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高考数学必胜秘诀在哪?――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(十四)高考数学选择题的解题策略


高考数学必胜秘诀在哪? ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 十四、高考数学选择题的解题策略
数学选择题在当今高考试卷中,不但题目多,而且占分比例高,即使今年江苏试题的题量发生了一些变化,选 择题由原来的 12 题改为 10 题,但其分值仍占到试卷总分的三分之一。数学选择题具有概括性强,知识覆盖面广, 小巧灵活,且有一定的综合性和深度等特点,考生能否迅速、准确、全

面、简捷地解好选择题,成为高考成功的关 键。 解答选择题的基本策略是准确、迅 速。准确是解答选择题的先决条件,选择题不设中间分,一步失误,造成错 选,全题无分,所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏,确保准确;迅速是赢得时间获取高分的必要条 件,对于选择题的答题时间,应该控制在不超过 40 分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在 1~3 分钟内 解完,要避免―超时失分‖现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题,个别题属于较难题,当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速 选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想,但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选 择支中有且仅有一个是正确的,因而,在解答时应该突出一个―选‖字,尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和 选择支两方面提供的信息,依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取,这是解选择题的 基本策略。

(一)数学选择题的解题方法
1、直接法:就是从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断,直接得出结论再与选择支对照,从而作出 选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例 1 、 某 人 射 击 一 次 击 中 目 标 的 概 率 为 0.6 , 经 过 3 次 射 击 , 此 人 至 少 有 2 次 击 中 目 标 的 概 率 为 ( )

A.

81 125

B.

54 125

C.

36 125

D.

27 125

解析:某人每次射中的概率为 0.6,3 次射击至少射中两次属独立重复实验。
6 4 6 27 3 C32 ? ( ) 2 ? ? C3 ? ( ) 3 ? 10 10 10 125

故选 A。

例 2、有三个命题:①垂直于同一个平面的两条直线平行;②过平面 α 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 α 垂 直;③异面直线 a、b 不垂直,那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直。其中正确命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

解析:利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断,易得都是正确的,故选 D。 例 3、已知 F1、F2 是椭圆 等于( ) B.10 C.9 D.16

x2 y2 + =1 的两焦点,经点 F2 的的直线交椭圆于点 A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1| 16 9

A.11 =11,故选 A。

解析: 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8, 两式相加后将|AB|=5=|AF2|+|BF2|代入, 得|AF1|+|BF1|

例 4、已知 y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( )

A. (0,1)

B. (1,2)

C. (0,2)

D.[2,+∞)

解析:∵a>0,∴y1=2-ax 是减函数,∵ y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数。 ∴a>1,且 2-a>0,∴1<a<2,故选 B。 2、特例法:就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等 对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真 伪的方法。用特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊愈好。 (1)特殊值 例 5、若 sinα>tanα>cotα( ? A.( ?

?
4

?? ?

?
2

),则 α∈( ) C. (0,

?
2

,?

?
4

)

B. ? (

?
4

,0)

? ) 4

D. (

? ? , ) 4 2

? π ? ? ? ,取 α=- 代入 sinα>tanα>cotα,满足条件式,则排除 A、C、D,故选 B。 4 2 6 例 6、一个等差数列的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则它的前 3n 项和为( )
解析:因 ? A.-24 B.84 C.72 D.36 解析:结论中不含 n,故本题结论的正确性与 n 取值无关,可对 n 取特殊值,如 n=1,此时 a1=48,a2=S2-S1=12, a3=a1+2d= -24,所以前 3n 项和为 36,故选 D。 (2)特殊函数 例 7、如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 C.增函数且最大值为-5 解析: 构造特殊函数 f(x)= 故选 C。 例 8、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数,设 a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)· f(-a)≤0;②f(b)· f(-b)≥0; ③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。其中正确的不等式序号是( A.①②④ (3)特殊数列 例 9、已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? ??? ? a101 ? 0 ,则有 A、 a1 ? a101 ? 0 B、 a2 ? a102 ? 0 C、 a3 ? a99 ? 0 ( D、 a51 ? 51 ) B.①④ C.②④ D.①③ 解析:取 f(x)= -x,逐项检查可知①④正确。故选 B。 ) B.减函数且最小值是-5 D.减函数且最大值是-5

?

5 x, 虽然满足题设条件, 并易知 f(x)在区间[-7, -3]上是增函数, 且最大值为 f(-3)=-5, 3

解析:取满足题意的特殊数列 an ? 0 ,则 a3 ? a99 ? 0 ,故选 C。 (4)特殊位置 例 10、 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点, PF 与 FQ 的长分别是 p、q , 过 若 则
2

1 1 ? ? p q



) A、 2a B、

1 2a

C、 4a

D、

4 a

解析:考虑特殊位置 PQ⊥OP 时, | PF |?| FQ |?

1 1 1 ,所以 ? ? 2a ? 2a ? 4a ,故选 C。 p q 2a

例11、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶 的形状是 ( )

解析:取 h ? (5)特殊点

H 1 ,由图象可知,此时注水量 V 大于容器容积的 ,故选B。 2 2
x ( x ? 0) ,则其 反函数 f
?1

例 12、设函数 f ( x) ? 2 ?

( x) 的图像是





A、

B、

C、

D、

解析:由函数 f ( x) ? 2 ?


x ( x ? 0) ,可令 x=0,得 y=2;令 x=4,得 y=4,则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数


f 1(x)的图像上,观察得 A、C。又因反函数 f 1(x)的定义域为 {x | x ? 2} ,故选 C。 (6)特殊方程 例 13、双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为 α,离心率为 e,则 cos A.e B.e2 C.

? 等于( ) 2

1 e

D.

1 e2
x2 - 4

解析:本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式,故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为

y2 5 ? 2 =1,易得离心率 e= ,cos = ,故选 C。 2 1 2 5
(7)特殊模型 例 14、如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么

y 的最大值是( x
D. 3



A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

解析: 题中

y ? y1 y y?0 可写成 。 联想数学模型: 过两点的直线的斜率公式 k= 2 , 可将问题看成圆(x-2)2+y2=3 x 2 ? x1 x?0 x

上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值,即得 D。

3、图解法:就是利用函数图像或数学结果的几何意义,将数的问题(如解方程、解不等式、求最值,求取值范 围等)与某些图形结合起来,利用直观几性,再辅以简单计算,确 定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想,每年高考均有很 多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决,既简 捷又迅速。 例 15、已知 α、β 都是第二象限角,且 cosα>cosβ,则( ) A.α<β C.tanα>tanβ B.sinα>sinβ D .cotα<cotβ 找出 α、β 的终边位置关

解析: 在第二象限角内通过余弦函数线 cosα>cosβ 系,再作出判断,得 B。 例 16、已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4
O

?

?

? a

A

? b

? 3b ? ? a +3 b

B

60° ,那么| a +3 b |=

?

?

| 解析:如图, a +3 b = OB ,在 ?OAB 中,? OA |? 1,| AB |? 3, ?OAB ? 120 ,?由余弦定理得| a +3 b |=|
?

?

?

??? ?

??? ?

??? ?

?

?

??? ? OB |= 13 ,故选 C。
例 17、已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使其前 n 项和 Sn 最小的 n 是( ) A.4 B.5 C.6 D.7

d 2 d n +(a1- )n 可表示 2 2 为过原点的抛物线,又本题中 a1=-9<0, S3=S7,可表示如图,
解析:等差数列的前 n 项和 Sn=

Sn
学_科_网]

[来源:

3 5 O

7 n

3?7 ? 5 ,是抛物线的对称轴,所以 n=5 是抛 2 物线的对称轴,所以 n=5 时 Sn 最小,故选 B。
由图可知,n= 4、验证法:就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择符合 题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时,若能据题意确定代入顺序,则能较大提高解题速度。 例 18、计算机常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0—9 和字母 A—F 共 16 个计数符号,这些符 号与十进制的数的对应关系如下表: 十六进制 十进制 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A 10 B 11 C 12 D 13 ( E 14 ) F 15

例如:用十六进制表示 E+D=1B,则 A× B= A.6E B.72 C.5F D.BO 解析:采用代入检验法,A× 用十进制数表示为 1× B 11=110,而 6E 用十进制数表示为 6× 16+14=110;72 用十进制数表示为 7× 16+2=114

5F 用十进制数表示为 5× 16+15=105;B0 用十进制数表示为 11× 16+0=176,故选 A。 例 19、方程 x ? lg x ? 3 的解 x0 ? ( )

A.(0,1) 解析: x ? ( ,) 若 01

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+∞) , 0 ?l x ? , 1 ? x ?l x ? ; x ? ( ,3 则 g 1 则 g 3 若 2) ,

, l x ? , x ? l x ? ; x ? (,2 则g 0 则 g 1 若 1)

则 0 ? lg x ? 1 ,则 2 ? x ? lg x ? 4 ;若 x ? 3,lg x ? 0 ,则 x ? lg x ? 3 ,故选 C。 5、筛选法(也叫排除法、淘汰法) :就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选择支这一信 息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中 与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是―答案唯一‖,即四个选项中有且 只有一个答案正确。 例 20、若 x 为三角形中的最小内角,则函数 y=sinx+cosx 的值域是( A. (1, 2 ] B. (0, )

3 ] 2

C.[

2 1 , ] 2 2

D. (

2 1 , ] 2 2

解析:因 x 为三角形中的最小内角,故 x ? (0,

?
3

] ,由此可得 y=sinx+cosx>1,排除 B,C,D,故应选 A。

例 21、原市话资费为每 3 分钟 0.18 元,现调整为前 3 分钟资费为 0.22 元,超过 3 分钟的,每分钟按 0.11 元计 算,与调整前相比,一次通话提价的百分率( A.不会提高 7 0% C.不会低于 10% ) B.会高于 70%,但不会高于 90% D.高于 30%,但低于 100%

0.33 - 0.36 3.19 - 1.8 解析:取 x=4,y= ·100%≈-8.3%,排除 C、D;取 x=30,y = ·100%≈77.2%,排除 A, 0.36 1.8 故选 B。 例 22、 给定四条曲线: x 2 ? y 2 ? ① 仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 解析:分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选, 而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直线和曲线

y2 5 x2 y2 x2 , ② ③ ④ ? ? 1, x 2 ? ? 1, ? y 2 ? 1,其中与直线 x ? y ? 5 ? 0 2 9 4 4 4

x2 y2 ? ? 1 是相交的,因为直线上的点 9 4

( 5 ,0) 在椭圆内,对照选项故选 D。
6、分析法:就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选 择的方法。 (1)特征分析法——根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行快速推理,迅速作 出判断的方法,称为特征分析法。 例 23、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联,连线标的数字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信息量,现从结点 A 向结点 B 传送信 息,信息可以分开沿不同的路线同时传送,则单位时间内 传递的最大信息量为( ) A.26 B.24 C.20 D.19 解析:题设中数字所标最大通信量是限制条件,每一支要以最小值来计算,否则无法同时传送,则总数为

3+4+6+6=19,故选 D。 例 24、设球的半径为 R, P、Q 是球面上北纬 600 圈上的两点,这两点在纬度圈上的劣弧的长是 点的球面距离是 A、 3 R B、 ( ) D、

?R
2

,则这两

2?R 2

C、

?R
3

?R
2

解析:因纬线弧长>球面距离>直线距离,排除 A、B、D,故选 C。 例 25、已知 sin ? ? A、

m?3 9?m

m?3 4 ? 2m ? ? , cos? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan 等于 ( 2 m?5 m?5 2 m?3 1 B、 | C、 D、 5 | 9?m 3



解析:由于受条件 sin2θ+cos2θ=1 的制约,故 m 为一确定的值,于是 sinθ,cosθ 的值应与 m 的值无关,进而推知 tan

? ? ? ? ? ? 的值与 m 无关,又 <θ<π, < < ,∴tan >1,故选 D。 2 2 2 4 2 2
(2)逻辑分析法——通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支,选出正确支的方法,称为

逻辑分析法。 例 26、设 a,b 是满足 ab<0 的实数,那么 A.|a+b|>|a-b| B 为真,故选 B。 例 27、 ?ABC 的三边 a, b, c 满足等式 a cos A ? b cos B ? c cos C ,则此三角形必是() A、以 a 为斜边的直角三角形 C、等边三角形 B、以 b 为斜边的直角三角形 D、其它三角形
[来源:学科网]

( C.|a-b|<|a|-|b| D.|a-b|<|a|+|b|



B.|a+b|<|a-b|

解析:∵A,B 是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支 C,D。又由 ab<0,可令 a=1,b= -1,代入知

解析:在题设条件中的等式是关于 a, A 与 b, B 的对称式,因此选项在 A、B 为等价命题都被淘汰,若选项 C 正 确,则有

1 1 1 1 ? ? ,即 1 ? ,从而 C 被淘汰,故选 D。 2 2 2 2

7、估算法:就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数值扩大或缩小,从而对运 算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。 例 28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地区农民人均收入为 3150 元(其中工资源共享 性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元) ,预计该地区自 04 年起的 5 年内,农民的工资源共享性收 入将以每年的年 增 长 率 增 长 , 其 它 性 收 入 每 年 增 加 160 元 。 根 据 以 上 数 据 , 08 年 该 地 区 人 均 收 入 介 于 ( ) (A)4200 元~4400 元 (C)4460 元~4800 元 (B)4400 元~4460 元 (D)4800 元~5000 元
5 1 2 2

解析:08 年农民工次性人均收入为: 1800(1 ? 0.06) ? 1800(1 ? C5 ? 0.06 ? C5 ? 0.06

? 1800(1 ? 0.3 ? 0.036) ? 1800 ?1.336 ? 2405
又 08 年农民其它人均收入为 1350+160 ? 5 =2150 故 08 年农民人均总收入约为 2405+2150=4555(元) 。故选 B。

说明:1、解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法,这里由于限于篇幅,其它方法不再一一举例。 需要指出的是对于有些题在解的过程中 可以把上面的多种方法结合起来进行解题,会使题目求解过程简单化。 2、对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切忌小题大做。―不择手段,多快好省‖是解选择题的基本宗旨。

(二)选择题的几种特色运算
1、借助结论——速算 例 29、棱长都为 2 的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A、 3? B、 4? C、 3 3? D、 6? )

解析:借助立体几何的两个熟知的结论: (1)一个正方体可以内接一个正四面体; (2)若正方体的顶点都在一 个球面上, 则正方体的对角线就是球的直径。 可以快速算出球的半径 R ? 2、借用选项——验算

3 , 从而求出球的表面积为 3? , 故选 A。 2

?3 x ? y ? 12, ?2 x ? 9 y ? 36, ? 例 30、若 x, y 满足 ? ,则使得 z ? 3x ? 2 y 的值最小的 ( x, y) 是 2 x ? 3 y ? 24, ? ? x ? 0, y ? 0, ?
A、 (4.5,3) B、 ,6) (3 C、 (9,2) D、 (6,4)





解析:把各选项分别代入条件验算,易知 B 项满足条件,且 z ? 3x ? 2 y 的值最小,故选 B。 3、极限思想——不算 例 31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 ? ,侧面与底面所成的二面角的平面角为 ? ,则

2 cos? ? cos2? 的值是
A、1 B、2 C、-1 D、





3 2
? ? ? ?

解析:当正四棱锥的高无限增大时,? ? 90 , ? ? 90 ,则 2 cos? ? cos 2? ? 2 cos90 ? cos180 ? ?1. 故 选 C。 4、平几辅助——巧算 例 32、在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 ( ) A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 解析:选项暗示我们,只要判断出直线的条数就行,无须具体求出直线方程。以 A(1,2)为圆心,1 为半径 作圆 A,以 B(3,1)为圆心,2 为半径作圆 B。由平面几何知识易知,满足题意的直线是两圆的公切线,而两圆 的位置关系是相交,只有两条公切线。故选 B。 5、活用定义——活算 例 33、若椭圆经过原点,且焦点 F1(1,0) 2(3,0) ,F ,则其离心率为 ( A、 )

3 4

B、

2 3

C、

1 2

D、

1 4

解析:利用椭圆的定义可得 2a ? 4, 2c ? 2, 故离心率 e ? 6、整体思想——设而不算

c 1 ? . 故选 C。 a 2

2 2 例 34、若 (2 x ? 3 ) ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? a3 x ? a 4 x ,则 (a0 ? a2 ? a4 ) ?( a1 ? a3 ) 的值为

4

2

3

4



) A、1 B、-1 C、0 D、2
4

解析:二项式中含有 3 ,似乎增加了计算量和难度,但如果设 a0 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a ? (2 ? 3 ) ,

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b ? (2 ? 3 ) 4 ,则待求式子 ? ab ? [( 2 ? 3 )( 2 ? 3 )] 4 ? 1。故选 A。
7、大胆取舍——估算 例 35、如图,在多面体 ABCDFE 中,已知面 ABCD 是边长 为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 则该多面体的体积为 A、

3 ,EF 与面 ABCD 的距离为 2, 2
( )

9 2

B、5

C、6

D、

15 2

解析:依题意可计算 VE ? ABCD ? 8、发现隐含——少算 例 36 、 y ? kx ? 2与 x ?
2

1 1 S ABCD ? h ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 ,而 VABCDEF ? VE ? ABCD =6,故选 D。 3 3

y2 ? 1 交 于 A 、 B 两 点 , 且 kOA ? kOB ? 3 , 则 直 线 AB 的 方 程 为 2



) A、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 C、 3x ? 2 y ? 4 ? 0 B、 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 D、 3x ? 2 y ? 4 ? 0

解析:解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线 AB 的方程就是 y ? kx ? 2 ,它过定点(0,2) ,只有 C 项满足。故选 C。 9、利用常识——避免计算 例 37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税,利息税由各银行储蓄点代扣代收。某人在 2001 年 9 月存入人 民 币 1 万 元 , 存 期 一 年 , 年 利 率 为 2.25% , 到 期 时 净 得 本 金 和 利 息 共 计 10180 元 , 则 利 息 税 的 税 率 是 ( ) A、8% B、20% C、32% D、80% 解析:生活常识告诉我们利息税的税率是 20%。故选 B。

(三)选择题中的隐含信息之挖掘
1、挖掘“词眼”

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

例 38、过曲线 S : y ? 3x ? x 上一点 A(2, ? 2) 的切线方程为(
3



A、 y ? ?2

B、 y ? 2

C、 9 x ? y ? 16 ? 0
/ 2 /

D、 9 x ? y ? 16 ? 0 或 y ? ?2

错 解 : f ( x) ? ?3x ? 3, f (2) ? ?9 , 从 而 以 A 点 为 切 点 的 切 线 的 斜 率 为 –9 , 即 所 求 切 线 方 程 为

9 x ? y ? 16 ? 0. 故选 C。

[来源:学科网 ZXXK]

剖析:上述错误在于把―过点 A 的切线‖当成了―在点 A 处的切线‖,事实上当点 A 为切点时,所求的切线方程 为 9 x ? y ? 16 ? 0 ,而当 A 点不是切点时,所求的切线方程为 y ? ?2. 故选 D。 2、挖掘背景 例 39 、 已 知 x ? R, a ? R , a 为 常 数 , 且 f ( x ? a) ? ( ) A、2 a 分析:由于 tan(x ? 为 4 a 。故选 C。 3、挖掘范围 例 40、设 tan? 、 tan ? 是方程 x ? 3 3 x ? 4 ? 0 的两根,且 ? ? (?
3
[来源:学+科+网]

1 ? f ( x) , 则 函 数 f (x) 必 有 一 周 期 为 1 ? f ( x)

B、3 a

C、4 a

D、5 a

?
4

)?

? 1 ? tan x ,从而函数 f (x) 的一个背景为正切函数 tanx,取 a ? ,可得必有一周期 1 ? tan x 4

? ?
,

), ? ? (? , ) ,则 ? ? ? 的值为 2 2 2 2

? ?



) A、 ?

2? 3

B、

? 3

C、

?
3

或?

错解:易得 tan(? ? ? ) ? 3, 又? ? (? 选 C。

? ?
,

? ? ? 2? ), ? ? (? , ), ? ? ? ? (?? , ? ) ,从而 ? ? ? ? 或 ? .故 2 2 2 2 3 3

2? 3

D、 ?

?
3



2? 3

剖析:事实上,上述解法是错误的,它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知

? ? 2? tan? ? tan ? ? 0, tan? tan ? ? 0, 故 tan? ? 0, 且 tan ? ? 0 .从而 ? ? (? , 0), ? ? (? , 0) ,故 ? ? ? ? ? . 2 2 3
故选 A。 4、挖掘伪装 例 41 、 若 函 数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? 3)(a ? 0且a ? 1) , 满 足 对 任 意 的 x1 、 x 2 , 当 x1 ? x2 ?
2

a 时, 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围为(
A、 (0, 1) ? (1, 3) C、 (0, 1) ? (1, 2 3 ) 分析:―对任意的 x1、x2,当 x1 ? x2 ?



B、 (1, 3) D、 (1, 2 3 )

a 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ‖实质上就是―函数单调递减‖的―伪装‖,同时 2

?a ? 1, a ? 还隐含了― f (x) 有意义‖。事实上由于 g ( x) ? x ? ax ? 3 在 x ? 时递减,从而 ? a 由此得 a 的取值范围为 2 ? g ( 2 ) ? 0. ?
2

(1, 2 3 ) 。故选 D。
5、挖掘特殊化 例 42、不等式 C12 ? C12
2x 2 x ?3

的解集是(

) C、{4,5,6} D、{4,4.5,5,5.5,6}

A、 ?

B、 {大于3 的正整数}

分析:四个选项中只有答案 D 含有分数,这是何故?宜引起高度警觉,事实上,将 x 值取 4.5 代入验证,不等 式成立,这说明正确选项正是 D,而无需繁琐地解不等式。 6、挖掘修饰语 例 43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派 3 名代表,校际间轮流发言,对日本侵略 者所犯下的滔天罪行进行控诉,对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂,那么不同的发言顺序共有( A、72 种 B、36 种 C、144 种 D、108 种 )

分析:去掉题中的修饰语,本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目:三男三女站成一排,男女相间而站, 问有多少种站法?因而易得本题答案为 2 A3 A3 ? 72种 。故选 A。
3 3

7、挖掘思想 例 44、方 程 2 x ? x ?
2

2 的正根个数为( x
2 3

) C、2 D、3

A、0

B、1

分析:本题学生很容易去分母得 2 x ? x ? 2 ,然后解方程,不易实现目标。 事实上,只要利用数形结合的思想,分别画出 y ? 2 x ? x , y ?
2

2 的图象,容易发现在第一象限没有交点。故 x

选 A。 8、挖掘数据 例 45 、 定 义 函 数 y ? f ( x), x ? D , 若 存 在 常 数 C , 对 任 意 的 x1 ? D , 存 在 唯 一 的 x2 ? D , 使 得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C , 则 称 函 数 f (x) 在 D 上 的 均 值 为 C 。 已 知 f ( x) ? lg x, x ?[10, 100 ] , 则 函 数 2
f ( x) ? lg x 在 x ? [10, 100 ] 上的均值为(
A、 )

3 7 C、 D、10 4 10 f ( x1 ) ? f ( x2 ) lg( x1 x2 ) 分析: ? ? C ,从而对任意的 x1 ?[10, 100 ] ,存在唯一的 x2 ?[10, 100 ] ,使得 x1 , x2 2 2
B、

3 2

0 00 为常数。 充分利用题中给出的常数 10, 100。 x1 x2 ? 10 ?10 ? 10 ,当 x1 ? [10, 100 ] 时,x 2 ? 令

1000 ? [10, 100 ] , x1

由此得 C ?

lg( x1 x2 ) 3 ? . 故选 A。 2 2 (四)选择题解题的常见失误
( )

1、审题不慎 例 46、设集合 M={直线} ,P={圆} ,则集合 M ? P 中的元素的个数为 A、0 1 或 2。故选 D。 剖析:本题的失误是由于审题不慎引起的,误认为集合 M,P 就是直线与圆,从而错用直线与圆的位置关系解 题。实际上,M,P 表示元素分别为直线和圆的两个集合,它们没有公共元素。故选 A。 2、忽视隐含条件 例 47 、 若 s i 2 x 、 sin x 分 别 是 s i ? c o ? 的 等 差 中 项 和 等 比 中 项 , 则 cos2 x 的 值 为 n与 s n ( ) A、 B、1 C、2 D、0 或 1 或 2

误解:因为直线与圆的位置关系有三种,即交点的个数为 0 或 1 或 2 个,所以 M ? P 中的元素的个数为 0 或

1? 33 8

B、

1? 33 8

C、

1? 33 8

D、

1? 2 4


误解:依题意有 2 sin 2x ? sin? ? cos? , ①
2

s i 2n ? x

? i n? c o s s

由①2-②× 得, 4 cos 2 x ? cos2 x ? 2 ? 0 ,解得 cos 2 x ? 2

1 ? 33 。故选 C。 8
2

剖析:本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上,由 sin x ? sin? cos? ,得

cos2x ? 1 ? sin 2? ? 0 ,所以
3、概念不清

1? 33 不合题意。故选 A。 8

例 48、已知 l1 : 2 x ? my ? 2 ? 0, l 2 : mx ? 2 y ? 1 ? 0 ,且 l1 ? l 2 ,则 m 的值为( A、2 B、1 C、0 D、不存在



误解:由 l1 ? l 2 ,得 k1k 2 ? ?1. ? ?

2 ?m ?( ) ? ?1 ,方程无解,m 不存在。故选 D。 m 2

剖析:本题的失误是由概念不清引起的,即 l1 ? l 2 ,则 k1k 2 ? ?1 ,是以两直线的斜率都存在为前提的。若一直 线的斜率不存在,另一直线的斜率为 0,则两直线也垂直。当 m=0 时,显然有 l1 ? l 2 ;若 m ? 0 时,由前面的解法 知 m 不存在。故选 C。 4、忽略特殊性 例 49、已知定点 A(1,1)和直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,则到定点 A 的距离与到定直线 l 的距离相等的点的轨迹是 ( ) A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线 误解:由抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。故选 C。

剖析:本题的失误在于忽略了 A 点的特殊性,即 A 点落在直线 l 上。故选 D。 5、思维定势 例 50、如图 1,在正方体 AC1 中盛 满水,E、F、G 分别为 A1B1、BB1、BC1 的中点。若三个小孔分别位于 E、F、G 三点处, 则正方体中的水最多会剩下原体 积的 A、 ( B、 )

11 12
1 8

7 8

C、

5 6

D、

23 24

误解:设平面 EFG 与平面 CDD1C1 交于 MN,则平面 EFMN 左边的体积即为所求,由三棱柱 B1EF—C1NM 的体 积为 V正方体 ,故选 B。 剖析:在图 2 中的三棱锥 ABCD 中,若三个小孔 E、F、G 分别位于所在棱的中点处,则在截面 EFG 下面的部 分就是盛水最多的。本题的失误在于受图 2 的 思维定势,即过三个小孔的平面为截面时分成的两部分中,较大部分 即为所求。事实上,在图 1 中,取截面 BEC1 时,小孔 F 在此截面的上方, VB1 ? BEC 1 ? 6、转化不等价 例 51、函数 y ? x ?

1 V正方体 ,故选 A。 12

x 2 ? a 2 (a ? 0) 的值域为
B、 [a, ? ?) C、 (??, 0]





A、 (??, 0) ? (0, ? ?)

D、 [?a, 0) ? [a, ? ?)
?1

误解:要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数 f

( x) ?
2

x2 ? a2 ,所以 x ? 0 ,故选 A。 2x
2

剖析:本题的失误在于转化不等价。事实上,在求反函数时,由 y ? x ? ? x ? a ,两边平方得

( y ? x) 2 ? x 2 ? a 2 ,这样的转化不等价,应加上条件 y ? x ,即 y ?
故选 D。

y2 ? a2 ,进而解得, y ? a或 ? a ? y ? 0 , 2y


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