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空间几何体的三视图应用


[转]空间几何体的三视图应用

随着新课程改革的不断推广和深化, 利用三视图培养学生的空间想象能力, 从而形成对 几何体的整体认识,在立体几何的学习中起到了很大的作用。在教学中,我觉得对于三视图 的认识, 不少学生只能停留在定性研究的基础上, 对于定量的应用三视图来更准确的计算几 何体的表面积体积等, 还存在问题。 于是我在本文中重点谈谈如何利用三视图定量研究几何 体。 例 1:(改编自《人教版普通高中课程标准实验教科书数学②》P35。3) 已知几何体的三视图如下, 画出它们的直观图, 并根据所标数据计算该几何体的表面积与体 积。

解:(1)这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的组合体。 由正视图可知:圆柱的高为 4,底面直径为 1;圆锥的高为 2,底面直径为 3. 于是:该几何体的表面积为

S=

圆柱

+S 圆锥

=

+

= 该几何体的体积为



V=V 圆柱+V 圆锥=(



(2)这个几何体为棱台。棱台的底面为正方形。下底边长为 2,上底边长为 4,高为 2. 要注意正视图中等腰梯形的腰正是棱台左、右两侧面的高。侧视图中等腰梯形的腰正是 棱台前、后两侧面的高。

于是该几何体的表面积 S=4+16+4[

]=20+12

.

它的体积为



点评:解决此类问题的关键在于了解三视图与几何体之间的关系。能够利用三视图判 断出几何体的形状与关键的尺寸,从而对几何体进行量化研究。 学生容易出错的地方是对棱台正视图的判断, 他们容易认为正视图就是棱台的前侧面。 这是空间想象能力还有所欠缺, 未能准确理解三视图的表现。 我们在教学中要把棱台与长方 体的三视图加以比较,结合教具,通过比较分析,帮助学生形成正确的认识。 跟上面相类似的问题还有《人教版普通高中课程标准实验教科书数学②》第 29 页 B 组 第 1 题。在这个问题中也涉及到了棱台的体积与表面积计算,读者不妨重新加以练习。 返观这几年的高考中有关三视图的考察,主要就是利用三视图判断几何结构,然后画 出直观图,计算几何体的表面积或体积。这样出题体现了知识的综合性,但这个综合程度还 仅局限在一章知识的范围内,没更大程度的综合。题目的难度有所上升,由容易题变为中等 题。 (2011 年山西高考题(8))在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如图所示,则相 应的侧视图可以为

点评: 这是一个由正视图与俯视图推想侧视图的问题。 它要求学生在所学的常见几何体 中进行检索,从而找符合已知条件的几何模型进一步再找到俯视图。 首先从俯视图上大致可判断这个几何体是一个组合体, 一部分为一个半旋转体, 另一部 分为三棱锥或三棱柱。再由正视图可判断,这个几何体应为锥体。于是可知它是由一个半圆 锥与三棱锥组而成的几何体,从而判断其侧视图为 D。 但也要注意到这样的推理只是一种合情推理, 而非严格的逻辑推理, 因为由正视图和俯 视图是确定不了侧视图的。 只是在中学生的认知范围内, 他们能够猜想到的就是半圆锥和三 棱锥的组合。 而实际上侧视图为 (A ) 的几何体也是存在的, 它的前面一半也是一个三棱锥, 而后面一半可理解为半圆柱与一个横放的三棱柱的交集体, 当然这样的几何体对高中生来说 很难想到,也无法描述。这样对此题的回答就造成了一定的思维困难,从而使此题的得分率 偏低与此不无关系。 (2010 年新课标卷(14))正视图为一个三角形的几何体可以是_____________。 (写出三种) 【答案】棱锥,三棱柱,圆锥 点评:此题的解答相当简单,答案也多种多样。有的同学答三棱锥、四棱锥、五棱锥。 有的同学答圆锥、三棱柱、三棱台。显然后者的思维更开阔,前者的思维就比较狭窄。但都

是正确的。 我想这样的结果也并不是出题者想要达到的目的。 我们在努力能体现学生个性化 特征的试题与考试方式,但面对标准考试的方式,我们的努力却总是失败。 (2009 年海南宁夏卷(11))一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c 为 (A)48+12 (B)48+24 (C)36+12 (D)36+24 )

解:由三视图画出直观图得 该几何体是一个三棱锥。底面 ABC 为等腰直角三角形,角 B 为直角。DE⊥平面 ABC 垂足为 E,且 E 为 AC 中点。

另外由俯视图知 BC=AB=6,由正视图知 DE=4.侧面 DAB 的高为 棱锥的表面积为

。于是该

S=2( =48+12 。

)+

+

点评: 此题就要求学生有一定的空间想象能力, 能够准确地由三视图判断出空间几何体 的结构特征,进而画出直观图,进行体积或表面积运算。

(2008 年海南宁夏卷(12))某几何体的一条棱长为 棱的投影是长为

,在该几何体的正视图中,这条

的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长

为 a 和 b 的线段,则 a + b 的最大值为( ) A. B. C. 4 D. ,所以得 ,所以

解:根据题意得 因为

点评: 此题是一个综合性较强的问题, 对一条线段三视图的考察可放置在长方体中模型 中,加以判断。另外综合的重要不等式,是一个难度适当的综合性题目。


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