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上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编9:圆锥曲线


上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 9: 圆锥曲线 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题 1 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )直线 x ? 2 与双曲线 C :

x2 ? y2 ? 1的 4



渐 近 线 交 于 A, B 两 点 , 设 P 为 双 曲 线 C 上 的 任 意 一 点 , 若

OP ? aOA ? bOB ( a, b ? R, O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是
( A) a ? b ? 2
2 2

B. a ? b ?
2 2

1 2
D. a ? b ?
2 2

C. a ? b ? 2
2 2

1 [来源:Z§xx§k.Com] 2

2 . (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 ) 过点 P (1,1) 作直线与双曲线

y2 B 两点,使点 P 为 AB 中点,则这样的直线 x ? ? 1 交于 A. 2
2





A.存在一条,且方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 C.存在两条,方程为 2 x ? ? y ? 1? ? 0

B.存在无数条 D.不存在
2

3 . (2013 年上海市高三七校联考(理) )若抛物线 x

? 2 py( p ? 0) 上不同三点的横坐标的
( )

平方成等差数列,那么这三点 A.到原点的距离成等差数列 C.到 y 轴的距离成等差数列
二、填空题

B.到 x 轴的距离成等差数列 D.到焦点的距离的平方成等差数列

4 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内有两 25 16

点 A?1,3? , B ?3,0? , P 为椭圆上一点,则 PA ? PB 的最大值为____________.
5 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) )已知双曲线的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为_____________. 3
6 . (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题) 若双曲线

C:

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为10 ,点 P(2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的方程为_________. a 2 b2

7 . ( 上 海 市 黄 浦 区 2013 年 高 考 二 模 理 科 数 学 试 题 ) 已 知 点 P(2, ?3) 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,双曲线两个焦点间的距离等于 4,则该双曲线方程是 a 2 b2
___________.
8 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )设 F1 、 F2 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个 4

焦点,点 P 在椭圆上,且满足 ?F1 PF2 ?

?
2

, 则 ?F1 PF2 的面积等于____________.

9 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知双曲线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相 16 6

同的焦点,且渐近线方程为 y ? ?

1 x ,则此双曲线方程为______________________. 2

10. (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的任 a2 b2

意一点 M ( 除短轴端点除外 ) 与短轴两个端点 B1 , B2 的连线交 x 轴于点 N 和 K , 则

ON ? OK 的最小值是_______
11. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)曲线 C 是平面内与两个定

点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于 常数 a (a ? 1) 的点的轨迹.给出下列三个结论:
2

① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上, 则△F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是_____________.
12. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)双曲线过 (

1 2 a . 2

3,3) ,且渐近

线夹角为 60 ,则双曲线的标准方程为______________.
13. (2013 年上海市高三七校联考(理) )设 F1、 F2 分别为双曲线

?

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0 ,t ? 0) 的 a 2 ta 2

左、 右焦点,过 F1 且倾斜角为 30 的直线与双曲线的右支相交于点 P ,若 | PF2 |?| F 1F 2 |, 则 t ? _____________.
14( .2013 届浦东二模卷理科题) 若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 (

10,0) ,

则双曲线的标准方程是____________.
15. (2013 届闵行高三二模模拟试卷 (数学) 理科) 设双曲线 x
2

? y 2 ? 6 的左右顶点分别为 A1 、

A2 , P 为双曲线右支上一点,且位于第一象限,直线 PA1 、 PA2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,
则 k1 ? k2 的值为_____________.
三、解答题 16 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题) 已知双曲线 C 的中心在原

点, D ?1,0? 是它的一个顶点, d ? (1, 2) 是它的一条渐近线的一个方向向量. (1) (2) 交于 A, B 两点 ( A, B 都不同于点 D ), 求证: DA ? DB 为定值; (3) 对 于 双 曲 线 求双曲线 C 的方程; 若过点 ( ?3, 0 ) 任意作一条直线与双曲线 C

?:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) , E 为它的右顶点, M , N 为双曲线?上的两点(都不 a 2 b2

同于点 E ),且 EM ? EN ,那么直线 MN 是否过定点?若是,请求出此定点的坐标;若不 是,说明理由.然后在以下三个情形中选择一个,写出类似结论(不要求书写求解或证明 过程). 情形一:双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, a ? b) 及它的左顶点; a 2 b2
2

情形二:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 及它的顶点;

x2 y 2 情形三:椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 及它的顶点. a b

17. (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试卷)本题满分 18 分,第 1 小题满

分 8 分,第 2 小题满分 10 分

3 1 , ) 的距离与到定直线 2 2 l1 : 3x ? y ? 2 ? 0 的距离相等的动点 P 的轨迹,曲线 C 2 是由曲线 C1 绕坐标原点 O 按 ? 顺时针方向旋转 30 形成的. (1)求曲线 C1 与坐标轴的交点坐标,以及曲线 C 2 的方程; (2)过定点 M 0 (m,0) (m ? 2) 的直线 l 2 交曲线 C 2 于 A 、 B 两点,已知曲线 C 2 上存在不
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 曲 线 C1 为 到 定 点 F ( 同的两点 C 、 D 关于直线 l 2 对称.问:弦长 CD 是否存在最大值?若存在,求其最大值;

若不存在,请说明理由.

18. (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )本题共有 3 个小题,第 1 小题

满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的顶点和焦点分别是椭圆 E 的焦点和顶点 6 2

(1)求椭圆 E 的方程. (2)已知椭圆 E 上的定点 C( x0 , y0 ) 关于坐标原点的对称点为 D,设点 P 是椭圆 E 上的任 意一点,若直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为零,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是定值吗? 若是,求出此定值;若不是,请说明理由. (3)对于椭圆 E 长轴上的某一点 S ( s, 0) (不含端点),过 S ( s, 0) 作动直线 L (不与 x 轴重 合)交椭圆 E 于 M、N 两点,若点 T (t , 0) 满足 OS ? OT ? 8 ,求证: ?MTS ? ?NTS .
19. (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)本大题共有 3 小

题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 中 , 方向向量为 d ? (1, k ) 的直线 l 经过椭圆 的右焦点 F ,与椭圆相交于 A 、 B 两点 (1)若点 A 在 x 轴的上方,且 | OA |?| OF | ,求直线 l 的方程; (2)若 k ? 0 , P(6,0) 且△ PAB 的面积为 6 ,求 k 的值;

x2 y2 ? ?1 18 9

(3)当 k ( k ? 0 )变化时,是否存在一点 C ( x0 ,0) ,使得直线 AC 和 BC 的斜率之和为 0 , 若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.

y

O

F

x

第 22 题

20. (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,

第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于点

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且 y1 y2 ? ?4 .
(1)求抛物线 C 的方程; (2)若 OE ? 2(OA ? OB) ( O 为坐标原点),且点 E 在抛物线 C 上,求直线 l 倾斜角; (3)若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点,直线 MF , MA, MB 的斜率分别为 k0 , k1 , k2 .求 证: 当 k0 为定值时, k1 ? k2 也为定值.

21. (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知抛物线 C : y

2

? 2 px ( p ? 0) ,直

线 l 交此抛物线于不同的两个点 A( x1 , (1)当直线 l 过点 M ( p,

y1 ) 、 B( x2 ,

y 2 ) .[来源:Z+xx+k.Com]

0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p,

0) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于

E .设线段 AB 的中点为 P ,线段 DE 的中点为 Q ,记线段 PQ 的中点为 两个不同点 D 、

N .问是否存在一条直线和一个定点 ,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条
直线和这个定点;若不存在,请说明理由.
22. (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )动圆 C 过定点 F ?

?p ? ,0 ? ,且与直线 ?2 ?

x??

(1)求 F ?x, y ? ? 0 ;

p 相切,其中 p ? 0 .设圆心 C 的轨迹 ? 的程为 F ?x, y ? ? 0 2

(2)曲线 ? 上的一定点 P?x0 , y0 ? ( y0 ? 0) ,方向向量 d ? ? y 0 ,? p ? 的直线 l (不过 P 点) 与曲线 ? 交与 A、B 两点,设直线 PA、PB 斜率分别为 k PA , k PB ,计算 k PA ? k PB ; ? ? ,分别过点 P , Q 作倾斜角互补的两 (3)曲线 ? 上的两个定点 P0 ?x0 , y 0 ? 、 Q0 ? ? x0 , y 0 ? ? 0 0 ? ? 条直线 P0 M , Q0 N 分别与曲线 ? 交于 M , N 两点,求证直线 MN 的斜率为定值;

23. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(本题满分 18 分,第 1 小题满分

4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分) 如图,已知点 F (0 , 1) ,直线 m : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作 m 的垂线,垂足 为点 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)(理)过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作直线 m? 与轨迹 C 交于不同两点 A 、 B ,且 线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点为 D (0 , y 0 ) ,求 y0 的取值范围; (3)(理)对于(2)中的点 A 、 B ,在 y 轴上是否存在一点 D ,使得△ ABD 为等边三角形? 若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.[来源:学、科、网 Z、X、X、K]
y F O x

m

24. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)(本题满分 14 分;第(1)小

题 6 分,第(2)小题 8 分)

P(? 已知椭圆 C 以 F 1 ? ?2,0? , F 2 ? 2,0? 为焦点且经过点
(1)求椭圆 C 的方程;

5 3 , ) ,[来源:学科网] 2 2

(2) 已 知 直 线 l 过 点 P , 且 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 为 m ? ? 3,3? . 一 组 直 线

l1, l 2 ,

* C 均有交点,他们到直线 l 的距离 l,n , l ,n 2 ( n ? N )都与直线 l 平行且与椭圆

依次为 d , 2d ,

, nd ,

, 2nd (d ? 0) ,直线 ln 恰好过椭圆 C 的中心,试用 n 表示 d 的关

系式,并求出直线 li ?i ? 1,2,

,2n? 的方程.(用 n 、 i 表示)

25. (2013 年上海市高三七校联考(理) )本题共有 2 小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满

分 7 分. 如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 P(2, 0) 且斜率为 k1 的直线交抛物线于

BF 分别与抛物线交于点 M 、 N. A( x1, y1 ) , B( x2, y2 ) 两点,直线 AF、
(1)证明 OA ? OB 的值与 k1 无关,并用 y1,y2 表示 k1 ; (2)记直线 MN 的斜率为 k2 ,证明 y N 0 M B
第 21 题图

k1 为定值. k2

A

F

P

x

26. (2013 届浦东二模卷理科题)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6

分,第(3)小题满分 8 分.

x2 y2 9 y2 2 ? ? 1 9 x ? ? 1 有相同的焦点 F1、F2 , M 是 与双曲线 : C 2 8 a2 b2 椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共点,且 ?MF 1F2 的周长为 6 ,求椭圆 C1 的方程;
(1) 设椭圆 C1 : 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. (2)如图,已知“盾圆 D ”的方程为 y 2 ? ?

的任意一点 M 到 F ? 1,0 ? 的距离为 d1 , M 到直线 l : x ? 3 的距离为 d 2 ,求证: d1 ? d 2 为定值;

(0 ? x ? 3) ? 4x .设“盾圆 D ”上 ? ? 12( x ? 4) (3 ? x ? 4)

y

o

3

x

(3) 由 抛 物 线 弧 E1 : y 2 ? 4 x ( 0 ? x ?

2 ) 与 第 (1) 小 题 椭 圆 弧 3

x2 y2 2 E2 : 2 ? 2 ? 1 ( ? x ? a )所合成的封闭曲线为“盾圆 E ”.设过点 F ? 1,0 ? 的直 3 a b 线与“盾圆 E ”交于 A、B 两点 , | FA |? r1 , | FB |? r2 且 ?AFx ? ? ( 0 ? ? ? ? ), 试 r 用 cos? 表示 r1 ;并求 1 的取值范围. r2
27. (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,

第(2)小题满分 8 分. 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O , 焦点在坐标轴上 , 且经过 M (2,1)、N (2 2,0) 两 点, P 是 E 上的动点. (1)求 OP 的最大值; (2)若平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 b(b ? 0) ,直线 l 交椭圆 E 于两个不同点

A、B ,求证:直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.
解:

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 9:圆锥曲线参考 答案 一、选择题 1.

B

D 3. B
2. 二、填空题

15 5. 1 ;
4. 6.

x2 y2 ? ?1 20 5 x2 ?
1;

7. 8. 9. 10.

y2 ?1 3

x2 y2 ? ? 1; 8 2
2a

11. ② 12.

y 2 x2 ? ?1 8 24

13.

3 2
x2 ?
1;

14. 15.

y2 ?1 9

三、解答题 16.本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题有三个问题情形,每

考生只能选择一个作答,若多答,只对所答情形中最前面的一个记分,情形一、二、三满 分依次为 5 分、7 分、8 分. 解:(1)设双曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则 a ? 1 , a 2 b2



b y2 ? 2 ,得 b ? 2 ,所以,双曲线 C 的方程为 x 2 ? ?1 a 2

(2) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,其方程为 x ? ?3 , A, B 的坐标为( ?3 , 4 )、( ?3 , ?4 ),

DA ? (?4, 4), DB ? (?4, ?4) ,得 DA ? DB =0

当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设此直线方程为 y ? k ( x ? 3) ,由 ?

? y ? k ( x ? 3)
2 2 ?2 x ? y ? 2



(2 ? k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 9k 2 ? 2 ? 0 .
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

6k 2 ?9k 2 ? 2 x ? x ? , , 1 2 2 ? k2 2 ? k2

故 DA ? DB ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3)

? (k 2 ? 1) x1x2 ? (3k 2 ?1)( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 1
? (k 2 ? 1) ?9k 2 ? 2 6k 2 2 2 (3 k ? 1) + + 9k ? 1=0 . 综上, DA ? DB =0 为定值 2 2 2?k 2?k

(3) 当 M , N 满足 EM ? EN 时 , 取 M , N 关于