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河北省唐山市第一中学2013届高三第三次模拟考试数学(理)试题


[来源:学科网 ZXXK]

一、选择题: A 卷:BBCDA B 卷:DCBAB

CBCCD DACBD

DA AD

三、解答题: (17)解: 如图,记⌒ MN的中点为 E,连结 OE,OC,交 BC 于 F,交 AD 于 G,则∠DOG=60?. 设∠EOC=θ(0?<θ<60?)

. N ⌒ 1⌒ (Ⅰ)当 CN= MN时,θ=30?. 4 D C 在 Rt△COF 中,OF= OCcos 30?= 3,CF=OCsin 30?=1. DG 3 O G F E 在 Rt△DOG 中,DG=CF=1,OG= = . tan 30? 3 2 3 A B 所以 CD=GF=OF-OG= . …5 分 3 M (Ⅱ)与(Ⅰ)同理 , 2sin θ 2 3 BC=2CF=4sin θ,CD=OF-OG=2cos θ- =2cos θ- sin θ. …7 分 3 tan 30? 则矩形 ABCD 的面积
[来源:学§科§网]

(18) 解: (Ⅰ)根据题意,X、Y 的分布列如下 X 0 40 80 120 160 200 Y 0 40 80 120 1 60 200 3 5 7 7 5 3 4 4 6 8 5 3 P P 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 7 5 3 8 5 3 4 P (X>100,Y>100)= + + + + = . …6 分 30 30 30 30 30 30 15 3 5 7 7 5 3 (Ⅱ)E (X)=0× +40× +80× +120× +160× +200× =100, 30 30 30 30 30 30 4 4 6 8 5 3 E (Y)=0× +40× +80× + 120× +160× +200× =100, 30 30 30 30 30 30 所以两种商品的日获利值均值都是 100 元. …9 分 3 5 7 7 5 3 10160 D (X)=1002× +602× +202× +202× +602× +1002× = , 30 30 30 30 30 30 3 4 4 6 8 5 3 10800 D (Y)=1002× + 602× +202× +202× +602× +1002× = , 30 30 30 30 30 30 3 因为 D (X)<D (Y),所以应选择经销商品 A. …12 分 (注:若考生在第(Ⅱ)问写出 X,Y 的分布列,第(Ⅰ)问解对给 4 分) (19)解: (Ⅰ)在正六边形 ABCDEF 中,CD⊥AC.

(

)(

)

因为 PA⊥底面 ABCDE F,CD?平面 ABCDEF,所以 CD⊥PA. 又 AC∩PA=A,所以 CD⊥平面 PAC. 因为 CD?平面 PCD,所以平面 PAC⊥平面 PCD.
z P

…4 分

A F B C x D y E

sin θ= 3h |→·n| PC __________ |cos ?→,n?|= → PC = 2 , 2(h +3) | PC |·|n| 3h 1 由 2 = ,解得 h= 3. 4 2(h +3) 所以六棱锥 P-ABCDEF 高为 3. ( 20)解:

…12 分

k1+k2=(x0+x1)+(x0+x2)=2x0+(x1+x2)=0, 所以∠CAB=∠CAD,即 AC 平分∠BAD. (Ⅱ)由题设,x0=-1,x1+x2=2,k=2.四边形 ABCD 的面积 1 1 S= |AC|·|x2-x2|= |AC|·|x2+x1|·|x2-x1| 2 1 2 2 1 = ×2×2×|2-2x1|=4|1-x1|, 2 由已知,4|1-x1|=4,得 x1=0,或 x1=2. 所以点 B 和 D 的坐标为(0,0)和(2,4),

…6 分

…10 分

故直线 BD 的方程为 y=2x. (21)解: ln x+x+1 (Ⅰ)f ?(x)= . (1+x)2 依题意,ln x0+x0+1=0,则 ln x0=-(x0+1). x0ln x0 -x0(x0+1) f (x0)= = =-x0. 1+x0 1+x0 a(x-1) (Ⅱ)f (x)≥ 等价于 x2(ln x-a)+a≥0. x 设 g (x)=x2(ln x-a)+a,则 g ?(x)=x(2ln x-2a+1). 令 g ?(x)=0,得 x=ea- 2 .
1

…12 分

…4 分

[来源:Z§xx§k.Com]

( 当 x∈(e

当 x∈ 0,ea- 2 时,g ?(x ) <0,g (x)单调递减;
1 a- 2 ,+∞ 1 ea- 2

1

)

所以 g (x)≥g

(

)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增. )=a- 1 e . 2
2a-1

a(x-1) 1 - 于是 f (x)≥ 恒成立只需 a- e2a 1≥0. x 2 1 - 1 设 h (a)=a- e2a 1,则 h =0, 2 2 1 - 且 h ?(a)=1-e2a 1,h ? =0. 2

…8 分

( )

( )

1 1 (注:观察出 g (x)=0,由 ea- 2 =1 得 a= 的不扣分) 2 (22)解: (Ⅰ)如图,连结 OC,OD,则 OC⊥CG,OD⊥DG, 设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3 , 则∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2. 所以∠DGC=180?-∠DOC=2(∠1+∠2). 因为∠DGC=2∠F,所以∠F=∠1+∠2. 又因为∠DEC=∠AEB=180?-(∠1+∠2), 所以∠DEC+∠F=180?,所以 D,E,C,F 四点共圆.

…3 分

…5 分

D

G C
2

F

E A
1

3

O H

B

(Ⅱ)延长 GE 交 AB 于 H. 因为 GD=GC=GF,所以点 G 是经过 D,E,C,F 四点的圆的圆心. 所以 GE=GC,所以∠GCE=∠GEC. …8 分 又因为∠GCE+∠3=90?,∠1=∠3,

所以∠GEC+∠3=90?,所以∠AEH+∠1=90?, 所以∠EHA=90?,即 GE⊥AB. (23)解:

…10 分

(24)解:

?-2x-2,x<-3, ? -3≤x≤1, (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ? ?2x+2, x>1.
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x +2≥8,解得 x≥3. …4 分 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. …5 分 b (Ⅱ)f (ab)>|a|f 即|ab-1|>|a-b|. …6 分 a 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立. …10 分

( )


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