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含参数的不等式恒成立问题


上 海 中学 数 学 ? 2 0 0 9年 第 1 0期 

含 参数 的不 等 式恒 成 立 问题 
2 2 6 0 1 5   江 苏省 南通 市 , J 、 海 中学  徐  霞 
含 参 数 的 不 等 式 恒 成 立 问 题 是 一 种 常 见 的 
重要题型 , 在 近 些 年 的高 考 中频 频 出现 . 由 于 这

 




. a> 一 2.  

点 评 :利 用 分 离 参 数 法 求 解 不 等 式 中 的恒  成 立 问题 是 一 种 常 见 的解 题 方 法 . 在解 题 中, 通  常将 参 数 a从 变量 中分 离 出来 , 化 成“ a 三 三 = _ 厂 ( z ) ”   或者“ a  厂 ( z ) ” 型 的不 等 式 , 是 恒 成 立 问 题 中 的  最基础 的类型. 其理论依据为 :  
。 三 三 = _ 厂 (  ) 在 - z ∈D 上 恒 成 立 , 则 n   , ( z ) m a x  
( z∈ D ) .  

类 问题 综 合 性 强 、 难度大 、 要求 高 , 常和 函数 、 数  列、 不等式 、 及导 数 等诸 多知 识 挂 钩 , 学 生 往 往  感 觉 比较 困难 , 不能灵活应对 和驾 驭. 结 合 几 个  例 题 来 说 明 含参 数 的 不 等 式 恒 成 立 问 题 的 几 种 
常见解法.  




分 离 参 数 法 
例 1   设函数 - 厂 (  ) 一 0 +a x十 1 , 若 当  ∈  

n  _ 厂 ( z ) 在 xE   D上恒成立 , 则 n ≤_ 厂 ( z ) m a x  
( L z∈ D ) .  

[ O , +。 。 ) 时, 均有 , (  ) >O ,求实 数 &的取值 范 围.   分析 : 本 题 若 讨 论 的 区 间不 是 [ o, +c x 3 ) , 而  是 R, 学 生处理起 来往往 比较得心应 手 , 只需 结  合 二 次 函 数 的 图 像 使 得 △< 0即 可 . 但 一 旦 改 换  了区间 , 学生则显得无从 下手 , 可 使 用 分 离 参 数  法, 利用函数最值来求 a .   解: 由题 意 得 , - z  + a - z + 1> 0在  ∈ [ 0 ,   +。 。 ) 时 恒成 立 .  
1 。   当  一0时 , 不 等式 显 然 恒 成 立 .   2 。   当 l z > 0时 ,  




当然基 于这 一理 论 步骤 , 分 离 参 数 法 只 适  用于参数 与变量 能分 离 、 函 数 的 最 值 易 求 出 的 
情况.  

二 、转 换 主 元 法  例2   对 于 任 意 的 。∈ ( 一1 , 1 ] , 设 函 数  厂 ( z ) 一z   +( n 一4 ) z+ 4—2 a的 值 恒 大 于 0 , 求  分 析 :此 题 多 数 学 生 会 将 其 视 为  的 二 次  函数 , 但 稍 一 对 比 即 会 发 现 本 例 和 上 例 的 明 显  区别 在 于 所 给 区 间 是 参 数 a的 范 围 , 这 就 带 来 
了一 个 麻 烦 : a在 变 , 则 函数 在变. 在 - 厂 ( z) 不 定 

z的 取 值 范 围.  

n z> 一 X2 — 1,  
一  

2—
Z  

1  

’ .

. 口 > — —  在 ( 0, +C X D ) 上恒 成 立 ,  




2—

1  

1  

的 情 况 下 求 变 量  z的范 围 , 分 析 遇 到 了障 碍 . 但  换个角度 . . 既 然 给 的 区 间 是 a的 范 围 , 若 视 a为  主元 , 则会有一番“ 豁 然 开 朗” 的感 觉 .   解: 设: g( a ) 一( z 一2 ) a +z 2 —4 x+4是 关 于 

又‘ .   z - > 0时 , —  —   一 一 (  +  )   一 2,  

即 (  
一   一 ? 一   ,

) …   2 ,  
故可 以构造 代数 式 ( a 1   b 2一 

在 上 述解 读 中, 我 们 看 到 了 较 高 的 代 数 恒  等 变 形 的要 求 . 在代数 中, 代 数 式 的 恒 等 变 形 是  从 初 中就 开 始 学 习 的 , 但 学 生 往 往 因 为 其 严 密  的逻 辑 性 和 较 高 的 技 巧 性 产 生 畏 难 心 理 ; 另 一  方面 , 现在多数学生存 在着运 算不 过关等 情况.   2 0 0 8年 浙 江 省 高 考 数 学 ( 理科 ) 第 2 0题 是 道 解  析几何大题 , 该 题 的得 分 情 况 很 差 , 有 许 多 平 时  成绩很好 的同学 都 在这题 上 失分 , 问 题 集 中 反 

u2  

n  

“ 2 b 1 )   + (a l   b 3一 a 3 b 1)  + … + ( a   一1   b  一 
a . b   一1 )  .  

反 思 一 :教 师 应 该 尽 可 能 多 角 度 理 解 教 材 .  

我们常说 : 教师要满桶 水 , 才 能 做 到 不 慌 不  忙. 我们还常 说 , 要 重视 对 教材 的钻研 . 而 这 些  都 不 是 停 留在 口头 上 的 , 只有做 一个 有心人 , 对  教材多角度解读 , 才能较好 地理解 教材 . 新 课 程  中, 引例是一个特色 , 所 以教 师 应 该 重 视 对 引 例 
的 分 析 解读 , 要多方面发掘 引例 的作用 , 从 而 开  阔学 生 的视 野 , 提 高 学 生 学 习数 学 的兴 趣 .   反 思 二 :教 师要 重视 对学 生运 算 能力 的培 养 

应为 : “ 思路 简单 , 但无 法 计算 下 去” , 但 高考命  题组的评价 却是 : 这 是 一 道 很 好 的 反 应 解 析 几  何 本 质 的 题 目, 解析几何 的本质 即为“ 用 代 数 方  法 研究 几 何 问 题 ” . 上 述情 况 说 明, 我 们 必 须 在 
平 时 的 教 学 中重 视 对 学 生 运 算 能力 的 培养 .  

上 海 中学数 学 ? 2 0 0 9年 第 1 O期 
n的一 次 函数 , 则 由题 意 得 :  
则 厂 ( 1 ) 一1 —2 m+ 2 m+ 1 >0 ,   解之 : m> 1 .  
1  

g ( a ) >0 在 ∈( 一1 , 1 ] 上恒成立 ,   由一 次 函 数 图 像 性 质 可 知 ,  
f g( 一1 ) 三 三 = O  

综上所述 : m> 一 ÷ .   点评 : 在某些数学问题中 , 根 据 所 给 的 条 件 
形式 , 通过换 元 等手 段 , 构 造适 当的 函数模 型 ,   利 用 一 些 已 知 的 基 本 初 等 函数 的 性 质 解 题 , 往  往会“ 事半功倍” .  

1 g ( 1 ) >0  ’  
得- z < 1或 z 一2或  三 三 = 3 .   点 评 :某 些 含 参 数 不 等 式 在 分 离 参 数 时 会  遇 到 分 类 讨 论 的麻 烦 , 这 时 可 以 考 虑 变 换 思 维  角度 , 把变元 与参数 换 个位 置 , 再 配合 函数 、 不 

等 式 等 内容 , 往往会有意想不到的效果.   三 、构 造 函 数 法 
例3   函数 厂( z - ) 一z  + n   + 1的 值 恒 大  于0 , 求 实 数 n的取 值 范 围.   分 析 :观 察 函数 _ 厂 ( z ) 一z   +n z  + 1 , 发 现  是一个 四次 函 数. 第 一感 觉 就 是 次 数太 高 , 能  否” 降降幂” 呢?不妨 尝试 着将 z 。视 为 一 个 整  体, 换 元 构 造 新 函数 .  
解: 令 X 2 一f ( £ ≥0 ) ,  

四 、数 形 结 合 法 
例 5   若不等式 3 x 2 一l o g 。  < 0在  ∈ ( 0 ,  
1  

÷) 内恒成立 , 求 n的范围.  
分析: 本 题 若 采 用 前 面 说 的 几 种 方 法 均 不  适合 . 观察 不 等 式 , 发 现 Y一3 x  和 Y—l o g 。   均  是 我 们 熟 悉 的 函数 模 型 . 若 将 不 等 式 写成 3   <  l o g   z的形式 , 可 考 察 用 这 两 个 基 本 初 等 函 数 的 
图像 来 解 决 .   解 : 由题 意 得 : 3 x  < l o g 。 z< 0在  ∈ ( o ,  
1  

则 原 不 等 式 转 化 为  t 2 +a t +1 > O在 t E[ O , +。 。 ) 上恒 成 立 .   转化 至此 , 会 发 现 本 例 和 例 1实 质 是 一 样  的. 学 生 亦 会 站 在 另 一 个 角 度 来 看 待 这 两 个 不  等式 之间的关 系 , 转 化 的 思 想 进 一 步 充 分 渗 透  到 学 生 的心 中. 当然 本 题 亦 可 用 分 离 参 数 法 , 分  离 n, 即n > 一(   +  ) 再求解 .  

÷) 内恒成立 ,  
在 同 一 以 坐标 系 中分 别 作 出  一3 x 0和  — 
l o g 。 z 的 图像 ,   可知 , 当 n > 1时 , 显然 不成 立 .   下 面讨 论 O <& < l的情 况 :  
1  

根据题意, y —l o g   z , z ∈( 0 , 寺) 的图像必 
1   1  

例 4 对于 ∈[ o , ÷] , C O S 2   +2 ms i n O -2 m  


须都在  一3 x   的上方, 或者恰过( ÷, ÷) 这点.  
1   1   1  
?  ?

2 < 0恒 成 立 , 求 m 的范 围.   解: 原 不 等式 变 形 为 : 一s i n 0  + 2 ms i n   一2 m 
1 < 0,  

l o g a 专   专, 得: n   ?  
1  



综上所述 ,  

n <1 .  

即 s i n2 0 -2 os r i n 0 +2 m+l >0 .  

点 评 :数 形 结 合 是 整 个 高 中 数 学 学 习 中 的  重要方法. 以数思 形 , 以形 助数 , 有 意 识 地 通 过  直观具体 的图形 来解 决深 刻抽 象 的数 学 问题 ,   往往能迅速 简捷 地找 到解 题途 径. 用 此 法 求 解  不等式恒成 立 问题时 , 通 常 先 将 不 等 式 两 端 的  式子分别看 成两 个 函数 , 然 后 通 过 观 察 两 函 数  图像 的位 置 , 得 出关 系式 , 尤 其 要 注 意 交 点 时 的  情况.   在解 综合 性较 强 的恒成 立 问题 时 , 这 些 方  法往往并不是独立 的 , 多是相辅 相成 , 相 得 益 彰 

令 s i n 0 =£ ( t ∈E o , 1 ] ,  






原 不 等 式转 化 为 

t 2 —2   +2 m+ 1 >o在 ∈[ 0 , 1 ] 上 恒 成立 .  
令  ( £ ) 一t   ~2 mt +2 m+ l ,  

1 。 若 一 

- <0 ,  

则 f ( O ) 一2 m+ 1 >0 ,  
1  

得 一 ÷ < m<O .  
2 。 若o   一  1 ,  

则 △一 ( 一2 m) 0 —4 ( 2 m+ 1 ) < 0,   解之 : 0 ≤ m  1 .  

的. 其 中蕴 涵 了 丰 富 的 数 学 思 想 方 法 , 如: 分 类  讨论 、 转 化、 换元 、 数形 结 合 , 函数 思 想 等 . 在 解 
题 时不 拘 一 格 , 抓住本 质 , 多加 练习 , 勤 于思考 ,  

3 。 若 一 

>1 ,  

善 于 总结 . 借 助 这 类 问 题 培 养 学 生 分 析 问 题 解  决 问题 的能 力 是 大有 帮助 的 .  


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