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辽宁省抚顺市重点高中协作校2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题


抚顺市协作校高一年级下学期期末考试 数学试题
命题:李巍 校对:

注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 第Ⅰ卷选项涂在答题卡上,第Ⅱ卷答在答题纸上。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 60 分) . 1.已知角 ? 的终边过点 P?? 4m, 3m? ? m ? 0? ,则 2 sin ? ? cos ? 的值是( A.1 B. )

2 5

C. ?

2 5

D.-1 ) D.第四象限 )

2.如果点 P(2cos ? ,sin 2? ) 位于第三象限,那么角 ? 所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限
^

C.第三象限

3.设有一个回归直线方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时 ( A. C.

y 平均增加 1.5 个单位 y 平均减少 1.5 个单位

B. D.

y 平均增加 2 个单位 y 平均减少 2 个单位

4.右图是 2014 年抚顺市举办“我看抚顺改革开放三十年”演讲比赛大赛上, 七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为( A. 5;1.6 B.85;1.6 ) C.85;0.4 D.5;0.4

7 9 8 44467 9 3

5.若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+2y=0 相切,则圆 O 的方程 是( ) B. ( x ? 5)2 ? y2 ? 5 D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

A. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 C. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

6.有四个游戏盘,如下图所示,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖。小明希望中奖机 会大,他应当选择的游戏盘为( )

A

B

C

D

7.设 f ( x) ? a sin(?x ? ?) ? b cos(?x ? ?) +4,其中 a、b、?、? 均为非零的常数,若

f (1988) ? 3 ,则 f (2015) 的值为(
A.1 B.3

) C.5 D.不确定

8.已知 p ? 2 2, q ? 3, p, q的夹角为

?

?

? ?

?
4

??? ? ? ? ???? ? ? ,如图,若 AB ? 5 p ? 2q , AC ? p ? 3q , D 为

???? BD 的中点,则 AD 为(
A.

)

15 2

B.

15 2

C.7
2

D.18
2

9. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值 范围是( A. ? ? )

? 3 ? ,0 ? 4 ? ?
? ? 3 3? , ? 3 3 ?

B. ? ??, ? ? ? ? 0, ?? ? 4

? ?

3? ?

C. ? ?

D. ? ?

? 2 ? ,0 ? 3 ? ?
)

10. 为得到函数 y ? cos ? 2 x ? A.向左平移

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
11.函数 y ? A sin( ?x ? ?)( ? ? 0, ? ? ( )

? , x ? R) 的部分图象如图所示,则函数表达式为 2

? ? x? ) 8 4 ? ? C. y ? 4 sin( x ? ) 8 4
A. y ? ?4 sin(

B. y ? 4 sin(

? ? x? ) 8 4 ? ? D. y ? ?4 sin( x ? ) 8 4

12.平面向量的集合 A 到 A 的映射 f ? x ? ? x ? ? x ? a ? a ,其中 a 为常向量.若映射 f 满足

?

?

? ? ?

?

? ? ? ? ? ? ? f ? x ? ? f ? y ? ? x ? y 对任意的 x, y ? A 恒成立,则 a 的坐标可能是(
A. (

)

2 2 ) , 4 4

B. (

2 30 ) ,? 4 4

C. (

3 1 , ) 4 4

D. (

1 30 ) ,? 4 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 20 分) . 13. tan 25? ? tan 35? ? 3 tan 25? tan 35? = ;

14. 某企业员工 500 人参加 “学雷锋” 志愿活动, 按年龄分组: 第1组? 第2组? ? 25,30 ? , ?30,35 ? , 第 3 组? ?35, 40 ? ,第 4 组 ? ? 40, 45 ? ,第 5 组 ?45,50? ,得到的频率分布直方图如图所示。现在 要 从 年 龄 较 小 的 第 1,2,3 组 中 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 6 人 , 年 龄 在 第 3 组 的 人 数 是 ;

15.某地区打的士收费办法如下:不超过 2 公里收 7 元,超过 2 公里时,每车收燃油附加费 1 元,并且超过的里程每公里收 2.6 元, (其他因素不考虑)计算收费标准的框图如图所示,则①

处应填



(第 14 题图) 16.下面有五个命题: ①函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? ; ②终边在 y 轴上的角的集合是 ?? ? ?

(第 15 题图)

? ?

k? ? ,k ?Z?; 2 ?

③函数 f ( x) ? sin ? x ?

? ?

?? ? 2? 7 ? ? ? ( x ? R) ,在区间 ? , ? 上是增函数; 3? ?3 6?

④若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大值为 1. 其中真命题的序号是 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 设 a ? ? ?1,1? , b ? ? 4,3? , c ? ? 5, ?2 ? (1)若 a ? tb // c ,求实数 t 的值; (2)求 c 在 a 方向上的正射影的数量。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

18. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? sin ? , ?2 ? 与 b ? ?1,cos ? ? 互相垂直,其中 ? ? ? 0,

?

?

? ?

??

? 2 ?。

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

? 2 5 , 0 ? ? ? ,求 sin ? 的值。 2 5

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) ,函数 f ( x) ? 2a ? b ?1 (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)当 x ? [

?

?

? ?

?
6

,

?
2

] 时, 若 f ( x) ? 1, 求 x 的值。

20. (本小题满分 12 分) 口袋中装有质地大小完全的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲 先摸一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号。如果两个编号的和为偶数就算甲 胜,否则算乙胜。 (1)求甲胜且编号的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ? x ? ? 3 cos 2 x ?4 ?

(1)求函数 f ( x) 的最大值,以及取到最大值时所对应的 x 的集合; (2) f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围。 4 2

?π π? ? ?

22. (本小题满分 12 分) 已知定点 A(0,1), B(0, ?1), C (1, 0) ,动点 P 满足 AP ? BP ? k CP 。 (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (2)当 k ? 2 时,求 2 AP ? BP 的最大值和最小值。

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ??? ?

抚顺市协作校高一年级下学期期末考试 数学试题答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1-5 6-10 11-12 CBCBD ACAAA DB

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、 3 14、4 15、 y ? 2.6 x ? 2.8 16、①③ 三、解答题(共 70 分,共 6 题) 17.(本题 10 分) ? ? 解: (1) a ? tb ? ? ?1 ? 4t ,1 ? 3t ? // ? 5, ?2 ? 故 5 ?1 ? 3t ? ? ?2 ? ?1 ? 4t ? 所以 t ? ?
3 ????5 分 23

? ? ? a ? c ?7 7 2 ? ? (2) c cos ? a , c ?? ? ? ????10 分 ?? a 2 2
18.(本题 12 分) ? ? ? ? 解: (1) (1)∵ a ? b ,∴ a ? b =sinθ -2cosθ =0,即 sinθ =2cosθ , 又∵sin2θ +cos2θ =1, 1 4 ∴4cos2θ +cos2θ =1,即 cos2θ = ,∴sin2θ = , 5 5 π? 2 5 5 ? 又 θ ∈?0, ?,∴sinθ = ,cosθ = . 2? 5 5 ? (2)∵ sin(? ? ? ) ?
? cos(? ? ? ) ? 5 5

????6 分

2 5 ? ? , ? ? ? ?? ? , 5 2 2

? sin ? ? sin ?? ? (? ? ? )? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ? ?

10 ????12 分 10

19. (本题 12 分)

? (1) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ? 3 sin 2x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . 6
????4 分

? ? ? 所以, ?? ? k? , ? k? 6 ? 3

?

单增????6 分

?? 1 ? (2) 由 f ( x) ? 1, 得 sin ? 2 x ? ? ? , 6? 2 ?
? ? ? ? 7? ∵ x ? [ , ] ,∴ 2 x ? ? [ , ] 6 2 6 2 6
20. (本题 12 分) 解: (1)设“甲胜且两个编号的和为 6”为事件 A .甲编号 x ,乙编号 y , ( x, y ) 表 示一个基本事件,则两人摸球结果包括(1,1) , (1,2) ,??, (1,5) , (2,1) , (2,2) ,??, (5,4) , (5,5)共 25 个基本事件; A 包含的基本事件有(1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1)共 5 个 ,所以 P( A) ?
1 答:编号之和为 6 且甲胜的概率为 。 ????4 分 5

∴ 2x ?

?
6

?

5? 6

∴ x?

?
3

????12 分

5 1 ? 25 5

(2)设“甲胜”为事件 B ,“乙胜”为事件 C .甲胜即两编号之和为偶数所包含 基本事件数为以下 13 个: (1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (3,1) , (3,3) , (3,5) , (4,2) , (4,4) , (5,1) , (5,3) , (5,5) 所以甲胜的概率为 P ( B ) ?
13 13 12 ? ,乙胜的概率为 P(C ) ? 1 ? ,∵ P( B) ? P(C ) , 25 25 25

∴这种游戏规则不公平。????12 分 21. (本题 12 分)

? ?π ?? (1)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ?? ?
π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? .????4 分 3? ?

f ( x)max ? 3

? 2 x ? ? ? 2 k? 3 2 此时, ????6 分 5 ? x ? ? ? k? ( k ? Z ) 12
π π 2π ?π π? (2)∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ , 6 3 3 ?4 2?

?

?

π? ? 即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 3? ?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
?π π? ∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , ?4 2?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .????12 分

22. (本题 12 分) (1)设动点的坐标为 P(x,y),则 →

AP=(x,y-1),→ BP=(x,y+1),→ PC=(1-x,-y).
∵→ AP·→ BP=k|→ PC|2, ∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2], ∴(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0. 若 k=1,则方程为 x=1,表示过点(1,0)且平行于 y 轴的直线.

k ?2 2 ? 1 ?2 ? ? k ? ? 1 ? ,0?为圆心,以? ? +y =? ? ,表示以? ? 若 k≠1,则方程化为?x+ 1-k? ? ?1-k? ?k-1 ? ?1-k?
为半径的圆.????6 分 (2)当 k=2 时,方程化为(x-2)2+y2=1. ∵2→ AP+→ BP=2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1), ∴|2→ AP+→ BP|= 9x2+9y2-6y+1= 36x-6y-26. 又∵(x-2)2+y2=1,则令 x=2+cosθ ,y=sinθ , 于是有 36x-6y-26=36cosθ -6sinθ +46 =6 37cos(θ +φ )+46∈[46-6 37,46+6 37],

→ → 故|2AP+BP|的最大值为 46+6 37=3+ 37, 最小值为 46-6 37= 37-3. ????12 分


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