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高中数学竞赛试题汇编六《数列》


高中数学竞赛试题汇编六《数列》
1. 【2010 全国】 其中 a1 ? 3 , b1 ? 1 , a2 ? b2 , ?bn ? 是等比数列, ?an ? 是公差不为 0 的等差数列,

3a5 ? b3 ,则 an ?
答案:d=6,q=9

, bn ?

2.【2013 山东】数列 ? an

? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 1 ? an ,则 an ?

?1? 答案: an ? ? ? ?2?

n

3.【2010 河南】设 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和,若 S5 ? S9 ,则 a3 : a5 ? A. 9 : 5 B. 5: 9 C. 3: 5 D. 5: 3

4.【2010 河北】从满足 a1 ? a2 ? 1, an ? 2 ? an ?1 ? an (n ? 1) 的数列 ? an ? 中,依次抽出能被 3 整除的项组成数列 ?bn ? ,则 b100 ? A. a100 B. a200 C. a300 D. a400

答案:易知 a4 k 能被 3 整除,故选 D 5.【2010 山西】数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? ?n ,则 a15 ?
2

答案: a15 ? ?104

an 的最小值为 n a 32 31 答案:累加法, an ? n(n ? 1) ? 32 , n ? n ? ? 1 ,n=6 最小 . n n 3
6.【2013 福建】数列 ? an ? 满足 a1 ? 32, an ?1 ? an ? 2n ,则 7.【2010 福建】数列 ? an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 2an ? 2 答案:
n ?1

,则满足 an ? 10 的最小正数 n=

an ?1 an ? ? 1, n ? 3. 2n ?1 2n

8.【2010 江西】数列 ? an ? , ?bn ? 满足 ak ? bk ? 1, k ? 1, 2,3, L ,已知数列 ? an ? 前 n 项和为

An ?

?1? n ,则数列 ? ? 前 n 项和为 Bn ? n ?1 ? bn ?

答案: 9.【2010 湖北】数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? an ?1 ? an ,前 n 项和为 S n , S100 ?

答案: ak ?9 ? ak ,故 S100 ? S99 ? a100 ? 11(a1 ? a2 ? L ? a10 ) ? a1 ? 89 10.【2010 江苏】数列 ? an ? , ?bn ? 满足 an ? 2
2(1? 2?3?L ? n ) ?5 n 5 n ( n ? 4) 5
2 n ?3 5

, bn ?

1 log 2 (a1a2 a3 L an ) ,则 bn ? n

答案: a1a2 a3 L an ? 2

?2

, bn ?

1 n(n ? 4) (n ? 4) ? n 5 5

11.【2013 湖北】数列 ? an ? 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 n ? an , a2 n ?1 ? an ? 1 , a2013 ? 答案:9

12.【2010 江苏】数列 ? an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? 答案: a1 ? 2, a2 ? ?3, a3 ? ? , a4 ?

1 ? an , Tn ? a1a2 a3 L an ,则 T2010 ? 1 ? an

1 2

1 , a1a2 a3a4 ? 1, an ? 4 ? an , 3

T2010 ? T2008 ? a2009 ? a2010 ? a1a2 ? ?6
13.【2010 浙江】数列 ? an ? ?bn ? 分别为等差数列和等比数列,且 a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1 ,则 A. a2 ? b2 答案:A 14.【2013 江苏】数列 ? an ? 满足 a4 ? 9, ? an +1 ? an ? 1?? an +1 ? 3an ? ? 0 ,满足条件的 a1 的所 有可能值之积是 答案: a4 ? 9 , a3 ? 3 , a2 ? 1 , a1 ? 0 ;0 15.【2013 安徽】数列 ? an ? 满足 a1 ? a2 ? 1, an ? 3an ?1 ? an ?2 (n ? 3) ,则 a2013 ? 答案: 1 ? 3 16.【2013 浙江】等比数列 ? an ? 满足 a1 ? 3 且第 1 项至第 8 项的几何平均数为 9,则 a3 ? A. 3 9 81
2

B. a3 ? b3

C. a5 ? b5

D. a6 ? b6

B. 3 7 81

C.

3

9

D. 3 3

答案:B, q ? 37 , a3 ? 3 7 81

16.【2012 天津】数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 2n ,则 a3 ? a17 ?
2

A. 36 答案:C

B. 35

C. 34

D. 33

16.【201 河南】已知 an ? n ,则数列 cn ? ? 答案: T2 n ? 2
2 n ?1

n为奇数 ? an ?1 的前 2n 项和 T2 n ? an?1 ?3 ? 2 ? 1 n为偶数

? n 2 ? 2n ? 2

3.【2012 山西】设等差数列的前 n 项和 S n ,若 a1 ? 0 , S3 ? S11 ,则当 S n 取得最大值时 n ? 答案: n ? 7 . 3.【2012 山东】等差数列 ? an ? 中, a20 ?

1992ac ?1811bc ?181ab ? 答案: 0 .

1 1 1 , a201 ? , a2012 ? ,则 a b c

? an , an偶为数 ? 3.【2012 湖北】已知数列 ? an ? 满足: a1 为正整数, an ?1 ? ? 2 , ? ?3an ? 1, an为奇数
① 若 a1 ? 2 ,则 a4 ? 答案: 5 . 3.【2012 四川】设等比数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ,满足 S n ? 答案: 0 . 3.【2012 黑龙江】数列 ? an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 答案:C 3.【2012 江苏】在等差数列 ? an ? 中, S4 ? 4 , S5 ? 15 ,则 a4 的最小值是 ;② 若 a1 ? a2 ? a3 ? 29 ,则 a1 ? ;

(an ? 1) 2 ,则 S 20 ? 4

1 , an (an ?1 ? an ?1 ) ? 2an ?1 ? an ?1 ,则 a2012 ? 2

1992ac ?1811bc ?181ab ? 答案: 0 .

1. 【2011 天津】 正实数 a1 , a2 , a3 , L a9 构成等比数列, 且 a1 ? a2 ? 则 a7 ? a8 ? a9 ? 答 案 : a1 ?1 ? q ? ?

3 ,a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 15 , 4

3 1 2 2 3 ① , a1q ?1 ? q ? q ? q ? ? 15 ② ; ② / ① 得 q ? 2 , a1 ? , 4 4

a7 ? a8 ? a9 ? 112
2.【2011 辽宁】设正数数列 ? an ? 的前 n 项之和为 bn ,数列 ?bn ? 的前 n 项之积为 Cn ,且满 足 bn ? cn ? 1 ,则

1 ? an

答案:bn ?

cn 1 1 1 c 1 n , b1 ? c1 ? , n ? cn ? 1 ,所以 ? ? 1 ,易得 cn ? , bn ? cn ?1 cn cn ?1 2 cn ?1 n ?1 n ?1

an ? bn ? bn ?1 ?

1 n(n ? 1)
S n 2n ? 1 ? , Tn 4n ? 2

3.【2011 福建】已知 S n , Tn 分别是等差数列 ? an ? , ?bn ? 的前 n 项和,且



a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15
a10 a10 a ?a a ?a S a11 a11 ? ? ? ? 10 11 ? 1 20 ? 20 b3 ? b18 b6 ? b15 b1 ? b20 b1 ? b20 b1 ? b20 b1 ? b20 T20

答案:

4.【2011 湖北】数列 ? an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? 1 , an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ? an ?1 ? an ? 2 ,则

a1 ? a2 ? L ? a2011 ?
答案:4022 5.【2011 四川】设等比数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ? 答案: 150 . 6.【2011 浙江】已知等差数列 ? an ? 的前 15 项和 S15 ? 30 ,则 a1 ? a8 ? a15 ? 答案: 150 .


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