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数学必修一函数的单调性与最值教案


3.1.1 单调性与最值 (一)
学习目标: 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数的证明 和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 学习重点:掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 学习难点:理解概念。 学习过程: 一、复习准备: 1.引言:函数是描述事物运动变化规律的数学模型,那么能否发现变化中保持不 变的特征呢? 2. 观察

下列各个函数的图象, 并探 讨下列变化规律: ①随 x 的增大, 的值有什么变化? y ②能否看出函数的最大、最小值? ③函数图象是否具有某种对称 性? 3. 画出函数 f(x)= x+2、f(x)= x 2 的图像。 (小结描点法的步骤:列表→描点→连 线) 二、讲授新课: 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念: ①根据 f(x)=3x+2、 f(x)=x 2 (x>0)的图象进行讨论: a.随 x 的增大,函数值怎样变化? b.当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系 怎样? ②.一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的 性质? ③定义增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 ④探讨:仿照增函数的定义说出减函数的定义;→ 区间局部性、取值任意性 ⑤定义:如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就说 f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x)的单调区间。 ⑥讨论:图像如何表示单调增、单调减? 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系? ⑦一次函数、二次函数、反比例函数的单调性 2.学习增函数、减函数的证明: 例 1.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每 个涨价 1 元,其销售量减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? 1、 例题讲解 例 1 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

例 2.判断函数 y ? 三、巩固练习:

2 在区间[2,6] 上的单调性 x ?1

1.求证 f(x)=x+ 的(0,1)上是减函数,在[1,+∞]上是增函数。 2.判断 f(x)=|x|、y=x 3 的单调性并证明。 3.讨论 f(x)=x 2 -2x 的单调性。 4.作业: 课本 P32 推广:二次函数的单调性

1 x

第 2、3、4、5 题。

四、小结: 比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号。 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ; →计算 f(x 1 )-f(x 2 )至 最简→判断差的符号→下结论。 五、作业: P39、1—3 题

3.1.2 单调性与最值(二)
学习目标: 更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法,理解函数的最大 (小)值及其几何意义. 学习重点:熟练求函数的最大(小)值。 学习难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值。 学习过程: 一、复习准备: 1.指出函数 f(x)=ax 2 +bx+c (a>0)的单调区间及单调性,并进行证明。 2. f(x)=ax 2 +bx+c 的最小值的情况是怎样的? 3.知识回顾:增函数、减函数的定义。 二、讲授新课: 1.教学函数最大(小)值的概念: ① 指出下列函数图象的最高点或最低点,→ 能体现函数值有什么特征?

f ( x) ? ?2 x ? 3 , f ( x) ? ?2 x ? 3 x ?[?2,2]

x ?[?1,2] ; f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 , f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1

② 定义最大值:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意 的 x∈I,都有 f(x)≤M;存在 x0∈I,使得 f(x0) = M. 那么,称 M 是函数 y=f(x) 的最大值(Maximum Value) ③ 探讨:仿照最大值定义,给出最小值的定义. → 一些什么方法可以求最大(小)值?(配方法、图象法、单调法) → 试举例说明方法. 2、 例题讲解: 2 例 1 求函数 y ? 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1 例 2.求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值 探究: y ?
3 3 的图象与 y ? 的关系? x x?2

(解法一:单调法;

解法二:换元法)

三、巩固练习: 1. 求下列函数的最大值和最小值: (1) y ? 3 ? 2 x ? x 2 , x ?[? , ] ; (2) y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 2.求函数 y ? 2 x ? x ? 1 的最小值. 四、小结: 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据 变量的取值范围确定函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. 五、作业:P39 页 A 组 5、B 组 1、2
5 3 2 2


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