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3.z函数的最值及应用、边际与弹性


第三章

导数的应用

函数的最值及应用、边际与弹性

复习
一.极值的判别法2
设f ( x)在x0具有二阶导数,且f ?( x0 ) ? 0, 那么
()当 1 f ??( x0 ) ? 0时,f ( x)在x0处取极小值f ( x0 )

(2)当f ??( x0

) ? 0时,f ( x)在x0处取极大值f ( x0 )

当f ??( x0 ) ? 0时, 无法用判别法2判别。

二.定理:(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值
y

y ? f ( x), x ?[a, b]

x2
0

a x1

x3

b

x

新授
函数的最值及应用、边际与弹性

主要教学内容
一、函数在闭区间上的最值求法

二、经济应用问题举例
三、边际与弹性简介

一、函数的最大值和最小值
y

y ? f ( x), x ?[a, b]

x2
0
a x1
x3

b

x

求函数y ? f ( x)在闭区间[a, b]上最大(小)值步骤:

()求导 1 f ?( x),求出[a, b]内驻点和不可导的点
(2) 计算驻点、不可导的点以及区间端点处的函数值

(3) 比较这些函数值,写出最大值最小值

例1

1 求函数f ( x) ? x -2 x +1在[? , 2]上的最大值与最小值 2
4 2

解:

f ?( x) ? 4x3 ? 4x ? 4x( x ? 1)( x ?1))
令f ?( x) ? 0

得驻点x1 ? ?1 x2 ? 0,x3 ? 1

1 x1 ? ?1? [? , 2] 舍去 2
9 1 f (? ) ? 16 2

f (0) ? 1

f (1) ? 0

f (2) ? 9

比较得:最大值 f (2) ? 9,

最小值 f (1) ? 0

练习一
1 3 求f ( x) ? x ? x 2 ? 3x ? 2, 在[?2, 4]上的最大值和最小值 3

解: f ?( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3)
令f ?( x) ? 0

得驻点: x1 ? ?1 ,x2 ? 3,无不可导的点
1 f ( ?1) ? ? 3 8 f ( ?2) ? ? 3 f (3) ? ?11 26 f (4) ? ? 3

1 比较得:最大值 f (?1) ? ? , 3

最小值 f (3) ? ?11

二、经济应用问题举例
1.最低成本问题 例2 解: 解:
某产品的固定成本是18 (万元),变动成本是2 x 2 ? 5(万元), x 其中x是产量(单位:百台),求平均成本最低时的产量,并 求出此时的最低平均成本.
成本函数为

C( x) ? 2x2 ? 5x ? 18
C ( x) 18 ? 2 x ? 5 ? , x ? (0, ??) x x

平均成本 C( x) ?

求导 C ? ( x) ? 2 ?

令 C ? ( x) ? 0, 得驻点x1 ? 3,x2 ? ?(舍去) 3
? C ?? ( x ) ? 36 , 3 x
? C?? (3) ? 0

18 x2

? x ? 3时C( x)取得唯一的极小值即最小值 C(3) ? 17

答:(略)

2.最大收入问题
例3
某商品的需求量Q是价格p的函数Q ? Q( p) ? 75 ? p 2, 问p为何值时,总收入最大?最大收入是多少?

解: 总收入 R( p) ? pQ ? 75 p ? p3 , p ? (0, ??)
R?( p) ? 75 ? 3 p2
令 R?( p) ? 0,得p1 ? 5, p2 ? ?(舍去) 5
又? R??( p) ? ?6 p,

? R??(5) ? 0

(5) ? 250 ? p ? 5时R取得唯一的极大值即最大值 R

答:(略)

3.最大利润问题
例4
某工厂在一个月生产某产品q件时, 总成本费为
2 C(q) ? 5q ? 200 (万元) , 得到的收入 R(q) ? 10q ? 0.01q(万元),

问一个月生产多少产品时,所获利润最大?最大利润是多少?

解: 利润为

L( q ) ? R ( q ) ? C ( q )

? 10q ? 0.01q2 ? 5q ? 200 ? 5q ? 0.01q2 ? 200

q ? (0, ??)
L?(q) ? 5 ? 0.02q,

令 L?(q) ? 0, 得 q ? 250

L??(250) ? ?0.02 ? 0

? q ? 250时,L取得唯一的极大值即最大值 L(250) ? 425

答:(略)

3.最大利润问题
q 例5 已知某产品的需求函数为p ? 10 ? , 成本函数为C ? 50 ? 2q, 5 求产量为多少时总利润最大?并求此最大利润.
2 q q ? P ( q ) ? 10 ? , ?收入 R ? P(q) ? q ? 10q ? 解: 5 5 2 2 q q ? L(q) ? R(q) ? C (q) ? 10q ? ? (50 ? 2q) ? 8q ? ? 50, 5 5

q ? (0, ??)
2q , 令 L?(q) ? 0, 得 q ? 20 5 2 ?? ? L (20) ? ? ? 0, 5 L?(q ) ? 8 ?

? q ? 20时L取得唯一的极大值即最大值 L(20) ? 30

答:(略)

练习二

1. 某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产 一百件产品,成本增加2万元.其收入(单位:万元) R 1 2 是产量(单位:百件)的函数: q R ? 5q ? q , 2 求达到最大利润时的产量.

2. 设某厂每天生产某种产品q单位时的总成本函数为 C (q) ? 0.5q 2 ? 36q ? 9800, 问每天生产多少单位的产品时,其平均成本最低.

练习二
1. 某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品, 成本增加2万元。其收入(单位:万元)是产量(单位:百件) R q 1 的函数:R ? 5q ? q 2 , 求达到最大利润时的产量 2

解:由题意,成本函数为

c ? 3 ? 2q

1 2 1 2 L ? R ? C ? ( 5 q ? q ) ? (3 ? 2 q ) ? ? 3 ? 3 q ? q , 利润函数为 2 2

L? ? 3 ? q, 令L? ? 0, 得q ? 3

q ? (0, ??)

? L??(3) ? ?1 ? 0,

?当q ? 3时L取得唯一的极大值即最大值
答(略)

2. 设某厂每天生产某种产品q单位时的总成本函数为 C (q) ? 0.5q 2 ? 36q ? 9800, 问每天生产多少单位的产品时,其平均成本最低。
解:由题意,平均成本函数为
C (q) 9800 C (q) ? ? 0.5q ? 36 ? , q q
C? (q) ? 0.5 ? 9800 , 2 q

q ? (0, ??)

令 C? (q) ? 0, 得 q ? 140
19600 ? 0, 3 140

C?? (q) ?

19600 , 3 q

? C?? (140) ?

?当q ? 140时C(q)取得唯一的极小值即最小值

答(略)

三、边际与弹性简介
(一)边际

导函数f ?( x)在经济学中称为边际函数
f ?( x)在x0处的值f ?( x0 )称为边际函数值

f ?( x0 )表示的意义:
即当x ? x0时,x改变一个单位,y改变f ?( x0 )个单位
?y ? dy

?y ? f ?( x0 )?x

取?x ? 1, 则 ?y ? f ?( x0 )

当x ? x0时,x改变一个单位,y改变f ?( x0 )个单位
(1)边际成本: 成本函数C (q)对生产量q的导数C?(q) 经济学中,边际成本定义为产量增加一个单位时所 增加的成本. (2)边际收入: 收入函数R(q)对销售量q的导数R?(q) 经济学中,边际收入定义为多销售一个单位产品所 增加的销售收入. (3)边际利润: 利润函数L(q)对销售量q的导数L?(q) 经济学中,边际利润定义为销售量为q时再多销售一 个单位产品所增加(或减少)的利润.

? L( q ) ? R ( q ) ? C ( q )

? L?(q) ? R?(q) ? C?(q)

例6

设总成本函数C ( x) ? 0.001x 3 ? 0.3x 2 ? 40 x ? 1000, 试求: ()边际成本函数; 1 (2)生产50个单位产品时的平均单位成本和边际成本值, 并解释其后者的经济意义.

解:()边际成本函数为: C?( x) ? 0.003x2 ? 0.6x ? 40 1

C (50) (2) x ? 50时的平均单位成本为 ? 47.5, 50 x ? 50时的边际成本为: C?(50) ? (0.003x2 ? 0.6x ? 40) x?50 ? 17.5
经济意义:

表示生产第50个产品后,再生产一个产品追加的成本为17.5

练习三
设某产品的需求函数为q ? 100 ? 5 p, 求(1)边际收入函数; (2)求q ? 20、 50和70时的边际收入,并说明其经济意义.
1 解: ? q ? 100 ? 5 p, ? p ? (100 ? q), 5 1 ?收入函数为:R(q) ? pq ? (100 ? q) ? q 5 1 ? 边际收入函数为:R?(q ) ? (100 ? 2q) 5 R?(20) ? 12, R?(50) ? 0, R?(70) ? ?8 当销售量即需求量为20个单位时,再增加销售可使总收入增加,再多销 售一个单位产品,总收入约增加12个单位;当销售量为50个单位时,再增加 销售,总收入不会再增加;当销售量为70个单位时,再多销售一个单位产 品,反而使总收入大约减少8个单位.

(二)弹性

相对改变量:
?y 函数在x点处的绝对改变量?y与函数在该点处的函数值y之比 y

弹性(或相对变化率):

?y y ?y x x x dy ? 称极限 lim ? lim ? ? ? f ( x) ? ? ?x ?0 ?x x ?x ?0 ?x y y y dx 为函数y ? f ( x)在点x处的弹性(或相对变化率),记为?



x dy ?? ? y dx

?y y ?y x x x dy ? ? lim ? lim ? ? ? f ?( x) ? ? ?x ?0 ?x x ?x ?0 ?x y y y dx
?y 函数f ( x)在点x处的弹性?是函数的相对改变量 与自变量的 y ?x 相对改变量 比值的极限 x

它反映了当自变量x变化1?时,函数f ( x)变化的百分数为? ?
需求弹性:

需求函数 Q ? Q( p)

p dQ 则:? ? ? Q dp

根据经济理论,需求函数是单调减少函数,所以需求 弹性一般取负值

例7 设某商品的需求函数为

Q=3000e

?0.02 p



求价格为100时的需求弹性并解释其经济含义 解:

p dQ ?? ? Q dp

p ?0.02 p ? ? 3000 e ? (?0.02) ? ?0.02 p ?0.02 p 3000e

? (100) ? ?0.02 ?100 ? ?2
它的经济意义是:当价格为100时,若价格增加1%, 则需求减少2%.

小结
一、函数在闭区间上的最值求法 二、经济应用问题举例 1.最小成本问题 2.最大收入问题 3.最大利润问题 三、边际与弹性简介

作业

练习册:p.15.习题五 p.16.习题六

一、三 二、三

课堂作业
1.某厂生产某种产品q个单位时,其销售收入为R(q) ? 8 q , 成本 1 2 函数为 C (q) ? q +1,求使利润达到最大的产量q 4

2.已知某个企业的成本函数为 C ? q 3 ? 9q 2 ? 30q ? 25 其中C 表示成本(单位:千元),q表示产量(单位:t), 求平均可变成本(单位:千元)的最小值 y .

1.某厂生产某种产品q个单位时,其销售收入为R(q) ? 8 q , 成本 1 2 函数为 C (q) ? q +1,求使利润达到最大的产量q 4

解:由题意,利润函数为
1 2 L ? R(q) ? C (q) ? 8 q ? q ? 1 4

4 1 L? ? ? q, 令L? ? 0, 得q ? 4 q 2
? L??(4) ? 0,?当q ? 4时,L取得唯一的极大值即最大值

2.已知某个企业的成本函数为 C ? q 3 ? 9q 2 ? 30q ? 25 其中C 表示成本(单位:千元),q表示产量(单位:t), 求平均可变成本(单位:千元)的最小值 y .
C ? 25 ? q 2 ? 9q ? 30, 解:平均可变成本 y ? q

y? ? 2q ? 9,

令 y? ? 0, 得 q ? 4.5

? y??(4.5) ? 2 ? 0,

? q ? 4.5时,y取得唯一的极小值即最小值

y

2 ? 4.5 ? 9 ? 4.5 ? 30 ? 9.75 q ? 4.5

即产量为4.5t时,平均可变成本取得最小值9750元.


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