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2014届高三数学一轮复习 第56讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教版


第56讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1. (2012· 山西省大同市学情调研)直线 y=kx+2 与圆: x2+y2=1 没有公共点的充要条件是( B ) A.k∈(- 2, 2) B.k∈(- 3, 3) C.k∈(-∞,- 2)∪( 2,+∞) D.k∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞)

|2| 解析:由圆心到直线的距离公式可得

d= 2>1,解 1+k 得- 3<k< 3,故选 B.

2. (2012· 山东省莱芜市高三上期末)若直线 y=kx-1 与 圆 x2+y2=1 相交于 P、 Q 两点, 且∠POQ=120° (其中 O 为 原点),则 k 的值为( A ) A. 3,- 3 C. 3,-1 B.4,- 3 D.1,-1

1 解析:由题意可得,圆心到直线的距离为 , 2 1 1 所以 = 2,解得 k=± 3,故选 A. 2 1+k

3.(2012· 金华十校第一学期期末)圆 x2+y2-4x=0 在 点 P(1, 3)处的切线方程为( D ) A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0

解析:因为点 P 在圆上, 3 所以切线方程为 y- 3=- (x-1), 3 即 x- 3y+2=0,故选 D.

4. (2012· 山东卷)圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2 =9 的位置关系为( B ) A.内切 C.外切 B.相交 D.相离

解析:两圆的圆心分别为(-2,0),(2,1), 半径分别为 r=2,R=3. 两圆的圆心距离为 ?-2-2?2+?0-1?2= 17, 则 R-r< 17<R+r,所以两圆相交,故选 B.



直线与圆的位置关系
【例 1】(1)(2012· 安徽卷)若直线 x-y+1=0 与圆(x-

a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

)

(2)(2013· 山东卷)过点(3,1)作圆(x-1)2 +y2 =1 的两条 切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0 )

(3)(2012· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+ 4y-5=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长 等于( ) B.2 3 D.1

A.3 3 C. 3

解析:(1)圆(x-a)2+y2=2 的圆心 C(a,0)到直线 x-y+ |a+1| 1=0 的距离为 d, 则 d≤r= 2? ≤ 2?|a+1|≤2?- 2 3≤a≤1,故选 C. 1-0 1 (2)因为 P(3,1)与圆心 C 连线的斜率 k= = , 3-1 2 所以 kAB=-2,故选 A. (3)因为圆心 O(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离 d= |-5| 2 2 = 1 ,所以弦 AB 的长为 2 r - d =2 3. 2 2 3 +4

【拓展演练 1】 (1)(2012· 重庆卷)对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 )

(2)(2012· 山东仿真押轴题)“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(x-3)2=8 相切”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3)(2013· 湖北模拟)过点(-1,2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x -2y+1=0 截得的弦长为 2,则直线 l 的斜率为 . )

解析:(1)圆心 C(0,0)到直线 kx-y+1=0 的距离为 d= 1 1 2<1< 2=r,且圆心 C(0,0)不在该直线上.故选 C. 1+k |a-3+4| (2)若直线与圆相切,则 =2 2,解得 a=3 或 2 a=-5,所以“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(x- 3)2=8 相切”的充分不必要条件,故选 A.

(3)设直线 l 的斜率为 k, 则直线方程为: y-2=k(x+1); 圆的圆心坐标为(1,1),半径为 1, |2k+1| 所以圆心到直线的距离 d= 2, 1+k |2k+1| 2 22 所以( 2) +( 2 ) =1, 1+k 1 解得 k=-1 或 k=- . 7



圆与圆的位置关系
【例 2】圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4,圆 O2 的圆心为

O2(2,1). (1)若圆 O2 与圆 O1 外切,求圆 O2 的方程; (2)若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程.

解析:(1)设圆 O2 的半径为 r2. 由于两圆外切, 所以|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2( 2-1), 故圆 O2 的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( 2-1)2.

(2)设圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2 2, 又圆 O1 的方程为 x2+(y+1)2=4, 此两圆的方程相减,即得两圆公共弦 AB 所在直线的 方程:4x+4y+r2 2-8=0. |r2 2-12| 所以圆心 O1(0,-1)到直线 AB 的距离为 = 4 2 2 22 2 4-? ? = 2,解得 r2 2=4 或 r2=20. 2 故圆 O2 的方程为(x-2)2+(y-1)2=4 或 (x-2)2+(y -1)2=20.

【拓展演练 2】 设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两 圆心的距离|C1C2|=( A.4 C.8 ) B.4 2 D.8 2

解析: 因为两圆 C1、 C2 都和两坐标轴相切, 且都过点(4,1), 故圆在第一象限内, 设圆心的坐标为(a,a), 则有|a|= ?a-4?2+?a-1?2, 所以 a=5+2 2,或 a=5-2 2, 故圆心为(5+2 2,5+2 2)和(5-2 2,5-2 2), 故两圆心的距离|C1C2|= ?4 2?2+?4 2?2=8,故选 C.



与圆有关的综合问题
m 【例 3】(1)设集合 A={(x,y)| ≤(x-2)2+y2≤m2,x, 2

y∈R}, B={(x, y)|2m≤x+y≤2m+1, x, y∈R}, 若 A∩B≠ ?,则实数 m 的取值范围是____________. (2)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线, →· → 的最小值为( A、B 为两切点,那么PA PB A.-4+ 2 C.-4+2 2 B.-3+ 2 D.-3+2 2 )

解析:(1)当 m<0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以|m|为 半径的圆,集合 B 是在两条平行线之间. 则符合题意的条件是:直线 x+2y=2m+1 与圆(x-2)2 +y2=m2 有交点. |2-2m-1| 2- 2 2+ 2 从而 ≤|m|,解得 ≤m≤ ,矛盾; 2 2 2

当 m=0 时,代入可知矛盾; 当 m>0 时,集合 A 是以(2,0)为圆心,以 m 和 m 为半 2

|2-2m-1| 径的圆环, 集合 B 是在两条平行线之间, 必有 ≤m 2 |2-2m| 2 或 ≤m,所以 1- ≤m≤ 2+2. 2 2 m 1 2 又因为 ≤m ,所以 ≤m≤ 2+2. 2 2

(2)如图所示,设 PA=PB=x(x>0),∠APO=α, 则∠APB=2α,PO= 1+x2, 1 sin α= 2, 1+x →· → =|PA → |· → |cos 2α PA PB |PB =x2(1-2sin2α) x2?x2-1? x4-x2 = 2 = 2 . x +1 x +1

x4-x2 →· → =y,则 y= 2 令PA PB , x +1 即 x4-(1+y)x2-y=0,由 x2 是实数, 所以 Δ=[-(1+y)]2-4×1×(-y)≥0, 即 y2+6y+1≥0,解得 y≤-3-2 2或 y≥-3+2 2. →· → )min=-3+2 2,此时 x= 所以(PA PB 2-1,故选 D.

【拓展演练 3】 (1)若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是( A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3] ) B.[1-2 2,1+2 2] D.[1- 2,3]

(2)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分 两部分,使这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 ( ) A.x+y-2=0 C.x-y=0 B.y-1=0 D.x+3y-4=0

解 析 : (1) 曲 线 方 程 可 化 简 为 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 4(1≤y≤3),即表示圆心为(2,3),半径为 2 的半圆,依据 数形结合, 当直线 y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) |2-3+b| 到直线 y=x+b 距离等于 2,即 =2,解得 b=1 2 +2 2或 b=1-2 2,因为是下半圆故可得 b=1+2 2(舍 去),当直线过(0,3)时,解得 b=3,故 1-2 2≤b≤3,故 选 C.

(2)要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大, 必须使过点 P 的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线 OP 垂直即可,又已知点 P(1,1),则 kOP=1,故所求直线的 斜率为-1,又所求直线过点 P(1,1),故由点斜式得,所求 直线的方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0,故选 A.

1.(2012· 陕西卷)已知圆 C:x2+y2-4x=0,l 是过点 P(3,0) 的直线,则( A ) A.l 与 C 相交 B.l 与 C 相切 C.l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能

解析:因为 32+02-4×3<0,所以点 P 在圆内,所以 直线与圆相交,故选 A.

2.(2012· 天津卷)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y- 2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范围是 ( D ) A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)

解析:因为直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2 + (y - 1)2 = 1 相切,所以圆心 (1,1) 到直线的距离为 d = |?m+1?+?n+1?-2| m+n 2 2 2 =1,所以 mn=m+n+1≤( 2 ) ,设 ?m+1? +?n+1? t=m+n, 12 则 t ≥t+1, 4 解得 t∈(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞).

3.(2013· 重庆卷)已知圆 C1 :(x -2)2 +(y-3)2 =1 ,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 的动点, P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A ) A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17

解析:作圆 C1 关于 x 轴的对称圆 C1′:(x-2)2+(y +3)2=1, 则|PM|+|PN|=|PM|+|PN′|, 所以当 C2、M、P、N′、C1′共线时, |PM|+|PN|=|PM|+|PN′|取得最小值, 即为|C1′C2|-1-3=5 2-4,故选 A.

4.(2011· 江西卷)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2: y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点, 则实数 m 的取值范围 是( B ) 3 3 A.(- , ) 3 3 3 3 B.(- ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 C.[- , ] 3 3 3 3 D.(-∞,- )∪( ,+∞) 3 3

解析:曲线 x2+y2-2x=0 表示以(1,0)为圆心,1 为半 径的圆,曲线 y(y-mx-m)=0 表示 y=0,或 y-mx-m= 0 过定点(-1,0).

因为 y=0 与圆有两个交点,故 y-mx-m=0 也应该 与圆有两个交点. 由图可以知道,临界情况即是与圆

3 相切的时候,经计算,两种相切分别对应 m=- 和 m= 3 3 . 3 3 3 由图可知,m 的取值范围是(- ,0)∪(0, ).故 3 3 选 B.

5.(2012· 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方 程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一 点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的最大值是 .

解析:因为圆 C 的方程可化为(x-4)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(4,0),半径为 1. 由题意知直线 y=kx-2 上至少存在一点 A(x0, kx0-2), 以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, 所以存在 x0∈R,使得 AC≤1+1 成立,即 ACmin≤2. |4k-2| 因为 ACmin 即为点 C 到直线 y=kx-2 的距离 2 , k +1 |4k-2| 4 所以 2 ≤2,解得 0≤k≤ , 3 k +1 4 所以 k 的最大值是 . 3


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