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江西省六校2015届高三第二次联考数学理试题


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六校 2015 届高三第二次联考

理科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 6

0 分. ) 1、若集合 A ? ?lg1,lne?,B ? x ? Z x 2 ? x ? 0 , 则集合 C ? ?z | z ? x ? y, x ? A, y ? B?所有真子集 的个数为 ... A. 3 B. 7 C. 8 C. ?3 D. 15

?

?

2、若复数 z 满足 3 ? i ? ( z ? 1)i ,则复数 z 的共轭复数 z 的虚部 为 .. A. 3 B. 3i D. ? 3i

3、下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是 A. y ? ln | x | B. y ? cos x C. y ?

1 x

D. y ? ? x 2 ? 1

4、从抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M ,且 PM ? 5 ,设抛物线的 焦点为 F ,则 ? PMF 的面积为 A.5 B.10 C.15 D.20
? 1? x ? 2 5、 已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? 若 M ( x, y ) 为 D 上的 ? y ? 2 给定. ?2 x ? y ? 2 ?

动点,点 A 的坐标为 (2,1) ,则 Z ? OA? AM 的最大值为 A. ?5 6、以下四个命题中 ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样; ②对于命题 p : ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ; ③设随机变量 X B. ?1 C. 0 D. 1

?

?

? N (1,? 2 ) ,若 P(0 ? X ? 1) ? 0.4 ,则 P(0 ? X ? 2) ? 0.8 ;

④两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数就越接近于 1. 其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

7、阅读如下程序框图,如果输出 i ? 4 ,那么空白的判断框中应填入的条件是

A. S ? 8? B. S ? 12? C. S ? 14 ? D. S ? 16? 8、某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动,现有 4 名选手参加最后决赛,若每位选 手都可以从 4 个备选题目中任选出一个进行演讲,则恰有一个题目没有被这 4 位选手选中 的情况有 A. 36 种 B. 72 种 C. 144 种 D. 288 种 9、设函数 f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
4

) ? 1 ,将 y ? f ( x) 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,使得到的 3? 8 3? 4
,均存在以

图像关于 y 对称,则 ? 的最小值为 A.

? 8

B.

? 4

C.

D.

10 、 已 知

f?x , 在 区 间 [0,2] 上 任 取 三 个 数 a, b, c ? ? 3x ?3 x? m

f ? a ? , f ?b? , f ? c ? 为边长的三角形,则 m 的取值范围是
A. m ? 2 B. m ? 4 C. m ? 6 D. m ? 8 11、如图,网格纸上小正方形的边长 为 1,粗线是一个 ....... 棱锥的三视图,则此棱锥的体积为

A.

4 2 3

B.

8 3

C.

8 2 3

D.8

12、已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2 , O 为双曲线的中心, P 是双曲线右支 a2 b2

上的点, ?PF 1 F2 的内切圆的圆心为 I ,且圆 I 与 x 轴相切于点 A ,过 F2 作直线 PI 的垂 线,垂足为 B ,若 e 为双曲线的离心率,则 A. OB ? OA C. OB ? e OA B. OA ? e OB D. OB 与 OA 大小关系不确定

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13、已知向量 a 、 b 满足 a ? 2 , b ? 3 ,且 2a ? b ? 13 ,则向量 a 在向量 b 方向上 的投影为
4

.
3 2 4

14、已知 a1 ? x ? m ? ? a2 ? x ? m ? ? a3 ? x ? m ? ? a4 ? x ? m ? ? a5 ? x , 设m ?

?0

?

x (sin x ? 1 ? 2 cos 2 )dx ,则 a2 = 2

.

15 、某校对文明班级的评选设计了 a, b, c, d , e 五个方面的多元评价指标 , 并通过经验公式

s?

a b

?

c d

?

1 e

来计算各班的综合得分, s 的值越高则评价效果越好.若某班在自测过程中

各项指标显示出 0 ? c ? d ? e ? b ? a ,则下阶段要把其中一个指标的值增加 1 个单位, 而使得 s 的值增加最多, 那么该指标应为 . (填入 a, b, c, d , e 中的某个字母) 16、已知 ? ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上, a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,满足 a ? , 且 (a ? b) ( s i n A? 3 ,b ? 1

s iB n ? ) c?( b
.

), s C若 i n三 棱 锥

O ? ABC 的体积为 5 ,则球 O 的表面积为 4
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. )

17、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2an ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 , 公差不为零的等差数列,且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (1)求数列 ?an ?与 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?c n ?满足 cn ? 实数 t 的取值范围. 18、 (本小题满分 12 分)一个盒子中装有大量 形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随 .. 机抽取 50 个作为样本, 称出它们的重量 (单位: 克) , 重量分组区间为 ?5,15? ,?15,25? ,? 25,35? ,?35,45? , 由此得到样本的重量频率分布直方图(如右图) , (1)求 a 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小 球重量的众数与平均值; ( 2 )从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在

1 ? ,前 n 项和为 Tn ,若对于 ?n ? N 不等式 Tn ? t 恒成立,求 bn bn ?1

?5,15? 内的小球个数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
19、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底 面 A B C D, 底 面 A B C D是 直 角 梯 形 , AB ? AD , AB // CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , E 是 PB 上的点. (1)求证:平面 EAC ? 平面 PBC ; (2)若 E 是 PB 的中点,且二面角 P ? AC ? E 的余弦值 为

(以直方图中的频率作为概率). P E

A D C

B

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

20、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,左、右焦点分别为 F1,F2 , P 为椭

圆 C 上的动点, ?PF1 F2 的面积最大值为 3 ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与 直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若直线 l 过定点 (1,0) 且与椭圆 C 交于 A, B 两点, 点 M 是椭圆 C 的右顶点, 直线 AM 与 直线 BM 分别与 y 轴交于 P, Q 两点,试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定 点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

21、 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? ax ( a ? R ) .

1 (1) 若函数 f ( x) 的图象在 x ? 2 处切线的斜率为 ?1 , 且不等式 f ? x ? ? 2 x ? m 在 [ , e] 上有 e

解,求实数 m 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A( x1, 0),B( x2 , 0) ,且 0 ? x1 ? x2 , 求证: f ?(
x1 ? x2 . ) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 内接于直径为 BC 的圆 O ,过点 A 作圆 O 的切线 ?BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 交 CB 的延长线于点 P , D、E ,若 PA ? 2 PB ? 10 . (1)求证: AC ? 2 AB ; (2)求 AD? DE 的值.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴 的正半轴为极轴建立坐标系. 已知曲线 C :
? x ? ?2 ? 直线 l 的参数方程为 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

, 过点 ? ? ?2, ?4? 的 ? sin 2 ? ? 2a cos? ( a ? 0 )

2 t ,直线 l 与曲线 C 分别交于 ? 、 ? 两点. 2 ( t 是参数) 2 t 2 (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 ?? , ?? , ?? 成等比数列,求 a 的值.
24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 4 . (1)解不等式 f ? x ? ? 0 ; (2)若 f ? x ? ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

六校联考数学卷(理)参考答案与评分标准
一、 二、 选择题 1~6 BADBDB 填空题 13、1 15、C 解答题 7~12 BCCCBA

14、-8 16、 64?

三、

17、解:(1)当 n=1 时 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 , 得 an ? 2an?1 ∴数列{ an }是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, ∴数列{ an }的通项公式为 an ? 2n . ??3 分

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 10d ) ,
2

解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 ∴数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 . (2) cn ? ??6 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn bn ?1 (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

??8 分

则 Tn

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ??? ? ? ) ? 1 (1 ? 1 ) 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 3 2 3n ? 2
1 ∵T ? 1 , ∴ t ? n 6 6
??12 分

??10 分

18、解: (1)由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018? ?10 ? 1, 解得 a ? 0.03 ; 又由最高矩形中点的的横坐标为 20, 可估计盒子中小球重量的众数约为 20 克, 50 而 个样本小球重量的平均值为: ??2 分 ??4 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6 (克)
故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为 24.6 克; ??6 分

(2)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 ? 5,15? 内的概率为 0.2 ,则 X ? B (3, ) .

1 5

4 ? 64 48 1?1? ? 4? X 的取值为 0 、 1 、 2 、 3 , P ? X ? 0? ? C30 ? , P ? X ? 1? ? C3 , ? ? ? ? ??? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ? ? 5 ? 125
?1? P ? X ? 2? ? C32 ? ? ?5?
2

3

2

1 . ?1? ? 4 ? 12 , P ? X ? 3? ? C33 ? ? ? ?? ? ? ? 5 ? 125 ? 5 ? 125

3

??10 分

? X 的分布列为:

X

0

1
48 125

2
12 125

3

P

64 125

1 125

? EX ? 0 ?

1 3 64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? .(或者 EX ? 3 ? ? ) ??12 分 5 5 125 125 125 125 5

19、解: (1)证明:? PC ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,? AC ? PC ,

AB ? 2 , AD ? CD ? 1 ,? AC ? BC ? 2
? AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,? AC ? BC 又 BC ? PC ? C ,? AC ? 平面 PBC ,
∵ AC ? 平面 EAC,? 平面 EAC ? 平面 PBC (2)以 C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示, z P E x A y D C B ??6 分

则 C(0,0,0) , A (1,1,0) , B (1,-1,0) 设 P (0,0, a ) (a ? 0) ,则 E (

1 1 a ,? , ) , 2 2 2 1 1 a CA ? (1,1,0) , CP ? (0,0, a) , CE ? ( ,? , ) , 2 2 2
??8 分

取 m =(1,-1,0)

则 m ? CP ? m ? CA ? 0 ,? m 为面 PAC 的法向量 设 n ? ( x, y, z) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 ,

??

即?

? x ? y ? 0, ,取 x ? a , y ? ?a , z ? ?2 ,则 n ? (a,?a,?2) , ? x ? y ? az ? 0
m?n mn ? a a ?2
2

依题意, cos ? m, n ? ?

?

6 ,则 a ? 2 于是 n ? (2,?2,?2) 3 PA ? n PA n

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? PA, n ? ?

?

2 , 3

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为

2 3

??12 分

(或设 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CP 为 z 轴,请酌情给分)

1 ? ? S?PF1F2 ? 2 ?2 c?b? 20、解: (1)由题意得 ? 5 b? ?1 2 2 ? 3 ? 4 ?
所以椭圆 C 的方程是

3

,解得 a =2 , b ? 1 .

x2 ? y2 ? 1 . 4

??4 分

(2)以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点. 当直线 l 斜率不存在时 以线段 PQ 为直径的圆的方程为: x 当直线 l 斜率存在时
2

? y 2 ? 3 ,恒过定点 (? 3,0) .

??5 分

设 y ? k ( x ? 1) (k ? 0)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 4 x x ? , .??7 分 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点,所以点 M (2,0) . 由题意可知直线 AM 的方程为 y ?

y1 2 y1 ( x ? 2) ,故点 P(0, ? ). x1 ? 2 x1 ? 2

直线 BM 的方程为 y ?

y2 2 y2 ( x ? 2) ,故点 Q(0, ? ). x2 ? 2 x2 ? 2

??8 分

若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N ( x0 ,0) , 则等价于 PN ? QN ? 0 恒成立. 又因为 PN ? ( x0 ,

??? ? ????

??9 分

????

???? 2 y1 2 y2 ) , QN ? ( x0 , ), x1 ? 2 x2 ? 2

所以 PN ? QN ? x0 2 ?

??? ? ????

2 y1 2 y2 4 y1 y2 ? ? x0 2 ? ? 0 恒成立. x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

又因为 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ?

4k 2 ? 4 8k 2 4k 2 ? 2 ? 4 ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4k 2 ? 4 8k 2 ?3k 2 ? ? 1) ? , 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2

y1 y2 ? k ( x1 ?1)k ( x2 ?1) ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1] ? k 2 (

?12k 2 4 y1 y2 2 k 2 ? x 2 ? 3 ? 0 .解得 x ? ? 3 . 所以 x0 ? ? x0 2 ? 1 ? 42 0 0 4k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 1 ? 4k 2
故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 (? 3,0) . (或设 x ? my ? 1 请酌情给分) 21、解: (Ⅰ)由 f ?( x) ? ? 2 x ? a , 得切线的斜率 k ? f ?(2) ? a ? 3 ? ?1,? a ? 2, ,故 f ( x) ? 2ln x ? x 2 ? 2 x , 由 f ? x ? ? 2x ? m 得 m ? 2ln x ? x 2
1 2 ∵不等式 f ? x ? ? 2x ? m 在 [ , e] 上有解,所以 m ? (2ln x ? x )max e

??12 分

2 x

?? 2 分

??4 分

令 g ( x) ? 2ln x ? x2

则 g ?( x) ? 2 ? 2 x ? ?2( x ? 1)( x ? 1) ,
x x

1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e 故 g ( x) 在 x ? 1 处取得最大值 g (1) ? ?1 ,

所以 m ? ?1

??6 分

(Ⅱ)因为 f ? x ? 的图象与 x 轴交于两个不同的点 A ? x1 ,0? , B ? x2 ,0?

所以方程 2ln x ? x 2 ? ax ? 0 的两个根为 x1 , x2 ,则 ?

?2 ln x1 ? x12 ? ax1 ? 0 ? ,两式相减得 2 ? ?2 ln x2 ? x2 ? ax2 ? 0

a ? ? x1 ? x2 ? ?

2 ? ln x1 ? ln x2 ? , x1 ? x2

??8 分

又 f ? x ? ? 2 ln x ? x 2 ? ax, f ? ? x ? ?

2 ? 2 x ? a ,则 x

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 4 ?x ?x ? f ?? 1 2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? a ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2
下证

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? x2 ? x1 ? x x 4 ,即证明 ? ? 0 (*) ? ln 1 ? 0, t ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x2
2 ?1 ? t ? ? ln t ? 0 在 0 ? t ? 1 上恒成立 t ?1
2

?0 ? x1 ? x2 ,?0 ? t ? 1, 即证明 u ? t ? ?

?10 分

?2 ? t ? 1? ? 2 ?1 ? t ? 1 1 ? t ? 1? 又 0 ? t ? 1 ,所以 u? t ? 0 4 因为 u? ? t ? ? ? ? ? ? ?? 2 2 (t ? 1) t t (t ? 1) t (t ? 1)2
所以, u ? t ? 在 ? 0,1? 上是增函数,则 u ?t ? ? u ?1? ? 0 ,从而知

2 ? x2 ? x1 ? x ? ln 1 ? 0 x1 ? x2 x2
???12 分



2 ? ln x1 ? ln x2 ? 4 ?x ?x ? ? ? 0 ,即 f ? ? 1 2 ? ? 0 成立 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 ?
∴ ?PAB ? ?ACB ∴ AC ? 2 AB ∴ PC ? 20

22、解: (1)∵PA 是圆 O 的切线 ∴ ?ABP∽ ?CAP ∴

又 ?P 是公共角 ???2 分 ???4 分

AC AP ? ?2 AB PB

2 (2)由切割线定理得: PA ? PB ? PC 又 PB=5 ∴ BC ? 15

???6 分

AC CD 又∵AD 是 ?BAC 的平分线 ∴ ? ?2 AB DB ∴ CD ? 2 DB ∴ CD ? 10, DB ? 5 又由相交弦定理得: AD ? DE ? CD ? DB ? 50
23、解:(Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 C : y ? 2ax,
2

???8 分 ???10 分

直线的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0

---------4 分

(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得

1 2 t ? 4 2 ? 2a t ? 16 ? 4a ? 0 , 2
------------6 分

?

?

? t1 ? t2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t2 ? 32 ? 8a





| PM |?| t1 |, | PN |?| t 2 |, | MN |?| t1 ? t 2 | ,
2 2

由题意知, | t1 ? t 2 | ?| t1t 2 |? (t1 ? t 2 ) ? 5t1t 2 , 代入得 a ? 1 ---------10 分

24、解:(Ⅰ)当 x ? 4 时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0 得 x>-5,所以 x ? 4 成立 当?

1 ? x ? 4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0 2 1 时 f(x)=-x-5>0 得 x<-5 所以 x<-5 成立, 2
------------5 分

得 x>1,所以 1<x<4 成立 当x? ?

综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5}

(Ⅱ)f(x)+ 3 x ? 4 =|2x+1|+2|x-4| ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 当?

1 ? x ? 4时等号成立 2
------------10 分

所以 m≤9


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