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2014年全国高考试卷概率与统计部分汇编(下)


2014 年全国高考试卷概率与统计部分汇编(下)
1. (2014 山东理 7 文 8) k Pa ) 为研究某药品的疗效, 选取若干名志愿者进行临床试验, 所有志愿者的舒张压数据 (单位: 15) , [15 , 13) , [13 , 14) , [14 , 16) , [16 , 17] ,将其按从左到右的顺序分 的分组区间为 [12 , 别编号为第一组,第二组, . . . . . . ,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已 知第一组与第二组共有 20 人, 第三组中没有疗效的有 6 人, 则第三组中有疗效的人数为( ) A. 6 B. 8 C. 12 D.18
频率/组距 0.36

0.24 0.16 0.08 O 12 13 14 15 16 17 舒张压/kPa

【解析】 C 2. (2014 山东理 14) b 若 (ax 2 ? )6 的展开式中 x 3 项的系数为 20,则 a 2 ? b2 的最小值为_____. x 【解析】 2 3. (2014 山东理 18) B ,乙被划分为两 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域 A, D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一 个不相交的区域 C, 次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其它情况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明 1 1 回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点 2 3 1 3 B 上各一次,小明的两 在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A, 5 5 次回球互不影响.求: ⑴ 小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; ⑵ 两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望.

D C

A B

5 1 1 4 3 【解析】 ⑴设恰有一次的落点在乙上为事件 A , P ? A? ? ? ? ? ? 6 5 6 5 10 1,, 2 3,, 46 ⑵ ? 的可能取值为 0, 1 1 1 1 1 1 3 1 P ?? ? 0? ? ? ? , P ?? ? 1? ? ? ? ? ? 6 5 30 3 5 6 5 6 1 3 1 1 1 1 1 2 P ?? ? 2 ? ? ? ? , P ?? ? 3? ? ? ? ? ? 3 5 5 2 5 6 5 15

1 3 1 1 11 1 1 1 P ?? ? 4 ? ? ? ? ? ? , P ?? ? 6 ? ? ? ? 2 5 3 5 30 2 5 10 ? ? 的分布列为

?

0

1

2

3

4

6

4.

2 11 1 15 10 30 1 1 1 2 11 1 91 ? 其数学期望为 E ?? ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 30 6 5 15 30 10 30 (2014 山东文 16)

P

1 30

1 6

1 5

海关对同时从 A , B , C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品 的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品 进行检测. 地区 数量

A
50

B
150

C

100

⑴ 求这 6 件样品中来自 A , B , C 各地区商品的数量; ⑵ 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同地区的概 率. 【解析】 ⑴各地区抽取商品的比例为: A : B : C ? 50 :150 :100 ? 1: 3 : 2 1 3 2 按照分层抽样,各地区抽取商品数为: A : 6 ? ? 1, B : 6 ? ? 3, C : 6? ? 2 ; 6 6 6 ⑵设各地的样品为: A, B1, B2 , B3 , C1, C2 , 基本事件空间为: ? A, B1 ?, B2 ? , B3 ? , C1 ? , C2 ? , B2 ? ? ? B1 , B3 ? , ?A, ?A, ?A, ?A, ? B1 , 共 15 个. C1 ? , C2 ? , B3 ? , ? B2 , C1 ? , C2 ? , C1 ? , C2 ? , C2 ? , ? B1 , ? B1 , ? B2 , ? B2 , ? B3 , ? B3, ?C1 , 样本事件空间为: ? B1, B2 ?, B3 ?, B3 ?, C2 ? ? B1, ? B2 , ?C1 , 所以这两件商品来自同一地区的概率为: P ? 5.

4 . 15

(2014 陕西理 6) 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于 该正方形边 ... ) B.

长的概率为( 1 A. 5 【解析】 C

2 5

C.

3 5

D.

4 5
4 3 ? ,故选 C. C52 5

根据题意,2 个点的距离小于该正方形边长的有 4 对,故所求概率 P ? 1 ? 6.

(2014 陕西理 9) 设样本数据 x1 , x 2 ,…, x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi ? xi ? a ( a 为非零常数, i ?1 ,, 2? , 10 ) ,则 y , y ,…, y 的均值和方差分别为( )
1 2 10

A. 1 ? a ,4 B. 1 ? a , 4 ? a 【解析】 A Q x1,x2,…,x10 的均值 x ? 1 ,方差 s12 ? 4 ,且
yi ? xi ? a(i ? 1 ,2,…, 10), ? y1,y2,…,y10 的均值

C.1,4

D.1, 4 ? a

y?

1 1 1 ( y1 ? y2 ? …+ y10 ) ? ( x1 ? x2 ? …+ x10 ? 10a) ? ( x1 ? x2 ? … ? x10 ) ? a ? x ? a ? 1 ? a ,其 10 10 10

方差

7.

1 1 [( y1 ? y)2 ? ( y2 ? y)2 ? … ? (y10 ? y)2 ] ? [( x1 ? 1)2 ? ( x2 ? 1)2 ? … ? (x10 ? 1)2 ] ? s12 ? 4 . 10 10 (2014 陕西理 19) 在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这块地上的产量 均具有随机性,且互不影响,其具体情况下表:
2 s2 ?

作物产量 ? kg ? 概率 作物市场价格(元 /kg ) 概率

300 0.5 6 0.4

500 0.5 10 0.6

⑴ 设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; ⑵ 若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 ...2000 元的概率. 【解析】 ⑴ 设 A 表示事件“作物产量为 300kg ”, B 表示事件“作物市场价格为 6 元/ kg ”, 由题设知 P( A) ? 0.5,P( B) ? 0.4 ,
Q 利润 ? 产量 ? 市场价格 ? 成本,

500 ? 6 ? 1000 ? 2000 , ? X 所有可能的取值为 500 ? 10 ? 1000 ? 4000, 300 ? 10 ? 1000 ? 2000, 300 ? 6 ? 1000 ? 800 .

P( X ? 4000) ? P( A)P(B) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.4) ? 0.3 , P( X ? 2000) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? (1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.5 ? (1 ? 0.4) ? 0.5 ,
P( X ? 800) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2 ,

所以 X 的分布列为

X P

4000
0.3

2000
0.5

800
0.2

,2,3) , ⑵ 设 C i 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元” (i ? 1

由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由⑴知,
P(Ci ) ? P( X ? 4000) ? P( X ? 2000) ? 0.3 ? 0.5 ? 0.8(i ? 1 ,2,3) ,

3 季的利润均不少于 2000 元的概率为
P(C1C2C3 ) ? P(C1 )P(C2 )P(C3 ) ? 0.83 ? 0.512 ;

3 季中有 2 季利润不少于 2000 元的概率为

P(C1C2C3 ) ? P(C1 C2C3 ) ? P(C1C2 C3 ) ? 3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384 ,
所以这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.512 ? 0.384 ? 0.896 . 8. (2014 陕西文 6) 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方形边长 的概率为 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 【解析】 B 9. (2014 陕西文 9)

2 某公司 10 位员工的月工资(单位:元)为 x1,x2, ? x10 ,其均值和方差分别为 x 和 s ,若从下

月起每位员工的月工资增加 100 元,则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( A. x ,s ? 100
2 2

)

B. x ? 100 , s ? 100
2

2

C. x ,s

2

D. x ? 100 , s

2

【解析】 D 10. (2014 陕西文 19) 某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统 计如下 : 1000 2000 3000 4000 赔付金额 (元) 0 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 ⑴ 若每辆车的投保金额均为 2800 元,估计赔付金额大于投保金额的概率; ⑵ 在样本车辆中,车主是新司机的占 10% ,在赔付金额为 4000 的样本车辆中,车主是新司机 的占 20% ,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4000 元的概率. 【解析】 ⑴ 设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”, B 表示事件“赔付金额为 4000 元”,以频 150 120 率估计概率得 P ? A? ? ? 0.15 , P ? B ? ? ? 0.12 . 1000 1000 由于投保金额为 2800 元,赔付金额大于投保金额对应的情形是 3000 元和 4000 元,所以 其概率为 P ? A? ? P ? B ? ? 0.15 ? 0.12 ? 0.27 . ⑵ 设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000 元”,由已知,知样本中车辆中车主为新司机 的有 0.1 ? 1000 ? 100 辆, 而赔付金额为 4000 元的车辆中, 车主为新司机的有 0.12 ? 120 ? 24 辆, 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为 由频率估计概率得 P ? C ? ? 0.24 . 11. (2014 四川理 2) 在 x(1 ? x) 的展开式中,含 x3 项的系数为(
6

24 ? 0.24 , 100

) D. 10

A. 30 【解析】 C

B. 20

C. 15

2 4 含 x 3 项为 x(C6 1 ? x2 ) ? 15x3 .

12. (2014 四川理 6) 六个人从左至右排成一行, 最左端只能排甲或乙, 最右端不能排甲, 则不同的排法共有 ( A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种 【解析】 B 1 4 当最左端为甲时,不同的排法共有 A5 5 种;当最左端为乙时,不同的排法共有 C4 A 4 种.
1 4 ? 9 ? 24 ? 216 种. 共有 A5 5 ? C4 A 4



13. (2014 四川理 17) 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么 不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出 现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得 ?200 分) 。设每次击鼓出现音 乐的概率为

1 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2

⑴ 设每盘游戏获得的分数为 X ,求 X 的分布列; ⑵ 玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? ⑶ 玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减 少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【解析】 ⑴ X 可能取值有 ?200 ,10,20,100
0?1? P( X ? ?200) ? C3 ? ? ?2? 0

? 1? 1 1 ?1? ?1 ? ? ? , P( X ? 10) ? C3 ? ? 2 8 ? ? ?2?
1 3

3

1

? 1? 3 ?1 ? ? ? , ? 2? 8
0

2

2?1? P( X ? 20) ? C3 ? ? ?2?

2

? 1? 3 3?1? ?1 ? ? ? , P( X ? 100) ? C3 ? ? 2 8 ? ? ?2?
?200

? 1? 1 ?1 ? ? ? ? 2? 8

故分布列为

X
P

10

20

100

1 8

3 8

3 8

1 8

3 3 1 7 ⑵ 由⑴ 知:每盘游戏出现音乐的概率是 p ? ? ? ? 8 8 8 8
?7? 则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是 p1 ? 1 ? C30 ? ? ?8?
0

? 7 ? 511 . ?1 ? ? ? ? 8 ? 512

3

⑶ 由⑴ 知,每盘游戏获得的分数为 X 的数学期望是 1 3 3 1 5 E( X ) ? (?200) ? ? 10 ? ? 20 ? ? 100 ? ? ? 分 8 8 8 8 4 这说明每盘游戏平均得分是负分, 由概率统计的相关知识可知: 许多人经过若干盘游戏后, 与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少. 14. (2014 四川文 2) 在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5000 名居民某天的阅读时间,从中抽取了 200 名居民的 阅读时间进行统计分析.在这个问题中, 5000 名居民的阅读时间的全体是( ) A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 【解析】 A 15. (2014 四川文 16) 3, 一个盒子里装有三张卡片, 分别标记有数字 1 , 这三张卡片除标记的数字外完全相同. 随 2, 机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a , b , c . ⑴ 求“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”的概率; ⑵ 求“抽取的卡片上的数字 a , b , c 不完全相同”的概率. 【解析】 ⑴ 由题意知, ? a , b, c ? 所有可能的结果为 , , 1, 1? , 1, 2? , 1, 3? , 1? 3? , 3, 1? ?1, ?1, ?1, ?1,2 , ?1,2 ,2? ,?1,2 , ?1, 3, 2? , 3, 3? , 1, 1? , 1, 2? , ? 2 , 1, 3? , ?1, ?1, ?2 , ?2 , 1? , 3? , 3, 1? , 3, 2? , 3, 3? , 1, 1? , 1, 2? , ? 2 ,2 , ? 2 ,2 ,2? , ? 2 ,2 , ?2, ?2 , ?2 , ?3 , ?3 , 1, 3? , ? 3 ,2 , 1? , ? 3 , 2, 2? , 3? , 3, 1? , ? 3 , 3 ,2 ? , ? 3 , 3, 3? ,共 27 ?3 , ?3 ,2 , ?3 , 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”为事件 A , 则事件 A 包括 ?1, 1, 2 ? , ?1,2 , 3? , ? 2 , 1, 3? ,共 3 种. 所以 P ? A? ?

3 1 ? . 27 9

1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”的概率为 . 9

b, c 不完全相同”为事件 B , ⑵ 设“抽取的卡片上的数字 a ,

则事件 B 包括 ?1, 1, 1? , ? 2 ,2 ,2? , ? 3 ,3 ,3? ,共 3 种. 所以 P ? B ? ? 1 ? P B ? 1 ?

? ?

3 8 ? . 27 9

8 b, c 不完全相同”的概率为 . 因此,“抽取的卡片上的数字 a , 9 16. (2014 天津理 9 文 9) 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校 四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年 级、 四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6 , 则应从一年级本科生中抽取_____________名学生. 【解析】 60 4 由分层抽样方法知抽取人数应为 ? 300 ? 60 人 4?5?5?6 17. (2014 天津理 16) 某大学志愿者协会有 6 名男同学,4 名女同学.在这 10 个同学中,3 名同学来自数学学院, 其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名 同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) . ⑴ 求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率. ⑵ 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
【解析】 ⑴ 设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事件 A , 则 P( A) ?
2 0 3 C1 49 3 ? C7 ? C3 ? C7 ? . 3 C10 60

所以,选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为 ⑵ 随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.

49 . 60

P( X ? k ) ?

3? k Ck 4 ? C6 (k ? 0 , 1 ,2 , 3) . 3 C10

所以,随机变量 X 的分布列是

X
P

0

1

2

3

1 6

1 2

3 10

1 30

1 1 3 1 6 随机变量 X 的数学期望 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 6 2 10 30 5 18. (2014 天津文 15) 某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z ,其年级情况如下表:
一年级 男同学 女同学 二年级 三年级
C

A X

B Y

Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) ⑴ 用表中字母列举出所有可能的结果. ⑵ 设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的 概率. 【解析】 ⑴ 从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为

C? , Y? , C? , Y? , ? A ,B? , ?A, ? A ,X ? , ?A, ? A ,Z? , ?B , ?B ,X ? , ?B , ?B ,Z? , Y ? , ?C ,Z?, ?C ,X ? , ?C , ? X ,Y ?, ? X ,Z?, ?Y ,Z? ,共 15 种.

⑵ 选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果为
Y ? ,共 6 种. ? A,Y ?, ? A,Z?, ?B ,X ?, ?B ,Z?, ?C ,X ?, ?C ,

因此,事件 M 发生的概率 P ? M ? ? 评析

6 2 ? . 15 5

本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式

等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 19. (2014 新课标 1 理 5) 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益 活动的概率( ) A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

【解析】 D 20. (2014 新课标 1 理 13)

( x ? y)( x ? y)8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为

. (用数字填写答案)

【解析】 ? 20 21. (2014 新课标 1 理 18) 从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频 率分布直方图:
频率 组距

0.033

0.024 0.022

0.009 0.008 0.002 165 175 185 195 205 215 225 235 质量指标值

⑴ 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 2(同一组数据用该区间的中点值作代 表) ; ⑵ 由直方图可以认为, 这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其中 ? 近似为样本
2

平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s 2 . ① 利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; ② 某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数,利用( i )的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.

若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P(? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.
2

【解析】 ⑴ 抽取产品的质量指标值的样本平均数
x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33 ? 210 ? 0.24 ? 220 ? 0.08 ? 230 ? 0.02 ? 200

s2 ? ? ?30? ? 0.02 ? ? ?20? ? 0.09 ? ? ?10? ? 0.22 ?0 ? 0.33 ? 102 ? 0.24 ? 202 ? 0.08 ? 302 ? 0.02
2 2 2

⑵ (i)由⑴ 知, Z ~ ? 200,150? ,从而
P ?187.8 ? Z ? 212.2 ? ? P ? 200 ? 12.2 ? Z ? 200 ? 12.2 ? ? 0.6826 .

? 150

(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 . 依题意知 X ~ B (100,0.6826) ,所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26 . 22. (2014 新课标 1 文 13) 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为 ___________. 2 【解析】 3 设 2 本不同的数学书为 a1 、 a 2 ,1 本语文书为 b ,在书架上的排法有 a1a2 b , a1ba2 , a2 a1b ,
a2ba1 , ba1a2 , ba2 a1 ,共 6 种,其中 2 本数学书相邻的有 a1a2 b , a2 a1b , ba1a2 , ba2 a1 ,共 4 种,

因此 2 本数学书相邻的概率 P ?

4 2 ? . 6 3

23. (2014 新课标 1 文 18) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如 下频数分布表: 质量指标值 分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

⑴ 作出这些数据的频率分布直方图:
频率/组距 0.040 0.038 0.036 0.034 0.032 0.030 0.028 0.026 0.024 0.022 0.020 0.018 0.016 0.014 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 O

75

85

95

105

115 125 质量指标值

⑵ 估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; ⑶ 根据以上抽样调查数据, 能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品 至少要占全部产品的 80%”的规定?

【解析】 ⑴
频率/组距 0.040 0.038 0.036 0.034 0.032 0.030 0.028 0.026 0.024 0.022 0.020 0.018 0.016 0.014 0.012 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 O

75

85

95

105

115 125 质量指标值

⑵ 质量指标值的样本平均数为
x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 .质量指标值的样本方差为

s2 ? ? ?20? ? 0.06 ? ? ?10? ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? 102 ? 0.22 ? 202 ? 0.08 ? 104 .
2 2

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. ⑶ 质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38 ? 0.22 ? 0.08 ? 0.68 . 由于该估计值小于 0.8 ,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的 产品至少要占全部产品的 80%”的规定. 24. (2014 新课标 2 理 5) 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ,连续两天为优良的概 率是 0.6 ,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【解析】 A 25. (2014 新课标 2 理 13)

? x ? a?
【解析】

10

的展开式中, x7 的系数为 15,则 a ? ________.(用数字填写答案)

1 2 26. (2014 新课标 2 理 19) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y (单位:千元)的数据如下表:

年份 年份代号 t 人均纯收入 y

2007 1 2.9

2008 2 3.3

2009 3 3.6

2010 4 4.4

2011 5 4. 8

2012 6 5.2

2013 7 5.9

⑴ 求 y 关于 t 的线性回归方程; ⑵ 利用⑴ 中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
b?
?

? ?t
i ?1

n

i

?t
i

?? yi ? y ?
?t

? ?t
i ?1

n

?

? ? ? y ? bt ,a

2

1 【解析】 ⑴ 由所给数据计算得 t ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7) ? 4 , 7

1 y ? (2.9 ? 3.3 ? 3.6 ? 4.4 ? 4.8 ? 5.2 ? 5.9) ? 4.3 . 7

? (t
i ?1 7 i ?1

7

i

? t ) 2 ? 9 ? 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 9 ? 28 , ? t )( yi ? y ) ? (?3) ? (?1.4) ? (?2) ? (?1) ? (?1) ? (?0.7) ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.5 ? 2 ? 0.9 ? 3 ? 1.6
7

? (t

i

? 14,
b?

? (t
i ?1

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

14 ? 0.5 , a ? y ? bt ? 4.3 ? 0.5 ? 4 ? 2.3 , 28

所求回归方程为 y ? 0.5t ? 2.3 . ⑵ 由⑴ 知,b ? 0.5 ? 0 .故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均 每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t ? 9 代入⑴ 中的回归方程,得 y ? 0.5 ? 9 ? 2.3 ? 6.8 . 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 27. (2014 新课标 2 文 13) 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相 同颜色运动服的概率为_______. 1 【解析】 3 甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝 9 种,其中 颜色相同的有 3 种,所以所求概率为

3 1 ? . 9 3

28. (2014 新课标 2 文 19) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民.根据这 50 位市民对这两部 门的评分(评分越高表明市民的评价越高) ,绘制茎叶图如下: 甲部门 4 7 0 3 0 0 0 3 4 5 6 7 8 9 10 5 0 1 0 0 9 4 2 1 0 4 2 1 1 乙部门 8 4 5 6 6 7 7 7 8 9 2 3 4 6 8 8 1 3 4 4 9

9 7 6 6 5 3 3 9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 3 6 6 5 6 3

2 4 2 5 2

1 4 1 2 2

9 1 3 0 0 2

1 2 3 3 4 5 0 1 1 4 5 6 0 0 0

⑴ 分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; ⑵ 分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率; ⑶ 根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 【解析】 ⑴ 由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位 的是 75,75,故样本中位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75 . 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68,故样本中位 66 ? 68 数为 ? 67 ,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67. 2 5 8 ⑵ 由所给茎叶图知, 50 位市民对甲、 乙部门的评分高于 90 的比率分别为 ? 0.1 , ? 0.16 , 50 50

故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1 , 0.16 . ⑶ 由所给茎叶图知,市民对甲部门评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶 图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民 对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大. 29. (2014 浙江理 5) 在 (1 ? x)6 (1 ? y)4 的 展 开 式 中 , 记 xm y n 项 的 系 数 为 f (m ? n) , 则
f( , 3 ?0 f ), ? ( , 2f 1 )? ,f ( 1( ?2 ) ) ( 0 3 )

A.45 B.60 C.120 D.210 【解析】 C 6 4 m 在 ?1 ? x ? 的 展 开 式 中 , x m 的 系 数 为 C6 , 在 ?1 ? y ? 的 展 开 式 中 , yn 的 系 数 为 Cn ,故 4
m 2 f ? m,n? ? C6 ? Cn 0? ? C3 1? ? C6 ? C1 4 .从而 f ? 3, 6 ? 20 ,f ? 2 , 4 ? 60 ,
2 f ?1,2? ? C1 3? ? C3 6 ? C4 ? 36 ,f ? 0 , 4 ? 4 , 故选 C.

30. (2014 浙江理 9) 已知甲盒中仅有 1 个球且为红球, 乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球 ? m ≥ 3 ? n ≥ 3? , 从乙盒中随
2) 个球放入甲盒中. 机抽取 i(i ? 1,

(a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ?i (i ? 1, 2) ; (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi (i ? 1, 2) . 则( ) A. p1>p2 , E (?1 )<E (?2 ) C. p1>p2 , E (?1 )>E (?2 ) B. p1<p2 , E (?1 ) ? E (?2 ) D. p1<p2 , E (?1 )<E (?2 )

【解析】 A 当 i ? 1 时,若从乙盒中抽取的 1 个球为红球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 A1 , 则

P ? A1 ? ?

m . m?n
1 n n ? ? , 而 A1 与 A2 互斥, 2 m ? n 2?m ? n? n ? 2m .此时, ?1 的取值为 1 或 2, 2?m ? n?

若从乙盒中抽取的 1 个球为蓝球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 A2 , 则 P ? A2 ? ?

由 p1 ? P ? A1 ? A2 ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ?

P ??1 ? 1? ?

n n n m n ? 2m . ,P ??1 ? 2? = , 则 E ??1 ? ? 1? ? 2? ? m?n m?n m?n m?n m?n

当 i ? 2 时,若从乙盒中抽取的 2 个球都为红球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 B1 , 则
P ? B1 ? ? C2 m . C2 m?n

若从乙盒中抽取的 2 个球为 1 个红球和 1 个蓝球, 记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 B2 , 则 P ? B2 ? ?
C1 2 C1 n ? m . 3 C2 m? n

若从乙盒中抽取的 2 个球都是蓝球,记从甲盒中取 1 个球是红球的事件为 B3 ,
1 C2 则 P ? B3 ? ? ? n . 3 Cm ? n

因为 B1 ,B2 ,B3 互斥, 则 p2 ? P ? B1 ? B2 ? B3 ? ? P ? B1 ? ? P ? B2 ? ? P ? B3 ? ?
?
1 1 2 3C2 m ? 2Cm Cn ? Cn 3C2 m? n

3m2 ? 3m ? 4mn ? n2 ? n ? n ? 3m ?? m ? n ? 1? 3m ? n ? ? . 3 ? m ? n ?? m ? n ? 1? 3 ? m ? n ?? m ? n ? 1? 3 ? m ? n ?
n ? 0 , 即有 p1 ? p2 . 6 ? m ? n?
1 2 C2 C1 Cm n m Cn , P ? ? 2 ? , P ? ? 3 ? , ? ? ? ? 2 2 2 2 C2 Cm Cm m? n ?n ?n

则 p1 ? p2 ?

此时, ? 2 的取值为 1,2,3. P ??2 ? 1? ? 则 E ?? 2 ? ? 1 ?

1 2 1 1 2 C2 C1 Cm C2 n ? 3m n m Cn m ? 2Cm C n ? 3C m ? 2 ? ? 3 ? ? ? 3 p2 ? , 2 2 2 2 Cm ? n Cm ? n Cm ? n Cm ? n n?m

则有 E ??1 ? ? E ??2 ? , 综上, p1 ? p2 ,E ??1 ? ? E ??2 ? , 故选 A. 评析 本题考查随机事件和概率,组合数的计算,离散型随机变量的分布列和期望.考查分

类讨论思 想和运算求解的能力,属于难题. 31. (2014 浙江理 12)

1 随机变量 ? 的取值为 0,1,2,若 P(? ? 0) ? , 则 D(? ) =________. E(? ) ? 1, 5 2 【解析】 5 1 4 ?4 ? 设 P ?? ? 1? ? p , 则 P ?? ? 2? ? ? p , 从而由 E ?? ? ? 0 ? ? 1 ? p ? 2 ? ? ? p ? ? 1, 5 5 5 ? ?

3 1 3 1 2 2 2 2 .故 D ?? ? ? ? 0 ? 1? ? ? ?1 ? 1? ? ? ? 2 ? 1? ? ? . 5 5 5 5 5 32. (2014 浙江理 14) 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有_____种(用数字作答) .
得p? 【解析】 60 不同的获奖情况可分为以下两类:
2 2 ⑴ 有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有 C3 A4 ? 36 种获奖情

况.
3 ⑵ 有三个人各获得一张有奖奖券, 有 A4 故不同的获奖情况有 36 ? 24 ? 60 种. ? 24 种获奖情况.

33. (2014 浙江文 14) 在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张,另一张无奖.甲、乙两个各抽取 1 张,两人都中奖的概 率是____________. 1 【解析】 3 设 A 为一等奖奖券, B 为二等奖奖券, C 为无奖奖券,则甲、乙两人抽取的所有可能结果为 AB、BA、AC、CA、BC、CB ,共 6 种.而甲、乙两人都中奖的情况有 AB、BA ,共 2 种.故

2 1 所求概率为 = . 6 3

34. (2014 重庆理 3) 已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本的平均数 x ? 3 ? y ? 3.5 ,则由该观测数据算 得的线性回归方程可能为( A. y ? 0.4 x ? 2.3 C. y ? ?2 x ? 9.5 ) B. y ? 2 x ? 2.4 D. y ? ?0.3x ? 4.4

【解析】 A 35. (2014 重庆理 9) 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则同类 节目不相邻的排法种数是( ) A.72 B.120 C.144 D. 168 【解析】 B 36. (2014 重庆理 18) 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片, 其中 4 张卡片上的数字是 1, 3 张卡片上的数字是 2, 2 张卡片上的数字是 3,从盒中任取 3 张卡片. ⑴ 求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; ⑵X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望. b c 满足 a ≤ b ≤ c, (注:若三个数 a,, 则称 b 为这三个数的中位数) . 【解析】 ⑴ 由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P ? ⑵ X 的所有可能值为 1,2,3,且
P ? X ? 1? ?
1 3 1 1 2 1 3 C2 C1 17 43 4 C5 ? C 4 3 C4 C2 ? C3 C6 ? C3 ? P X ? 2 ? ? , , ? ? 3 3 C9 42 C9 84

3 C3 5 4 ? C3 ? . 3 C9 84

P ? X ? 3? ?

1 C2 1 2 C7 ? . 3 C9 12

故 X 的分布列为

X
P
从而 E ? X ? ? 1?

1 17 42

2 43 84

3 1 12

17 43 1 47 . ? 2 ? ? 3? ? 42 84 12 28

37. (2014 重庆文 3) 某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该 校学生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为() A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【解析】 A 38. (2014 重庆文 15) 某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30—7:50 之间到校,且每人在 该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为_____(用数 字作答) . 9 【解析】 32 39. (2014 重庆文 17) 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:

频率 y 7a 6a 组距

3a 2a 成绩(分) O 50 60 70 80 90 100 x

⑴ 求频率分布直方图中 a 的值; ⑵ 分别求出成绩落在 ?50, 60? 与 ?60, 70? 中的学生人数; ⑶ 从成绩在 ?50, 70? 的学生中任选 2 人,求此 2 人的成绩都在 ?60, 70? 中的概率. 【解析】 ⑴ 据题中直方图知组距 ? 10, 由 ? 2a ? 3a ? 6a ? 7a ? 2a ? ?10 ? 1 解得 ,

1 ? 0.005 . 200 ⑵ 成绩落在 ?50, 60 ? 中的学生人数为 2 ? 0.005 ? 10 ? 20 ? 2 , a?
成绩落在 ? 60, 70 ? 中的学生人数为 3 ? 0.005 ? 10 ? 20 ? 3 . ⑶ 记成绩落在 ?50, 成绩落在 ? 60, A2, B2, B3 , 60 ? 中的 2 人为 A1, 70 ? 中的 3 人为 B1, 则从成绩在 ?50, 70 ? 的学生中任选 2 人的基本事件共有 10 个:
A2 ?, B1 ?, B2 ?, B3 ?, B1 ?, B2 ?, B3 ?, B2 ?, B3 ?, B3 ? ,其中 2 ? A1, ? A1, ? A1, ? A1, ? A2, ? A2, ? A2, ? B1, ? B1, ? B2, 人的成绩都在 ? 60, 70 ? 中的基本事件有 3 个: ? B1, B2 ?, B3 ?, B3 ?, ? B1, ? B2,

故所求概率为 P ?

3 . 10



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