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一道竞赛题的探源及推广


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2 6  

数 学 通 讯 

2 0 0 7 年第 】 0 期 



道 竞赛 题 的探 源及 推广 
李驯洪  
( 普安 县 第 一 中 学 , 贵 州  5 6 1 5 0 0 )  

1   引 例 

有  种方 法 , S  染色后对 
S  染 色 , 有(   一1 )种方 

文[ 1 ] 第1 2 题: 用5  
种不 同的颜色 给图 1 中的 
“ 五角 星 ”的 五 个 顶 点 染 

法, 故a 2一  (  一 1 ) .  

当  ≥ 3 时, 我们依次 
对S   , S 2 , …, S   染 色, 对S   有  种染法 , 在 S 。 染色 后  对S 2 染色有 (  一 1 ) 种 方 
图 1  

色( 每点 染一色, 有 的颜 

色可 以 不 用 ) , 使 每 一 条 
线 段 上 的 两 个 顶 点 皆 不  同色 , 则 不 同的 染 色 方法  有 
2   探 源 

图3  

法, 同理 , 对S 3 , S   , …, S   分别有 (  一 1 ) 种方 
法, 由乘 法原理 , 共有 m( m一 1 )   种 染法 , 但 

种. ( 答案 : 1 0 2 0 . )   上题 可以转化 为 : 将 一个 圆盘 分 为 五个 

这样做 , 虽然 能保证 S   至S   之 间相邻 扇形不 
同色 , 但S   与S  却有 可能 同色 , 即在 m( m一  1 )   种方 法中 , 包 含了  与 S   同色的染色方 

扇形 格 , 用 5种不 同的颜 色去 染色 , 使 邻格 不 

染同色. 这是一个似曾相识的问题 , 在文E 2 ]   中我们 就见 过与之类 似 的问题 :  
如 图 2所 示 , 核 心 区 

法. 对S   与S   同色 , 拆去S   与S   的边界 O P,   使  与 S 1 合并 , 便得到将 圆分 成 一 1 个 扇形 
时不 同色不相邻 的染色方法 , 这样的情 况共有 

域1 被 区域 2 , 3 , 4 , …, n ( n  

口 , 卜 1 种. 故a  一 m( m一 1 )   一日 , 卜 1 .  
即口   +口  l一  (  一 1 )   (  ≥ 2 ) .  
。 .

≥4 ) 所环绕, 其 中区域 l  
与n , 2两 两相 邻 , 区域 1 ,  

. n  = ( 口  + a , r - 1 ) 一 ( 口 , 卜 l + 口 , 卜 2 ) + 

k , k +1 两 两相邻 ( 2 ≤k ≤ 


( 口 , 卜 2 + 口 , 卜 3 ) 一 ( n 一3+ 口 , 卜 4 )+ … +  ( 一 1 )   ( 口 3 + a 2 )+ ( 一 1 )   a 2  
图 2  

1 ) . 如果用 4 种 不 同的  种染 色 方法.  

颜 色为 这  个 区域染 色 且  相邻 区域异 色 , 则共 有 
( 答案 : 2 川 一 8? ( 一1 ) ” . )  
3   推 广 

= mE ( m一1 )   ~(  一 1 )  。 + … + 

( 一1 )  。 ? (  一1 )   ] +( 一1 )   ? m( m一1 )  


(   一 1 ) ” + ( 一 1 ) ”?(   一 1 ) .  

故 以上两 题 的结果 分 别为 
n  : ( 5— 1 ) 。 + ( 一 1 ) 。 ( 5 — 1 )一 1 0 2 0 .  

经 探究 , 这些 问题 可 以推 广 为 一个 更 一 
般 的命题 :  

n  = 4 ×[ ( 3 —1 )   +( 一1 )  ( 3 —1 ) ]  


命 题  把圆分 成 个 扇形 , 并 且用  种 
颜 色给扇 形染 色但不 许相邻 扇形有 相 同的颜  色, 问共有 多少种 不 同的染法 ?  

2州 一 8 ?( ~ 1 )  .  

参 考 文献 :  
[ 1 ]   2 0 0 6年高中数 学 联赛 江西 省 预赛 试 题 及 略 
解. 中学 数 学 研 究 . 2 0 0 6 ( 1 1 ) .   [ 2 ]   孙 广 金. 递推式与其他数学 知识的整合 . 中 学 
数 学 研究 . 2 0 0 6 ( 3 ) .  

分析  设将 圆分 成  个 不相等 的扇形 ,  
满 足题设 的方法 有 a   种, 直接计 算 a  比较 困 

难, 要 建立 口  与 a , 卜  的关 系却不难 办到.  
如图 3 , 依 次记  个 扇 形 为 S   , S : , …,   S   , 显然, n  一   , 当  一 2时 , 先对 S   染色 ,  

( 收 稿 日期 : 2 0 0 6 —1 2 —1 5 )  


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