 该光源照射范围是 ?ECF ? 且 ?ABC ?

C

?
6

,点 E , F 在直径 AB 上,

?
6



(1)若 CE ? 13 ,求 AE 的长;

A

E

F

B

第 19 题图 (2)设 ?ACE ? ? , 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.

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20.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? ( 2 an ? 1) ,数列 ?bn ? 满足:对任意 n ? N * 有

?a b
i ?1

n

i i

? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 .

(1)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (2)记 Cn ?
bn ,数列 ?Cn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明:当 n ≥ 6 时, n 2 ? Tn ? 1 . an

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2014-2015 学年度高一调查测试

数学试卷参考答案与评分标准
一、填空题: 1. ??1,1? 2. ?
3 5

2015.6

3. ?

1 2

4. 30
1 3

5.5

6. ?1

7.

1 7

8.2

9.11

10.13

11. ? 0,1?

12.

13.2

? 3 6? 0, ? 1 ? 14. ? ? ? 2 ? ? ?

二.解答题: 15.(1)因为数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? 2 ? 4 . 所以 a1 ? S1 ? 23 ? 4 ? 4 ,……………………………………………………………2 分 当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2n ? 2 ? 4) ? (2n ?1 ? 4) ? 2n ?1 ,…………………………4 分 因为 n ? 1 时也适合,所以 an ? 2n ?1 (n ? N *) ;…………………………………6 分 (2)设等差数列 ?bn ? 的首项为 b1 ,公差为 d ,因为 b7 ? a3 , b15 ? a4 , an ? 2n ?1 所以 ?

?b1 ? 6d ? 16, …………………………………………………………10 分 ?b1 ? 14d ? 32.

解得 ?

?b1 ? 4, ……………………………………………………………………12 分 ?d ? 2.
n(n ? 1) d ? n 2 ? 3n .……………………14 分 2

所以数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn ? nb1 ?

3 ? 3 ? 16.(1)因为角 ? 的终边与单位圆交于点 A ? ? , y0 ? ,所以 (? ) 2 ? y0 2 ? 1 , 5 ? 5 ?
4 ,又因为角 ? 是第二象限角, 5 4 4 3 所以 y0 = ,所以 sin ? = , cos ? = ? ,……………………………………2 分 5 5 5
解得 y0 = ? 所以 2sin 2 ? ? sin 2? ? 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ?

4 4 3 8 ;………………………………………6 分 ? 2 ? ( ) 2 ?2 ? ? (? ) ? 5 5 5 25
? 3 4? (2)由(1)知, OA ? ? ? , ? ,设 B 点坐标为 (m, n) ,则 OB = (m, n) , ? 5 5?

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因为 OB ? 2 ,所以 m 2 ? n 2 ? 4 ,……………………………………………8 分 又因为 OA 与 OB 夹角为 60? ,所以 OA ? OB ? OA OB cos 60? , 即? m?

3 5

4 n ? 1 ,……………………………………………………………10 分 5

? ?3 ? 4 3 ? ?3 ? 4 3 ?m ? ?m ? ? ? 5 5 联立解得 ? 或? , 4 ? 3 3 4 ? 3 3 ?n ? ?n ? ? ? 5 5 ? ?
所以 B 点坐标为(

?3 ? 4 3 4 ? 3 3 ?3 ? 4 3 4 ? 3 3 , )或( , ) ,…12 分 5 5 5 5

所以 AB ? ?

?4 3 3 3? ? 4 3 3 3? 或 AB ? ? ? , ,? ? ?, ? 5 ? 5 ? 5 5 ? ? ? ? ?
3 .……………………………………………………14 分 4

所以直线 AB 的斜率为

17.(1)因为甲代表队的中位数为 76,其中已知 高于 76 的有 77,80,82,88,低于 76 的有 71,71, 65,64,所以 x ? 6 ;………………………2 分 因为乙代表队的平均数为 75,其中超过 75 的差值为 5,11,13,14,和为 43,少于 75 的差值为 3,5, 7,7,19,和为 41,所以 y ? 3 ;…………4 分 (2)甲队中成绩不低于 80 的有 80,82,88; 乙队中成绩不低于 80 的有 80,86,88,89, 甲、乙两队各随机抽取一名,种数为 3 ? 4 ? 12 ,………………………………………6 分 其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有 80,80;82,80;88,80;88,86;88,88。 种数为 3+1+1=5, …………………………………………………………………8 分 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为 P ? (3)因为甲的平均数为
x甲 ? 1 ? 64 ? 65 ? 71 ? 71 ? 76 ? 76 ? 77 ? 80 ? 82 ? 88 ? ? 75 ,…………………………11 分 10 1 2 2 2 2 2 [? 64 ? 75 ? ? ? 65 ? 75 ? ? ? 71 ? 75 ? ? ? 71 ? 75 ? ? ? 76 ? 75 ? 10
2 2 2 2

甲队 5 6 5 4 7 6 x 1 1 8 2 0 6 7 8

乙队

8 8 0 2 y 0 6 8 9

5 .…………………………10 分 12

2 所以甲的方差 s甲 =

? ? 76 ? 75 ? ? ? 77 ? 75 ? ? ? 80 ? 75 ? ? ? 82 ? 75 ? ? ? 88 ? 75 ? ] ? 50.2 , ……………12 分
2

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2 又乙的方差 s乙 =

1 2 2 2 2 2 [? 56 ? 75 ? ? ? 68 ? 75 ? ? ? 68 ? 75 ? ? ? 70 ? 75 ? ? ? 72 ? 75 ? 10
2 2 2 2

? ? 73 ? 75 ? ? ? 80 ? 75 ? ? ? 86 ? 75 ? ? ? 88 ? 75 ? ? ? 89 ? 75 ? ] ? 70.3 , ……………13 分
2

因为甲队的方差小于乙队的方差,所以甲队成绩较为稳定. ……………………14 分 18. (1)① 设 a sin x ? b cos x ? sin( x ?

?

1 3 cos x , ) ,即 a sin x ? b cos x ? sin x ? 2 2 3

取a ? , b ?

1 2

3 ,所以 h( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.……………………………4 分 2

② 设 a ( x 2 ? x) ? b( x 2 ? x ? 1) ? x 2 ? x ? 1 ,即 (a ? b) x 2 ? (a ? b) x ? b ? x 2 ? x ? 1 ,
?a ? b ? 1 ? 则 ??a ? b ? ?1 ,该方程组无解。所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.………8 分 ?b ? 1 ?
(2)因为 f1 ? x ? ? log 2 x, f 2 ? x ? ? log 1 x, a ? 2, b ? 1 ,
2

所以 h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2 log 2 x ? log 1 x ? log 2 x ,
2

不等式 3h ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ? [2, 4] 上有解,
2

等价于 t ? ?3h 2 ( x) ? 2h( x) ? ?3log 2 2 x ? 2 log 2 x 在 x ? [2, 4] 上有解,………12 分
2 令 s ? log 2 x ,则 s ? [1, 2] ,由 y ? ?3log 2 2 x ? 2 log 2 x ? ?3s ? 2 s ,

知 y 取得最小值 ?5 ,所以 t ? ?5 .………………………………………………16 分 19. (1)连结 AC ,已知点 C 在以 AB 为直径的半圆周上,所以 ?ABC 为直角三角形, 因为 AB ? 8 , ?ABC ?

?
6

,所以 ?BAC ?

?
3

, AC ? 4 ,

在 ?ACE 中由余弦定理 CE 2 ? AC 2 ? AE 2 ? 2 ACAE cos A ,且 CE ? 13 , 所以 13 ? 16 ? AE 2 ? 4 AE , 解得 AE ? 1 或 AE ? 3 ,…………6 分 (2)因为 ?ACB ?

C
?
6

?
2

, ?ECF ?



? 所以 ?ACE ? ? ? [0, ] , 3
所以 ?AFC ? ? ? ?A ? ?ACF ? ? ? 在 ?ACF 中由正弦定理得:

A
?
3

E

F

B

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? , 6? 2 ?

CF AC AC AC ? ? ? ? sin A sin ?CFA sin( ? ? ) cos ? 2

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所以 CF ?

2 3 ,……………………………………………………………8 分 cos ?

在 ?ACE 中,由正弦定理得:

CE AC AC ? ? sin A sin ?AEC sin( ? ? ? ) 3
,……………………………………………………10 分

所以 CE ?

2 3 sin(

?
3

??)

若产生最大经济效益,则 CEF 的面积 S ?MCN 最大,

1 3 12 S?ECF ? CE ? CF sin ?ECF ? ? ,………………14 分 ? ? 2 sin( ? ? ) cos ? 2sin(2? ? ) ? 3 3 3 ? ? 因为 ? ? [0, ] ,所以 0 ≤ sin(2? ? ) ≤ 1 3 3 ? 所以当 ? = 时, S ?MCN 取最大值为 4 3 ,此时该地块产生的经济价值最大.…16 分 3
20.(1)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2(a1 ? 1) ,所以 a1 ? 2 , 当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2(an ? an ?1 ) , 所以数列 ?an ? 是以 a1 ? 2 ,公比 q ? 2 的等比数列, 通项公式为 an ? 2n (n ? N ? ) .………………………………………………………2 分 由题意有 a1b1 ? (1 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 ,得 b1 ? 1 .
2

当 n ≥ 2 时, an bn ? (a1b1 ? a2b2 ?

? anbn ) ?(a1b1 ? a2b2 ?

? an ?1bn ?1 )

n n ?1 n ?? ?(n ? 1) ? 2 ? 2 ? ?? ? ?(n ? 2) ? 2 ? 2 ? ? ? n ? 2 ,于是得 bn ? n

故数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n (n ? N ) .………………………………………6 分
?

(2) 证明: Tn =

b1 b2 ? ? a1 a2
1 2

?

bn 1 2 = ? ? an 2 22

?

n 1 1 2 ,所以 Tn = 2 ? 3 ? n 2 2 2 2

?

n , 2n ?1

1 1 1 1 n ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 , 2 2 2 2 2 n?2 n?2 所以 Tn ? 2 ? ,即 2 ? Tn ? ,………………………………………10 分 n 2 2n
错位相减得 Tn = 下证:当 n ≥ 6 时,
f (n ? 1) ? f (n) =
n(n ? 2) n(n ? 2) , ? 1 ,令 f (n) = 2n 2n

(n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 = n ?1 ? 2 2n ?1 2n

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当 n ≥ 2 时, f (n ? 1) ? f (n) ? 0 ,即当 n ≥ 2 时, f (n) 单调减,又 f (6) ? 1 , 所以当 n ≥ 6 时, f (n) ? 1 ,即
n(n ? 2) ? 1 ,即当 n ≥ 6 时, n 2 ? Tn ? 1 .……16 分 2n

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