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高中数学选修2-1第二章第6课时同步练习§2.2.2(2)椭圆及其简单性质


§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
1. 椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

2. 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、B 两点,M 为 AB 中点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

3. 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

4. 求适合条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 ?2, ? 6? ; (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直,且焦距为 6.

x2 ? y 2 ? 1 上的点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值. 5. 求椭圆 3

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. 6. 已知椭圆 2 k ?8 9

7. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭 9 5

P 坐标; 圆上一点.求 PA ? PF 1 的最大值、最小值及对应的点

8. 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 ?F1PF2 ? 60? . 求证: ?PF 1F2 的面积与椭圆短轴长有关.

9.

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与 x 轴正向交于点 A ,若这个椭圆上总存在点 P ,使 a 2 b2

OP ? AP ( O 为坐标原点),求其离心率 e 的取值范围.

参考答案及其解析
1. 分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置. 解: (1)当 A?2, 0? 为长轴端点时, a ? 2 , b ? 1 ,

椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 4 1

(2)当 A?2, 0? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 ,

x2 y2 ? ?1; 椭圆的标准方程为: 4 16
说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭 圆的横竖的,因而要考虑两种情况. 2. 解:由题意,设椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 , a2

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 由 ? x2 ,得 ?1 ? a? x 2 ? 2a 2 x ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?a
∴ xM ?

1 x1 ? x2 1 ? a 2 ? 2 , y M ? 1 ? xM ? , 1? a2 2 a

? k OM ?

yM 1 1 ? 2 ? ,∴ a 2 ? 4 , xM a 4



x2 ? y 2 ? 1 为所求. 4

说明: (1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法; (2)直线与曲线的综合问题,经常 要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题. 3. 分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为 k ,利用条件求 k . 解法一:设所求直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? 并整理得

1 1? ? ? k ? x ? ? .代入椭圆方程, 2 2? ?

?1 ? 2k ?x ? ?2k
2 2

2

1 3 ? 2k x ? k 2 ? k ? ? 0 . 2 2

?

由韦达定理得 x1 ? x2 ?

2k 2 ? 2k . 1 ? 2k 2
1 . 2

∵ P 是弦中点,∴ x1 ? x2 ? 1.故得 k ? ? 所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .

分析二:设弦两端坐标为 ?x1,y1 ? 、 ?x2,y2 ? ,列关于 x1 、 x2 、 y1 、 y2 的方程组, 从而求斜率:

y1 ? y 2 . x1 ? x2 ?1 1? ? 2 2?

解法二:设过 P? , ? 的直线与椭圆交于 A?x1,y1 ? 、 B?x2,y2 ? ,则由题意得

? x12 2 ? ? y1 ? 1, ? 22 ? x2 2 ? ? y2 ? 1, ?2 ? x1 ? x2 ? 1, ? ? y1 ? y2 ? 1.
①-②得

① ② ③ ④


2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ?0. 2

将③、④代入⑤得

1 y1 ? y2 1 ? ? ,即直线的斜率为 ? . 2 x1 ? x2 2

所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 说明: (1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中 点轨迹;过定点的弦中点轨迹. (2)解法二是“点差法” ,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率. (3)有关弦及弦中点问题常用的方法是: “韦达定理应用”及“点差法” .有关二次 曲线问题也适用.

x2 y 2 2 4. 分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由 2 ? 2 ? 1 求出 a ? 148, a b
b2 ? 37 ,在得方程

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 后,不能依此写出另一方程 ? ? 1. 148 37 148 37 x2 y 2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1. 或 a 2 b2 a 2 b2


解: (1)设椭圆的标准方程为 由已知 a ? 2b . 又过点 ?2, ? 6? ,因此有

? 22 ?? 6? ? 6? 2 2 ? 2 ? 1 或 2 ? 2 ? 1. a2 b a b
2 2
2 2 2 2



由①、②,得 a ? 148, b ? 37 或 a ? 52 , b ? 13.故所求的方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1. 148 37 52 13 x2 y 2 2 (2)设方程为 2 ? 2 ? 1 .由已知, c ? 3 , b ? c ? 3 ,所以 a ? 18 .故所求方程 a b


x2 y2 ? ?1. 18 9
说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数” .关键在于焦点的位

置是否确定,若不能确定,应设方程

x2 y 2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1. 或 a 2 b2 a 2 b2

5. 分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最 小值. 解:椭圆的参数方程为 ? 到直线的距离为

? x ? 3 cos?, ? y ? sin ? .

设椭圆上的点的坐标为

? 3 cos?, sin? ?,则点

d?

3 cos? ? sin ? ? 6 2

?? ? 2 sin? ? ? ? ? 6 ?3 ? . ? 2

当 sin ?

?? ? ? ? ? ? ?1 时, d最小值 ? 2 2 . ?3 ?

说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程. 6. 分析:分两种情况进行讨论.

a ? k ?8, b ? 9, 解: 当椭圆的焦点在 x 轴上时, 得 c ? k ? 1. 由e ?
2 2 2

1 , 得k ? 4. 2

当椭圆的焦点在 y 轴上时, a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ? 1 ? k .
2 2 2

1 5 1? k 1 ? ,即 k ? ? . ,得 2 4 9 4 5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4
由e ? 说明:本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 k ? 8 与 9 的大小关系不定,所以 椭圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 7. 分析: 本题考查椭圆中的最值问题, 通常探求变量的最值有两种方法: 一是目标函数当, 即代数方法.二是数形结合,即几何方法.本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易 解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解. 解:如上图, 2a ? 6 , F2 (2 , 0) , AF2 ?

2 ,设 P 是椭圆

上任一点,由 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 6 , PA ? PF 2 ? AF 2 , ∴ PA ? PF1 ? PF1 ? PF2 ? AF2 ? 2a ? AF2 ? 6 ? 2 ,等

P 、 A 、 F2 共线. 号仅当 PA ? PF 2 ? AF 2 时成立,此时

PA ? PF1 ? PF1 ? PF2 ? AF2 ? 2a ? AF2 ? 6 ? 2 , 由 PA ? PF 2 ? AF 2 ,∴
P 、 A 、 F2 共线. 等号仅当 PA ? PF 2 ? AF 2 时成立,此时
建立 A 、 F2 的直线方程 x ? y ? 2 ? 0 ,解方程组 ?

? x ? y ? 2 ? 0,
2 2 ?5 x ? 9 y ? 45

得两交点

9 15 5 15 9 15 5 15 P 2, ? 2 ) 、 P2 ( ? 2, ? 2) . 1( ? 7 14 7 14 7 14 7 14
P 点与 P2 重合时, 综上所述, P 点与 P1 重合时, PA ? PF 1 取最小值 6 ? 2 ,

PA ? PF2 取最大值 6 ? 2 .

8. 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 ?F1PF2 ? 60? . 求证: ?PF 1F2 的面积与椭圆短轴长有关. 证明:在 ?PF 1F2 中,由余弦定理得:

(2c)2 ? m2 ? n2 ? 2mncos60? ? m2 ? n2 ? mn ? (m ? n)2 ? 3mn
∵ m ? n ? 2a ,
2 2 ∴ 4c ? 4a ? 3mn,即 mn ?

4 2 4 (a ? c 2 ) ? b 2 . 3 3

∴ S ?PF1F2 ?

1 3 2 m nsin 60? ? b . 2 3

即 ?PF 1F2 的面积与椭圆短轴长有关. 说明:椭圆上的一点 P 与两个焦点 F1 , F2 构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及 有关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形,使之出现

PF 1 ? PF 2 的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关 a , c 的关系式,使问
题找到解决思路. 9. 分析:∵ O 、 A 为定点, P 为动点,可以 P 点坐标作为参数,把 OP ? AP ,转化为 P 点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于 a 、 b 、 c 的一个不等式,转化 为关于 e 的不等式.为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程. 解:设椭圆的参数方程是 ?

? x ? a cos? (a ? b ? 0) , ? y ? b sin ?

则椭圆上的点 P(a cos? , b sin ? ) , A(a , 0) , ∵ OP ? AP ,∴

b sin ? b sin ? ? ? ?1 , a cos? a cos? ? a
b2 , a 2 ? b2

即 (a ? b ) cos
2 2

2

? ? a 2 cos? ? b2 ? 0 ,解得 cos ? ? 1 或 cos? ?

b2 ? 1 ,又 b 2 ? a 2 ? c 2 ∵ ?1 ? cos ? ? 1 ∴ cos ? ? 1 (舍去) , ?1 ? 2 2 a ?b
∴0 ?

a2 ? 2, c2

∴e ?

2 2 ,又 0 ? e ? 1 ,∴ ? e ? 1. 2 2 2 , 1) ,求证在椭圆上总存在点 P 使 OP ? AP .如何证 2

说明:若已知椭圆离心率范围 ( 明?


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