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2009年高考试题——数学(江苏卷)Word版


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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

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数学Ⅰ 数学Ⅰ
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注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题——第 14 题) ,解答题(第 15 题——第 20 题) .本 卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名,准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名,准考证号与您本人是否相符. 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须 用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑,加粗. 6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠,破损.

参考公式: 参考公式:

高 考资源 网 高 考资源 网 高 考资源 网 高 考资源 网

1 n 1 n 2 样本数据 x1 , x2 , , xn 的方差 s = ∑ ( xi x ) , 其中x = ∑ xi n i =1 n i =1 高考资源网
2

小题, 请把答案填写在答题卡相应的位 一,填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 填空题: ....... 置上.高考资源网 .. 1.若复数 z1 高考资源网 2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |= 2,| b |=

= 4 + 29i, z2 = 6 + 9i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 z2 )i 的实部为★.

3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积

a ib =
3.函数



.高考资源网

f ( x) = x 3 15 x 2 33 x + 6 的单调
★ .高考资源网

y 1
π
2π 3

减区间为 4.函数

y = A sin(ω x + )( A, ω , 为常数, =

A > 0, ω > 0) 在闭区间 [π ,0] 上的图象如
图所示,则 ω 高考资源网 5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别 ★ .高考资源网

π
3

O

1

x

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为 2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 ★ .高考资源网

6.某校甲,乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, 投中的次数如下表:高考资源网 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

3号 7 6

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s 高考资源网

= =



. 开始

7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W 高考资源网



.

S ←0 T ←1 S ←T2 S S ≥ 10
Y

8.在平面上,若两个正三角形的连长的比为 1:2,则它 们的面积比为 1:4,类似地,在宣传部,若两个正四面 体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为高考资源网 9. 在 平 面 直 角 坐 标 系

xoy

中,点 P 在曲线

T ←T + 2
N

C : y = x3 10 x + 3 上,且在第二象限内,已知曲线
C 在点 P 处的切线的斜率为 2, 则点 P 的坐标为 ★ 高考资源网 10.已知 a = 满足 .

5 1 x ,函数 f ( x ) = a ,若实数 m, n 2 f (m) > f (n) ,则 m, n 的大小关系为 ★ .

W ← S +T
输出 W

高考资源网 11.已知集合

结束

A = { x | log 2 x ≤ 2} , B = (∞, a ) ,若 A B 则实数 a 的取值范围是
★ .高考资源网

(c, +∞) ,其中 c =

12.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题:高考资源网 (1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β ;高考资源网 (2)若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行;高考资源网 (3)设 α 和 β 相交于直线 l ,若 α 内有一条直线垂直于 l ,则 α 和 β 垂直;高考资源网 (4)直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直.高考资源网 上面命题中,真命题的序号 ... ★ (写出所有真命题的序号).高考资源网

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x2 y2 13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中, A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的 a b
四个顶点,F 为其右焦点, 直线 A1 B2 与直线 B1 F 相交于点 T, 线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 高考资源网高考资源网 14.设 令 bn ★ .高考资源网

{an } 是公比为 q 的等比数列, | q |> 1 ,
{53, 23,19,37,82} 中,则
.高考资源网
A1 O B2

= an + 1( n = 1,2,) 若数列 {bn } 有连

y T M

续四项在集合

6q =



高考资源网 小题, 二,解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请 解答题: 在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说 在答题卡指定区域内作答, 明,证明或演算步骤.高考资源网 证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)高考资源网 设向量 a

A2

x

= (4cos α ,sin α ), b = (sin β , 4cos β ), c = (cos β , 4sin β ) 高考资源网 + β ) 的值;高考资源网
A D F B1 C1

(1)若 a 与 b 2c 垂直,求 tan(α

(2)求 | b + c | 的最大值;高考资源网 (3)若 tan α tan β 高考资源网 16. (本小题满分 14 分)高考资源网 如图,在直三棱柱 ABC

= 16 ,求证: a ‖ b .

A1 B1C1 中, E ,F
A

E C

分别是 A1 B, A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,

A1 D ⊥ B1C 高考资源网
求证: (1) EF ‖ 平面ABC 高考资源网 (2) 平面A1 FD

B

⊥ 平面BB1C1C 高考资源网

17. (本小题满分 14 分)高考资源网 设 考

{an } 是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,满足 a22 + a32 = a42 + a52 ,S7 = 7 高
(1)求数列

{an } 的通项公式及前 n 项和 Sn ;高考资源网
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(2)试求所有的正整数 m ,使得

am am+1 为数列 S n 中的项. am + 2
2

高考资源网

18. (本小题满分 16 分)高考资源网 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x + 3)

+ ( y 1) 2 = 4 和圆高考资源网

C2 : ( x 4) 2 + ( y 5) 2 = 4 高考资源网
(1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 y

2 3 ,求直线 l 的方程;高考资源网
(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多 对互相垂的直线 l1和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C 2 相 交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C 2 截得 的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.高考资 源网 19.(本小题满分 16 分)高考资源网 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单 价为 m 元,则他的满意度为

.

.

1 O 1 x

m ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 m+a

n .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2 ,则他对这两种交易 n+a
的综合满意度为

h1h2 .高考资源网

现假设甲生产 A,B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A,B 两种产品的单件 成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A,B 的单价分别为 mA 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的 综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 (1) 求 h甲 和 h乙 关于 mA , mB 的表达式;当 m A 高考资源网

3 = mB 时,求证: h甲 = h乙 ;高考资源网 5

(2) 设 m A

3 = mB ,当 mA , mB 分别为多少时,甲,乙两人的综合满意度均最大?最大的 5

综合满意度为多少?高考资源网 (3) 记(2)中最大的综合满意度为 h0 ,试问能否适当选取 mA , mB 的值,使得 h甲

≥ h0 和

h乙 ≥ h0 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.高考资源网
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20.(本小题满分 16 分)高考资源网 设 a 为实数,函数 (1) 若

f ( x) = 2 x 2 + ( x a ) | x a | .高考资源网 f ( x), x ∈ (a, +∞) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ≥ 1 的 ....

f (0) ≥ 1 ,求 a 的取值范围;求 f ( x) 的最小值;

(2) 设函数 h( x ) = 解集.

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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 数学Ⅰ参考答案 填空题: 小题, 请把答案填写在答题卡相应的位 一,填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上. .. 1.【答案】 20 . 【解析】 ( z1

z2 )i = (4 + 29i 6 9i )i = (2 + 20i )i = 20 2i ,实部为 20 .

2.【答案】3. 【解析】 a ib = 2 3.【答案】 ( 1,11) 【解析】

3

3 = 3. 2

f ′( x) = 3 x 2 30 x 33 = 3( x 11)( x + 1) ,由 ( x 11)( x + 1) < 0 得单调

减区间为 ( 1,11) . 4.【答案】3 【解析】

3 T =π 2

,T

2 = π 3

,所以 ω

= 3.

5.【答案】0.2 【解析】随机抽取 2 根竹竿的取法有 10 种,而长度恰好相差 0.3m 的取法有 2 种,所以概 率为 0.2. 6. 【答案】

2 5

【解析】第一组数据 x甲 7. 【答案】22 【解析】 T 循环, W

= 7 , S 2甲 =

2 4 2 ;第二组数据 x乙 = 7 , S 乙 = . 5 5

= 1时, S = 1 ; T = 3 , S = 9 1 = 8 ; T = 5 , S = 25 8 = 17 .退出

= 17 + 5 = 22 .

8.【答案】1:8 【解析】由类比:面积比是边长比的平方,体积比是棱长比的立方. 9.【答案】 ( 2,15) 【解析】 P( x0 , x0 限, x0
3

10 x0 + 3) ,由 y′ = 3 x 2 10 知 3 x0 2 10 = 2 ,又点 P 在第二象

= 2 ,所以 P(2,15) .
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10.【答案】 m < n 【解析】 0 < 由

5 1 x < 1知 0 < a < 1, 函数 f ( x ) = a 是减函数, f ( m) > f ( n ) 知 由 2

m<n.
11.【答案】4 【解析】由 log 2 12. 【答案】 (2) (1) 【解析】由线面平行的判定定理知, (2)正确;相应地(1)可转化为一个平面内有两相交 直线分别平行于另一个平面,所以这两个平面平行. 13. 【答案】 e = 2

x ≤ 2 得 0 < x ≤ 4 , A = (0,4] ;由 A B 知 a > 4 ,所以 c = 4.

7 5 x y x y + = 1 ,直线 B1F 的方程为 + = 1 ,两方程联立 a b c b

【解析】直线 A1 B2 的方程为

方程组得 T ( 得:3a
2

2ac ab + bc ac ab + bc , ) ,则点 M ( , ) ,由点 M 在椭圆上,代入整理 a c 2(a c) ac ac

10ac c 2 = 0 ,3 10e e 2 = 0 , e > 0 , 又 所以离心率为 e = 2 7 5 .

14. 【答案】 9 【解析】由条件知数列 以

{an } 中连续四项在集合 {54, 24,18,36,81} 中,由 | q |> 1,所
3 , 6q = 9 ; (2)18 , 2

{an } 中连续四项可能为(1) 24 ,36 , 54 ,81 , q =

24 , 36 , 54 ,不合;其它情形都不符合.
小题, 请在答题卡指定区域内作答, 二,解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 解答题: 字说明,证明或演算步骤 字说明,证明或演算步骤. 15. 【解析】由 a 与 b 2c 垂直, a (b 2c ) = a b 2a c 即 4sin(α

= 0,

+ β ) 8cos(α + β ) = 0 , tan(α + β ) = 2 ;

b + c = (sin β + cos β , 4cos β 4sin β )

| b + c |2 = sin 2 β + 2sin β cos β + cos 2 β + 16cos 2 β 32cos β sin β + 16sin 2 β

= 17 30sin β cos β = 17 15sin 2 β , 最大值为 32, 所以 | b + c | 的最大值为 4 2 .


tan α tan β = 16



sin α sin β = 16cos α cos β

,



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4cos α 4cos β sin α sin β = 0 ,
所以 a ‖ b . 16. 【解析】 (1)因为 E,F 分别是 A1 B, A1C 的中点,所以 EF

// BC ,又 EF 面ABC ,

BC 面ABC ,所以 EF ‖ 平面ABC ;
(2)因为直三棱柱

ABC A1B1C1 ,所以 BB1 ⊥ 面A1B1C1 , BB1 ⊥ A1D ,又

A1D ⊥ B1C

, 所 以

A1D ⊥ 面BB1C1C

, 又

A1D 面A1FD

, 所 以

平面A1FD ⊥ 平面BB1C1C .
17. 【 解 析 】( 1 ) 设 公 差 为

d

, 则

2 2 2 2 a2 a5 = a4 a3

, 由 性 质 得

3d (a4 + a3 ) = d (a4 + a3 ) ,因为 d ≠ 0 ,所以 a4 + a3 = 0 ,即 2a1 + 5d = 0 ,又
由 S7 所以 (

= 7 得 7 a1 +

7×6 d = 7 ,解得 a1 = 5 , d = 2 2 am am+1 ( 2m 7 )( 2m 5 ) = am+ 2 ( 2m 3 )

{an } 的通项公式为 an = 2n 7 ,前 n 项和 Sn = n 2 6n .
2 ) , 令

2m 3 = t

,

am am+1 ( t 4 )( t 2 ) 8 = = t + 6, am+ 2 t t
因为 t 是奇数, 所以 t 可取的值为 ±1 , t 当

8 = 1 ,m = 2 时, + 6 = 3 ,2 × 5 7 = 3 , t t 8 6 = 15 , {an } 中的最小项是 5 , 数列 t

是数列

{an } 中的项;t = 1 ,m = 1 时,t +

不符合. 所以满足条件的正整数 m = 2 . 18. 【解析】(1)

y = 0或 y =

7 ( x 4) , 24 1 ( x a) k

(2)法一)设点 P ( a, b) , l1 : y b = k ( x a ) ,则 l2 : y b = 由 截 得 的 弦 长 相 等 可 得

C1



l1



C2



l2

的 距 离 相 等 , 即

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1 1 | 4( ) 5 ( )a + b | | 3k 1 ka + b | k k = 2 1 1+ k 1 + ( ) 2 k

,



| 3k 1 ka + b |=| 4 5k + a + kb |

,







:

(3 + a ) 2 k 2 + 2(3 + a )(1 b)k + (1 b) 2 = (b 5) 2 k 2 + 2(a 4)(b 5)k + (a 4)2
因为有无数组解,所以对应项系数相等,解得:a 所以满足条件的点 P 坐标为 (

=

3 13 5 1 ,b = ;或 a = ,b = . 2 2 2 2

3 13 5 1 , ) 或( , ) . 2 2 2 2

法二)依题意点 P 在线段 C1 C 2 的中垂线上,且与 C1 , C 2 构成等腰直角三角形,设点 P ( a, b) , 则b 3 =

7 1 (a ) ,又 PC1 PC2 = 0 ,即 a 2 + b 2 a 6b 7 = 0 , 4 2

解得: a

=

3 13 5 1 ,b = ;或 a = , b = . 2 2 2 2 3 13 5 1 , ) 或( , ) . 2 2 2 2

满足条件的点 P 坐标为 ( 19. 【解析】 h甲

=

mA mB mA mB , h乙 = , (mA + 12)(mB + 5) (mA + 3)(mB + 20)
, h乙

当 mA

3 mB 2 = mB 时,h甲 = 5 (mB + 20)(mB + 5)

=

mB 2 (mB + 5)(mB + 20)

,所以

h甲 = h乙 .
mB 2 1 h甲 = = 20 5 (mB + 20)(mB + 5) (1 + )(1 + ) mB mB



3 mA = mB 5

时 ,

, 而

5 ≤ mB ≤ 20 ,

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所以当 mB

= 20 时, 乙两人的综合满意度均最大, mA = 12 ; 甲, 此时 最大满意度为

10 . 5

(3)

mA mB 10 mAmB 10 ≥ ≥ 且 (mA + 12)(mB + 5) 5 (mA + 3)(mB + 20) 5 ≥ 10mA + 24mB + 120
及 ①且 3m A mB 得 :

即 3m A mB 由 ①

≥ 40mA + 6mB + 120

②, , 又

5 ≤ mB ≤ 20

mA ≥

24mB + 120 3mB 10

24mB + 120 200 =8+ ∈ [12,48] , 3mB 10 3mB 10
只有当 m A 由 ②

= 12 , mB = 20 时,不等式①成立.


3 ≤ mA ≤ 12



:

mB ≥

40mA + 120 3mA 6

,



40mA + 120 40 200 = + ∈ [20,80] , 3mA 6 3 3mA 6
只有当 mB

= 20 , mA = 12 时,不等式②成立.

综上,不存在满足条件的 m A , mB 的值.

20. 【解析】 (1)若

f (0) ≥ 1 ,即 a | a |≥ 1 ,则

a < 0
2 a ≥ 1

,所以 a ≤ 1 .

(2)当 x ≥ a 时, f ( x) = 3x 2 2ax + a 2 , f ( x) min

2 f (a ), a ≥ 0 2a , a ≥ 0 2 = a = 2a f ( ), a < 0 ,a < 0 3 3

当 x ≤ a 时, f ( x) = x 2 + 2ax a 2 , f ( x) min =
2a 2 , a ≥ 0 2 = 2a . ,a < 0 3

2 f ( a ), a ≥ 0 2a , a ≥ 0 = 2 2a , a < 0 f (a ), a < 0

综上 f ( x) min

(3)x ≥ a 时,h( x) ≥ 1 得 3x 2 2ax + a 2 1 ≥ 0 , = 4a 2 12(a 2 1) = 12 8a 2 ,

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①当 a ≤

6 6 或a ≥ 时, ≤ 0 ,不等式的解集为 (a, +∞) ; 2 2

a 3 2a 2 a + 3 2a 2 6 6 ( x )( x )≥0 ②当 < a < 时, > 0, 得 , 3 3 2 2 x > a

i)

2 6 <a< 时,不等式的解集为 (a, +∞) ; 2 2 2 2 a + 3 2a 2 ≤a≤ 时,不等式的解集为 [ , +∞) ; 2 2 3 6 2 <a< 2 2

ii)

iii )
( a,

时 , 不 等 式 的 解 集 为

a 3 2a 2 a + 3 2a 2 ]∪[ , +∞) . 3 3

(3)

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