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甘肃省天水市一中2015-2016学年高一上学期第二学段(期末)考试数学试题


天水市一中 2015 级 2015-2016 学年度第一学期高一级第二学段考试 数学试题 命题:孙钰坤
(满分:100 分

审核:张志义
时间:90 分钟)

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 1.若直线 l 经过原点和点 A(-2,-2) ,则它的斜率为 A.-1 B.1 C.1 或-1 D.0 2.如图所

示,一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一个直 径为 2 的圆,那么这个几何体的体积为 ( )

A. 4?

B. 2?

C. 4?
3

D. 2?
3

3.三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有( A.1 条 B.2 条
2

) D.1 或 2 条

C.3 条
2

4 .已知半径为 1 的动圆与圆( x-5 ) +(y+7) =1 6 相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A (x-5) +(y+7) =25 B(x-5) +(y+7) =17 或(x-5) +(y+7) =15 C (x-5) +(y+7) =9 D(x-5) +(y+7) =25 或(x-5) +(y+7) =9 5.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? a , E , F 分别是 BC , DC 的中点,则
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

异面直线 AD1 与 EF 所成角为(
A B E D F C

)

A1

B1

D1

C1

A. 30? B. 45? C. 60? D. 90? 6.过点 A(1,2)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直线方程为( ) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 7.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是( ) A.(1,-1,0) B.(0,-1,0) C.(0, 1,-1) D.(0,1,0) 8.若直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与 l2 : 3 x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为( A.-3 C.0 或- 3
2



B.1 D.1 或-3

9.给出下列命题: ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 10.若直线 l1:y=kx+k+2 与 l2:y=-2x+4 的交点在第一象限,则实数 k 的取值范围是( A.k>C.- <k<2 B.k<2 D.k<- 或 k>2 )

试卷第 2 页,总 5 页

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11.若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为

. __;

12.点 P (2 , ? 1) 为圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 25 的弦的中点,则该弦所在直线的方程是__
2 2

13.过点(0,1)的直线与 x +y =4 相交于 A、B 两点,则|AB|的最小值为________. 14.一个圆锥截成圆台,已知圆台的上下底面半径的比是 1∶4,母线长为 10cm,求圆锥 的母线长____. 三、解答题(写出必要的文字说明和解答过程,共 44 分) 15. (本小题满分 10 分)如下图所示,圆心 C 的坐标为(2,2) ,圆 C 与 x 轴和 y 轴都相 切. (1)求圆 C 的一般方程; (2)求与圆 C 相切,且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程.

16. (本小题满分 10 分)如图所示,已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱垂直于底面,点 D 是
AB

的中点.

(1)求证: BC1 // 平面 CA1 D ; (2)若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形, BB1 ? 3 ,求三棱锥 B1 ? A1 DC 的体积.

17. (本小题满分 12 分)如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点, PO ? 2, AB ? 2 . 求证: (1)平面 PAC ? 平面 BDE; (2)求二面角 E-BD-C 的大小

P

E

D O A B

C

18. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的交点都 在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A、B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

2

数学期末试题
参考答案 1-5.BBCDC 6-10.CBBBC 11. 27?
2 2

12. x ? y ? 1 ? 0

13.2 3

40 14 . 3 cm

15.(1)x +y -4x-4y+4=0 (2)4 条 ①x=0 ③x+y-4+2 ? =0

②y=0 ④x+y-4-2 ? =0

16. (1)连接 AC1 交 A1C 于点 E ,连接 DE ,∵矩形 AA1C1C ,∴ E 是 AC1 的中点,又∵ D 是 AB 的中点,∴ DE // BC1 ,而 DE ? 平面 CA1 D , BC1 ? 平面 CA1 D ,∴ BC1 // 平面
试卷第 4 页,总 5 页

CA1 D ;
(2)由 AC ? BC , D 是 AB 的中点,得到 AB ? CD ,又∵ AA1 ? 平面 ABC , CD ? 平 面 ABC , AA1 ? CD , AA1 ? AB ? A , ∴ CD ? 平面 AA1 B1 B ,又∵底面 ABC 为边长为 2 的正三角形,则 CD ? 3 , BD ? 1 ,

BB1 ? 3 ,
故 VB1 ? A1DC ? VC ? A1B1D ?

1 3 ? 3 ? 1. 3

17. (Ⅰ)∵PO ? 底面 ABCD,∴PO ? BD, 又∵AC ? BD,且 AC ? PO=O ∴BD ? 平面 PAC,而 BD ? 平面 BDE, ∴平面 PAC ? 平面 BDE. (2)45°. 18.(1)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 ? ,0),(3-
2

2 ? ,0) 故可设 C 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1) =(2 ? ) +t ,解得 t=1.
2 2 2

则圆 C 的半径为 32+?t-1?2=3. 2 2 所以圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组
?x-y+a=0, ? ? ??x-3?2+?y-1?2=9. ?
2 2

消去 y,得到方程

2x +(2a-8)x+a -2a+1=0. 由已知可得,判别式Δ =56-16a-4a2>0.从而 a2-2a+1 x1+x2=4-a,x1x2= .① 2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2 2x1x2+a(x1+x2)+a =0.② 由①,②得 a=-1,满足Δ >0,故 a=-1.


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