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四川省宜宾市翠屏棠湖外语学校2013-2014学年高二数学上学期12月考试试题 理 新人教A版


高二上期学生阶段性学习情况评估检测(三)数学试题
一、选择题:本大题 50 分,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 是符合题目要求的。 1.若干个人站成一排,其中为互斥事件的是( ) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排头” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 2.如图是某简单组合体的

三视图,则该组合体的体积为( ) A. 36 3(? ? 2) C. 108 3? B. 36 3(? ? 2) D. 108( 3? ? 2) (第 2 题图)

3、 在平行六面体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中, 设 AC? ? x AB ? 2 y BC ? 3zCC? , 则 x ? y ? z ? 等于 ( )

A.

11 6

B.

5 6

C.

2 3

D.

7 6


4、观察新生婴儿的体重,其频率分布直方图如图, 则新生婴儿体重在(2700,3000)的频率为( A. 0.001 C. 0 .2 B. 0.1 D. 0.3 (第 4 题图)

5、已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的棱长相等, E 是 A1B1 的中点, F 是 B1C1 的中点, 则异面直线 AE 和 BF 所成角的余弦值是( A. )

7 50

B.

2 3

C.

7 10

D.

1 2

6、已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 1 , O 为 AB 的中点, 在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( ) A.

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ?

? 8

7、已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB ? 3, AC ? 4, AB ? AC, AA 1 ? 12 ,则球 O 的半径为( ) A.

3 17 2

B.

2 10

C.

13 2

D. 3 10 ) (第 8 题图)

8、某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,其中可以输出的函数是(

1

A. f ( x) ? x 2

B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6
D1 A1

D. f ( x) ? sin x
C1 B1

9、如图在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中为 BC 的中点,点 P 在线段 D1 E 上,点 P 到 直线 CC1 的距离的最小值为( A. )

D

5

B.

2 5 5

C.

5 2

D.

5 5

C E B

(第 9 题图)
A
2

10、在 ?ABC中, AB ? AC , 若 AD ?BC , 则 AB

? BD BC ?

; 类似地有命题: 在三棱锥

2 A—BCD 中, AD ? 面 ABC,若 A 点在平面 BCD 内的射影为 M,则有 S ? ABC ? S ?BCM ? S ?BCD 。

上述命题是(



A.真命题 B.增加条件“ AB ? AC ”才是真命题。 C.增加条件“ M为?BCD 的垂心”才是真命题。 D.增加条件“三棱锥 A—BCD 是正三棱锥”才是真命题。 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在答题纸的相应的位置。 11、若 A(?1,0,1), B( x, y,4), C (1,4,7) ,且 A、B、C 三点在同一直线上,则实数 x ? y ? 12. 某工厂生产了某种产品 3000 件,它们来自甲、乙、丙三条生产线.为检查这批产品的 质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别 为 a, b, c 且 a, b, c 构成等差数列,则乙生产线生产了 件产品.

13 、 正 四 棱 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 2 倍 , 则 侧 面 与 底 面 所 成 二 面 角 的 大 小 为 。
2 2

14、将一颗骰子投掷两次分别得到点数 a , b ,则直线 ax ? by ? 0 与圆 ( x ? 2) ? y ? 2 相交的 概率为_______ 15 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等,有以下命题:
0 ①若 A1 在底面 ABC 内的投影为 △ ABC 的中心,则 ?A 1 AB ? 60 ;

3 ; 3 2 3 ③若 A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点,则二面角 A1 ? AB ? C 的正切值为 3 14 ④若 A1 在底面 ABC 内的投影为线段 BC 的中点,则 AB1 与面 ABC 所成角的正弦值为 14
②若 A1 在底面 ABC 内的投影为 △ ABC 的中心,则 AB1 与面 ABC 所成角的正弦值为 正确的命题是 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤。 16(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与四边形 ABEF 所 在 平 面 互 相 垂 直 , △ ABE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,
2

AB ? AE ? 2, FA ? FE, ?AEF ? 45?
(1)线段 CD 的中点为 P ,线段 AE 的中点为 M ,求证: PM // 平面BCE ; (2)求直线 CF 与平面 BCE 所成角的正切值. 17、(本小题满分 12 分) 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无 法确认,在图中以 X 表示. (1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同 学,求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率.

18、(本小题满分 12 分) 某商场为迎接店庆举办促销活动, 活动规定, 购物额在 100 元及以内不予优惠, 在 100~ 300 元之间优惠货款的 5%,超过 300 元之后,超过部分优惠 8%,原优惠条件仍然有效,写 出顾客的购物额 y 与应付金额 x 之间的关系,要求输入购物额能够输出实付货款,并画出 程序框图.

19、(本小题满分 12 分) 设 AB ? 6 ,在线段 AB 上任取两点(端点 A, B 除外) ,将线段 AB 分成了三条线段. (I)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率;

3

(II)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率;

20、(本小题满分 13 分) 如图, C、D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3 , AC ? BC , F 是 AB

1 AB ,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上. 3 (1)求证: AD ? 平面 BCE ; C (2)求三棱锥 A ? CFD 的体积. C
上一点,且 AF ? (3)异面直线 AC与BD 所成角的余弦值。 A F B A F E D D B

21、 (14 分)在直角梯形 ABCD 中,AD??BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 , ?ABC ? 90 (如 图 1) .把 ?ABD 沿 BD 翻折,使得二面角 A ? BD ? C 的平面角为 ? (如图 2). (1)若 ? ? ? ,求证: CD ? AB ;

2

(2)是否存在适当 ? 的值,使得 AC ? BD ,若存在,求出 ? 的值,若不存在说明理由; NQ (3) 取 BD 中点 M, BC 中点 N, P、 Q 分别为线段 AB 与 DN 上一点, 使得 AP ? ? ? (? ? R ) 。 PB QD 令 PQ 与 BD 和 AN 所成的角分别为 ?1 和 ?2 . 求证:对任意 ? ? ? 0.? ? ,总存在实数 ? ,使得

sin ?1 ? sin ?2 均存在一个不变的最大值. 并求出此最大值和取得最大值时 ? 与 ? 的关系。
A P D M Q B
图(3) 4

N

C

高二上期学生阶段性学习情况评估检测(三) 数学试题答案 一、选择题: ABADC BCDBA 二、填空题: 11、 ? 2 12、1000 13、 60
?

14、

5 12

15、①③④

三、解答题: 16. (1)取 AB 的中点为 N ,连 MN , PN ,则 MN // EB , PN // BC ,

? 平面 PMN //平面 EBC ,? PM // 平面BCE . ????6 分
(2) 证出 FE ? 面 EBC ? 9 分, ??FCE 为直线 CF 与平面 BCE 所成角? 10 分,
tan?FCE ? FE 6 ?12 分 ? EC 6

17、 解 (1)当 X=8 时, 由茎叶图可知, 乙组同学的植树棵数是 8,8,9,10, 所以平均数为 x 8+8+9+10 35 = = ; 4 4 35?2? 11 1?? 35?2 ? 35?2 ? 35?2 ? 2 方差为 s = ??8- ? +?8- ? +?9- ? +?10- ? ?= .??6 分 4? ? 4? ? 4? ? 4 ? ? 16 4?? (2)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为 9,9,11,11;乙组四名同 学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为 9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同 学,所有可能的结果有 16 个,它们是: (A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4), (A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4), 用 C 表示: “选出的两名同学的植树总棵数为 19”这一事件, 则 C 中的结果有 4 个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,

B2),故所求概率为 P(C)= = .??12 分
18、[解析] 设购货款为 y,实付货款 x 元.

4 1 16 4

5

(0 ? y ? 100) ?y ? ??6 分 x ? ?0.95y (100 ? y ? 300) ?285 ? 0.92( y ? 300) ( y ? 300) ?
程序框图如右图所示. (图中的 x 与 y 应互换)??12 分 19. 解( I )若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能为:

1,1, 4;1, 2,3; 2, 2, 2 共 3 种情况,其中只有三条线段为 2, 2, 2 时能构成三角形,则构成三角形
的概率 P ?

1 .??5 分 3

(II)设其中两条线段长度分别为 x, y ,则第三条线段长度为 6 ? x ? y ,全部结果所构成 的区域为 0 ? x ? 6,0 ? y ? 6,0 ? 6 ? x ? y ? 6 , 即为 0 ? x ? 6,0 ? y ? 6,0 ? x ? y ? 6 , 所 表示的平面区域为三角形 OAB ;??7 分。 若三条线段 x, y,6 ? x ? y 能构成三角形,则还 要满足 ? x ? 6 ? x ? y ? y ,即为 ? y ? 3
? ?y ? 6? x ? y ? x ?
? ?x ? 3 ?

?x ? y ? 6 ? x ? y

?x ? y ? 3

,所表示的平面区域为三角形 DEF 。??8 分

由几

何概型知,所求的概率为 P ?

S?DEF 1 ? 。??12 分 S? AOB 4

20、 (1)证明:依题意得: AD ? BD ? CE ? 平面 ABD ,∴ CE ? AD

? BD ? CE ? E ,∴ AD ? 平面 BCE .?4 分
(2).证明: Rt ?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3 ,∴ BD ? 3 .连接 AE, 在 Rt △ ACE 和 Rt ?BCE 中 AC ? BC, CE ? CE , ? Rt ?ACE ? Rt ?BCE ,

? AE ? BE ,
设 DE=x,则 AE=BE=3-x, 在Rt ?ADE中,AD ? DE ? AE ,
2 2 2

?3 ? x2 ? (3 ? x)2 , 解得x ? 1,∴ DE ? 1 , BE ? 2 ?6 分


BF BE 2 ? ? BA BD 3

∴ AD // EF , AD ? ED ,∴ EF ? BE ,

∴ F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离,为 DE ? 1 . ∴ S ?FAD ?

1 3 . ? 3 ?1 ? 2 2

1 1 3 6 .??9 ? CE ? 平面 ABD ,∴ V A?CFD ? VC ? AFD ? ? S ?FAD ? CE ? ? ? 2? 3 3 2 6


6

(3).

解 : 以

E

为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系

E ? xyz

, 则

B( 2 , 0D ?, 0 ) ? ,A (

1 , 0 C , ,0 ) ,

(

1 ,

3 , 0 ) ,

( 0 , 0 ,

∴ AC ? (1, ? 3, 2), DB ? (3,0,0) ,∴ cos? AC, DB? ?

3 6 。∴ AC与BD 所成角的 ? 6 3? 6

余弦值

6 ?13 分 6

? ? 平面ABD ? 平面BCD ? ? 21、解: (1)?? ? 2 , ? ? CD ? 平面ABD ? CD ? AB .???3 分 又易得CD ? BD ? ?
(2)不存在。

因如果有AC ? BD ? ? ? BD ? 平面ACD ? BD ? AD (矛盾)???6 分 又有CD ? BD ?

NQ (3)在 BN 线段去点 R 使得 AP ? NR ? ? ? (? ? R ) PB RB QD
易得 PR / / AN 且RQ / / BDA , ?1 =?PQR,?2 =?QPR 另一方面,易证 AM ? BD, MN ? BD ,从而 ? =?AMN 。

A

P D M Q B R N C

又AM ? BD, MN ? BD ? BD ? 平面AMN ? BD ? AN ? ? ? ? ?PRQ= 2 又有PR / / AN 且RQ / / BDA ?
从 而 有

?1 +?2 = ? ? sin 2 ?1 ? sin 2 ?2 ? 1
2

? sin ?1 ? sin ? 2 ? 2(sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ) ? 2 ?11 分
当且仅当 sin ?1 ? sin ?2 ,即 ?1 ? ?2 时取得最大值。 此时有 PR ? QR ,又

PR ? BP ? 1 ? PR ? 1 AN ? 1 AM 2 ? MN 2 ? 2MN ? AN cos? ? 1 2 ? 2cos? AN BA 1 ? ? 1? ? 1? ? 1? ? QR NQ ? ? ? ? QR ? ? BD ? ? ? 2 ? 2? BD ND 1 ? ? 1? ? 1? ? 1? ?
? PR ? QR ?
???14 分

1 2 ? 2 cos ? ? 2? ? 2 ? 2 cos ? ? 2? ? ? ? 1 ? cos ? ? sin ? 1? ? 1? ? 2 2

7


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