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求递推数列的通项公式的十一种方法(包含特征根和不动点)


求递推数列的通项公式的九种方法
利用递推数列求通项公式, 在理论上和实践中均有较高的 价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中 数学联赛的热点之一.

b1 ? a 2 ? a 1 ?

13 9

?

4

?

1

/>,







1

.



1 n?2 b n ?1 ? b1 ? ( ) 3

逐差法可得: a n

3 9 3 1 1 n?2 1 n 1 n ? ( ) ? ( ) . 故 a n ? a n ?1 ? ( ) . 由 9 3 3 3 3 1 1 n ? ? ( ) . 2 2 3

例 4 已知数列{ a n },其中 a 1 ? 1, a 2 ? 2 ,且当 n≥3 时,

一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o
a n ? 2 a n ?1 ? a n ? 2 ? 1 , 求 通 项 公 式 a n 。 解



例 1 在数列{ a n }中, a 1 ? 3 , a n ? 1 ? a n ? 通项公式 a n . 解 : 原 递 推 式 可 化 为 : a n ?1 ? a n ?
a 2 ? a1 ? a4 1 1 ? 1 , a3 ? a2 ? 1 ? 1

1 n ( n ? 1)

,求

a n ? 2 a n ?1 ? a n ? 2 ? 1 得: ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? 1 ,令 b n ?1 ? a n ? a n ?1 ,则上式为 b n ?1 ? b n ? 2 ? 1 ,因此 { b n } 是一个

1 n

?

1 n ?1



等差数列, b1 ? a 2 ? a 1 ? 1 ,公差为 1.故 b n ? n .。 由 于

得: a n

2 2 3 1 1 1 1 ? a 3 ? ? ,……,a n ? a n ? 1 ? ? 逐项相加 3 4 n ?1 n 1 1 ? a 1 ? 1 ? .故 a n ? 4 ? . n n

b1 ? b 2 ? ? ? b n ? 1 ? a 2 ? a 1 ? a 3 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ? 1 ? a n ? 1

又 b1 ? b 2 ? ? ? b n ?1 ? 所以 a n ? 1 ?
1 2

n ( n ? 1) 2 1 2 (n
2

n ( n ? 1) ,即 a n ?

? n ? 2)

二、作商求和法 四、积差相消法
例 2
2

设数 列 { an } 是首项为 1 的正项 数列,且 例5 (1993 年全国数学联赛题一试第五题) 设正数列 a 0 ,
2

( n ? 1) a n ? 1 ? na n ? a n ? 1 a n ? 0 (n=1,2,3…) ,则它的通项

a1 , a n … , a n , … 满 足

a n a n?2 ?

a n ?1 a n ? 2 = 2 a n ? 1

公式是 a n =▁▁▁(2000 年高考 15 题) 解:原递推式可化为:
[( n ? 1) a n ? 1 ? na n ]( a n ? 1 ? a n ) =0

( n ? 2 ) 且 a 0 ? a 1 ? 1 ,求 { a n } 的通项公式.

∵ a n ?1 ? a n >


an a n ?1

将递推式两边同除以
a n ?1 a n?2

a n ?1 a n ? 2 整 理 得 :

0,

a n ?1 an a2 a1

?

n n ?1 an 1 a3 2 a4 3 n ?1 , ? , ? , … … , ? 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n ? 1 n
1 n

?2

?1



?

设bn =

an a n ?1

,则 b 1 ?

a1 a0

=1, b n ? 2 b n ?1 ? 1 ,故有 ⑵

逐项相乘得:

an a1

,即 a n =

.

b 2 ? 2 b1 ? 1

⑴ b3 ? 2b 2 ? 1 … … (n ? 1) + ⑵ ?2
2





b n ? 2 b n ?1 ? 1

三、换元法
例 3 已知数列{ a n },其中 a 1 ? 时, a n ? a n ?1 ?
1 3 4 3 ,a2 ? 13 9

由 ⑴ ?2 ,且当 n≥3

n?2

n?3

+ … +( n ? 1 ) 2 =
2 ?1
n

0

得 即

bn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

n ?1



( a n ? 1 ? a n ? 2 ) ,求通项公式 a n (1986 年高

an a n ?1

=2 ? 1.
n

考文科第八题改编). 解:设 b n ?1 ? a n ? a n ?1 ,原递推式可化为:
b n ?1 ? 1 3 b n ? 2 , {b n }

逐项相乘得: a n = ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ? ? ( 2 ? 1) ,考
2 2 2 n 2

















虑到 a 0 ? 1 ,



1 ? an ? ? 2 2 2 n 2 ? ( 2 ? 1) ( 2 ? 1) ? ? ? ( 2 ? 1)

八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变 成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的基本形式如下: 1、a n ?1 ? Aa n ? B (A、 为常数) B 型, 可化为 a n ?1 ? ? =A ( a n ? ? )的形式.

(n ? 0) ( n ? 1)

.

五、取倒数法
例 6 已知数列{ a n }中,其中 a 1 ? 1, ,且当 n≥2 时,
an ? a n ?1 2 a n ?1 ? 1

例 9 若数列{ a n }中,a 1 =1,S n 是数列{ a n }的前 n 项之 和, S n ? 1 ? 且
Sn 3 ? 4S n

(n ? 1 ) 求数列{ a n }的通项公式是 a n . ,

,求通项公式 a n 。 解 递 推 式 S n ?1 ?
a n ?1 2 a n ?1 ? 1

Sn 3 ? 4S n

可变形为

1 S n ?1

? 3?

1 Sn

?4



将an ?

两边取倒数得:

1 an

?

1 a n ?1

? 2, 这

(1) 设 ( 1 ) 式 可 化 为
1 S n ?1 ? ? ? 3( 1 Sn ? ?)

说明 {

1 an

} 是一个等差数列,首项是

1 a1

? 1 ,公差为 2,所以

1 an

? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 ,即 a n ?

1 2n ? 1

(2) 比较(1)式与(2)式的系数可得 ? ? 2 ,则有 .
1 S n ?1 ? 2 ? 3( 1 Sn ? 2) 。 故数列{ 1 Sn 1 Sn
2

? 2 }是以

1 S1

? 2 ? 3 为首

六、取对数法
例 7 若数列{ a n }中,a 1 =3 且 a n ? 1 ? a n (n 是正整数) , 则它的通项公式是 a n =▁▁▁(2002 年上海高考题). 解 由 题 意 知 a n > 0 , 将 a n ?1 ? a n 两 边 取 对 数 得
lg a n ? 1 lg a n ? 2 , 所 以 数 列 { lgan } 是 以
2

项,3 为公比的等比数列。
1 3 ?1
n

? 2 = 3?3

n ?1

? 3 。所以
n

Sn ?

。 n
1 3 ?2
n


a n ? S n ? S n ?1 ?

? 2


n

? 3

1
n ?1

?2

? 3

? 2 ?3
2n

? 8 ? 3 ? 12
n



lg a n ? 1 ? 2 lg a n , 即

数 列 { an } 的 通 项 公 式 是 an
( n ? 1) (n ? 2)

?1 ? n ? 2 ?3 ? ? ? 3 2 n ? 8 ? 3 n ? 12 ?

lg a 1 = lg 3 为 首 项 , 公 比 为
lg a n ? lg a 1 ? 2
n ?1

2 的 等 比 数 列 ,
2
n ?1



? lg 3

2

n ?1

,即 a n ? 3

. 2、 a n ?1 ? Aa n ? B ? C (A、B、C 为常数,下同)型,
n

七、平方(开方)法
例 8 若数列{ a n }中, a 1 =2 且 a n ? 求它的通项公式是 a n .
3 ? a n ? 1 (n ? 2 ) ,
2

可化为 a n ? 1 ? ? ? C

n ?1

= A ( a n ? ? ? C )的形式.
n n ?1

例 10 在数列{ a n }中, a 1 ? ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 4 ? 3 通项公式 a n 。 解
2

,求

将an ?
2

3?a

2 n ?1

两边平方整理得 a ? a
2 n

2 n ?1

? 3。 数

解:原递推式可化为:
a n ?1 ? ? ? 3
n

列 { a n } 是 以 a 1 =4 为 首 项 , 3 为 公 差 的 等 差 数 列 。
a n ? a 1 ? ( n ? 1) ? 3 ? 3 n ? 1 。 因 为 a n > 0 , 所 以
2 2

? 2(a n ? ? ? 3

n ?1

)



比 较 系 数 得
a n ?1 ? 4 ? 3
n

?
n ?1

=-4 , ① 式 即 是 :
).

? 2(a n ? 4 ? 3
n ?1

an ?

3n ? 1 。

则 数 列 {a n ? 4 ? 3
a1 ? 4 ? 3
1?1

} 是一个等比数列,其首项

? ? 5 ,公比是 2.

∴an ? 4 ? 3 即an ? 4 ? 3 3 、

n ?1

? ?5 ? 2 ? 5?2

n ?1

例 13 在各项均为正数的数列 { a n } 中, S n 为数列 { a n } 的 前 n 项和, S n = 型 , 可 化 为
1 2 (an +

n ?1

n ?1

.

1 an

) ,求其通项公式。

a n ? 2 ? A ? a n ?1 ? B ? a n

a n ? 2 ? ? a n ? 1 ? ( A ? ? ) ? ( a n ? 1 ? ? a n ) 的形式。

求递推数列通项的特征根法与不动点法
例 11 在 数 列 { a n } 中 , a 1 ? ? 1, a 2 ? 2 , 当 n ? N , 求通项公式 a n .
a n ? 2 ? 5 a n ?1 ? 6 a n ①

一、形如 a n ? 2 ? p a n ? 1 ? q a n ( p , q 是常数)的数列 形如 a1 ? m 1, a 2?
m,2 n ?a ?2 p a ? n ?
1 n

解:①式可化为:
a n ? 2 ? ? a n ? 1 ? ( 5 ? ? )( a n ? 1 ? ? a n )

q a , 是常数) ( p q

比较系数得 ? =-3 或 ? =-2,不妨取 ? =-2.①式可化为:
a n ? 2 ? 2 a n ?1 ? 3 ( a n ?1 ? 2 a n )

的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 a n ,其特征 方程为 x 2
? p x ?

…① q
? c1?
n

则 { a n ? 1 ? 2 a n } 是一个等比数列, 首项 a 2 ? 2 a 1 =2-2 (-1) =4,公比为 3. ∴ a n ?1 ? 2 a n ? 4 ? 3
an ? 4 ? 3
n ?1
n ?1

若①有二异根 ? , ? ,则可令 a n 是待定常数)

? c 2? ( c ,1c
n

2

.利用上题结果有:

若 ① 有 二 重 根 ?
an ? ( c ? n 2 ) c? 1
n

? ?

, 则 可 令

? 5?2

n ?1

. 型 , 可 化 为

( 1c , 是待定常数) c 2

4



a n ?1 ? Aa

n

? Bn ? C

再利用 a1 ? m 1 , a 2 ? m 2 , 可求得 c1 , c 2 ,进而求得 a n .

a n ? 1 ? ? 1 n ? ? 2 ? A[ a n ? ? 1 ( n ? 1) ? ? 2 ] 的形式。


例 12 在 数 列 { a n } 中 , a 1 ? ① 求通项公式 a n . 解 ①式可化为:
2 ( a n ? ? 1 n ? ? 2 ) ? a n ? 1 ? ? 1 ( n ? 1) ? ? 2
3 2

1
,? 2 a


n?






a ?1 3
n


*

{a n }




)

, 2 a n ? a n ?1 =6 n ? 3
a1 ? 2 ? a ,? ? 3 2 n

,求数列 { a n } N 的通 a 2 n (

项 an . 解:其特征方程为 x 2
a n ? c1 ? 1 ? c 2 ? 2
n n

? 3x ? 2

,解得 x1 ? 1, x 2 ? 2 ,令



比较系数可得: 式为 2 b n ? b n ?1


? c1 ? 1 ? ? 1 ? c2 ? ? 2

? 1 =-6, ? 2 ? 9 ,②
{b n }


是一个等比数列,首项 b1 ? a 1 ? 6 n ? 9 ?
9 2
? an ? 1 ? 2

,公

? a 1 ? c1 ? 2 c 2 ? 2 ? ? a 2 ? c1 ? 4 c 2 ? 3
n ?1







比为

1 2

.
9 1 n ?1 ( ) 2 2 1
n



∴ bn ?


2
a1 ? 1

2
,? 2 a


n?


2? a ,


2 ?


? 4 n a ?


* 1n

{a n }




)

即 an ? 6n ? 9 ? 9 ? ( )
1
n

4,a N { ( 求数列n a n } 的通

故 an ? 9 ? ( ) ? 6n ? 9 .
2

项 an . 解:其特征方程为 4 x 2
? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x 2 ?

1 2

,令

九、猜想法
运用猜想法解题的一般步骤是: 首先利用所给的递推式 求出 a1 , a 2 , a 3 , ……,然后猜想出满足递推式的一个通项公式
a n ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。
?1? a n ? ? c1 ? n c 2 ? ? ? ?2?
n





1 ? a 1 ? ( c1 ? c 2 ) ? ? 1 ? ? 2 ? ? a ? (c ? 2c ) ? 1 ? 2 1 2 ? 2 ? 4

, 得

? c1 ? ? 4 ? ? c2 ? 6

等比数列,? ,

an ? 1 an ? 1

?

1 ? 1? ?? ? ? 3 ? 3?

n ?1

,? a n ?

3 ? ( ? 1)
n

n n

3 ? ( ? 1)
n



? an ?

3n ? 2 2
n ?1



例 4.已知数列 { a n } 满足 a 1 求数列 { a n } 的通项 a n .

? 2, a n ? 1 ?

2an ? 1 4an ? 6

(n ? N ) ,
*

二、形如 a n ? 2

?

Aan ? B C an ? D ?

的数列

解:其特征方程为 x ?
x1 ? x 2 ? ? 1 2

2x ?1 4x ? 6

,即 4 x 2
1 an ? 1 2 ?c

? 4 x ? 1 ? 0 ,解得

,令

1 a n ?1 ?
? 3 14

对于数列 a n ? 2 常数且 C

A an ? B

1 2

?

C an ? D

,a1

? m, n ?

N(

*

A B C是 , , , D

由 a1 ? 2, 得 a 2 ) ? 0 , A D ? B C? 0
x ? A x? C x? B D

,求得 c ? 1 ,

其 特 征 方 程 为
C x ? ( D?
2

, 变 形 为

A x ) ?

B? 0 …②

? ? ? 1 ? ? 数列 ? ? 1 ? an ? ? ? 2?

是以

1 a1 ? 1 2 2 5

?

2 5

为首项,以 1 为公差

的等差数列,? 若②有二异根 ? , ? , 则可令
a n ?1 ? ? a n ?1 ? ? ? c? an ? ? an ? ?

1 an ? 1 2

?

? ( n ? 1) ? 1 ? n ?

3 5



(其
? an ? 13 ? 5n 10n ? 6



中 c 是待定常数) ,代入 a 1 , a 2 的值可求得 c 值. 这样数列 ?
? an ? ? ? a1 ? ? ? 是首项为 a1 ? ? ? an ? ? ?

, 公比为 c 的等

比数列,于是这样可求得 a n . 若②有二重根 ?
? ?

,则可令

1 a n ?1 ? ?

?

1 an ? ?

?c

(其中 c 是待定常数) ,代入 a 1 , a 2 的值可求得 c 值. 这样数列 ?
? ? ? ? an ? ? ? 1

是首项为

1 an ? ?

,公差为 c 的

等差数列,于是这样可求得 a n . 此方法又称不动点法.
a n ?1 ? 2 2 a n ?1 ? 1

例 3.已知数列 { a n } 满足 a1 数列 { a n } 的通项 a n . 解:其特征方程为 x 得 x1 ? 1, x 2 ? ? 1 ,令 由 a1 ? 2, 得 a 2
? ?

? 2, a n ?

( n ? 2 ) ,求

x?2 2x ?1

,化简得 2 x 2
an ? 1 an ? 1
1 3

?2?0

,解

a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1

? c?

4 5

,可得 c

? ?


1

? an ? 1 ? a1 ? 1 1 ? ? 数列 ? ? 是以 a1 ? 1 3 ? an ? 1 ?

为首项,以 ? 为公比的
3


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