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江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期阶段考试数学试卷


2016 届如东中学高三数学阶段测试
一.填空题: 1.已知集合 A ? ?1,3? , B ? ?2, x? ,若 A ? B ? {1, 2,3, 4} ,则 x ? 2.命题“ ?x ? 0, e ? x ? 1 ”的否定是
x



▲ ▲

3.已知函数 f ( x) ? x ? 2 xf

?(1), 则f ?(0) ?
2

4.已知函数 f ( x) ? e 围是 ▲

| x ? a|

( a 为常数) 。若 f ( x) 在区间 [1,??) 上是增函数,则 a 的取值范
3 x

5. 已知 a , 函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 在 ?0,1? 上的最大值为 4 , 则 f ( x) 在 ?? 1,0? b 为正实数, 上的最小值为 ▲

6.已知 ? ? (0, ? ), cos(? ?

?

3 ) ? ,则 tan ? = 4 5



7 . 若 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ( 0 , + ? ) 上 的 增 函 数 , 且 对 一 切 x>0,y>0 满 足

f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) ,则不等式 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (4) 的解集为
x



8. 已知过点 O 的直线与函数 y ? 3 的图象交于 A、B 两点,点 A 在线段 OB 上,过 A 作 y 轴的平行线交函数 y ? 9 的图象于 C 点,当 BC∥ x 轴,点 A 的横坐标是
x



9.设函数 D ( x) ? ?

?1,x为有理数 , 有下列四个结论: ?0,x为无理数

①D(x)的值域为{0,1};② D(x)是偶函数;③D(x)不是周期函数;④D(x)不是单 调函数;其中正确的是 ▲ (填序号) 10.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若同时满足条件:
x

① ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??, ?4) , f ( x) g ( x) ? 0 。则 m 的取值范围是 ▲ 11.在 ?ABC 中,若 tan A tan C ? tan B tan C ? 2 tan A tan B ,则 12.函数 f ( x) ? x cos x 2 在区间 [0, 4] 上的零点个数为 13.已知函数 f ( x) ? ? ▲ ▲

a2 ? b2 = ▲ c2

?log 2 x, x ? 0
x ?2 ,

x?0

则满足不等式 f ( f ( x)) ? 1 的 x 的取值范围是

14.设函数 f ( x) ? 2ax ? bx ? 3a ? 1 ,当 x ? [?4,4] 时, f ( x) ? 0 恒成立,则 5a ? b 的最
2

大值是


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二.解答题: 15 . 已 知 命 题 p : 函 数 y ? x ? mx ? 1 在 (?1, ??) 内 单 调 递 增 ; 命 题 q : 函 数
2

“p 且 q”为假,求实数 m y ? 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1大于 0 恒成立 ,若命题“p 或 q”为真, 的取值范围.

16.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,| ? |? 小正周期为

?
?
2

, x ? R) ,且函数 f ( x) 的最大值为 2,最 , 0)

?
2

,并且函数 f ( x) 的图像过点 (

24

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 f ( ) ? 2 , c ? 取值范围。

c 4

3 ,求 a ? 2b 的 2

17.如图(1) ,有一块形状为等腰直角三角形的薄板,腰 AC 的长为 a 米(a 为常数) ,现在 斜边 AB 上选一点 D,将△ACD 沿 CD 折起,翻扣在地面上,做成一个遮阳棚,如图(2). 设△BCD 的面积为 S,点 A 到直线 CD 的距离为 d. 实践证明,遮阳效果 y 与 S、d 的乘积 Sd 成正比,比例系数为 k(k 为常数,且 k>0). (1)设∠ACD= ? ,试将 S 表示为 ? 的函数; (2)当点 D 在何处时,遮阳效果最佳(即 y 取得最大值)? C D

?
S A D 图(1) B

C A 图(2)

B

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18.已知函数 f ( x ) ? log a (1) 求 m 的值;

1 ? mx x ?1

( a ? 0, a ? 1) 的图象关于原点对称.

(2)判断函数 f ( x) 在区间 ?1,?? ? 上的单调性并加以证明; (3)当 a ? 1, x ? (t , a )时, f ( x) 的值域是 (1,??) ,求 a 与 t 的值.

19. 已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? ln x ,
x

(1)求证: f ( x) ? x ? 1 ; (2)设 x0 ? 1 ,求证:存在唯一的 x0 使得 g(x)图象在点 A( x0 , g ( x0 ) )处的切线 l 与 y=f(x)图 象也相切; (3)求证:对任意给定的正数 a,总存在正数 x,使得 |

f ( x) ? 1 ? 1|? a 成立. x

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2 20.已知函数 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| .

(1)若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步 骤) .

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高三阶段测试(加试题)
21.已知函数 f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为 l ,若 l 与 直线 x-2y+2=0 垂直,求 a 的值.

22.设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 4 | ? a. (Ⅰ)当 a ? 1时, 求函数f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若 f ( x) ?

4 ? 1 对任意的实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围. a

23.在△ABC 中,BC= 2 ,AC=1,以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD(B 为直角顶点,C、 D 两点在直线 AB 的两侧) .当 ?C 变化时,求线段 CD 长的最大值为.

? 1 ? 1? ? x ? 2 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 24.函数 f ? x ? ? ? ,定义 f ? x ? 的第 k 阶阶梯函数 1 ? ? ?2?1 ? x ?, x ? ,1 ? ? ?2 ? ? ? k f k ? x ? ? f ? x ? k ? ? , x ? ?k , k ? 1? ,其中 k ? N * , 2 f ? x ? 的各阶梯函数图像的最高点 Pk ?a k , bk ? ,最低点 Qk ?c k , d k ?
(1)直接写出不等式 f ? x ? ? x 的解; (2)求证:所有的点 Pk 在某条直线 L 上. (3)求证:点 Qk 到(2)中的直线 L 的距离是一个定值.

高三数学阶段测试参考答案
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1. 4

2. ?x ? 0, e ? x ? 1
x

3. -4

4. (??,1] 11. 2 12.6

5. ?

3 2

6. 1/7 7. (0,2) 14. 2

8. log 2 3

9.①②④

10 (?4, ?2)

13. (4, ??)

15.解:p 为真得 m ? 2 ,……3 分;q 为真得 1<m<3,………6 分 p 真 q 假得 m ? 3 ……..9 分;p 假 q 真得 1<m<2………12 分 综上得 m ? (1, 2) ? [3, ??) …….14 分 16.答案: (1) f ( x) ? 2sin(4 x ? (2) a ? 2b ? 3 sin( B ? ∴ a ? 2b ? ( 17. (1)△BCD 中 ∴

?
6

)

?
6

)(0 ? B ?

?
3

C

D

)

?
S

3 , 3) 2

C A 图(2)

B

A

BC CD , ? sin ?CDB sin ?B

D 图(1)

B

a CD ,∴ CD ? ? ? sin(? ? 45 ) sin 45 ?

a 2 sin(? ? 45 ? )

????4 分

∴S ?

2a 2 cos ? 1 , 0 ? ? ? 90 ? ??6 分(其中范围 1 分) BC ? CD ? sin ?BCD ? ? 2 4 sin(? ? 45 )

(2) d ? a sin ? ????8 分

y ? kSd ?

ka 3 sin ? cos ? 2ka 3 sin ? cos ? ? ??????10 分 2(sin ? ? cos ? ) 4 sin(? ? 45 ? )

t 2 ?1 令 sin ? ? cos ? ? t ,则 t ? (1, 2 ] , sin ? cos ? ? 2
∴y?

ka 3 (t 2 ? 1) ka 3 1 ? (t ? ) 在区间 (1, 2 ] 上单调递增,????12 分 4t 4 t

∴当 t ?

2 时 y 取得最大值,此时 ? ?

?
4



即 D 在 AB 的中点时,遮阳效果最佳.??????14 分 18 . 解 : ( 1 ) 因 为 函 数 f ( x ) ? log a
1 ? mx x ?1 (a ? 0, a ? 1) 的 图 象 关 于 原 点 对 称 , 所 以

f (? x) ? f ( x) ? 0 即 log a

1 ? mx 1 ? mx (1 ? mx)?1 ? mx ? ? log a ? log a ?0, ? x ?1 x ?1 (? x ? 1)( x ? 1)

(1 ? mx)?1 ? mx ? ? 1 ,得 m 2 ? 1, m ? 1 或 m ? ?1 ……………………………………….3 分 (? x ? 1)( x ? 1)
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当 m ? 1 时,

1 ? mx ? ?1 ? 0 舍去; x ?1

当 m ? ?1 时,

1 ? mx 1 ? x 1? x ,令 ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 1 . x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ,任取 1 ? x1 ? x 2 , x ?1

所以符合条件的 m 值为-1 …………………………………………………………………5 分 (2)由(1)得 f ( x) ? log a

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? log a

?x ? 1??x1 ? 1? x2 ? 1 x ?1 ? log a 1 ? log a 2 ……………………6 分 ?x2 ? 1??x1 ? 1? x2 ? 1 x1 ? 1

?1 ? x1 ? x 2
∴0 ?

∴ ? x 2 ? 1?? x1 ? 1? ? ? x 2 ? 1?? x1 ? 1? ? 2( x1 ? x 2 ) ? 0 ,

?x2 ? 1??x1 ? 1? ? 1 ………………………………………………………………….9 分 ?x2 ? 1??x1 ? 1?

∴当 0 ? a ? 1 时, log a

?x2 ? 1??x1 ? 1? ? 0 即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,此时 f ( x) 为增函数; ?x2 ? 1??x1 ? 1?

当 a ? 1 时, log a

?x2 ? 1??x1 ? 1? ? 0 即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,此时 f ( x) 为减函数…12 分 ?x2 ? 1??x1 ? 1?

(3)由(2)知,当 a ? 1 时 f ( x) 在 (1,??) 上为减函数;同理在 (??,?1) 上也为减函数 当 (t , a ) ? (??,?1) 时, f (a ) ? f ( x) ? f (t ) ? 0 与已知矛盾,舍去;………………14 分 当 (t , a ) ? (1,??) 时,因为函数 f ( x) 的值域为 (1,??) ∴ f (a ) ? 1 ,解得 t=1, a ? 1 ?
x

2 ……………………………………16 分

19. (1)令 F ? x ? ? e ? x ? 1, x ? R ,

? F '? x ? ? ex ?1 ? 0 得 x ? 0 ,
? 当 x ? 0 时 F ' ? x ? ? 0, F ? x ? ? ; 当 x ? 0 时 F ' ? x ? ? 0, F ? x ? ? ;

? F ? x ?min ? F ? 0 ? ? 0 ,

由最小值定义得 F ? x ? ? F ? x ?min ? 0 即 e x ? x ? 1 ?????????????(4 分) (2) g ? x ? 在 x ? x0 处切线方程为 y ?

x x 设直线 l 与 y ? e 图像相切于点 x1 , e 1 ,则 l : y ? e 1 x ? e 1 ?1 ? x1 ?

?

?

1 x ? ln x0 ? 1 x0
x


x

②??(6 分)

?1 x1 ③ ?x ? e 由①②得 ? 0 ④ ?ln x ? e x1 ?1 ? x ? 1 ? 0

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? ln x0 ?

下证 x0 在 ?1, ?? ? 上存在且唯一. 令 G ? x ? ? ln x ?

x0 ? 1 ?0 x0 ? 1



x2 ? 1 x ?1 , G ' x ? ?0 x ? 1 ? ? ? ? 2 x ?1 x ? x ? 1?

? G ? x ? 在 ?1, ?? ? 上 ? .
?2 e2 ? 3 ? 0, G ? e 2 ? ? 2 ? 0, G ? x ? 图像连续,? 存在唯一 x0 ? ?1, ?? ? 使⑤式 e ?1 e ?1 成立,从而由③④可确立 x1 .故得证????????????????????(10 分)
又 G ?e? ? (1) 由(1)知

? 0, ?? ? 上有解. x 令 H ? x ? ? e ? ax ? x ? 1 ,即证 H ? x ?min ? 0 ???????????????(12 分) x 由 H ' ? x ? ? e ? a ? 1 ? 0 得 x ? ln ? a ? 1? ? 0 . 当 0 ? x ? ln ? a ? 1? 时, H ' ? x ? ? 0, H ? x ? ? , 当 x ? ln ? a ? 1? 时, H ' ? x ? ? 0, H ? x ? ? . ? H ? x ?min ? H ? ln ? a ? 1? ? ? a ? 1 ? a ln ? a ? 1? ? ln ? a ? 1? ? 1 . 令 V ? x ? ? x ? x ln x ? 1 ,其中 x ? a ? 1 ? 1 则 V ' ? x ? ? 1 ? ?1 ? ln x ? ? ? ln x ? 0 ,?V ? x ? ? ?V ? x ? ? V ?1? ? 0 .
综上得证???????????????????????????????(16 分)
2 20.解(1)方程 | f ( x) |? g ( x) ,即 | x ? 1|? a | x ? 1| ,变形得 | x ? 1| (| x ? 1| ? a) ? 0 ,

f ? x? ?1 ? 1 ? 0 即证当 a ? 0 时不等式 e x ? 1 ? x ? ax 即 e x ? ax ? x ? 1 ? 0 在 x

显然, x ? 1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x ? 1|? a , 有且仅有一个等于 1 的解或无解, 结合图形得 a ? 0 . .... 4 分

2 (2)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,

①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ;

②当 x ? 1 时, (*)可变形为

a?

x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), x2 ? 1 ? ( x) ? ?? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). | x ? 1| ,令

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 . ?????????8 分

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? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥ 1), ? 2 ?? x ? ax ? a ? 1, (?1 ≤ x ? 1), ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). 2 (3)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x ? 1| ? a | x ? 1| = ? ?10 分

a ? 1, 即a ? 2 ①当 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增,
且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

a a 0 ≤ ≤ 1, 即0 ≤ a ≤ 2 [? ,1] h ( x ) [ ? 2, ? 1] 2 ②当 时,结合图形可知 在 , 2 上递减, a a a2 [?1, ? ] h( ? ) ? ? a ?1 2 , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , 2 4 在 ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

③当

?1 ≤

a a ? 0, 即- 2 ≤ a ? 0 [? ,1] 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ?1] , 2 上递减,

a a a2 [?1, ? ] h( ? ) ? ? a ?1 2 , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , 2 4 在 ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

3 a a a ? ≤ ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 [?2, ] [1, ? ] h ( x ) 2 , 2 上递减, ④当 2 2 时,结合图形可知 在 a a [ ,1] [? , 2] 在 2 , 2 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3 ≥ 0 ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

a 3 ? ? , 即a ? ?3 2 当2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增,
故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 . 综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.???????????????16 分

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21. 0 22. (Ⅰ)4, (Ⅱ)2 或 a<=0 23. 设 ?CBA ? ? , AB ? BD ? a , 则 在 三 角 形 BCD 中 , 由 余 弦 定 理 可 知
2 CD 2 ? 2 ? a 2 ? 2 2 sin ? , 在 三 角 形 ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 知 cos ? ? a ? 1 , 可 得 2 2a

4 2 sin ? ? ?a ? 6a ? 1 ,所以 CD 2 ? 2 ? a 2 ? ?a 4 ? 6a 2 ? 1 ,令 t ? 2 ? a 2 ,则 2 2a

CD 2 ? t ? ?t 2 ? 10t ? 17 ? t ? ?(t ? 5) 2 ? 8 ≤ 2 ? (t ? 5) 2 ? [?(t ? 5) 2 ? 8] ? 5 ? 9 ,
当 (t ? 5) 2 ? 4 时等号成立.(导数,判别式也可以),CD 最大值=3. 24. (1) ? ,1? 3 -------------------3 分

?2 ? ? ?

? 1 ? 3k ?x ? 2 , ? (2)∵ f k ? x ? ? ? ?2?1 ? x ? ? k , ? 2 ?
-------------------5 分

1? ? x ? ? k, k ? ? 2? ? ,k ? N* 1 ? ? x ? ?k ? , k ? 1? 2 ? ?

1? ? x ? ? k , k ? ?是增函数 2? ? 1 ? ? x ? ?k ? , k ? 1?是减函数 2 ? ? 1 k? ? ∴ f ? x ? 的第 k 阶阶梯函数图像的最高点为 Pk ? k ? ,1 ? ? 2 2? ?
-------------------6 分

? 1 ? 3k ?x ? 2 , ? f k ?x ? ? ? ?2?1 ? x ? ? k , ? 2 ?

3 k ?1? ? ,1 ? ? 2 2 ? ? 1 所以过 Pk Pk ?1 这两点的直线的斜率为 ? . 2 1 同理可得过 Pk ?1 Pk ? 2 这两点的直线的斜率也为 ? . 2 所以 f ? x ? 的各阶阶梯函数图像的最高点共线. 1? 1? 直线方程为 y ? 1 ? ? ? x ? ? 即 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 …8 分 2? 2? 2?k ? 1? ? 2k ? 5 3 5 ?k? ? ? (3)同理最低点: Qk ? k ? 1, ? ,d ? 10 2 ? ? 22 ? 42
第 k ? 1 阶阶梯函数图像的最高点为 Pk ?1 ? k ?

…10 分

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