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第三讲:三角函数


三角函数与解三角型 考点
1. 角的分类:角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向 为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不 旋转则为零角。角的大小是任意的。 2. 象限角 3. 终边相同的角:若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系:
? ? 180? k ? ?

4.

角度与弧度转化 角度与弧度的互换关系:360° =2 ? 180° = ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式:1rad= 180 °. 1°= ? (rad)
?
180

5. 弧长以及扇形面积公式
1 1 扇形面积公式: s扇形 ? lr ? |? | ? r 2 2 2 6. 任意角的三角函数的定义 设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y)P 与原点的 距离为 r, 则 sin ? ? y ; cos ? ? x ; tan ? ? y ; cot? ? x ; sec ? ? r ; . csc? ? r .

l ?| ? | ?r .

r

r

x

y

x

y

7. 三角函数在各象限写符号
y y

+ o x - 正弦、余割

+

- + o - + x
余弦、正割

y

- + o x + 正切、余切

8. 同角三角函数的基本关系
平方关系:sin2α +cos2α =1 商数关系:tanα =

sin ? cos ?

9. 诱导公式
(Ⅰ)sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα ; (Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα ; (Ⅲ)sin(π-α )=sinα , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα ; (

?? ? ?? ? 。 ? ? ? =cosα , cos ? ? ? ? =sinα (奇变偶不变,符号看象限) ?2 ? ?2 ? 10.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
Ⅳ)sin ?

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

1

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

11.三角函数的单调区间:

? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
递减区间是 ?2k? ?

? ?

?
2

, 2k? ?

3? ? (k ? Z ) ; 2? ?

y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) ,

? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
(其中A ? 0,? ? 0) 12.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
最大值是 A ? B , 最小值是 B ? A , 周期是 T ? 初相是 ? ;其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? 交点都是该图象的对称中心

2?

?
2

?

, 频率是 f ?

? , 相位是 ?x ? ? , 2?

(k ? Z ) ,凡是该图象与直线 y ? B 的

13.由 y=sinx 的图象变换出 y=sin(ω x+ ? )的图象一般有两个途径,只有区别 开这两个途径,才能灵活进行图象变换。
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y=sinx 的图象向左( ? >0)或向右( ? <0=平移| ? |个单位,再将图象上各点的 横坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),便得 y=sin(ω x+ ? )的图象

途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将 y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的

1

?

倍(ω >0),再沿 x 轴向左( ? >0)或

2

向右( ? <0=平移

|? |

? 14.三角函数的最值问题 (1) y ? a sin 2 x ? b sin x ? c
cos x ? a sin x ? b 15. 三角恒等变化
(3) y ?

个单位,便得 y=sin(ω x+ ? )的图象。 (2) y ? a sin x ? b cos x

(4) y ? A sin(?x ? ? ) ? B

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?

cos ?(? ? ) ? c o ? s co? s ?s i ? nsin ?

sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

sin ? (? ? ) ? s i ? n co? s ?c o? ssin ?
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan2 ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?
16、正弦余弦定理及解三角形 a b c ? ? ? 2 R ,其中 a, b, c 分别是角 A,B, 正弦定理:在任意△ABC 中有 sin A sin B sin C
C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍

a2=b2+c2-2bccosA;

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC。

例题分析: 一、书上习题练习题 二、简单题目
1.将-300o 化为弧度为( A.- ) B.-

4? ; 3

5? ; 3

C.-

7? ; 6

D.-

7? ; 4


2.如果点 P(sin? cos? ,2 cos? ) 位于第三象限,那么角 ? 所在象限是(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列选项中叙述正确的是 ( ) A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.锐角是第一象限的角 C.第二象限的角比第一象限的角大 D.终边不同的角同一三角函数值不相等 4.下列函数中为偶函数的是( A . y ? sin | x | ) B . y ? sin 2 x

C. y ? ? sin x D. y ? sin x ? 1 5 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如右

3

图所示,如果 A ? 0, ? ? 0,| ? |? A. A ? 4 B. ? ? 1

?
2

,则(

) D. B ? 4

C. ? ?

?
6

6.函数 y ? 3sin(2 x ?

) 的单调递减区间( ) 6 ? 5? ? ? A k? ? , k? ? B. ? k? ? 5? , k? ? 11? ? (k ? Z ) (k ? Z ) ? ? ? 12 12 ? 12 12 ? ? ? ? C. ? k? ? ? , k? ? ? ? (k ? Z ) D. ? k? ? ? , k? ? 2? ? (k ? Z ) ? ? ? ?
? 3 6?
? 6 3 ?

?

2 7.已知 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ? ,则这个三角形( 3
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.不等腰的直角三角形 ( ) 8. 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2) 等于

)

D.等腰直角三角形

A.sin2-cos2 B.cos2-sin2 C.± (sin2-cos2) 9.若角 ? 的终边落在直线 y=2x 上,则 sin ? 的值为( ) A. ?

D.sin2+cos2

1 5

B.

?

5 5

C. ?

2 5 5


D. ? )

1 2

10.函数 y=cos2x –3cosx+2 的最小值是 A.2 B.0 C.

11.如果 ? 在第三象限,则

? 必定在 2

1 4

D.6 ( )

A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第三或第四象限 D.第二或第四象 12.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内,当 x ? -2,那么函数的解析式为 ( ) 3 A. y ? 2 sin x B. y ? 2 sin( 3 x ? ? ) 2 2

?
3

时有最大值 2,当 x=0 时有最小值

C. y ? 2 sin( 3x ? ? ) D. y ? 1 sin 3 x
2 2

14、已知角α 的终边经过点 P(3, 3 ),则与α 终边相同的角的集合是______ 13. tan 1 、 tan 2 、 tan 3 的大小顺序是 14.函数 y ? lg ?1 ? tan x ? 的定义域是 16.函数 y ? sin( ?2 x ? ? ) 的单调递减区间是
6

. 。

cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 17.已知角 ? 终边上一点 P(-4,3) ,求 的值 11 ? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2

?

4

18.已知函数 y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,|φ |<π ,b 为常数) 的 一段图象(如图)所示. ①求函数的解析式;②求这个函数的单调区间.

3 i n ?c os ? ? c os 2 ? 的值。 , 求2?s 4 1 ? 20.利用“五点法”画出函数 y ? sin( x ? ) 在长度为 2 6
19. 已知 tan ? ? ? 一个周期的闭区间的简图

(2)并说明该函数图象可由 y=sinx(x ? R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的

三、常见高考题
1.有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 A. p1 , p4 D. p2 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

B. p2 , p4

C. p1 ,

p3

2..已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图 示, f ( ) ? ?



?

2

A. ?

2 3

2 ,则 f (0) =( ) 3 2 1 B. C.3 2

D.

1 2


2 2 3.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (

5

A. ?

4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

4. sin 585 °的值为 A. ?

2 2

B.

2 2

C. ?

3 2


D.

3 2

1 ,则 tan(a+ ? )= ( 3 7 7 7 A. B. ? C. 11 11 13 12 6. 已知 ?ABC 中, cot A ? ? , 则 cos A ? 5 12 5 5 A. B. C. ? 13 13 13
5.已知 tan a =4,cot ? = 7.若将函数 y ? tan( ?x ?

D. ?

7 13

D. ?

?

y ? tan( ?x ?
A.

?
6

4

)(? ? 0) 的图像向右平移

? 个单位长度后,与函数 6
) D.

12 13

) 的图像重合,则 ? 的最小值为(
B.

1 6

8. “ ? ?

?
6

1 4 1 ”的 2

C.

1 3

1 2

”是“ cos 2? ?

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 9. “ ? ?

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”是“ cos 2? ?

1 ”的 2
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 11.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误 的是 ..
B. 函数 f ( x) 在区间[0, D. 函数 f ( x) 是奇函数 )

A. 函数 f ( x) 的最小正周期为 2 ? C.函数 f ( x) 的图象关于直线 x =0 对称 13.“sin ? =
1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 ( 2 2

? ]上是增函数 2

A.充分而不必要条件 C.充要条件 14.下列关系式中正确的是( )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6

A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0

0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0 0 0

0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

0

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? . 5 ? ? 16.已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为 . 4 4 17.设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? )
15.若 sin ? ? ? (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 18. 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ? 19.在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (2)求 | b ? c | 的最大值;

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

1 . 3

(I)求 sinA 的值;(II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 20.在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。

21.在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且

sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

22.已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; 23.在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ? (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。

? ?

??

? 的值 4?

考点二:三角函数的图像及性质 4..已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ... )

7

6.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 式是( A. y ? cos 2 x ). B. y ? 2cos x
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 4
C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin x
2

8 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的 距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

9.设函数 围是 A. B. C.

,其中

,则导数

的取值范

D.

10.函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x 的最小正周期为 A. 2? B.

3? 2

C. ?

D.

11.若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? B. 2 C. 3 ? 1

?
2

? 2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1

D. 3 ? 2

12.函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式为 y ? f ( x),

当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

8

A.( ?

?
6

, ?2)

B.( ?

?
6

, 2)

C.( , ?2) 6

?

D.( , 2) 6

?

13.若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度后,与函数 4?

?? ? y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6? ?
A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

15.已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

1 2
)

2

A. ?

2 3

B.

2 3

C.-

1 2

2 ,则 f (0) =( 3 1 D. 2

16.如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 3

D.

? 2

? / / 17.函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F ,F 的解析式 y=f(x),当 y=f(x)为奇 6
函数时,向量 a 可以等于

? A. ( ,?2) 6

? B. ( ,2) 6

C. (?

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

18.将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y=sin ( x ? 图象,则 ? 等于 A. (D) B.

?
6

)的

? 6

5? 6

C.

19.已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

7? 6

D.

11? 6

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? ? 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 8 8 ? ? C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 4 4 20.函数 y ? A sin(? x ? ?) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如
A 向左平移
9

图所示,则 ? =

.

22.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ? 23.若 x∈(0,

? 7? ? 12

? ?? ?



? ? )则 2tanx+tan( -x)的最小值为 2 2 ?x ? kx 成立,则实数 k 的取值范围是_______________. 时 ,不等式 sin 25.当 0 ? x ? 1 2
26.已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足 a n ? ? ?

? ? ?? , ? ,且公 ? 2 2?

差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 ,则当 k =____________是, f (ak ) ? 0 . 27.函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x 的最小值是 。

28.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如图所示, 则 ? =

29.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
31. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B ? (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 32. 设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . (2)求 | b ? c | 的最大值;

?
3

, cos A ?

4 ,b ? 3 。 5

10

33.设函数 f(x)=cos(2x+ (1) (2)

? 2 )+sin x. 3
1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

求函数 f(x)的最大值和最小正周期. 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=
2

34.设函数 f(x)=2 sin x cos

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

求 ? .的值; 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 角 C.. 36. 在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? (1)求 C ; (2)若 CB ? CA ? 1 ? 3 ,求 a , b , c . 37.△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

2, f ( A) ?

3 ,求 2

?
6

, (1 ? 3)c ? 2b .

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c . 38.设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , cos( A ? C ) ? cos B ?

3 , 2

b2 ? ac ,求 B 。
39. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?

2 ? 2? , ?2) . 的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [

)的图象与 x 轴

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

40.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。
2

40.在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,C 的大小. 41.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
2

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4
11

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求 3

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。 42. 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8
(Ⅱ) 若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1

(Ⅰ) 求 f ( x ) 的最小正周期.

对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值. 42.设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos
2 2

4 3

? x(? ? 0) 的最小正周期为

2? . 3

(Ⅰ) 求 ? 的最小正周期. (Ⅱ) 若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 单位长度得到,求 y ? g ( x) 的单调增区间. 43.已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

? 个 2

n?( s i B n
(1) (2)

, , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C =

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

考点三:解三角形的常见考题
2 (a ? b) ? c 2 ? 4 ,且 C=60°,则 ab 1.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足

的值为

4 A. 3

B. 8 ? 4 3

C. 1

2 D. 3

2. 如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD,2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则

sin C 的值为
3 A. 3 3 B. 6
2 2

6 C. 3
2

6 D. 6

3.在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是

?
A. (0, 6 ]

?
B.[ 6 , ? )

?
C. (0, 3 ]

?
D .[ 3 , ? )
12

b ? 4.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos A= 2a ,则 a
2

(A) 2 3

(B) 2 2

(C) 3

(D) 2

5.如图, 正方形 ABCD 的边长为 1, 延长 BA 至 E , 使 AE ? 1 , 连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? A、

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15
2 2 2

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为

A.

3 2

B.

2 2
2 2

C.

1 2
2

D. ?

1 2
) D.不能确定

7.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
8 .已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ?

10 ,则 tan 2? ? 2
C. ?

A.

4 3

B.

9.在△ABC 中, ?ABC ? (A)

3 4 ?
4

3 4

D. ?

4 3

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =

10 10

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

10 . 在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ?

1 b, 且 2

a ? b ,则 ? B ?
A.

? 6
? 12

B.

? 3 ? 6

C.

2? 3

D.

5? 6

11.在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a , b .若 2a sin B ?

3b, 则角A等于

A.

B.

C.
?

? 4

D.

? 3

2.已知 ?ABC 的一个内角为 120 , 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则 ?ABC 的面积 为_______________. 3.设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则 角C ? .

4.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a , b, c ;则下列命题正确的是 _____

13

①若 ab ? c 2 ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

③若 a3 ? b3 ? c3 ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ?

?
3

0 5. ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

1 ,则 sin ?BAC ? ________. 3

6.已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________. 7.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 cos A ?

3 5 , cos B ? ,b ? 3 则c ? 5 13

8.如图 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD ? AC, sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2, AD ? 3 则 3

BD 的长为_______________

b c ,若 a ? 5, B、 C 所对边长分别为 a、、 b ? 8, B ? 60 ,则 b= _______ 9. 在 ?ABC 中,角 A、
错误!未指定书签。0.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a , b, c .若 b ? c ? 2a ,则

3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____.

三、解答题
1.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a , b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,

1 cos A ? , b ? 3c 3 求 A 的值; (2)若 ,求 sin C 的值.

1 a ? 1.b ? 2.cos C ? . 4 2.设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知
(Ⅰ)求 ?ABC 的周长(Ⅱ)求

cos ? A ? C ?

的值

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC.

? (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 3 sinA-cos(B+ 4 )的最大值,并求取得最大值时角 A、B
的大小。

14

4.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 A—C=90° ,a+c= 2 b,求

C.

cos A-2 cos C 2c-a = cos B b . ? 5.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

sin C 1 (I)求 sin A 的值; (II)若 cosB= 4 ,b=2, ?ABC 的面积 S。
6.已知 a , b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

2 7.在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积. 8.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 ?? 9.在△ ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c。 已知 A ? (1)求证: B ? C ?

?

?
2

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 4 4 4

?

?

(2)若 a ?

2 ,求△ ABC 的面积。

10.三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c, 求 C.
11.在△ABC 中,a=3,b=2

6 ,∠B=2∠A.

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.

12 错 误 ! 未 指 定 书 签 。. 在

ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 且

a2 ? b2 ? 2ab ? c2 .
(1)求 C ;
13

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

错 误 ! 未 指 定 书 签 。. 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为

a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac .
(I)求 B (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

15

14 错 误 ! 未 指 定 书 签 。. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影. 2 cos 2
15.设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ?

7 . 9

(Ⅰ)求 a, c 的值;

(Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.

16.在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 .

(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 17.△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ)求 B ;Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.
18.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA-

sinA)cosB=0.

(1) 求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围

四、湖北省常见高考调考题
4. 将函数 y=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象沿 x 轴向右平移 轴对称,则 φ 的一个可能的值为

? 个单位后,得到的图象关于 y 8
D. ?
3? 4

A. ?

?
4

B.

? 4

C.

3? 4

17.(本小题满分 12 分) 在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos2C=cosC. (1)求角 C; (2)若 b=2a,⊿ABC 的而积 S=

3 sinB,求 sinA 及边 c 的值。 2 sinA·

4.已知命题 p:?φ∈R,使 f(x)=sin(x+φ)为偶函数;命题 q:?x∈R,cos2x+4sinx-3< 0,则下列命题中为真命题的是 A.p∧q B.(﹁p)∨q C.p∨(﹁q) D.(﹁p)∧(﹁q) 6.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 A,B,C 成等差数列,2a,2b, 3c 成等比数列,则 cosAcosC= A.0 1 B. 6 1 C. 2 2 D. 3

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a=(cosx-sinx,cosx+sinx),b=(cosx,-sinx),c=(2,1),其中 x∈[0,π]. (Ⅰ )若(3a+4b)∥ c,求 x; (Ⅱ )设函数 f(x)是 a 在 b 方向上的投影,在给出的直角坐标系中,画出 y=f(x)在[0,π]上的 图象 10.已知函数 f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是

16

A.y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 C.f(x)的最大值为 3 2

π B.y=f(x)的图象关于直线 x= 对称 2 D.f(x)既是奇函数,又是周期函数

16. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 sinAsinC= 6. 3-1 ,求 C. 4

?

?

4 0

cos 2 x dx = cos x ? sin x
B.

A. 2( 2 ?1)

2 ?1

C.

2 ?1
2 2

D. 2 ? 2

9.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b ? a ? bc, A ? A.

?

? 6

B.

? 4

C.

3? 4

6 ? 3? D. 或 4 4

,则内角 C=

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos( x ?

?

) ? a sin(2 x ? )(a为常数)的图象经过点 ( , 3) 3 3 6

?

?

( Ⅰ)求 a 的值及函数 f ( x) 的最小正周期;( Ⅱ)解不等式 f ( x) ? 0 .

5.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?
f (? x) ? f ( x) ,则

?
2

) 的最小正周期为π ,且

? B. f ( x)在(0, ) 单调递减 2 ? 3? D. f ( x)在( , ) 单调递增 4 4 2? 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? cos 2 x ( x ?R ).
3

? A. f ( x)在(0, ) 单调递增 2 ? 3? C. f ( x)在( , ) 单调递减 4 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ) ? ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,若 f ( ) ? ?
B 2 3 , b ? 1, 2

1

1

正视图

c ? 3, 且 a ? b, 试判断 ? ABC 的形状,并说明理由. sin x 7.当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? ,则下列大小关系正确的是( x
A. f 2 ( x) ? f ( x) ? f ( x2 ) C. f ( x) ? f ( x2 ) ? f 2 ( x) B. f ( x2 ) ? f 2 ( x) ? f ( x) D. f 2 ( x) ? f ( x2 ) ? f ( x)



x, a, b, c 分 别 为 ?ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 , 且 10 . 已 知 函 数 f ( x)? s i n

17

3a2 ? 3b2 ? c2 ? 4ab ,则下列不等式一定成立的是(
A. f (sin A) ? f (cos B) C. f (sin A) ? f (sin B)
?



B. f (sin A) ? f (cos B) D. f (cos A) ? f (cos B)
? ? ?

17.已知向量 a ? ( , 3 sin x) , b ? (cos2 x,? cos x) , x ? R ,设函数 f ( x) ? a? b (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0, ? ?上的单调区间; (Ⅱ)若 f (? ) ? 1 ,求 cos (
2

1 2

?
2

? ? ) ? 3 sin ? cos ? 的值.

5.为得到函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象,可将函数 y ? sin x 的图象向左平移 m 个单位长度,


或向右平移 n 个单位长度( m , n 均为正数) ,则 | m ? n | 的最小值是( A.

4? 3

B.

2? 3

C.

? 3

D. 2?

17. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, AC ? 1, ?ABC ? (1)求 f ( x ) 解析式并标出其定义域;

2? , ?BAC ? x ,记 f ( x) ? AB ? BC . 3 3 2

(2)设 g ( x) ? 6mf ( x) ?1 ,若 g ( x) 的值域为 (1, ] ,求实数 m 的值. 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 (1)求函数 f(x)的单调递增区间: (2)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 求 f(C)的值. 1 4.若 tanθ+ =4,则 sin2θ= tanθ 1 A. 5 1 B. 4 1 C. 3 1 D. 2 ,设函数

16. (本小题满分 12 分) π 函数 f(x)=Asin(ωx- )+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之间 6 π α 的距离为 . (Ⅰ )求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ )设 α∈ (0,2π),f( )=2,求 α 的值. 2 2

18

3.已知 ? ? R , cos? ? 3sin ? ? 5 ,则 tan 2? = (A)

4 3

(B)

3 4

(C) ?

3 4

(D) ?

4 3

17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且2 3 s a n i

B 5 ?c ,

cos B ?

11 19 . (I)求角 A 的大小; (II)设 BC 边的中点为 D , AD ? ,求 ?ABC 14 2

的面积.

17. (本小题满分 12 分)

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2 ? 5? , ] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值; (Ⅰ )当 x ? [ ? 12 12
已知函数 f ( x) ?
19

(Ⅱ )设在 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 c ?

3 , f (C ) ? 0 ,若

向量 m ? (1, sin A) 与向量 n ? (2, sin B) 共线,求 a、b 的值. 3.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为 A. ? x | k? ?

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
5? , k ? Z} 6

B. ? x | 2k? ? D. { x | 2 k ? ?

? ?

?

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
5? , k ? Z} 6 1 . 4

{ x | k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
6

? x ? 2 k? ?

16. 设 ?ABC 的内角 A、B、C、所对的边分别为 a、b、c,已知 a ? 1.b ? 2.cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长(Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值 9.函数 f ? x ? =x cos x 在区间[0,4]上的零点个数为
2

A.4

B.5

C.6

D.7

11.设△ABC 的内角 A,B,C,所对的边分别是 a,b,c.若 ? a+b-c ?? a+b+c ? =ab ,则角 C=______________。

s x - s? i nx 17. 已 知 向 量 a = ? c o ?

,? s i? xn b , = ? -c xo s ? x - sin

?

? , 2, x3 c函 os 设 数

?

?1 ? f ? x ? =a b+? ? x ? R ? 的图像关于直线 x=π 对称,其中 ?,? 为常数,且 ? ? ? ,1? ?2 ?
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 y=f(x)的图像经过点 ?

? 3? ? ?? ? ,0 ? ,求函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? 上的取值范围。 ? 5 ? ?4 ?

【6】 将函数 y ? 3cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后, 所得到的图 象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

【10】在△ ABC 中,角 A , B ,C 对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 . (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值. 17.(本小题满分 11 分) 某实验室一天的温度(单位: ) 随 时 间 ( 单 位 ;h ) 的 变 化 近 似 满 足 函 数 关 系 ;

(1) 求实验室这一天的最大温差;

20

(2) 若要求实验室温度不高于

,则在哪段时间实验室需要降温?

21


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