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【考前三个月】2015届高考数学(人教理科)必考题型过关练:专题2 第6练(处理好“线性规划问题”的规划)


第6练

处理好“线性规划问题”的规划

[内容精要] 线性规划问题与实际生产、生活联系较为紧密,也是与新课标高考的要求一脉相 承,也是历年高考考查的重点.其在命题中主要以选择题或填空题的形式出现,命题的重点 主要有以下四个方面:一是不等式组所表示的平面区域问题;二是简单线性规划问题的最优 解问题;三是简单线性规划问题在实际生产、生活中的应

用,四是简单线性规划与其他的知 识的综合.

题型一 不等式组所确定的区域问题 x-2≤0, ? ? 例 1 已知点 M(x,y)的坐标满足不等式组?y-1≤0, ? ?x+2y-2≥0, 面积 S 的大小是( )

则此不等式组确定的平面区域的

A.1 B.2 C.3 D.4 破题切入点 先画出点 M(x,y)的坐标满足的可行域,再研究图形的形状特征,以便求出其面 积. 答案 A 解析 作出不等式组 x-2≤0, ? ? ?y-1≤0, ? ?x+2y-2≥0

表示的平面区域,

1 如图所示,则此平面区域为△ABC 及其内部,且点 A(2,0),B(0,1),C(2,1),于是,S= ×2×1 2 =1.故选 A. 题型二 求解目标函数在可行域中的最值问题 x+y≤2, ? ? 例 2 若变量 x, y 满足约束条件?x≥1, ? ?y≥0,

则 z=2x+y 的最大值与最小值的和为________.

破题切入点 先根据已知约束条件画出可行域,再利用目标函数 z=2x+y 的几何意义,即可 求得最大值与最小值. 答案 6 解析 画出可行域,如图所示,由图象, 可得当 y=-2x+z 经过点 B(2,0)时,zmax=4;

-1-

当 y=-2x+z 经过点 A(1,0)时,zmin=2.故填 6. 题型三 利用线性规划求解实际应用题 例 3 某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 人旅行,A,B 两种客车的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( A.31 200 元 C.36 800 元 B.36 000 元 D.38 400 元 )

破题切入点 设租用 A,B 两种型号的客车分别为 x 辆,y 辆,总租金为 z 元,可得目标函数 z=1 600x+2 400y.结合题意,建立关于 x,y 的不等式组,计算 A,B 型号客车的人均租金, 可得租用 B 型车的成本比 A 型车低,因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用 B 型车, 可使总租金最低. 答案 C 解析 设租用 A,B 两种型号的客车分别为 x 辆,y 辆, 所用的总租金为 z 元,则 z=1 600x+2 400y, 36x+60y≥900, ? ? 其中 x,y 满足不等式组?y-x≤7, ? ?y+x≤21. 画出可行域,可知在 x=5,y=12 时, 可载客 36×5+60×12=900(人), 符合要求且此时的总租金 z=1 600×5+2 400×12=36 800,达到最小值.故选 C. 题型四 简单线性规划与其他知识的综合性问题 y≤3x-2, ? ? 例 4 设变量 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0, ? ?2x+y≤8, A.[0,1-2lg 2] 1 C.[ ,lg 2] 2 5 B.[1, ] 2 D.[-lg 2,1-2lg 2] y+1 ,利用数形结合的方 x

(x,y∈N)

则 lg(y+1)-lg x 的取值范围为(

)

破题切入点 先画出不等式组所确定的可行域,将目标函数化为 lg y+1 法解 t= 的最值,然后确定目标函数的最值,从而求其范围. x 答案 A

-2-

y≤3x-2, ? ? 解析 如图所示,作出不等式组?x-2y+1≤0, ? ?2x+y≤8 因为 lg(y+1)-lg x =lg y+1 y+1 ,设 t= , x x

确定的可行域.

显然,t 的几何意义是可行域内的点 P(x,y)与定点 E(0,-1)连线的斜率. 由图,可知点 P 在点 B 处时,t 取得最小值; 点 P 在点 C 处时,t 取得最大值.
? ? ?x-2y+1=0, ?x=3, 由? 解得? 即 B(3,2); ?2x+y=8, ?y=2, ? ? ?y=3x-2, ?x=2, ? ? 由? 解得? 即 C(2,4). ?2x+y=8, ?y=4, ? ?

故 t 的最小值为 kBE=

2-?-1? =1, 3

4-?-1? 5 t 的最大值为 kCE= = , 2 2 5 所以 t∈[1, ]. 2 又函数 y=lg x 为(0,+∞)上的增函数, 5 所以 lg t∈[0,lg ], 2 5 即 lg(y+1)-lg x 的取值范围为[0,lg ]. 2 5 而 lg =lg 5-lg 2=1-2lg 2, 2 所以 lg(y+1)-lg x 的取值范围为[0,1-2lg 2]. 故选 A. 总结提高 (1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础. (2)求解线性目标函数的最大值或最小值时, 一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线 y =kx,再平移此直线. (3)求解线性规划应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出线性约束条件;③建立目标函数; ④求出最优解;⑤转化为实际问题.

?y≥|x-1|, ? 1.实数 x,y 满足? 则不等式组所围成图形的面积为( ? ?y≤1,

)

-3-

A.4 1 C. 2 答案 D 解析 实数 x,y 满足
?y≥|x-1|, ? ? ?y≤1, ?

B.2 D.1

它表示的可行域如图所示. 不等式组所围成的图形是三角形,其三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,1),(2,1), 1 所以所围成图形的面积为 ×2×1=1.故选 D. 2 x+y≥2, ? ? 2.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2 → → 则OA· OM的取值范围是( )

上的一个动点,

A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2] 答案 C → → 解析 作出可行域,如图所示,由题意OA· OM=-x+y. 设 z=-x+y,作 l0:x-y=0,易知,过点(1,1)时 z 有最小值,zmin=- → → 1+1=0;过点(0,2)时 z 有最大值,zmax=0+2=2,∴OA· OM的取值范 围是[0,2]. y≤x, ? ? 3.(2014· 广东)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, m 和 n,则 m-n 等于( A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B 解析 画出可行域,如图阴影部分所示. 由 z=2x+y,得 y=-2x+z.
?y=x, ?x=-1, ? ? 由? 得? ? ? ?y=-1 ?y=-1,

且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为

)

∴A(-1,-1).
? ? ?x+y=1, ?x=2, 由? 得? ?y=-1 ?y=-1, ? ?

-4-

∴B(2,-1). 当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,zmin=2×(-1)-1=-3=n.当直线 y=-2x+z 经过点 B 时, zmax=2×2-1=3=m,故 m-n=6. y≥x, ? ? 4.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ? ?x+y≤1 围为( ) B.(1+ 2,+∞) D.(3,+∞)

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范

A.(1,1+ 2) C.(1,3) 答案 A

1 z 1 解析 变形目标函数为 y=- x+ ,由于 m>1,所以-1<- <0,不等 m m m 式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.根据目标函数的几何意义,只 1 z 有直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距最大时,目标函数取得最大值.显然 m m
?y=mx, 1 m ? 1 在点 A 处取得最大值, 由? 得交点 A?1+m,1+m?, 所以目标函数的最大值是 ? ? 1 + m ? x + y = 1 , ?



m2 <2,即 m2-2m-1<0, 1+m

解得 1- 2<m<1+ 2,故 m 的取值范围是(1,1+ 2). y≤x, ? ? 5.若 P 是满足不等式组?x+y-2≤0, 表示的平面区域内的任意一点,点 P 到直线 3x+4y ? ?y>0 -12=0 的距离为 d,则 d 的取值范围是( )

12 12 6 3 A.[1, ] B.[1, ) C.(1, ) D.( ,1] 5 5 5 4 答案 B 解析 作出可行域为△AOB(但不包括 OB 上的点)及直线 3x+4y-12 =0,如图所示. 结合图形,可知点 A(1,1)到直线 3x+4y-12=0 的距离最小, 最小值 dmin= |3+4-12| =1; 5

原点 O(0,0)到直线 3x+4y-12=0 的距离最大, 最大值 dmax= |0×3+0×4-12| 12 = . 5 5

12 又 y>0,所以 d∈[1, ). 5
-5-

2x-y+1>0, ? ? 6.设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0 =2,则 m 的取值范围是( 4 A.(-∞,- ) 3 2 C.(-∞,- ) 3 答案 C )

表示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0

1 B.(-∞, ) 3 5 D.(-∞,- ) 3

解析 问题等价于直线 x-2y=2 与不等式组所表示的平面区域存在公共 点,由于点(-m,m)不可能在第一和第三象限,而直线 x-2y=2 经过第 一、三、四象限,则点(-m,m)只能在第四象限,可得 m<0,不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示,要使直线 x-2y=2 与阴影部分 2 有公共点,则点(-m,m)在直线 x-2y-2=0 的下方,故-m-2m-2>0,即 m<- . 3 x-y+2≥0, ? ? 7.设变量 x,y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ? ?x+y-8≤0, 答案 3 3 1 解析 如图所示,作出不等式组所表示的可行域,故当直线 y= x- z 4 4 在 x 轴上的截距取得最大值时,目标函数取得最大值.由图,可知当 y
?x-5y+10=0, ?x=5, ? ? 3 1 = x- z 经过点 C 时 z 取得最大值, 由? 解得? 4 4 ?x+y-8=0, ?y=3, ? ?

则目标函数 z=3x-4y 的最大值为________.

即 C(5,3),故目标函数的最大值为 z=3×5-4×3=3. x≤1, ? ? 8.已知不等式组?x+y+2≥0, ? ?kx-y≥0 值时,k 的值为________. 答案 1 解析 依题意作图, 如图所示, 要使平面区域 Ω 的面积最小, 即使 S△OAD +S△OBC 最小,又直线 x+y+2=0 与 y 轴的交点的坐标为 A(0,-2),直 2 2k 线 x+y+2=0 与 y=kx 的交点的坐标为 D(- ,- ),直线 y=kx k+1 k+1 与 x=1 的交点的坐标为 C(1,k),k≥0,

表示的平面区域为 Ω,其中 k≥0,则当 Ω 的面积取得最小

-6-

k+1 1 1 1 2 1 2 1 k 1 2 1 所以 S△OAD+S△OBC= |OA|· |xD|+ |OB|· |yC|= + · k= + + - = + - ≥2- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k+1 k+1 k+1 k+1 3 2 = ,当且仅当 = 时取等号,即 k=1 或 k=-3(舍去). 2 2 k+1 所以满足条件的 k 的值为 1. 9.4 件 A 商品与 5 件 B 商品的价格之和不小于 20 元,而 6 件 A 商品与 3 件 B 商品的价格之 和不大于 24,则买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品至少需要________元. 答案 22 解析 设 1 件 A 商品的价格为 x 元,1 件 B 商品的价格为 y 元,买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品需要 z 元,则 z=3x+9y,其中 x,y 满足不等 4x+5y≥20, ? ?6x+3y≤24, 式组? x≥0, ? ?y≥0,

作出不等式组表示的平面区域,如图所示,其

10 4 中 A(0,4),B(0,8),C( , ). 3 3 1 1 当 y=- x+ z 经过点 C 时,目标函数 z 取得最小值. 3 9 所以 zmin=3× 10 4 +9× =22. 3 3 10 4 元,1 件 B 商品的价格为 元时,可使买 3 件 A 商品与 9 件 B 商 3 3

因此当 1 件 A 商品的价格为

品的费用最少,最少费用为 22 元. 2x-y+2≥0, ? ?8x-y-4≤0, 10.设 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 则 a+b 的最小值为________. 答案 4 解析 由 z=abx+y,得 y=-abx+z,所以直线的斜率为-ab<0,作出 可行域,如图,由图象,可知当 y=-abx+z 经过点 B 时,z 取得最大值.
? ? ?2x-y+2=0, ?x=1, 由? 得? ?8x-y-4=0, ?y=4, ? ?

若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为 8,

即 B(1,4), 代入 z=abx+y=8, 得 ab+4=8, 即 ab=4, 所以 a+b≥2 ab =4,当且仅当 a=b=2 时取等号,所以 a+b 的最小值为 4.

-7-

x+4y≥4, ? ? 11.给定区域 D:?x+y≤4, ? ?x≥0.

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D

上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直线. 答案 6 解析 线性区域为图中阴影部分,取得最小值时点为(0,1),最大值时点为(0,4),(1,3),(2,2), (3,1),(4,0),故共可确定 6 条.

x+y≤t, ? ? 12.已知 t 是正实数,如果不等式组?x-y≤0, 表示的区域内存在一个半径为 1 的圆,则 t ? ?x≥0 的最小值为________. 答案 2+2 2 解析 画出不等式组表示的平面区域,当 t 是正实数时,所表示的区域为 第一象限的一个等腰直角三角形.依题意,它有一个半径为 1 的内切圆, 2 2 t+ t-t 2 2 2 不妨设斜边|OB|=t,则两直角边长|AB|=|OA|= t,所以 =1, 2 2 求得 t= 2 =2 2+2,即 tmin=2+2 2. 2-1

-8-


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