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《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)配套课件:8-5


第五节

椭圆

? 一、椭圆的定义 和 大于 ? 平面内到两个定点F1,F2的距离之 等于 焦点 常数( |F1F2|)的点的集合叫做椭圆,这 焦距 两个定点F1,F2叫做椭圆的 ,两焦点 F1,F2间的距离叫做椭圆的 .

[疑难关注] x2 y2 x2 y2 1. 与椭圆a2+b2=1(a>b>

0)共焦点的椭圆方程: 2 + 2 =1(b2 a +m b +m +m>0); x2 y2 x2 y2 y2 x2 与椭圆a2+b2=1(a>b>0)共离心率 e 的椭圆方程:2+b2=m 或a2+b2 a =m(m>0); 椭圆标准方程统一形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
2 x2 y0 x2 y2 0 2.a2+b2=1(>1,<1)?点 P(x0,y0)在椭圆a2+b2=1

上(外,内); 过点 P 的直线与椭圆恒有公共点?点 P 在椭圆内或椭圆上; 过点 P 的直线与椭圆恒有两个公共点?点 P 在椭圆内.

3.已知 M 是椭圆上的点,F1,F2 为焦点,A、B 为长轴端点,则当 M 为短轴端点时,∠F1MF2,∠AMB,|MF1|· 2|,S△F1MF2,S△AMB 均 |MF 取得最大值. 若∠F1MF2=2θ,则 S△F1MF2=b2tan θ. x2 y2 4.A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆m+ n =1(m>0,n>0,m≠n)上两个不 n 同点,M(x0,y0)是弦 AB 的中点,则 kAB·OM=-m. k

x2 y2 1. (课本习题改编)椭圆 + =1 的焦距为 4, m 等于( 则 10-m m-2 A.4 C.4 或 8 B.8 D.12

)

解析:由于焦点位置不确定,故 10-m-(m-2)=4 或 m-2-(10 -m)=4.∴m=4 或 8.
答案:C

2.(2013 年厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍,则椭圆 的离心率等于( 1 A.2 C. 2
解析:由题意得 2a=2 2b ∴a= 2b,又 a2=b2+c2 2 ∴b=ca= 2c?e= 2 . 答案:B

) 2 B. 2 3 D. 2

x2 y2 3.(2013 年宁德质检)已知曲线 + =1(k∈R)表示焦点在 x k+1 3-k 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是( A.k<1 或 k>3 C.k>1 )

B.1<k<3 D.k<3

x2 y2 解析:因为曲线 + =1(k∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆,所 k+1 3-k

?3-k>0, ? 以?k+1>0, 解得 1<k<3. ?k+1>3-k, ?
答案:B

x2 y2 4.(课本习题改编)设 P 是椭圆25+16=1 上的点,若 F1,F2 是椭圆 的两焦点,则△PF1F2 的周长为________.

解析:△PF1F2 的周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2| =2a+2c=10+6=16.
答案:16

x2 y2 5.(2013 年合肥质检)以椭圆 4 + 3 =1 的右焦点 F 为圆心,并过椭 圆的短轴端点的圆的方程为________. x2 y2 解析: 椭圆 4 + 3 =1 的右焦点为 F(1,0), 所求圆的半径为
=2,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.

b2+c2=a

答案:(x-1)2+y2=4

考向一 椭圆的定义及标准方程 [例 1] (2013 年惠州模拟)已知椭圆 G 的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上, 3 离心率为 2 , 且椭圆 G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12, 则椭圆 G 的方程为( )
x2 y2 B. 9 + 4 =1 x2 y2 D. 9 +36=1 x2 y2 A. 4 + 9 =1 x2 y2 C.36+ 9 =1

x2 y2 [解析] 设椭圆方程为a2+b2=1,则 2a=12,∴a=6. c 3 3 ∵e=a= 2 ,∴c= 2 a=3 3,∴b2=a2-c2=9. x2 y2 ∴椭圆方程为36+ 9 =1,故选 C.
[答案] C

1.(2013 年南通模拟)椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两 个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是 个椭圆方程为________. 3,则这

?a-c= 3, ? 解析:由题意知?c 1 ?a=2, ?
?a=2 3, ? 解得? ?c= 3. ?

x2 y2 y2 x2 ∴椭圆方程为12+ 9 =1 或12+ 9 =1.
x2 y2 y2 x2 答案:12+ 9 =1 或12+ 9 =1

考向二 椭圆的几何性质 x2 y2 [例 2] (1)(2013 年南宁模拟)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左顶点为 A, → 左、右焦点分别是 F1、F2,B 是短轴的一个端点,若 3BF1=B→+2B→2, A F 则椭圆的离心率为( 1 A.2 1 C.4 ) 1 B.3 1 D.5

x2 y2 (2)(2012 年高考江西卷)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是

A、B,左、右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则 此椭圆的离心率为________.

[解析] (1)不妨设 B(0,b),则 B→1=(-c,-b),B→=(-a,- F A b),B→2=(c,-b),由条件可得-3c=-a+2c, F 1 ∴a=5c,故 e=5. (2)利用等比中项性质确定 a,c 的关系. 由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三者成等比数列, 1 5 则|F1F2|2=|AF1|· 1B|,即 4c2=a2-c2,a2=5c2,所以 e2=5,所以 e= 5 . |F

5 [答案] (1)D (2) 5

解析:由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,且三者成等 差数列,则|AF1|+|F1B|=2|F1F2|,即 a-c+a+c=4c, c 1 ? 若将本例(2)中的“等比数列”改为“等差 ∴2a=4c,即 e=a=2. 1 数列”,求此椭圆的离心率为________. 答案:
2

考向三 椭圆中的最值问题 x2 y2 [例 3] (2012 年高考浙江卷)如图,椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离 1 心率为2,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.

? (1)求椭圆C的方程; ? ?2+c?2+1= 10, ? ?(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程. ?c 1
?a=2, ?
?c=1, 解得? ?a=2.

[解析]

(1) 设 椭 圆 左 焦 点 为 F( - c,0) , 则 由 题 意 得

所以椭圆的方程为 x2 y2 4 + 3 =1.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的 条件不符,舍去.故可设直线 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0),
?y=kx+m, 由? 2 , 2 ?3x +4y =12

消去 y, 整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 则 Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0, ①

?x1+x2=- 8km 2, ? 3+4k ? 4m2-12 ?x1x2= . 3+4k2 ?

4km 3m ? ? , ?- 所以线段 AB 的中点为 M 3+4k2 3+4k2?. ? ? -2km 1 3m 因为 M 在直线 OP:y=2x 上,所以 = , 3+4k2 3+4k2 3 得 m=0(舍去)或 k=-2. 此时方程①为 3x2-3mx+m2-3=0,则

?x1+x2=m, ? 2 Δ=3(12-m )>0,? m2-3 ?x1x2= 3 . ?
39 所以|AB|= 1+k · 1-x2|= 6 · 12-m2, |x
2

|8-2m| 2|m-4| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= 2 = . 13 3 +22 设△ABP 的面积为 S,则 1 3 S=2|AB|· 6 · ?m-4?2?12-m2?, d= 其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2 3). 令 u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2 3,2 3], u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6) =-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7). 所以当且仅当 m=1- 7时,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7时,S 取到最大值.

综上,所求直线 l 的方程为 3x+2y+2 7-2=0.

y2 2 2.(2013 年兰州模拟)已知椭圆方程为 2 +x =1,斜率为 k(k≠0)的 直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 线与 y 轴相交于点 M(0,m). (1)求 m 的取值范围; (2)求△MPQ 面积的最大值.

解析:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+1,

?y=kx+1, ?2 由? y 可得(k2+2)x2+2kx-1=0. +x2=1, ?2 ?
-2k 1 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2=- 2 . k +2 k +2

4 可得 y1+y2=k(x1+x2)+2= 2 . k +2
? -k 2 ? ?, 设线段 PQ 的中点为 N,则点 N 的坐标为? 2 , 2 k +2 k +2? ?

2 m- 2 k +2 由题意有 kMN· k=-1,可得 · k=-1,可得 k k2+2 1 m= 2 , k +2 1 又 k≠0,所以 0<m<2.

(2)设椭圆的焦点为 F, 1 则 S△MPQ=2· |FM|· 1-x2|= 2m?1-m?3, |x 1 所以△MPQ 的面积为 2m?1-m?3(0<m<2). 设 f(m)=m(1-m)3,则 f′(m)=(1-m)2(1-4m).
?1 1? 1? ? ? 可知 f(m)在区间 0,4?上单调递增,在区间?4,2?上单调递减. ? ? ? ? ?1? 1 27 所以,当 m=4时,f(m)有最大值 f?4?=256. ? ? ? ? ? ? ? ?

1 3 6 即当 m=4时,△MPQ 的面积有最大值 16 .

【答题模板】 直线与椭圆的综合问题 【典例】 (16 分)(2012 年高考江苏卷)如图, 在平面直角坐标系 xOy x2 y2 中,椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).已知 点(1,e)和?e,
? ?

3? ?都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2?

(1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P. 6 (i)若 AF1-BF2= 2 ,求直线 AF1 的斜率; (ii)求证:PF1+PF2 是定值.

? 【思路导析】 (1)利用两点在椭圆上建立 方程,得出a2,b2即可; ? (2)利用直线AF1和直线BF2的平行关系,设 出直线方程,进而求得直线AF1 的斜率, 证明PF1+PF2是定值.

? 【名师点评】 解决直线与椭圆的综合问 题时,要注意以下几点: ? (1)注意观察应用题设中的每一个条件,明 确确定直线、椭圆的条件; ? (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次 方程后的运算能力,重视根与系数之间的 关系、弦长、斜率、三角形的面积等问 题.

x2 y2 1.(2012 年高考课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0) 3a 的左,右焦点,P 为直线 x= 2 上一点,△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三 角形,则 E 的离心率为( 1 A.2 3 C.4 ) 2 B.3 4 D.5

解析:利用椭圆的离心率概念结合图形求解. 由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30° ,∴∠PF2x=60° .
? 3 ∴|PF2|=2× 2a-c?=3a-2c. ? ? ? ? ? ?

∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c, c 3 ∴e=a=4.

答案:C

x2 2 2.(2012 年高考陕西卷)是已知椭圆 C1: 4 +y =1,椭圆 C2 是以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB=2OA, 求直线 AB 的方程.
解析:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 y2 x2 a2+ 4 =1(a>2), a2-4 3 3 其离心率为 2 ,故 a = 2 ,解得 a=4. y2 x2 故椭圆 C2 的方程为16+ 4 =1.

(2)解法一

A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),

→ → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 将 y=kx 代入 4 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 所以 x2 = A 4 . 1+4k2

y2 x2 将 y=kx 代入16+ 4 =1 中,得(4+k2)x2=16, 16 所以 . 4+k2 → =2OA,得 x2 =4x2 ,即 16 2= 16 2, → 又由OB B A 4+k 1+4k x2 = B
解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

解法二

A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),

→ → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 将 y=kx 代入 4 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 所以 . 1+4k2 16 16k2 2 2 → → 由OB=2OA,得 xB= ,y = . 1+4k2 B 1+4k2 x2 = A



y2 x2 2 2 xB,yB代入 + =1 16 4

4+k2 中,得 =1,即 1+4k2

4+k2=1+4k2, 解得 k=± 1.故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.

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