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直线与圆的方程综合题、典型题 2


直线与圆的方程综合题、典型题
1、已知 m ? R ,直线 l : mx ? (m2 ? 1) y ? 4m 和圆 C : x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 . (1)求直线 l 斜率的取值范围;

1 的两段圆弧?为什么? 2 m 4m m x? 2 解析: (1)直线 l 的方程可化为 y ? 2 ,直线 l 的斜率 k ? 2 ,因为 m ?1 m ?1 m ?1
(2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

m 1 1 m ≤ (m 2 ? 1) ,所以 k ? 2 ≤ ,当且仅当 m ? 1 时等号成立. 2 m ?1 2
所以,斜率 k 的取值范围是 ? ? , ? . ? 2 2? (2)不能.由(1)知 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,其中 k ≤

? 1 1?

1 . 2

? 2) ,半径 r ? 2 .圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 圆 C 的圆心为 C (4,

2 1? k 2



由k ≤

1 r 4 ? 1 ,即 d ? .从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得 ,得 d ≥ 2 2 5

的弦所对的圆心角小于 总结备忘:

2? 1 .所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧. 3 2

2、已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线 l 的方程,若不存在说明理由。 解析:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 32 假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) 由于 CM⊥l,∴kCM?kl= -1 ∴kCM=
b?2 ? ?1 , a ?1
O B

y

即 a+b+1=0,得 b= -a-1 直线 l 的方程为 y-b=x-a,


C M

x

A

即 x-y+b-a=0 CM=
b?a?3 2

∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM
MB ? CB ? CM
2 2 2

?9?

(b ? a ? 3) 2 2 , OM ? a 2 ? b 2 2

∴9?

(b ? a ? 3) 2 ? a 2 ? b2 2


3 2

把①代入②得 当a ?

2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,∴ a ? 或a ? ?1

3 5 , 时b ? ? 此时直线 l 的方程为 x-y-4=0; 2 2

当 a ? ?1,时b ? 0 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 评析:此题用 OA OB ? 0 ,联立方程组,根与系数关系代入得到关于 b 的方程比较简单 总结备忘:

3、已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x2+y2 = m2,当圆 C 与线段 ..AB 没有公共点时, 求 m 的取值范围. 解:∵过点 A、B 的直线方程为在 l:x-y+1 = 0, 作 OP 垂直 AB 于点 P,连结 OB. 由图象得:|m|<OP 或|m|>OB 时,线段 AB 与圆 x2+y2 = m2 无交点. (I)当|m|<OP 时,由点到直线的距离公式得:
| m |?
2 2 . |1 | 2 ,即 ? ?m? ?| m |? 2 2 2 2

B P A O

(II)当 m >OB 时,

| m |? 32 ? 22 ?| m |? 13 ,

m ? ? 13或m ? 13 .
2 2 ?m? 2 2

∴当 ?

和 m ? ? 13与m ? 13且m ? 0 时,

圆 x2+y2 = m2 与线段 AB 无交点.

总结备忘:

4、 .已知动圆 Q 与 x 轴相切,且过点 A? 0,2? . ⑴求动圆圆心 Q 的轨迹 M 方程; ⑵ 设 B 、 C 为曲线 M 上两点, P ? 2,2? , PB ? BC ,求点 C 横坐标的取值范围. 解: ⑴ 设 P ? x, y ? 为轨迹上任一点,则

y ? x2 ? ? y ? 2? ? 0
2

(4 分) 为求。 (6 分)

化简得: y ? ⑵ 设 B ? x1 ,

1 2 x ?1 4

? ?

1 2 ? ? 1 2 ? x1 ? 1? , C ? x2 , x2 ? 1? , 4 ? ? 4 ?
∴x2 ? ? ? x1 ?

∵PB ? BC ? 0

? ?

16 ? ? x1 ? 2 ?

(8 分)

∴x2 ? 10 或 x2 ? ?6 为求 总结备忘:

(12 分)

5、将圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 按向量 a = (1, - 1) 平移得到圆 O ,直线 l 与圆 O 相交于 A 、
2 2

B 两点,若在圆 O 上存在点 C ,使 OC + OA + OB = 0, 且OC = l a. 求直线 l 的方程.

解:由已知圆的方程为 ( x + 1)2 + ( y - 1)2 = 2 , 按 a = (1, - 1) 平移得到 O : x2 + y 2 = 2 . ∵OC = - (OA + OB), ∴OC ?AB 即 OC ^
- (OA + OB) ?(OB OA) = OA - OB = 0 .
2 2

AB .

又 OC = l a ,且 a = (1, - 1) ,∴kOC = - 1 .∴k AB = 1 .

设 l AB : x - y + m = 0 , AB 的中点为 D.

由 OC = - (OA + OB) = - 2OD ,则 OC = 2 OD ,又 OC =
2 . 2

2, \ OD =

2 . 2

∴O 到 AB 的距离等于



m 2

=

2 , 2

∴m =

1.

∴ 直线 l 的方程为: x - y - 1 = 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 总结备忘:

6、已知平面直角坐标系 xoy 中 O 是坐标原点, A(6,2 3), B(8,0) ,圆 C 是 ?OAB 的外接 圆,过点(2,6)的直线 l 被圆所截得的弦长为 4 3 (1)求圆 C 的方程及直线 l 的方程; (2)设圆 N 的方程 ( x ? 4 ? 7 cos? ) 2 ? ( y ? 7 sin ? ) 2 ? 1 , (? ? R) ,过圆 N 上任意一点

P 作圆 C 的两条切线 PE, PF ,切点为 E , F ,求 CE ? CF 的最大值.

解:因为 A(6,2 3), B(8,0) ,所以 ?OAB 为以 OB 为斜边的直角三角形, 所以圆 C : ( x ? 4) ? y ? 16
2 2

(2)1)斜率不存在时, l : x ? 2 被圆截得弦长为 4 3 ,所以 l : x ? 2 适合 2)斜率存在时,设 l : y ? 6 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 6 ? 2k ? 0

因为被圆截得弦长为 4 3 ,所以圆心到直线距离为 2 所以

4k ? 6 ? 2k 1? k 2
?k ? ? 4 3

?2
4 ? l : y ? 6 ? ? ( x ? 2), 即4 x ? 3 y ? 26 ? 0 3

综上, l : x ? 2 或 4 x ? 3 y ? 26 ? 0 (3)设 ?ECF ? 2a ,则

CE CF ?| CE | | CF | cos 2? ? 16cos 2? ? 32cos2 ? ?16 .

在 Rt△PCE 中, cos ? ?

x 4 ,由圆的几何性质得 ? | PC | | PC |
所以 cos ? ?

| PC |≥| MC | ?1 ? 7 ? 1 ? 6 ,
由此可得 CE ? CF ? ? 总结备忘:

2 , 3
则 CE ? CF 的最大值为 ?

16 9

16 . 9

7、已知圆 C : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A(1,0) 。 (1)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆相交于 P、Q 丙点,线段 P Q 的中点为 M ,又 l1 与 l 2 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的交 点为 N ,判断 AM ? AN 是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由。 解: (1)①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,符合题意。

……2 分

②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 。 由题意知,圆心 (3,4) 以已知直线 l1 的距离等于半径 2,即: 解之得 k ?

3k ? 4 ? k k 2 ?1

?2,
……5 分 ……6 分

3 4

所求直线方程是 x ? 1 , 3x ? 4 y ? 3 ? 0

(2)解法一:直线与圆相交,斜率必定存在,且不为 0,可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0

由?

?x ? 2 y ? 2 ? 0 2k ? 2 3k ,? ) 得 N( 2K ? 1 2K ? 1 ?kx ? y ? l ? 0

……8 分

? y ? kx ? k k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k ? , ) ……11 分 又直线 CM 与 l1 垂直,由 ? 得M( 1 1? k 2 1? k 2 y ? 4 ? ? ( x ? 3) ? k ?
∴ AM ? AN ?

(

k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k 2 2k ? 2 3k 2 2 ? 1 ) ? ( ) ? ( ? 1) 2 ? (? ) 2 2 2k ? 1 2k ? 1 1? k 1? k
……13 分

?

2 2k ? 1 1? k 2

1? k 2 ?

3 1? k 2 ? 6 为定值。 2k ? 1
……15 分

故 AM ? AN 是定值,且为 6。 总结备忘:

8、已知

C 过 点 P(1,1) , 且 与

M : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 (r ? 0) 关 于 直 线

x ? y ? 2 ? 0 对称. (Ⅰ)求 C 的方程;
C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; (Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互 补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.
(Ⅱ)设 Q 为

?a ? 2 b ? 2 ? ?2?0 ? ?a ? 0 ? 2 2 解:(Ⅰ)设圆心 C ( a, b) ,则 ? ,解得 ? …………(3 分) b?2 b?0 ? ? ?1 ? a?2 ? 2 则 圆 C 的 方 程 为 x2 ? y 2 ? r 2, 将 点 P 的 坐 标 代 入 得 r ? 2 , 故 圆 C 的 方 程 为

x2 ? y 2 ? 2 ………(5 分)
(Ⅱ)设 Q( x, y ) ,则 x2 ? y 2 ? 2 ,且 PQ ? MQ ? ( x ?1, y ?1) ? ( x ? 2, y ? 2) = x2 ? y 2 ? x ? y ? 4 = x ? y ? 2 ,…………………………(7 分) 所以 PQ ? MQ 的最小值为 ?4 (可由线性规划或三角代换求得)…(10 分) ( Ⅲ ) 由 题 意 知 , 直 线 PA 和 直 线 PB 的 斜 率 存 在 , 且 互 为 相 反 数 , 故 可 设 PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,

? y ? 1 ? k ( x ? 1) PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1) , 由 ? 2 ,得 2 ? x ?y ?2 (1 ? k 2 ) x2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k )2 ? 2 ? 0 ………(11 分)
k 2 ? 2k ? 1 因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A ? 1? k 2 k 2 ? 2k ? 1 同理, xB ? , 1? k 2 y ? y A ?k ( xB ? 1) ? k ( xA ? 1) 2k ? k ( xB ? xA ) 所以 k AB ? B ? ? ? 1 = kOP xB ? xA xB ? xA xB ? xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行……………………………………(15 分)
总结备忘:

9、已知过点 A(?1, 0) 的动直线 l 与圆 C : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 相交于 P 、Q 两点,M 是 PQ 中点, l 与直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N . (1)求证:当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (3) 探索 AM ? AN 是否与直线 l 的倾斜角有关, 若 无关,请求出其值;若有关,请说明理由. N C· l M Q · x y

· A

P O

1 解析: (1)∵ l 与 m 垂直,且 k m ? ? ,∴ kl ? 3 , 3
故直线 l 方程为 y ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 3 ? 0 ………2 分 ∵圆心坐标(0,3)满足直线 l 方程, ∴当 l 与 m 垂直时, l 必过圆心 C ………………… …4 分 (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时 , 易知 x ? ?1 符合题 意…………………6 分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 , ∵ PQ ? 2 3 ,∴ CM ? 则由 CM ?

m 第 17 题 y l l M Q · x m l



P · A O N
第 17 题

4 ? 3 ? 1 ,………………………………………8 分
4 , ∴直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 3

| ?k ? 3 | k 2 ?1

? 1 ,得 k ?

故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ………………………………………10 分 (3)∵ CM ? MN ,∴ AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN ……12 分

5 5 ① 当 l 与 x 轴垂直时,易得 N (?1, ? ) ,则 AN ? (0, ? ) ,又 AC ? (1,3) , 3 3
∴ AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 ………………………………………………………14 分 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

则由 ?

? y ? k ( x ? 1) ? 3k ? 6 ? 5 k ?5 ?5k , , ) ,得 N ( ),则 AN ? ( 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3 y ? 6 ? 0
?5 ?15k ? ? ?5 1 ? 3k 1 ? 3k

∴ AM ? AN ? AC ? AN =

综上所述, AM ? AN 与直线 l 的斜率无关,且 AM ? AN ? ?5 .…………………16 分

总结备忘:

10、已知圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1, 直线l1过点A(3, 且与圆 O 相切。 0), (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴交与 P,Q 两点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂 直的直线为 l 2 ,直线 PM 交直线 l 2 于点 P ,直线 QM 交直线 l 2 于点 Q' 。求证:以 P 'Q' 为直径的圆 C 总过定点,并求出定点坐标。
'

解析: (1)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C : x ? y ? 1相切,
2 2

设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 , …………………………2 分 则圆心 O (0, 0) 到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k2 ?1

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . …… …………………4 分 4 4

(2)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) .又直线 l2 过点 A 且 与 x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x ? 3 ,设 M ( s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?

t ( x ? 1). s ?1

? x ? 3, 4t 2t ? 解方程组 ? ,得 P' (3, ). 同理可得, Q' (3, ). ……………… 10 分 t y? ( x ? 1) s ?1 s ?1 ? s ?1 ?
∴以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 又 s 2 ? t 2 ? 1 ,∴整理得 ( x2 + y 2 - 6 x + 1) +

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

6s - 2 y = 0 ,……………………… 12 分 t

若圆 C ? 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) . …………………………………………… 14 分 总结备忘: 11、已知以点 P 为圆心的圆经过点 A ? ?1,0? 和 B ? 3, 4 ? ,线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于 点 C 和 D ,且 | CD |? 4 10 .

(1)求直线 CD 的方程; ⑵求圆 P 的方程; ⑶设点 Q 在圆 P 上,试问使△ QAB 的面积等于 8 的点 Q 共有几个?证明你的结论. .解:⑴ 直线 AB 的斜率 k ? 1 , AB 中点坐标为 ?1, 2 ? , ∴ 直线 CD 方程为 y ? 2 ? ? ? x ?1?即x+y-3=0 ⑵ 设圆心 P ? a, b ? ,则由 P 在 CD 上得: (4 分)

a ?b?3 ? 0



又直径 | CD |? 4 10 ,? | PA |? 2 10 ,?(a ? 1)2 ? b2 ? 40 又 PA ? PB ? 24 ∴ a 2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 27 ? 0 ② (7 分)

由① ② 解得

?

a ? ?3 b ?6 或

?

a ?5 b ? ?2

∴ 圆心 P ? ?3,6? 或 P ? 5, ?2? ∴ 圆 P 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 6 ? ? 40
2 2

或 ? x ? 5 ? ? ? y ? 2 ? ? 40
2 2

(9 分)

⑶ AB ?

42 ? 42 ? 4 2 ,∴ 当△ QAB 面积为 8 时 ,点 Q 到直线 AB 的距离为 2 2 。
又圆心 P 到直线 AB 的距离为 4 2 ,圆 P 的半径 r ? 2 10 且

4 2 ? 2 2 ? 2 10
∴ 圆上共有两个点 Q 使 △ QAB 的面积为 8 总结备忘: . (14 分)

12、在平面直角坐标系 xOy 中,平行于 x 轴且过点 A 3 3, 2 的入射光线 l1 被直线 l:

?

?

y?

3 x 反射,反射光线 l2 交 y 轴于 B 点.圆 C 过点 A 且与 l1、l2 相切. 3

(1)求 l2 所在的直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P、Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点,求 PB+PQ 的最小值及此时点 P 的坐标. y l A O B l2 x l1

解析. (Ⅰ)直线 l1 : y ? 2, 设 l1交l于点D,则( . D 2 3, 2)

l 的倾斜角为 30 ,?l2的倾斜角为60 , ……………………2 分

? k2 ? 3. ? 反射光线 l2 所在的直线方程为
y ? 2 ? 3( x ? 2 3) . 即 3x ? y ? 4 ? 0 .……………………4 分 已知圆 C 与 l1切于点A ,设C(a,b)
圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,?b ? ? 3a ? 8 又圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上,? a ? 3 3 圆 C 的半径 r=3. 故所求圆 C 的方程为 ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 . (Ⅱ)设点 B ? 0, ?4? 关于 l 的对称点 B?( x0 , y0 ) , 则 …………………10 分 ①…………6 分

②,由①②得 ?

?a ? 3 3 ? , ? ?b ? ?1

y0 ? 4 y ?4 3 x0 ? ? ,且 0 ?? 3 2 3 2 x0

…………………12 分

得 B?(?2 3, 2) .固定点 Q 可发现,当 B?、P、Q 共线时, PB ? PQ 最小, 故 PB ? PQ 的最小值为为 B?C ? 3 . ……………………14 分

? y ?1 x ?3 3 ? ? 3 1 ? 2 ? 1 ?2 3 ? 3 3 ,得 P ( , ), 最小值 B?C ? 3 ? 2 21 ? 3 . ………………16 分 ? 2 2 3 ? y? x ? 3 ?
总结备忘:

13、设圆 C1 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3m ? 2) 2 ? 4m 2 ,直线 l 的方程为 (1)求 C1 关于 l 对称的圆 C 2 的方程;

y ? x?m?2.

(2)当 m 变化且 m ? 0 时,求证: C 2 的圆心在一条定直线上,并求 C 2 所表示的一系列圆 的公切线方程. 解: (1)圆 C1 的圆心为 C1(-2,3m+2) ,设 C1 关于直线 l 对称点为 C2(a,b)
? b ? 3m ? 2 ? ?1      ? 则? a?2 3m ? 2 ? b a ? 2 ? ? ?m?2 2 2 ?
?a ? 2 m ? 1 ? b ? m ?1

解得: ?

∴圆 C2 的方程为 ( x ? 2m ? 1) 2 ? ( y ? m ? 1) 2 ? 4m2

(2)由 ?

?a ? 2 m ? 1 消去 m 得 a-2b+1=0 ? b ? m ?1

即圆 C2 的圆心在定直线 x-2y+1=0 上。 设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,则
k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b 1? k 2 ? 2m

即 (?4k ? 3)m2 ? 2(2k ? 1)(k ? b ? 1)m ? (k ? b ? 1) 2 ? 0 ∵直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的 m 值都成立,所以有:
? ? 4k ? 3 ? 0       ? ? 2(2k ? 1)(k ? b ? 1) ? 0 ?(k ? b ? 1) 2 ? 0      ?

3 ? ?k ? ? 4 解之得: ? 7 ?b? 4 ?
3 4 7 4

所以 C 2 所表示的一系列圆的公切线方程为: y ? ? x ? 总结备忘:

14、已知过点 A(0,1) ,且方向向量为 a ? (1, k )的直线l与 相交于 M、N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN ? 定值 ; (3)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12, 求k的值 .

C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1,

直线l过点(0,1)且方向向量a ? (1, k ), ?直线l的方程为y ? kx ? 1 ……………………2 分 2k ? 3 ? 1 由 ? 1, 得 k 2 ?1 4? 7 4? 7 ……………………5 分 ?k? 3 3 ? 2? 设焦点的 C的一条切线为AT ,T为切点,则AT 2 =7
解: (1)

? AM ? AN ? AM AN cos 0? ? AT 2 ? 7 ? AM ? AN为定值. ……………………9 分

(3)设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 将y ? kx ? 1代入方程(x-2)2 +(y-3)2 =1得 (1+k 2 )x2 -4(1+k )x+7=0 ……………………11 分 4(1+k 2 ) 7 ? x1 +x2 = , x1 x2 ? ……………………12 2 1? k 1? k 2

? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ?

4k(1+k ) ? 8 ? 12 1? k 2

4k(1+k ) ? 4, 解得k ? 1 又当k ? 1时, ? ? 0,? k ? 1 ……………………14 分 1? k 2

总结备忘:

15、 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中,A(a,0) (a ? 0) ,B(0, a) ,C ( ?4, 0) ,D(0, 4) , 设 ?AOB 的外接圆圆心为 E. (1)若⊙E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值; (2)设点 P 在圆 E 上,使 ?PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个,试问这样的⊙E 是 否存在,若存在,求出⊙E 的标准方程;若不存在,说明理由. y D 解: (1)直线 CD 方程为 y ? x ? 4 ,圆心 E ( , ) , 半径 r ?

a a 2 2

B E C O A x

2 a. 2
|

a a ? ?4| ( 第 16 2 ? a ,解得 a ? 4 .…………………………………………6 由题意得 2 2 分 题) 2 2
(2)∵ | CD |?

(?4) 2 ? 42 ? 4 2 ,

∴当 ?PCD 面积为 12 时,点 P 到直线 CD 的距离为 3 2 , 又圆心 E 到直线 CD 距离为 2 2 (定值),要使 ?PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三 个,只须圆 E 半径
2a ? 5 2 ,解得 a ? 10 , 2

此时,⊙E 的标准方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 50 .……………………………………14 分 总结备忘:

16、已知⊙ O : x ? y ? 1和定点 A(2,1) ,由⊙ O 外一点 P (a, b) 向⊙ O 引切线 PQ ,切
2 2

点为 Q ,且满足 | PQ |?| PA | . (1) 求实数 a、 b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值;

(3) 若以 P 为圆心所作的⊙ P 与⊙ O 有公共点,试求半径取最小值时的⊙ P 方程.

解: (1)连 OP,

Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ
2 2
2 2

2

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .即: (a2 ? b2 ) ?12 ? (a ? 2)2 ? (b ?1)2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 . (3 分)

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ? (3)设

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

(7 分)

P 的半径为 R ,

P与

O 有公共点,

O 的半径为 1,

? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ?1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

3 6 时, OP ? 3 5. 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . min 5 5 5 5

得半径取最小值时 解法 2:

P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 .
5 5 5

(12 分)

P与

O 有公共点,

P 半径最小时为与

O 外切(取小者)的情形,而这些半
y
2

径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点 与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0.

r =

3 2
2

+ 1

2

3 5 -1 = -1. 5
O

A
P0
2

又 l’:x-2y = 0,

x P
l

6 ? x? , ? x ? 2 y ? 0, 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ,得 ? ? ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 总结备忘: (12 分)

Q

17、已知以点 C (t , )( t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A ,与 y 轴交于点 O 、 B , 其中 O 为原点。 (1) 求证: ?OAB 的面积为定值; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程。 .解 (1)?圆C过原点O ,? OC ? t ?
2 2

2 t

4 . t2 2 2 4 2 2 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ? S ?OAB ? OA ? OB ? ? | | ? | 2t |? 4 ,即: ?OAB 的面积为定值. 2 2 t
(2)? OM ? ON , CM ? CN , ? OC 垂直平分线段 MN .

? k MN ? ?2,? k oc ? ?

1 1 ,? 直线 OC 的方程是 y ? x . 2 2

2 1 ? t ,解得: t ? 2或t ? ?2 t 2

当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点.

9 5
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

? 5,

当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 , 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,

9 5

? 5

? t ? ?2 不符合题意舍去.

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 .
总结备忘:

18、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 9 ,点 A(?5, 0) ,直线 l : x ? 2 y ? 0 .⑴求与圆 C 相切,且与直线 l 垂直的直线方程; ⑵在直线 OA 上 ( O 为坐标原点) , 存在定点 B(不同于点 A ) , 满足: 对于圆 C 上任一点 P ,

PB 为一常数,试求所有满足 PA 条件的点 B 的坐标.
都有
P

y

解:⑴设所求直线方程为 y ? ?2 x ? b ,即 2 x ? y ? b ? 0 ,
A B O x

直线与圆相切,∴ | ?b | ? 3 ,得 b ? ?3 5 ,∴所求直线方 2 2
2 ?1

程为 y ? ?2x ? 3 5 ---------5 分 ⑵方法 1:假设存在这样的点 B(t , 0) ,当 P 为圆 C 与 x 轴左交点 (?3, 0) 时, PB ? | t ? 3 | ;
PA 2

当 P 为圆 C 与 x 轴右交点 (3, 0) 时, PB ? | t ? 3 | ,
PA 8

依题意, | t ? 3 | ? | t ? 3 | ,解得, t ? ?5 (舍去) ,或 t ? ? 9 。
2 8

5

------------------------------8 分

下面证明 点 B(? , 0) 对于圆 C 上任一点 P ,都有

9 5

PB 为一常数。 PA

设 P( x, y ) ,则 y ? 9 ? x ,
2 2

9 18 81 18 ( x ? )2 ? y 2 x 2 ? x ? ? 9 ? x 2 (5x ? 17) 2 PB 9 5 5 25 25 ∴ 2? ? ? ? , PA ( x ? 5)2 ? y 2 x2 ? 10 x ? 25 ? 9 ? x2 2(5x ? 17) 25

从而 分

PB 3 ? 为常数。 PA 5

------------------------------15

方法 2:假设存在这样的点 B(t , 0) ,使得 ∴

PB 2 2 2 为常数 ? ,则 PB ? ? PA , PA
, 将 , 即

( x ? t )2 ? y2 ? ? 2[( x ? 5)2 ? y2 ]

y 2 ? 9 ? x2 2 ? (2? 5t







, 对

x2 ? 2xt ? t 2 ? 9 ? x2 ? ? 2 ( x2 ? 10x ? 25 ? 9 ? x2 )

2 2 ? x )? ? 3? t4 ?

9

0

x ?[?3,3] 恒成立,

---------------------------8 分

3 ? ?? ? 2 ? ? 1 (舍去) ? ? 5 5 ? ? t ? 0, ∴? ,解得 ? 或? , ? ? 2 2 9 t ? ?5 ? 34 ? ? t ? 9 ? 0, ? ? ? t?? ? 5 ?

所以存在点 B(? , 0) 对于圆 C 上任一点 P ,都有 总结备忘:

9 5

3 PB 为常数 。 5 PA

---------------------15 分

19、已知圆 C 通过不同的三点 P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1) , 且圆 C 在点 P 处的切线的斜率为 1. (1)试求圆 C 的方程; (2)若点 A、B 是圆 C 上不同的两点,且满足 CP ? CA ? CP ? CB , ①试求直线 AB 的斜率; ②若原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,试求直线 AB 在 y 轴上的截距的范围。

解析.(1)设圆方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 则圆心 C ( ?

D E ,? ) ,且 PC 的斜率为-1……………………2 分 2 2

y

x

? 1? E ? F ? 0 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? D 2?m ? ? ? ? 2 2 所以 ? ……………………6 分 E ? ? ?0 ? 2 ? ?1 ? D ? ?m ? ? 2

P O · C

R Q

? D ?1 第 18 题 ? E ?5 ? 2 2 解得 ? ,所以圆方程为 x ? y ? x ? 5 y ? 6 ? 0 ……………………8 分 F ? ? 6 ? ? ? m ? ?3
(2)① CP ? CA ? CP ? CB ? CP ? (CA ? CB) ? 0 ? CP ? AB ? 0 ? CP ? AB , 所以 AB 斜率为 1…………………12 分 ②设直线 AB 方程为 y ? x ? t , 代入圆 C 方程得 2 x 2 ? (2t ? 6) x ? t 2 ? 5t ? 6 ? 0

? ?? ? 0 ? ?7 ? t ? 3 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 ? x1 ? x 2 ? ?t ? 3 ? t 2 ? 5t ? 6 ? x1 x 2 ? 2 ?
原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,即 OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ……14 分 整理得, t ? 2t ? 6 ? 0 ? ? 7 ? 1 ? t ?
2

7 ? 1 …………………16

总结备忘:

20、如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 1 ,以 A 为圆 心 1 为半径的圆与 AB 交于 E (圆弧 DE 为圆在矩形内的部 分) (Ⅰ)在圆弧 DE 上确定 P 点的位置,使过 P 的切线 l 平分 矩形 ABCD 的面积; (Ⅱ)若动圆 M 与满足题(Ⅰ)的切线 l 及边 DC 都相切, 试确定 M 的位置,使圆 M 为矩形内部面积最大的圆.

l D P M C

A

E

B

.解(Ⅰ)以 A 点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. 设 P ? x0 , y0 ? , B

3 ,0 , D?0,1? ,圆弧 DE 的方程 x 2 ? y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0? 切线 l 的方程:x 0 x ? y 0 y ? 1(可以推导: 设直线 l 的斜率为 k , 由直线 l 与圆弧 DE x x 相切知: AP ? l ,所以 k ? ? 0 ,从而有直线 l 的方程为 y ? y 0 ? ? 0 ? x ? x 0 ? ,化简 y0 y0 即得 x 0 x ? y 0 y ? 1 ) . 1 ? y0 1 设 l 与 AB、CD 交于 F、G 可求 F( , 0 ) ,G( , l 平分矩形 ABCD 面积, ,1 ) x0 x0 1 1 ? y0 ? 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 ……① ? FB ? GN ? 3 ? ? x0 x0
3 1 3 1 , y0 ? ,? P( , ) . 2 2 2 2 (Ⅱ)由题(Ⅰ)可知:切线 l 的方程: 3x ? y ? 2 ? 0 , 当满足题意的圆 M 面积最大时必与边 BC 相切,设圆 M 与直线 l 、 BC、DC 分别切 于 R、Q、T ,则 MR ? MT ? MQ ? r ( r 为圆 M 的半径) .
2 2 又 x0 ? y0 ? 1……②

?

?

解①、②得: x0 ?

? M ( 3 ? r,1 ? r) ,由 ? M 点坐标为 (

3( 3 ? r ) ? 1 ? r ? 2 3 ? 12
2

? r ? r ? 3 ? 1(舍), r ?

3? 3 . 3

4 3 ?3 3 , ). 3 3

注意:直线与圆应注意常见问题的处理方法,例如圆的切线、弦长等,同时应注重结合图形 加以分析,寻找解题思路。 总结备忘:

21、已知圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 (1)若 ?APB ? 60 ,试求点 P 的坐标; P 点作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B . (2) 若 P 点的坐标为 (2,1) , 过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点, 当 CD ? 2 时, 求直线 CD

的方程; (3)求证:经过 A, P , M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

2mm , ) 解: (1) 设 P(

m ? 0, m ? , 由题可知 MP ? 2 , 所以 (2m)2 ? (m ? 2)2 ? 4 , 解之得:
8 4 5 5

4 5

故所求点 P 的坐标为 P(0, 0) 或 P ( , ) . ………………4分 (2)设直线 CD 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2) ,易知 k 存在,由题知圆心 M 到直线 CD 的距

离为

2 2 ?2k ? 1 ,所以 , ? 2 2 1? k 2
1 , 7

…………6 分

解得, k ? ?1 或 k ? ?

故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 .………………………8 分 (3)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q ( m,

m ? 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) ? ( y ?
2

m m ? 1) 2 ? m2 ? ( ? 1)2 ……………………………10 分 2 2

化简得: x2 ? y 2 ? 2 y ? m( x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式,

? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, ? x ? 0 ? x ? 1, 故? 解得 ? 或? ? y ? 2 ? y ? 1. ? x ? y ? 2 ? 0,
所以经过 A, P , M 三点的圆必过定点 (0, 2) 或 (1,1) .…………………………………14 分 总结备忘:

22、已知圆 M : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,设点 B, C 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的两点, 它们的横坐标分别是 t , t ? 4(t ? R) ,点 P 在线段 BC 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA ,切 点为 A . (1)若 t ? 0 , MP ? 5 ,求直线 PA 的方程; (2)经过 A, P , M 三点的圆的圆心是 D ,求线段 DO 长的最小值 L(t ) . 解: (1)设 P(2a, a)(0 ? a ? 2).

M (0,2), MP ? 5,? (2a)2 ? (a ? 2)2 ? 5.

解得 a ? 1 或 a ? ? (舍去) .? P(2,1). 由题意知切线 PA 的斜率存在,设斜率为 k. 所以直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 1 ? 0. 直线 PA 与圆 M 相切,?

1 5

| ?2 ? 2k ? 1| 1? k
2

4 ? 1 ,解得 k ? 0 或 k ? ? . 3

?直线 PA 的方程是 y ? 1 或 4 x ? 3 y ? 11 ? 0. (2)设 P(2a, a)(t ? 2a ? t ? 4).

PA 与圆 M 相切于点 A,? PA ? MA.
?经过 A, P , M 三点的圆的圆心 D 是线段 MP 的中点. a M (0, 2),? D 的坐标是 (a, ? 1). 2 a 5 5 2 4 设 DO2 ? f (a).? f (a) ? a2 ? ( ? 1)2 ? a2 ? a ? 1 ? (a ? )2 ? . 2 4 4 5 5 t 2 4 t 5 t 当 ? ? ,即 t ? ? 时, f (a)min ? f ( ) ? t 2 ? ? 1; 2 5 5 2 16 2 t 2 t 24 4 2 4 当 ? ? ? ? 2 ,即 ? ? t ? ? 时, f (a)min ? f (? ) ? ; 2 5 2 5 5 5 5 t 2 24 当 ? 2 ? ? ,即 t ? ? 时 2 5 5 t 5 t t 15 f (a)min ? f ( ? 2) ? ( ? 2)2 ? ( ? 2) ? 1 ? t 2 ? 3t ? 8 2 4 2 2 16
4 ?1 2 ? 4 5t ? 8t ? 16, t ? ? 5 ? 4 ? 2 5 24 则 L(t ) ? ? ,? ? t ? ? 5 5 ? 5 24 ?1 2 ? 4 5t ? 48t ? 128, t ? ? 5 ?

总结备忘:

23、 (2009 年江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 C1: ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 和圆 C2: ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4 .
2 2 2 2

(Ⅰ)若直线 l 过点 A(4, 0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂的直线 l1 和 l2, 它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与 直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 解: (Ⅰ)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) , 圆心 C1 到直线 l 的距离为 d ,

y C2

C

因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3 , 所以 d ?

2 2 ? ( 3) 2 ? 1
∴k=0 或 k ? ?

d?

| 1 ? k (?3 ? 4) | 1? k 2

?1 ,

k (24k ? 7) ? 0

,

7 24

所求直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0 (Ⅱ)设点 P(a, b) 直线 l1: y ? b ? k ( x ? a) ;l2: y ? b ? ?

1 ( x ? a) k

因为圆 C1、圆 C2 的半径相等,且分别被直线 l1、l2 截得的弦长相等, 所以圆心 C1 到直线 l1 的距离、圆心 C2 到直线 l2 的距离相等.

1 (4 ? a) ? b | | 1 ? k (?3 ? a ) ? b | k ? 1 1? k 2 1 ? ( )2 k | (a ? 3)k ? (1 ? b) |?| (5 ? b)k ? (4 ? a) | |5?
(a+3)k+(1-b)=(5-b)k+(4-a) -a) ∵k 的取值有无穷多个 ∴? 或

,

(a+3)k+(1-b)=-(5-b)k-(4 或

?a ? 3 ? 5 ? b ?1 ? b ? 4 ? a
5 2

?a ? 3 ? ?5 ? b ? ?1 ? b ? ?4 ? a

5 ? a? ? ? 2 解得 ? ?b ? ? 1 ? 2 ?
总结备忘:

3 ? a?? ? ? 2 或? 13 ?b ? ? 2 ?

∴P ( , ?

1 3 13 ) 或 P(? , ) 2 2 2

24. (2008 年江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 设二次函数 f (x)=x2+2x+b(x∈ R)的图像与两个坐标轴有三个交点, 经过这三点的圆记为 C. (Ⅰ )求实数 b 的取值范围; (Ⅱ )求圆 C 的方程; (Ⅲ )问圆 C 是否经过定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 解一: (Ⅰ)若 b=0,则 f (x)=x2+2x 与坐标轴只有两个交点(0, 0)和(-2 ,0), 矛盾! ∴b≠0 , 二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? b 的图象与 y 轴有一个非原点的交点 (0 ,b), 故它与 x 轴必有两个交点, 方程 x2+2x+b=0 有两个不相等的实数根, △>0, 4-4b>0 , ∴ b<1 且 b≠0 ∴b 的取值范围是(- ? , 0) ? (0 ,1). (Ⅱ)由方程 x2+2x+b=0 得 x ? ?1 ? 1 ? b , ∴函数 f ( x) ? x ? 2 x ? b 的图象与坐标轴的交点为 (0 ,b) ,(-1- 1 ? b , 0) , (-
2

1+ 1 ? b , 0),

设圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0

?(?1 ? 1 ? b ) 2 ? D(?1 ? 1 ? b ) ? F ? 0 ? 2 ?(?1 ? 1 ? b ) ? D(?1 ? 1 ? b ) ? F ? 0 ? b 2 ? Eb ? F ? 0 ?

? D?2 ? ? E ? ?(b ? 1) ? F ?b ?

∴圆 C 的方程为 x2+y2+2x-(b+1)y+b=0 (Ⅲ)圆 C 的方程为 (x2+y2+2x-y)+b (1-y)=0 ∵b<1 且 b≠0 ∴?

?x 2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0 ? x ? 0 ? x ? ?2 ∴? ∴圆 C 过定 ? y ? 1 y ? 1 1 ? y ? 0 ? ? ?

点(0,1)和(-2,1). 解二: (Ⅰ)令 x=0,得抛物线于 y 轴的交点是(0,b) 令 f(x)=0,得 x2+2x+b=0,由题意 b≠0 且△>0,解得 b<1 且 b≠0 (Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 令 y=0,得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F =b 令 x=0,得 y2+Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1 所以圆 C 的方程为 x2+y2+2x -(b+1)y+b=0 (Ⅲ)圆 C 必过定点(0, 1) , (-2, 1) 证明如下:将(0, 1)代入圆 C 的方程,得左边= 02+12+2×0-(b+1)×1 +b=0,右边=0 所以圆 C 必过定点(0, 1) ;同理可证圆 C 必过定点(-2, 1). 总结备忘:

y

25、如图平面上有 A(1 , 0)、B(-1 , 0)两点,已知圆 C 的方程为

C P x B O A

? x ? 3?

2

? ? y ? 4 ? ? 22 .
2

(Ⅰ )在圆 C 上求一点 P1 使△ ABP1 面积最大并求出此面积; (Ⅱ )求使 | AP | ? | BP | 取得最小值时的圆 C 上的点 P 的坐标.
2 2

解: (Ⅰ )∵ 三角形的面积只与底长和高有关系, 又|AB|=2 为定值, ∴ 在圆上只要找到最高 点即可. 又∵ 圆心 C 坐标为(3, 4) ,半径为 2 ∴ P1 横坐标为 3, 纵坐标为 4+2=6 P1 (3, 6),

1 S?ABP1 ? ? 2 ? 6 ? 6 2
2 2
2

(Ⅱ )设 P(x , y), 则由两点之间的距离公式知

AP ? BP = ? x ? 1? ? y 2 ? ? x ? 1? ? y 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? 2 =2 OP ? 2
2 2

y C P

要使 | AP | 2 ? | BP | 2 取得最小值只要使 | OP | 2 最小即可又 P 为圆上的点,所以

| OP | min ?| OC | ?r = 32 ? 42 ? 2 ? 3
∴ AP ? BP

( r 为半径) 此时直线 OC : y ?

?

2

2

?

min

? 2 ? 32 ? 2 ? 20

4 x 3

9 ? 4 ? x? y ? x ? ? ? 5 3 由? 解得 ? ?? x ? 3 ? 2 ? ? y ? 4 ? 2 ? 4 ? y ? 12 ? ? 5 ?

21 ? x? ?3 ? ? 5 或? ? y ? 28 ? 5 ?

(舍去)∴ 点 P 的坐标为

? 9 12 ? ? , ? ?5 5 ?
总结备忘:

江苏省黄埭中学高二(8)班专用资料

2011-9-30



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