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高中试卷河北省正定中学2014-2015学年高二下学期第三次月考 数学


高二第二学期第三次月考 数学试题
一、选择题: 1.复数

3 ? 2i ?( 2 ? 3i

) C. 12 ? 13i D. 12 ? 13i

A. i

B. ?i

x 2.已知命题 p :对任意 x ? R ,总有 2 ? 0 , q :“ x ? 1 ”是“

x ? 2 ”的充分不必要条件,则下列命题为

真命题的是( A. p ? q

) B.

? ?p ? ? ? ?q ?
25 24
C.

C. ? ?p ? ? q )

D. p ? ? ?q ?

3.如图所示,程序框图的输出结果是( A.

1 6

B.

11 12

D.

3 4

4 .直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ( ) A. 2 2
2

B. 4 2

C. 2

D. 4

5. 设抛物线 y ? 8x 的焦点为 F , 准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l ,

A 为垂足,若直线 AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF ? (
A. 4 3 B. 8 C. 8 3
4

) D. 16 )

1? ? 6.已知等比数列 {an } 的第 5 项是二项式 ? x ? ? 展开式的常数项,则 a3 ? a7 ? ( x? ?

A. 6 B. 18 C. 24 7.如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a,动点 M、N、Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1 上.当 三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时,三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于( A. )
A1 M

D. 36
D1 Q C1

B1

N C

1 2 a 2

B.
2

1 2 a 4

D

正视方向
2
A B

C.

2a 4

D.

3a 4

图1

图2

8.甲、乙、丙三人投掷飞镖,他们的成绩(环数)如下面的频数条形统计图所示,则甲、乙、丙三人训 练成绩的方差 S甲2 、 S乙 2 、 S丙 2 的大小关系是( )
·1·

10 8 6 4 2

频数 6 6 6 6 6 6 6

10 8 6 4 2

频数 8 5 3

10 8 5 3 8 9

10 8 6 4 2

频数 8 5 3

10 8 5 3 8 9 环数

3 4 5 6 7 甲 A. S丙2 ? S乙2 ? S甲2 9.曲线 y ? A. ?

8 9

环数

3 4 5 6 7 乙

环数

3 4 5 6 7 丙

B. S甲2 ? S丙2 ? S乙2

C S丙2 ? S甲2 ? S乙2 )

D. S乙2 ? S丙2 ? S甲2

sin x 1 ?? ? ? 在点 M ? , 0 ? 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 ?4 ?
B.

2 2 D. 2 2 10.要分配甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学去参加三项不同的教学活动,其中活动一和活动二各要 2 人,

1 2

1 2

C. ?

活动三要 1人,每人只能参加一项活动,且甲,乙两人不能参加同一活动,则不同的分配方法有( 种 A. 24 11.过曲线 C1 : B. 36 C. 48 D. 60



x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,切点为 M , 2 a b 2 延长 F1M 交曲线 C3 : y ? 2 px ? p ? 0? 于点 N ,其中 C1 、 C3 有一个共同的焦点,若 MF 1 ? MN ,
则曲线 C1 的离心率为( A. ) B.

5

5 ?1

C.

5 ?1

D.

5 ?1 2


?1 ? x ? 1 , x ? ? ??, 2 ? ? 12.设函数 f ? x ? ? ? 1 ,则函数 F ? x ? ? xf ? x ? ?1 的零点的个数为( ? f ? x ? 2 ? , x ? ? 2, ?? ? ?2
A. 4 B. 5 二、填空题: 13. 根据如下样本数据 x 3 4 5 错误! 未找到 引用 0.5 源。 C. 6 D. 7

6

7 错误! 未找到 引用 2.0 源。

y

4.0

2.5

0.5

得到的回归方程为错误!未找到引用源。.若错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的值 为
·2·

? y ? 1, ? 14.设不等式组 ? x ? y ? 0, 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一点 M,则点 M 落在圆 ?x ? y ? 2 ? 0 ?

x 2 ? y 2 ? 1 内的概率为___________.
15.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为 .

a2 ? 7 , 若 f ( x) ? a ? 1 x

16. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序”.类似实数排序的定义,我们 定义“点序”记为“ ? ”:已知 M ( x1 , y1 ) 和 N ( x2 , y2 ) ,

M ? N ,当且仅当“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2 且

y1 ? y2 ”.定义两点的“ ? ”与“ ? ”运算如下: M ? N ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
则下面四个命题: ①已知 P(2015, 2014) 和 Q(2014, 2015) ,则 P ? Q ;

M ? N ? x1 x2 ? y1 y2 .

②已知 P(2015, 2014) 和 Q ( x, y ) ,若 P ? Q ,则 x ? 2015 ,且 y ? 2014 ; ③已知 P ? Q , Q ? M ,则 P ? M ; ④已知 P ? Q ,则对任意的点 M ,都有 P ? M ? Q ? M ; ⑤已知 P ? Q ,则对任意的点 M ,都有 P ? M ? Q ? M . 其中真命题的序号为 (把真命题的序号全部写出)

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a , b, c , 已知 3a cos A ? c cos B ? b cos C . (1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 1, cos B ? cosC ?

2 3 ,求边 c 的值. 3

18.(本小题满分 12 分)某市为了了解今年高中毕业生的体 能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测 试,成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据 进行整理后, 分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图), 已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14, 0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中 毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人中成绩不合格 的人 ...
·3·

数,求 X 的分布列及数学期望; 19. (本小题满分 12 分) 将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠, 使得平面 ABD⊥平面 CBD, AE⊥平面 ABD,且 AE= 2 . (Ⅰ)求 DE 与平面 BEC 所成角的正弦值; (Ⅱ)直线 BE 上是否存在一点 M,使得 CM∥平面 ADE,若存在,确定点 M 的位置,若不存在, 请说明理由. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,定点 M (2,0) ,椭 2 a b 3

圆短轴的端点是 B1 , B2 ,且 MB1 ? MB2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A ,B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 P , 使 VAPB 内切圆圆心的纵坐标为定值?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

1? x ? ln x . ax

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,求正实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? 1 , k ? R 且 k ? 最小值. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1: 几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线 PBC 交 圆 O 于点 B, C , ?APC 的平分线分别交 AB, AC 于点 D, E . (1)证明: ?ADE ? ?AED ; (2)若 AC ? AP ,求

1 1 ,设 F ( x) ? f ( x) ? (k ? 1) ln x ,求函数 F ( x ) 在 [ , e ] 上的最大值和 e e

PC 的值. PA

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, O 为极点,已知圆 C 的圆心为 (2,

?
3

) ,半径 r=1,P 在圆 C 上运动。

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位,且以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴)中, 若 Q 为线段 OP 的中点,求点 Q 轨迹的直角坐标方程。

·4·

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数

f ( x) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) .

(1)当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围. 高二数学第三次月考答案

ADCDB
13. ?

DBCBA
14.

DC

7 5

? 8

15. a ? ?

8 7

16.①③④

18. 解:(1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为
7 ? 50 (人). 0.14
14 7 7 ? ,∴ X ~ B (2, ) . 50 25 25

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). (2) X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
P( X ? 0) ? ( P( X ? 2) ? (

18 2 324 18 252 1 7 , P( X ? 1) ? C2 , ) ? ( )( ) ? 25 625 25 25 625 7 2 49 . ) ? 25 625

所求分布列为 X P 0
324 625

1
252 625

2
49 625

·5·

E( X ) ? 2 ?

7 14 ? 25 25

19.解: (Ⅰ) 以 A 为坐标原点 AB,AD,AE 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 E (0,0, 2) , B(2, 0, 0) , D(0, 2, 0) 且 AF ? CF ? 2 , 又? 平面BDA ? 平面BDC ? CF ? 平面BDA , 所以 C 的坐标为 C(1,1, 2)
? 设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y,z ) 则

做 BD 的中点 F 并连接 CF,AF;由题意可得 CF⊥BD

(Ⅱ)

20.

·6·

(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 椭圆 C 的方程联立,消去 x 得 (4m2 ? 9) y 2 ? 16my ? 20 ? 0 . 所以 y1 ? y2 ?
?16m ?20 , y1 y2 ? . 2 4m ? 9 4m 2 ? 9

将直线 AB 的方程与

若 VAPB 的内切圆圆心纵坐标为定值,则该定值必为 0 ,即 PM 平分 ?APB ,

? 直线 PA , PB 的倾斜角互补, ? k PA ? k PB ? 0 .
设 P(a, 0) ,则有
y1 y ? 2 ? 0 .将 x1 ? my1 ? 2 , x2 ? my2 ? 2 代入 x1 ? a x2 ? a

上式,整理得

2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ?0, (my1 ? 2 ? a)(my2 ? 2 ? a)

?16m ?20 , y1 y2 ? 代入上式, 2 4m ? 9 4m 2 ? 9 9 整理得 (?2a ? 9) ? m ? 0 . 由于上式对任意实数 m 都成立,所以 a ? . 2 9 综上,存在定点 P ( , 0) ,使 PM 平分 ?APB .即 VAPB 的内切圆圆心纵坐标为定值 0 2 ax ? 1 ( a ? 0) 21. (Ⅰ)解:由题设可得 f '( x) ? ax 2 因为函数 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数,

所以 2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ? 0 .将 y1 ? y2 ?

所以,当 x ? [1, ??) 时,不等式 f '( x) ? 因为,当 x ? [1, ??) 时,

1 ax ? 1 ? 0 即 a ? 恒成立 2 x ax

1 的最大值为 1,则实数 a 的取值范围是 [1, ??) x

(Ⅱ) 解: a ? 1 , f ( x) ?
F ( x) ?

1? x ? ln x x

1? x 1? x ? ln x ? (k ? 1) ln x ? ? k ln x x x
1 ?1 (1 ? x)' x ? (1 ? x) x ' k kx ? 1 ? ? 2 ,若 k ? 0 ,则 F '( x) ? 2 ,在 [ , e ] 上, 恒 2 e x x x x

所以, F ' ( x) ?

有 F '( x) ? 0 ,
1 所以 F ( x) 在 [ , e ] 上单调递减 e
·7·

F ( x) min ? F (e) ?

1? e 1 , F ( x) max ? F ( ) ? e ? 1 e e

综上所述:当 k ? 0 时, F ( x) min ?
1 且 k ? 时, F ( x)max e

1? e , F ( x)max ? e ?1 ;当 k ? 0 e 1 ? e ? k ?1, F ( x) min ? ? k ? 1. e

22. 解:(1)∵ PA 是切线,AB 是弦, ∴ ∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE, ∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE, ∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE, ∴ ∠ADE=∠AED.
·8·

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴△APC∽△BPA, ∴
PC CA ? , PA AB

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

1 ∴ ∠C=∠APC=∠BAP= ×90°=30°. 3
在 Rt△ABC 中,
PC CA CA ? = 3, ∴ = 3. PA AB AB

1

23 解: (Ⅰ)设圆上任一点坐标为 ( ? ,? ) ,由余弦定理得 12 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? cos( ? ?

?
3

)

? 所以圆的极坐标方程为 ? 2 ? 4 ? cos(? ? ) ? 3 ? 0 3
(Ⅱ)设 Q ( x, y ) 则 P(2 x,2 y) , P 在圆上,则 Q 的直角坐标方程为
1 3 2 1 (x ? )2 ? ( y ? ) ? 2 2 4

24 解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ; (2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,
? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,

不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,
? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]

∠AED=∠C+∠CPE,

∴ ∠ADE=∠AED.

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴△APC∽△BPA, ∴
PC CA ? , PA AB
·9·

∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP, 由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

1 ∴ ∠C=∠APC=∠BAP= ×90°=30°. 3
在 Rt△ABC 中,
PC CA CA ? = 3, ∴ = 3. PA AB AB

1

23 解: (Ⅰ)设圆上任一点坐标为 ( ? ,? ) ,由余弦定理得 12 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ? cos( ? ?

?
3

)

? 所以圆的极坐标方程为 ? 2 ? 4 ? cos(? ? ) ? 3 ? 0 3
(Ⅱ)设 Q ( x, y ) 则 P(2 x,2 y) , P 在圆上,则 Q 的直角坐标方程为
1 3 2 1 (x ? )2 ? ( y ? ) ? 2 2 4

24 解: (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 , 不等式的解集是以下不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ; (2)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,
? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,

不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R,
? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1]

·10·

-END-

-END-

·11·


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