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竞赛04 二项式定理及其应用


二项式定理及其应用
班级 __________ 姓名 __________ 一、知识点一:二项式定理
0 1 2 n k (a ? b)n ? Cn an ? Cn an?1b ? Cn a n?2b2 ? ? ? Cn bn ? ?Cn a n ?k bk (n ? N *) . k ?0
r 注:1.二项展开式的通项: Tr ?1 ? Cn a

n ? r br (0 ? r ? n) ,它是展开式的第 r ?1 项; r 2.二项式系数: Cn (0 ? r ? n) .

n

1 例 1.求 ( x ? 1 ? )7 的展开式中的常数项. x
解:由二项式定理得:

1 1 1 1 1 1 0 1 2 r 7 ( x ? 1 ? )7 ? [1 ? ( x ? )]7 ? C7 ? C7 ( x ? ) ? C7 ( x ? )2 ? ? ? C7 ( x ? )r ? ? ? C7 ( x ? )7 ;① x x x x x x
其中第 r ? 1 (0 ? r ? 7) 项为: T
r ?1

1 r ? C7 ( x ? )r ;② x

1 在 ( x ? ) r 的展开式中,设第 k ? 1 项为常数项,记为 Tk ?1 ; x 1 则 Tk ?1 ? Crk xr ?k ( )k ? Crk xr ?2k , (0 ? k ? r ) x
由③ 得: r ? 2k ? 0 即 r ? 2 k , r 为偶数,
0 2 1 4 2 6 3 再根据① 、② 知所求常数项为 C7 ? C7 C7 ? C7 C7 ? C7 C6 ? 393 .



【注】求某一项时用二项展开式的通项.

例 2.求 (1 ? 2 x ? 3x 2 )6 的展开式里 x 5 的系数. 解:因为 (1 ? 2 x ? 3x 2 )6 ? (1 ? 3x)6 (1 ? x)6
1 2 3 6 1 2 3 4 5 6 ? [1 ? C6 ? 3x ? C6 ? (3x)2 ? C6 ? (3x)3 ? ? ? C6 ? (3x)6 ][1 ? C6 x ? C6 x2 ? C6 x3 ? C6 x 4 ? C6 x5 ? C6 x6 ]

所以 (1 ? 2 x ? 3x 2 )6 的展开式里 x 5 的系数为:
4 4 1 5 5 5 1 4 2 3 3 2 1(?C6 ) ? 3C6 ? C6 ? 32 C6 (?C6 ) ? 33 C6 ? C6 ?3 C6 ? (?C6 ) ? 3 C6 ?1 ? ?168 .

【注】本题也可将 (1 ? 2 x ? 3x 2 )6 化为 [1 ? (2 x ? 3x2 )]6 用例 1 的作法可求得.

1

练习 1.求 (1 ? 3 x )6 (1 ?

1
4

x

)10 展开式中的常数项.
1 r

解:先求 (1 ? 3 x )6 的展开式中的通项: Tr ?1 ? C6r ( x 3 ) r ? C6r x 3 , r ? 0, 1, 2, 3, 4 ; 再求 (1 ?

1
4

x

k k )10 的展开式中的通项: Tk ?1 ? C10 ( x 4 )k ? C10 x 4 , k ? 0, 1, 2, 3, 4, ?, 10 ;

?

1

?

k

r k 两通项相乘得: C6r x 3 C10 x

?

k 4

k ? C6r C10 x 3

r k ? 4



r k 令 ? ? 0 ,得 4 r ? 3k ,因此, (r,k)只有三组: (0,0)(3,4)(6,8)满足要求; , , 3 4
3 4 6 8 故常数项为: 1 ? C6 C10 ? C6 C10 ? 4246 .

2.已知 (1 ? x ? x2 )( x ?

1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N * ,且 2 ? n ? 8 ,求 n 的值. .. x3

解:根据题意: ( x ?

1 n 1 r r ) 的通项为: Cn xn ?r ( 3 )r ? Cn xn ? 4r ; 3 x x

对 n ? N * ,且 2 ? n ? 8 中,经验证可知: 只有 n ? 5 时,其展开式既不出现常数项,也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项.

x 1 3.求 ( ? ? 2)5 的展开式中整理后的常数项. 2 x
x 1 5 63 2 x 1 10 x 1 5 ? ) ? ? ) ,所以常数项为正中间的项: T6 ? C10 ( 解:因为 ( ? ? 2)5 ? ( . 2 x 2 2 2 x x

4.问 ( x ? 3 x )12 的展开式中,含 x 的正整数次幂共有多少项?
r r 解: Tr ?1 ? C12 ( x )12 ? r ( 3 x )r ? C12 x r r 6? ? 2 3 r ? C12 x 6? r 6



要求原式展开式中含 x 的正整数次幂的项数,即求使 x 的指数 6 ? 而当 r ? 0,6,12 时, x 的指数为正整数,即有共 3 项.

r 为正整数的 r 的个数, 6

2

二、知识点二:二项式系数的性质
k n 1. Cn ? Cn ? k (0 ? k ? n) ; k k k ?1 2. Cn ? Cn ?1 ? Cn ?1 (0 ? k ? n ? 1) ;
n n

0 1 n n 3.若 n 是偶数,有 Cn ? Cn ? ? ? Cn2 ? ? ? Cn ?1 ? Cn ,即中间一项的二项式系数 Cn2 最大; n ?1 n ?1 n n ?1

0 n 若 n 是奇数,有 Cn ? ? ? Cn 2 ? Cn 2 ? ? ? Cn ,即中间两项的二项式系数 Cn2 ? Cn 2 且最大;

0 1 2 n 4. Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2n ;

0 2 4 1 3 5 5. Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1 .

例 3.求 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? ? ? (1 ? x)n 的展开式中 x 3 项的系数.
3 3 3 3 4 3 3 3 4 解:系数为: C3 ? C4 ? C5 ? ? ? Cn ? C4 ? C4 ? C5 ? ? ? Cn ? Cn ?1 .

例 4.求 ( x ? 1) 20 展开式中的: (1)最大的二项式系数; (2)最大系数; (3)最小系数.
r 解: ( x ? 1) 20 的通项为: Tr ?1 ? C20 x 20 ? r (?1)r ;共有 21 个系数; 10 (1)当 r ? 10 时,二项式系数最大,为 C20 ; 10 (2)当 r ? 10 时,二项式系数最大,且 (?1)10 为正,所以系数也是最大,为 C20 ; 9 11 (3)当 r ? 9 或 r ? 11 时,系数是负数,且最靠近正中项,所以系数最小,为 ?C20 或 ?C20 .

例 5.已知二项式 ( x ?

2 n ( ) , n ? N * )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10 : 1; x2

(1)求展开式中各项的系数和; (2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项. 解: (1)∵第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10 : 1; ∴
4 Cn (?2) 4 10 ? ,解得 n ? 8 ; 2 1 Cn (?2) 2

令 x ? 1 得到展开式中各项的系数和为 (1 ? 2)8 ? 1 . (2)展开式中第 r 项,第 r ?1 项,第 r ? 2 项的系数绝对值分别为 C8r ?1 ? 2r ?1 , C8r ? 2r , C8r ?1 ? 2r ?1 ; 若第 r ?1 项的系数绝对值最大,则必须满足: C8r ?1 ? 2r ?1 ? C8r ? 2r 且 C8r ?1 ? 2r ?1 ? C8r ? 2r ; 解得: 5 ? r ? 6 ; 所以系数最大的项为 T7 ? 1792 ?

1 1 ,二项式系数最大的项为 T5 ? 1120 ? 6 . x11 x

3

例 6.求 (1 ? x ? 2 x2 )6 展开式中含 x 4 项的系数. 解:利用因式分解化成两个二项式,是特殊方法; 即 (1 ? x ? 2 x2 )6 ? [(1 ? 2 x)(1 ? x)]6 ? (1 ? 2 x)6 (1 ? x)6 ; 由于 4 ? 4 ? 0 , 4 ? 3 ?1 , 4 ? 2 ? 2 , 4 ? 1? 3 , 4 ? 0 ? 4 ; 按 5 类求和可得: x 4 的系数为:
4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 C6 (?2)4 C6 ? C6 (?2)3 C6 ? C6 (?2)2 C6 ? C6 (?2)1 C6 ? C6 (?2)0 C6 ? ?45 .

练习: 5.求: (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ? ? ? (1 ? x)6 展开式中 x 2 项的系数.
2 2 2 解: x 2 项的系数为: C2 ? C32 ? C4 ? C52 ? C6 ? 35 .

6.在 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) 的展开式中,求含 x 4 的项的系数. 解:本题可通过选括号(即 5 个括号中 4 个提供 x ,其余 1 个提供常数)的思路来完成; 故含 x 4 的项的系数为 (?1) ? (?2) ? (?3) ? (?4) ? (?5) ? ?15 .

7.求 ( x2 ? 2)(

1 ? 1)5 的展开式的常数项. x2
1 1 ,得: 1? C5 (?1)4 ? 5 , x2

解:第一个因式取 x 2 ,第二个因式取

第一个因式取 2,第二个因式取 (?1)5 ,得: 2 ? (?1)5 ? ?2 , 故展开式的常数项是: 5 ? (?2) ? 3 .

8.若将函数 f ( x) ? x5 表示为 f ( x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x)2 ? ? ? a5 (1 ? x)5 ,其中 a 0 , a1 , a 2 ,…,
a 5 为实数,求 a 3 的值.

解:法一:由等式两边对应项系数相等.

? a5 ? 1 ? ? a3 ? 10 . 即: ?C54 a5 ? a4 ? 0 ?C 3 a ? C1 a ? a ? 0 4 4 3 ? 5 5
法二:对等式: f ( x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x)2 ? ? ? a5 (1 ? x)5 , 两边连续对 x 求导三次得: 60 x2 ? 6a3 ? 24a4 (1 ? x) ? 60a5 (1 ? x) 2 , 再运用赋值法,令 x ? ?1 得: 60 ? 6a3 ,即 a3 ? 10 .

4

三、知识点三:二项式定理的一些应用 (一)二项式定理的正用与逆用 例 7.设常数 a ? 0 , (ax2 ?
r 解:∵Tr ?1 ? C4 a 4 ? r x8? 2 r x 1 ? r 2

1

3 )4 展开式中 x 3 的系数为 ,求 a 的值. 2 x
5 8? r 2

r ? C4 a 4 ? r x

,∴ x 由

5 8? r 2

? x3 ? r ? 2 ;

r 又由 C4 a4? r ?

3 3 1 1 2 ? C4 a2 ? ? a ? ,故 a 的值为 . 2 2 2 2

例 8.若多项式:
0 1 r n Cn ( x ? 1)n ? Cn ( x ? 1)n ?1 ? ? ? (?1)r Cn ( x ? 1)n ? r ? ? ? (?1)n Cn ? a0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? an ?1 x ? an ,

求 a0 ? a1 ? ? ? an ?1 ? an 的值. 解:左边 ? [( x ? 1) ? 1]n ? x n ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? ? ? an ?1 ? an ? 1 . 事实上,此时 a0 ? 1 , a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 .

(二)求展开式中的指定项或特定项 例 9.若 (2 x2 ?

1 n ) (n ? N*) 的展开式中含有常数项,求 n 的最小值. x3 1 r r ) ? (?1)r 2n ?r Cn x2n ?5r ; x3

r 解:通项: Tr ?1 ? Cn (2 x2 )n ?r (?

由常数项可得: 2n ? 5r ? 0 ,故 n 的最小值为 5.

例 10.若 (a ? a )n 的展开式中,奇数项的系数和为 512,求其第 8 项.
0 2 4 解:由 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n ?1 ,知: 2n ?1 ? 512 ? n ? 10 ;

7 故 T8 ? T7?1 ? C10 a3 ( a )7 ? 120a6 a .

(三)与二项式系数有关的问题 例 11.设 (2 ? 3x)100 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a100 x100 ,求下列各式的值: (原讲义 3 后少一个 x ) ①a 0 ; ②a1 ? a2 ? ? ? a100 ; ③a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ; ④(a0 ? a2 ? ? ? a100 )2 ? (a1 ? a3 ? ? ? a99 )2 .
5

解:① x ? 0 ,得: a0 ? 2100 ; 令 ② x ? 1 ,得: a1 ? a2 ? ? ? a100 ? (2 ? 3)100 ? 2100 ; 令 ③ x ? 1 与 x ? ?1,两式相减得: a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 ? 令 ④ 先因式分解,两式恰好是 x ? 1 与 x ? ?1的式子; 故原式 ? (a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a99 ? a100 )(a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a99 ? a100 )2 ? (2 ? 3)100 (2 ? 3)100 ? 1 .

(2 ? 3)100 ? (2 ? 3)100 ; 2

(四)二项展开式中最大值问题 例 12.求 (1 ? 2)50 的展开式中数值最大的项. 解:设第 r ?1 项是 (1 ? 2)50 展开式中数值最大的项,则有
r C50 ( 2) r r C50?1 ( 2)r ?1 r C50?1 ( 2) r ?1 r C50 ( 2) r

Tr ?1 T ? 1 且 r ?2 ? 1 ; Tr Tr ?1

即有:

? 1且

?1 ;

? 50 ? r ? 1 ? 2 ?1 ? ? ? ?r ? 102 ? 51 2 r ∴? ?? ? 28.88 ? r ? 29.88 ? r ? 29 ; ?r ? 101 ? 51 2 ? 50 ? r ? 2 ? 1 ? ? r ?1 ?
29 ∴ 展开式中数值最大的项是: T30 ? C50 ( 2)29 .

例 13.求 (2 ? x)10 的展开式中系数最大的项. 解:设第 r ?1 项的系数最大,则有:

10! 10! ? 10 ? r 2 ?1 ? ? 211? r r r ? r !? (10 ? r )! ? 2 ? ? ?C10 ? 210 ? r ? C10?1 ? 211? r (r ? 1)!? (11r )! ? ? ? r 11 ? r ?? ?? ? r 10 ? r r 10! 10! ? C10?1 ? 29 ? r 10 ? r 9?r ?C10 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? ?2 ? ?2 ?10 ? r r ? 1 ? (r ? 1)!? (9 ? r )! ? ? r !? (10 ? r )!

11 ? ?0 ? r ? 3 ? 3 解得: ? 当 ? r ? 3 ;∴ r ? 3 时, T4 ? C10 ? 27 ? x3 即为所求的系数最大的项. 8 ?10 ? r ? ? 3 ?

(五)近似计算 例 14.求 1.056 的近似值,使结果精确到 0.01.
1 2 3 6 解: 1.056 ? (1 ? 0.05)6 ? 1 ? C6 ? 0.05 ? C6 ? 0.052 ? C6 ? 0.053 ? ? ? C6 ? 0.056

6

? 1 ? 6 ? 0.05 ? 15 ? 0.052 ? 20 ? 0.053 ? ? ? 1? 0.056

∵20 ? (0.05)3 ? 0.0025 ? 0.01 ,其中第 4、5 项以后已不必取了; ∴1.056 ? 1 ? 0.3 ? 0.0375 ? 0.0025 ? ? ? 1.34 . (注:此项近似计算,可生成“不等式 (1 ? x)n ? 1 ? nx ”)

例 15.某地现有耕地 10 000 hm 2 ,规划 10 年后,粮食单产比现在增加 22% ,人均粮食占有量比现 在提高 10%,如果人口年增长率为 1% ,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷? (精确到 1 hm 2 ) (注: 粮食单产 ?

总产量 总产量 , 人均粮食占有量 ? ) 耕地面积 总人口数

解:设耕地平均每年至多只能减少 x hm 2 ,又设该地区的现在人口为 p ,粮食单产为 M t / hm 2 ; 根据题意可得不等式:
M ? (1 ? 22%) ? (104 ? 10 x) M ?104 ? (1 ? 10%) ; p p ? (1 ? 1%)10

化简: x ? 103 ? [1 ?

1.1? (1 ? 0.01)10 1.1 1 2 ] ? 103 ? [1 ? ? (1 ? C10 ? 0.01 ? C10 ? 0.012 ? ? ? 0.0110 )] 1.22 1.22
1.1 ?1.1045) ? 4.1 1.22

? 103 ? (1 ?
∴x ? 4 (hm2 ) ;

答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少 4 (hm 2 ) .

(六)证明不等式、恒等式、整除性问题 例 16.求证: 3n ? (n ? 2) ? 2n ?1
(n ? 2, n ? N*) .

1 n 证明: 3n ? (2 ? 1)n ? 2n ? Cn ? 2n ?1 ? ? ? Cn ?1 ? 2 ? 1 ? 2n ? n ? 2n ?1 ? 2n ? 1 ? 2n ? n ? 2n ?1 ? (n ? 2) ? 2n ?1 ;

故原不等式成立.

1 2 3 n n 例 17.求证: 4n ? 4n ?1 Cn ? 4n ? 2 Cn ? 4n ?3 Cn ? ? ? 4 ? (?1)n ?1 Cn ?1 ? (?1)n Cn ? 3n .

证明:左边恰是: (4 ? 1)n 的展开式.

例 18.① 求证: 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 25 n?1 (n ? N *) 能被 31 整除;
1 2 27 ② S ? C27 ? C27 ? ? ? C27 除以 9 的余数. 求

解:① 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 25n ?1 ?

25n ? 1 5n 0 n ? 2 ? 1 ? 32n ? 1 ? (31 ? 1)n ? 1 ? 31(Cn ? 31n ?1 ? ? ? Cn ?1 ) ,得证; 2 ?1

1 2 27 ② S ? C27 ? C27 ? ? ? C27 ? 227 ? 1 ? 89 ? 1 ? (9 ? 1)9 ? 1 ,展开,易知余数为 ?2 即 7.

7

8


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