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浙江省温州市平阳县鳌江中学2013届高三数学(文)一轮复习全能测试 专题七 立体几何与空间向量


平阳县鳌江中学 2013 届高三一轮复习全能测试 专题七 立体几何与空间向量
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,

用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ; 球的表面积公式: S ? 4?R (其中 R 表示球的半径) ;
2

4 ? R 3 (其中 R 表示球的半径) ; 3 1 锥体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高) ; 3 柱体的体积公式 V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高) ; 1 台体的体积公式: V ? h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
球的体积公式: V ? (其中 S1 , S 2 分别表示台体的上,下底面积, h 表示台体的高) .

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求) 1、下列四个几何体中,各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是

A.①②

B.②③

C.②④

D.①③ ( )

2、已知?、?为不重合的两个平面,直线m??,那么? m⊥?? 是? ?⊥?? 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ( )

3、一空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为

A.

53 ? 3

B.

55 ? 3

C. 18?

D.

76 ? 3

4、 【2012 高考湖南文 4】某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不 . 可能 是 ..

5、下列等式中,使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是 A. OM ? 3OA ? 2OB ? OC C. OM ? OA ? OB ? OC ? 0 B. OM ?

1 1 1 OA ? OB ? OC 2 3 5

D. MA ? MB ? MC ? 0

6、 【2012 高考浙江文 5】 设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面 A. 若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β B. 若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β C. 若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β D. 若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β 7、 【2012 高考四川文 6】下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

AB ? 2 ,CC1 ? 2 2 , E 8、 【2012 高考全国文 8】已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1中 ,
为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为

(A) 2

(B) 3

(C) 2

(D) 1

9、如果三棱锥 S-ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点 S 在底面的射影 O 在△ABC 内,那么 O 是△ABC 的 ( ) A.内心 B.重心 C.外心 D.垂心 10、 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体,点 O 为正方体对角线的交点,过点 O 的任一平面 ? ,正 方体的八个顶点到平面 ? 的距离作为集合 A 的元素,则集合 A 中的元素个数最多为 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、 【2012 高考上海文 5】一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2? ,该圆柱的表面积为 12、一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 . 13 、在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2 , BC ? AA1 ? 1 ,则 D1C1 与 平面 A1BC1 所成角的正弦值为 ________ 14、二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2; 三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V= 四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3,猜想其四维测度 W ? 15、一空间几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为___ 16、如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上 的一点,则三棱锥 A ? DED1 的体积为_____.

4 3 πr ; 3



17、 已知四面体 ABCD 中, DA=DB=DC= 3 2 , 且 DA, DB, DC 两两互相垂直, 点 O 是△ABC 的中心,将△DAO 绕直线 DO 旋转一周,则在旋转过程中,直线 DA 与直线 BC 所成角的 余弦值的取值范围是 。

(第 17 题图)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、 (本题满分 14 分)一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组 拼?试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与 平面 ABC 所成二面角的余弦值.

19 、 ( 本 题 满 分 14 分 ) 如 图 , 已 知 等 腰 直 角 三 角 形 RBC , 其 中 ∠ RBC =90? ,

RB ? BC ? 2 .
点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点,现将△ RAD 沿着边 AD 折起到△ PAD 位置, 使 PA ⊥ AB ,连结 PB 、 PC . (1)求证: BC ⊥ PB ; (2)求二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值.

20、 (本题满分 14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 A1 BC ? 侧面 ABB1 A1 . (Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ)若直线 AC 与平面 A1 BC 所成角是 ? ,锐二面角 A1 ? BC ? A 的平面角是 ? ,试判 断 ? 与 ? 的大小关系,并予以证明.

A1 B1

C1

21、 (本题满分 15 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,且 PC⊥平面 ABCD, PC=AC=2,E 是 PA 的中点。 (1)求证:AC⊥平面 BDE; (2)若直线 PA 与平面 PBC 所成角为 30°,求二面角 P-AD-C 的正切值; (3)求证:直线 PA 与平面 PBD 所成的角φ 为定值,并求 sinφ 值。

P

E B C 20. (本题满分 15 分) 如下图(图 1)等腰梯形 PBCD,A 为 PD 上一点,且 AB⊥ PD,AB=BC,AD=2BC,沿着 AB 折叠使得二面角 P-AB-D 为 60 的二面角,连结 PC、PD, 在 AD 上取一点 E 使得 3AE=ED,连结 PE 得到如下图(图 2)的一个几何体.
?

A D

(1)求证:平面 PAB ? 平面 PCD; (2)求 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

P

A

D A
图1

E
图2

D

平阳县鳌江中学 2013 B C 届 高三一轮复习全能测试

B

C

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D D B C D A B 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。

11、 6?

13、

1 3

14、 2? r

4

15、 2 3

16、

? 1 6? 17、 ?0, ? 6 ? 3 ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、 (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底 面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的正方形,高为 CC1=6,故所求体积是

1 V ? ? 6 2 ? 6 ? 72 3

------------------------4 分

(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍,故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个 棱长为 6 的正方体,其拼法如图 2 所示. ------------6 分 证 明 : ∵ 面 ABCD 、 面 ABB1A1 、 面 AA1D1D 为 全 等 的 正 方 形 , 于 是

VC1 ? ABCD ? VC1 ? ABB1 A1 ? VC1 ? AA1D1D ,
故所拼图形成立.---8 分 (Ⅲ)以 C 为原点,CD、CB、CC1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立直角坐标系(如图 3) , C1 ∵正方体棱长为 6,则 E(0,0,3) ,B1(0,6,6) ,A(6,6,0). 设向量 n=(x,y,z) ,满足 n⊥ EB1 ,n⊥ AB1 ,

B1 A1

D1 C

?x ? z ?6 y ? 3 z ? 0 ? 于是 ? ,解得 ? 1 . y?? z ?? 6 x ? 6 z ? 0 ? 2 ?

---12 分

B 图2 z C1 A

D

取 z=2,得 n=(2,-1,2). 又 BB1 ? (0,0,6) ,

D1 G x D

B1 A1 H 图 A B y

E C

cos ? n, BB1 ??

n ? BB1 | n || BB1 |

?

12 2 ? 18 3

故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为

2 .------14 分 3 19、 (本题满分 14 分)解: (1)∵点 A、D 分别是 RB 、 RC 的中点, 1 ∴ AD // BC , AD ? BC . 2
∴∠ PAD ? ?RAD ? ?RBC =90?. ∴ PA ? AD . ∴ PA ? BC , ∵ BC ? AB, PA ? AB ? A , ∴ BC ⊥平面 PAB .

…… 2



…… 4

分 ∵ PB ? 平面 PAB , ∴ BC ? PB . 分 (2)法 1:取 RD 的中点 F ,连结 AF 、 PF . ∵ RA ? AD ? 1 , ∴ AF ? RC . ∵ AP ? AR, AP ? AD , ∴ AP ? 平面 RBC . ∵ RC ? 平面 RBC , ∴ RC ? AP . ∵ AF ? AP ? A, ∴ RC ? 平面 PAF . ∵ PF ? 平面 PAF , ∴ RC ? PF . ∴∠ AFP 是二面角 A ? CD ? P 的平面角. 分 在 Rt△ RAD 中, AF ?
D F

…… 6

P

C

…… 8 分

R

A

B

……10

1 1 2 , RD ? RA 2 ? AD 2 ? 2 2 2 PA 2 ? AF 2 ? 6 , 2

在 Rt△ PAF 中, PF ?

2 AF 3 cos ?AFP ? ? 2 ? . PF 3 6 2

……12

分 ∴ 二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值是 分 法 2:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . 则 D (-1,0,0) , C (-2,1,0) , P (0,0,1). ∴ DC =(-1,1,0) , DP =(1,0,1), ……8 分 设平面 PCD 的法向量为 n =(x,y,z) ,则:
P z

3 . 3

……14

?

C D

? ? ?n ? DC ? ? x ? y ? 0 , ? ? ? ? n ? DP ? x ? z ? 0
令 x ? 1 ,得 y ? 1, z ? ?1 , ∴ n =(1,1,-1).

……10 分

R x

A

B

y

?

显然, PA 是平面 ACD 的一个法向量, PA =( 0,0, ? 1 ) .

……12 分

? ? n ? PA 1 3 ? ? ∴cos< n , PA >= ? . 3 3 ?1 n ? PA
∴二面角 A ? CD ? P 的平面角的余弦值是 (本题满分 14 分) (1)证明:过 A 作 AD⊥ A1 B , ∵平面 A1 BC ? 侧面 ABB1 A1 ,∴AD⊥平面 A1 BC ,∴AD⊥BC, 分 由题得: A1 A ? 平面 ABC, ∴ A1 A ⊥BC, 分 ∴BC⊥平面 A1 AB ,∴BC⊥AB 分 (2)连接 CD,则由(1)知 ?ACD 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角, 分 …………8 …………6 …………4 …………2

3 . 3

……14 分

?ABA1 是二面角 A1—BC—A 的平面角,即 ?ACD ? ? , ?ABA1 ? ?


………10

在 Rt△ADC 中, sin? ?

AD AD ,在 Rt△ADB 中, sin ? ? , ………………12 分 AB AC

由 AC ? AB,得 sin ?<sin ?, 又 0<?,?< , 所以 ?<?, ………………14 分

? 2

21、 (本题满分 15 分)解: (1)设 CA 与 BD 相交于 O,连 EO, 由底面 ABCD 是菱形得 O 是中点,且 CA⊥BD, E 是 PA 的中点,得 OE//PC ∵ PC⊥平面 ABCD,∴OE⊥平面 ABCD ∴ OE⊥AC ∴ AC⊥面 BDE (4 分) (2)由上知,建立如图坐标系,设 BD=2a;

CP ? (0,0,2); CB ? (?a,1,0); PA ? (0,2,?2)
设平面的法向量为 m ? (x, y, z)

? ? m ? CP ? 0 ,令 x=1 得 m ? (1, a,0) ? ? m ? CB ? 0 ?
由题意 PA 与面 PBC 所成角为 30°,得: sin 30? ?| 解法一:当 a=1 时,底面 ABCD 是正方形,AD⊥CD ∵ PC⊥平面 ABCD ∴ PC⊥AD ∴ AD⊥面 PCD 则 PD⊥AD ∠PDC 是二面角 P-AD-C 的平面角,且 tan∠PDC = 2 解法二:当 a=1 时, 面 ACD 的法向量为(0,0,1) ,设面 PAD 的法向量为 n ? (x, y, z) (10 分)

2a a ?1? 2 2
2

| 得 a=1。 (8 分)

PD ? (1,1,?2); AD ? (1,?1,0);
? ? m ? PD ? 0 令 x=1,则 n ? (1,1,1) ? ? ?m ? AD ? 0
二面角 P-AD-C 的平面角为锐角θ ,cosθ =

1 3 ?1

,tanθ = 2

(10 分)

(3)设面 PBD 的法向量为 q ? (x, y, z)

PD ? (a,1,?2); BD ? (2a,0,0); PA ? (0,2,?2)

? ? m ? PD ? 0 令 z=1 得 q ? (0,2,1) ? ? ?m ? BD ? 0
则 sinφ = |

2 5?2 2

|?

10 为定值。 10

(15)

22、 (本题满分 15 分)解: (1)证明:? AB ? PA, AB ? AD ,又二面角 P-AB-D 为 60

?

? ?PAD ? 60? ,又 AD=2PA ? AP ? PD
有平面图形易知:AB ? 平面 APD,又 PD ? 平面APD ,? AB ? PD ,

? AP, AB ? 平面ABP,且 AP ? AB ? A
? PD ? 平面PAB,又 PD ? 平面PCD ,? 平面 PAB ? 平面 PCD---------7 分
(2)设 E 到平面 PBC 的距离为 h ,? AE//平面 PBC 所以 A 到平面 PBC 的距离亦为 h 连结 AC,则 VP ? ABC ? VA? PBC ,设 PA=2

P A E
图2

1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? 3 = ? ? 2? 7 ? h 3 2 3 2

D

?h ?

2 21 , 设 PE 与平面 PBC 所成角为 ? 7

2 3 h 2 7 ---------------15 ? 7 ? ? sin ? ? PE 7 3


B

C


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