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(3)历届高考中的不等式试题精选(自我测试)(A卷)


历届高考数学试题分类选编

北大附中广州实验学校

王 生

历届高考中的不等式试题精选(自我测试) ( 历届高考中的不等式试题精选(自我测试) A 卷) 试题精选
请将正确答案的代号填入下表) 一、选择题: 每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表) 选择题: (

题号

答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1. 2007 湖南理)不等式 ( 湖南理)

x?2 ≤ 0 的解集是( ) x +1 A. (?∞, 1) U ( ?1, B. [ ?1, ? 2] 2] C. ( ?∞, 1) U [2, ∞ ) ? +

D. ( ?1, 2] )

2. 2004 北京文、理)已知 a、b、c 满足 c < b < a ,且 ac < 0 ,那么下列选项中一定成立的是( ( 北京文、 2 2 A. ab > ac B. c(b ? a ) < 0 C. cb < ab D. ac( a ? c) > 0

安徽文) 3.(2006 安徽文)不等式 ( A. ( ?∞, 2)

1 1 < 的解集是( ) x 2 B. (2, +∞ ) C. (0, 2) D. (? ∞,0 ) ∪ (2, +∞ )


4.(2004 全国卷Ⅱ文、理)已知集合 M={x|x2<4 } ,N={x|x2-2x-3<0 } ,则集合 M∩N=( 全国卷Ⅱ ( (A){x|x<-2 } (B){x|x>3} (C){x|-1<x<2 } (D){x|2<x<3 }
2

江西文 5. 2006 江西文、理)若不等式 x + ax + 1≥ 0 对一切 x ∈ ? 0, ? 成立,则 a 的最小值为( ( A. 0 B. ?2 C. ?

? ?

1? 2?



5 2

D. ?3 )

1 4 6. 2006 陕西文)设 x、y 为正数,则有(x+y)( + )的最小值为( 陕西文 ( x y A.15 B.12 C.9 D.6

7. (2007 安徽理 安徽理)若对任意 x ∈ R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( (A)a<-1 (B) a ≤1 (C) a <1 (D)a≥1



8.(2008 天津理 天津理)已知函数 f ( x ) = ? (A) (C)

{x | ?1 ≤ x ≤ 2 ? 1} {x | x ≤ 2 ? 1}

?? x + 1 ? x ?1
(B) (D)

x<0 x≥0

,则不等式 x + ( x + 1) f ( x + 1) ≤ 1 的解集是(



{x | x ≤ 1}

{x | ?

2 ?1 ≤ x ≤ 2 ?1

}

?x? y ≥0 ? 9. (2008 天津文、理)设变量 x, y 满足约束条件 ? x + y ≤ 1 ,则目标函数 z = 5 x + y 的最大值为( ) 天津文、 ?x + 2 y ≥ 1 ?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

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10.(2006 四川理)某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1、b1 千克,生产乙产品每千克需用 ( 四川理) 原料 A 和原料 B 分别为 a2、b2 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1、d 2 元。月初一次性购进本月用 原料 A、B 各 c1、c2 千克。要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。在这个 问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克,月利润总额为z元,那么,用于求使总利润 z = d1 x + d 2 y 最大的数学模型中,约束条件为( )

? a1 x + a2 y ≥ c1 , ?a1 x + b1 y ≤ c1 , ?b x + b y ≥ c , ? 2 2 (B) ? a2 x + b2 y ≤ c2 , (A) ? 1 ? ? ? x ≥ 0, ? x ≥ 0, ?y ≥ 0 ?y ≥ 0 ? ?

?a1 x + a2 y ≤ c1 , ?b x + b y ≤ c , 2 2 (C) ? 1 ? x ≥ 0, ? ?y ≥ 0 ?

?a1 x + a2 y = c1 , ? (D) ?b1 x + b2 y = c2 , ? ? x ≥ 0, ?y ≥ 0 ?

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
11.(2008 江西文 江西文)不等式 2
x2 + 2 x ? 4



1 的解集为 2

_________



重庆文) 12. 2004 重庆文)已知 (

5 3 + = 2, ( x > 0, y > 0) ,则 xy 的最小值是_____________ x y

13. 2007 山东文)当 x ∈ (1, 时,不等式 x + mx + 4 < 0 恒成立,则 m 的取值范围是 ( 山东文) 2)
2

______



? x + y ≥ 2, ? 14.(2007 福建文、理)已知实数 x、y 满足 ? x ? y ≤ 2, 则 z=2x-y 的取值范围是 ___________ . 福建文、 ( ?0 ≤ y ≤ 3, ?

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 解答题:(15、 15.(2005 春招北京理 设函数 f ( x ) = lg(2 x ? 3) 的定义域为集合 M, 北京理)
函数 g ( x) = 1 ? 求: (1)集合 M,N;

2 的定义域为集合 N。 x ?1 (2)集合 M I N , M U N 。

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16. (2008 广东文)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平 广东文) 方米的楼房。经测算,如果将楼房建为 x(x ≥ 10)层,则每平方米的 平均建筑费用为 560+48x(单位:元) 。 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

湖北文) 要设计一张矩形广告, 该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目 (即图中阴影部分) , 17.(2008 湖北文 如图, 这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm,怎样确定广 告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

18.(2007 山东文)本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用 ( 山东文) 不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为 该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两 个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

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19.(2005 全国卷Ⅰ文科 全国卷Ⅰ文科)已知二次函数 f (x ) 的二次项系数为 a,且不等式 f ( x ) > ?2 x 的解集为(1,3). (1)若方程 f ( x ) + 6a = 0 有两个相等的根,求 f (x ) 的解析式; (2)若 f (x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

20.(2007全国Ⅱ文)已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1 在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值, 全国Ⅱ ( 全国 (1)证明a>0; (2)若z=a+2b,求z的取值范围。 且0<x1<1<x2<2.

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历届高考中的不等式试题精选(自我测试) (A 历届高考中的不等式试题精选(自我测试) A 卷) ( 参考答案
请将正确答案的代号填入下表 的代号填入下表) 一、选择题: 每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表) 选择题: (

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 C

5 C

6 C

7 B

8 C

9 D

10 C

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
11. {x|-3≤x≤1} ≤ ≤ ; 12. 15 ; 13.

(? ∞,?5]

;

14. [-5,7 ]

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 解答题:(15、 3 15. 解: (Ⅰ) M = {x | 2 x ? 3 > 0} = {x | x > }; 2 2 x?3 N = {x | 1 ? ≥ 0} = {x | ≥ 0} = {x | x ≥ 3或x < 1} x ?1 x ?1
(Ⅱ)

3 M U N = {x | x < 1或x > } . 2
16、解:设楼房每平方米的平均综合费用为 y 元,依题意得

2160 × 10000 10800 = 560 + 48 x + ( x ≥ 10, x ∈ N * ) 2000 x x 10800 解法 1: y ≥ 560 + 2 48 x ? = 2000 x 10800 当且仅当 48 x = ,即 x=15 时, “=”成立。 x 因此,当 x = 15 时, y 取得最小值, ymin = 2000 元. 10800 10800 解法 2: y′ = 48 ? ,令 y ′ = 0 ,即 48 ? = 0 ,解得 x = 15 2 x x2 当 x > 15 时, y ′ > 0 ;当 0 < x < 15 时, y ′ < 0 , 因此,当 x = 15 时, y 取得最小值, ymin = 2000 元.
y = (560 + 48 x) +
答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 17.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、 不等式等知识解决实际问题的能力.(满分 12 分) 解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b



≥18500+2 25a ? 40b =18500+2 1000ab = 24500. 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=

5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.
E-mail: wangsheng@bdfzgz.net 第5页 (共 14 页)

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y ? 25 , 其中 x>20,y>25 2

解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, 两栏面积之和为 2(x-20)

y ? 25 18000 = 18000 ,由此得 y= + 25, 2 x ? 20 18000 18000 广告的面积 S=xy=x( + 25 )= + 25 x, x ? 20 x ? 20 360000 + 25( x ? 20) + 18500. 整理得 S= x ? 20 360000 因为 x-20>0,所以 S≥2 × 25( x ? 20) + 18500 = 24500. x ? 20 360000 = 25( x ? 20) 时等号成立, 当且仅当 x ? 20 18000 +25,得 y=175, 此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= x ? 20
即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.

18. 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得

? x + y ≤ 300, ? ?500 x + 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ? 目标函数为 z = 3000 x + 2000 y . ? x + y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x + 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图: l 作直线 l : 3000 x + 2000 y = 0 , 即 3 x + 2 y = 0 .

y
500

400

300 200 M

100 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值.

? x + y = 300, 解得 x = 100,y = 200 . ?5 x + 2 y = 900. ∴ 点 M 的坐标为 (100, . 200) ∴ zmax = 3000 x + 2000 y = 700000 (元)
联立 ?

0

100

200 300

x

答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

19.本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ)Q f ( x) + 2 x > 0的解集为(1,3). f ( x) + 2 x = a( x ? 1)( x ? 3), 且a < 0.因而

f ( x) = a ( x ? 1)( x ? 3) ? 2 x = ax 2 ? (2 + 4a ) x + 3a. ①
由方程 f ( x) + 6a = 0得ax 2 ? ( 2 + 4a ) x + 9a = 0.
2



因为方程②有两个相等的根,所以 ? = [ ?( 2 + 4a )] ? 4a ? 9a = 0 , 即

5a 2 ? 4 a ? 1 = 0.

1 解得a = 1或a = ? . 5
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历届高考数学试题分类选编 由于 a < 0, 舍去a = 1.将a = ?

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1 代入①得 f (x ) 的解析式 5

1 6 3 f ( x) = ? x 2 ? x ? . 5 5 5
(Ⅱ)由 f ( x) = ax ? 2(1 + 2a ) x + 3a = a ( x ?
2

1 + 2 a 2 a 2 + 4a + 1 ) ? a a

及 a < 0, 可得f ( x)的最大值为 ?

a 2 + 4a + 1 . a

? a 2 + 4a + 1 > 0, ?? 由? 解得 a < ?2 ? 3或 ? 2 + 3 < a < 0. a ?a < 0, ? 故当 f (x ) 的最大值为正数时,实数 a 的取值范围是 (?∞ ,?2 ? 3 ) U ( ?2 + 3 ,0).
20. 解:求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) = ax 2 ? 2bx + 2 ? b . (Ⅰ)由函数 f ( x ) 在 x = x1 处取得极大值,在 x = x2 处取得极小值,知 x1,x2 是 f ′( x ) = 0 的两个根. 所以 f ′( x ) = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 x < x1 时, f ( x ) 为增函数, f ′( x ) > 0 ,由 x ? x1 < 0 , x ? x2 < 0 得 a > 0 .

? f ′(0) > 0 ? (Ⅱ)在题设下, 0 < x1 < 1 < x2 < 2 等价于 ? f ′(1) < 0 ? f ′(2) > 0 ? ?2 ? b > 0 ? 化简得 ?a ? 3b + 2 < 0 . ?4a ? 5b + 2 > 0 ?

?2 ? b > 0 ? 即 ?a ? 2b + 2 ? b < 0 . ?4a ? 4b + 2 ? b > 0 ?

此不等式组表示的区域为平面 aOb 上三条直线: 2 ? b = 0,a ? 3b + 2 = 0,a ? 5b + 2 = 0 . 4 所围成的 △ ABC 的内部,其三个顶点分别为: A ? , ?,B (2,,C (4, . 2) 2)

?4 6? ?7 7?
b

16 ,8 . 6, 7 ? 16 ? 所以 z 的取值范围为 ? ,? . 8 ?7 ?
z 在这三点的值依次为

2

B (2, 2) C (4, 2)

1

?4 6? A? , ? ?7 7?

O

2

4

a

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历届高考中的不等式试题精选(自我测试) (B 历届高考中的不等式试题精选(自我测试) B 卷) (
请将正确答案的代号填入下表) 一、选择题: 每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表) 选择题: (

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1(2007全国Ⅱ文)不等式 ( 全国Ⅱ 全国 (A)(-3,2)

x?2 > 0 的解集是( x+3

) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞)

(B)(2,+∞)

(C) (-∞,-3)∪(2,+∞)

2.(2007 山东文、理) 已知集合 M = {?1,1} , N = ? x 山东文、 (A) {?1,1} (B)

{?1}

(C) {0}

? 1 ? < 2 x +1 < 4, x ∈ Z ? ,则 M ∩ N = ( ) ? 2 ?

(D)

{?1, 0}

3.(2005 上海春招 a 、 、 是常数,则 a > 0 且 b 2 ? 4 a c < 0 ” “对任意 x ∈ R ,有 a x 2 + b x + c > 0 ” 上海春招)若 b c “ 是 的( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.

4.(2008 海南、 海南、 宁夏文、 ( 宁夏文、 )已知 a1 > a2 > a3 > 0 ,则使得 (1 ? ai x ) < 1 (i = 1, 2, 3) 都成立的 x 取值范围是 ) 理
2

A.(0,

1 ) a1

B. (0,

2 ) a1

C. (0,

1 ) a3

D. (0,

2 ) a3


5.(2008 江西理 若 0 < a1 < a2 , 0 < b1 < b2 ,且 a1 + a2 = b1 + b2 = 1 ,则下列代数式中值最大的是( 江西理) A. a1b1 + a2b2 B. a1a2 + b1b2 C. a1b2 + a2b1 D.

1 2

山东文)不等式 6.(2008 山东文 A. ? ?3, ?

? ?

1? 2?

x+5 ≥ 2 的解集是( ) ( x ? 1) 2 ? 1 ? ?1 ? B. ? ? , C. ? , U (1, 3? 1? 3] ? 2 ? ?2 ?

D. ? ? , U (1, 1? 3]

? 1 ? ? 2 ?

7. 2005 重庆理)若 x,y 是正数,则 ( x + ( 重庆理) A.3 B.

1 2 1 ) + ( y + ) 2 的最小值是( 2y 2x



7 2

C.4

D.

9 2

8.(2007 全国Ⅰ文)下面给出的四个点中,位于 ? 全国Ⅰ (A)(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2)

? x + y ? 1 < 0, 表示的平面区域内的点是( ) ?x ? y + 1 > 0
(D)(2,0)

? x + y ≤ 10, ? 9.(2006 山东文)已知 x 和 y 是正整数,且满足约束条件 ? x ? y ≤ 2, 则 z=2x+3y 的最小值是( 山东文) ( ?2 x ≥ 7. ?
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5
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10.(2007 四川文、理)某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于 ( 四川文、 对项目乙投资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利 3

润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确提财投资后,在两个项目上共可获得的最大 利润为( ) A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
11.(2004 浙江文、理)已知 f ( x ) = ? ( 浙江文、 ?

1, x ≥ 0, 则不等式 x + ( x + 2) ? f ( x + 2) ≤5 的解集是 ? ? 1, x?0,




上海理) 12.(2007 上海理)若 x,y ∈ R + ,且 x + 4 y = 1 ,则 x ? y 的最大值是 (

13.(2007 湖南文、理)设集合 A = 湖南文、

{( x, y ) | y ≥| x ? 2 |, x ≥ 0} , B = {( x, y ) | y ≤ ? x + b} , A ∩ B ≠ ? ,
.

b 的取值范围是

? x + y ≤ 5, ?3 x + 2 y ≤ 12, ? 14.(2005 山东文、理)设 x, y 满足约束条件 ? 山东文、 ? 0 ≤ x ≤ 3, ? 0 ≤ y ≤ 4. ?
则使得目标函数 z = 6 x + 5 y 的值最大的点 ( x, y ) 是_______
新疆 王新敞
奎屯

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 解答题:(15、 x?a 15. 2007 北京文 北京文)记关于 x 的不等式 < 0 的解集为 P ,不等式 x ? 1 ≤ 1 的解集为 Q . ( x +1 (I)若 a = 3 ,求 P ; (II)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

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2

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16.(2004 全国Ⅲ卷文、理)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右 ( 全国Ⅲ卷文、 两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道, 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。 当矩形温室的边长各为多少时? 蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?

2 17.(2006全国Ⅱ卷文 17.(2006全国 卷文)设 a ∈ R ,函数 f ( x) = ax ? 2 x ? 2a. 若 f ( x ) > 0 的解集为A, 全国 卷文)

B = { x |1 < x < 3} , A I B ≠ φ ,求实数 a 的取值范围。

18.(2008 安徽文)设函数 f ( x ) = ( 安徽文)

a 3 3 2 x ? x + (a + 1) x + 1, 其中a 为实数。 3 2 (Ⅰ)已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值,求 a 的值;
(Ⅱ)已知不等式 f ' ( x ) > x 2 ? x ? a + 1 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立,求实数 x 的取值范围。

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2

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19. (2007 湖北文) 湖北文) (本小题满分 12 分)设二次函数 f ( x) = x + ax + a, 方程 f ( x ) ? x = 0 的两根 x1 和 x 2 满足 0 p x1 p x 2 p 1. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)试比较 f (0) f (1) ? f (C)与

1 的大小,并说明理由. 15

2.0.(2006 浙江文)设 f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c , 若a + b + c = 0 ,f(0)f(1)>0,求证: ( 浙江文)

b <-1; a 3 2 (III)设 x1 , x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则. ≤| x1 ? x2 | < 3 3
(Ⅰ)方程 f ( x ) = 0 有实根。 (Ⅱ) -2<

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历届高考中的不等式试题精选(自我测试) (B 历届高考中的不等式试题精选(自我测试) B 卷) (
请将正确答案的代号填入下表 案的代号填入下表) 一、选择题: 每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表) 选择题: (

题号 答案

1 C

2 B

3 A

4 B

5 A

6 D

7 C

8 C

9 B

10 B

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) 填空题:
11. (?∞, ] ;

3 2

12.

1 16



13。 [1, ∞ ) ; +

14. 27

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余各题分别 14 分,满分为 80 分) 解答题:(15、 x?3 15.解: (I)由 < 0 ,得 P = { x ?1 < x < 3} . x +1 (II) Q = x x ? 1 ≤ 1 = { x 0 ≤ x ≤ 2} .

{

由 a > 0 ,得 P = x ?1 < x < a ,又 Q ? P ,所以 a > 2 , 即 a 的取值范围是 (2, ∞ ) . +

{

}

}

16.本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题,应用不等式等基础知识和方法解决问题的 能力. 满分 12 分. 解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则

ab = 800.

蔬菜的种植面积

S = (a ? 4)(b ? 2) = ab ? 4b ? 2a + 8

= 808 ? 2(a + 2b).
所以 S ≤ 808 ? 4 2ab = 648( m 2 ). 当 a ? 2b, 即a ? 40( m), b = 20( m)时, S 最大值 = 648(m ).
2

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最 大种植面积为 648m2. 17.. 解:由 f(x)为二次函数知 a ≠ 0 令 f(x)=0 解得其两根为 x1 =

1 1 1 1 ? 2 + 2 , x2 = + 2 + 2 a a a a

由此可知 x1 < 0, x2 > 0 (i)当 a > 0 时, A = {x | x < x1} ∪ {x | x > x2 }

6 A ∩ B ≠ φ 的充要条件是 x2 < 3 ,即 1 + 2 + 12 < 3 解得 a > 7 a a (ii)当 a < 0 时, A = {x | x1 < x < x2 } A ∩ B ≠ φ 的充要条件是 x2 > 1 ,即 1 + 2 + 12 > 1 解得 a < ?2 a a 6 综上,使 A ∩ B = φ 成立的 a 的取值范围为 (?∞, ?2) ∪ ( , +∞) 7

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历届高考数学试题分类选编

北大附中广州实验学校

王 生

18.解: (1) 解

f ' ( x) = ax 2 ? 3 x + (a + 1) ,由于函数 f ( x) 在 x = 1 时取得极值,所以 f ' (1) = 0 即 a ? 3 + a + 1 = 0,∴ a = 1 2 2 (2) 方法一:由题设知: ax ? 3 x + ( a + 1) > x ? x ? a + 1 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立 方法一:
即 a ( x + 2) ? x ? 2 x > 0 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立
2 2

设 g ( a ) = a ( x + 2) ? x ? 2 x( a ∈ R ) , 则对任意 x ∈ R , g ( a ) 为单调递增函数 ( a ∈ R )
2 2

所以对任意 a ∈ (0, +∞) , g ( a ) > 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ≥ 0 于是 x 的取值范围是 x | ?2 ≤ x ≤ 0} 方法二: 方法二:由题设知: ax ? 3 x + ( a + 1) > x ? x ? a + 1 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立
2 2

即 ? x ? 2 x ≥ 0 ,∴ ?2 ≤ x ≤ 0
2

{

即 a ( x 2 + 2) ? x 2 ? 2 x > 0 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立

x2 + 2x x2 + 2x 对任意 a ∈ (0, +∞) 都成立,即 2 ≤0 x2 + 2 x +2 ∴ ?2 ≤ x ≤ 0 于是 x 的取值范围是 { x | ?2 ≤ x ≤ 0}
于是 a > 19.解法 1: (Ⅰ)令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,则由题意可得

?? > 0, ? 1? a ?a > 0, ? < 1, ? ?0 < ? ?? 1 < a < 1, ? 0 < a < 3 ? 2 2. 2 ? ? g (1) > 0, ? ? a < 3 ? 2 2 , 或a > 3 + 2 2 , ? ? ? g (0) > 0.
故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2 ). (Ⅱ)f(0),f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2, 令 h(a)=2a2. ∵当 a>0 时 h(a)单调增加, ∴当 0<a<3-2 2 时 0<h(a)<h(3-2 2 )=2(3-2 2 )2=2(17-12 2 )=2· 解法 2: (Ⅰ)同解法 1. (Ⅱ)∵f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,由(Ⅰ)知 0<a<3-2 2 ∴4 2 a-1<12 2 -17<0,又 4 2 a+1>0,于是

1 1 1 < ,即f (0) ? f (1) ? f (0) < . 16 17 + 12 2 16

1 1 1 = (32a 2 ? 1) = (4 2a ? 1)(4 2a + 11) < 0, 16 16 16 1 1 即 2a2< 0, 故 f(0)f(1)-f(0)< . 16 16 解法 3: (Ⅰ)方程 f(x)-x=0 ? x2+(a-1)x+a=0,由韦达定理得 ?? > 0, ?x + x > 0 ? 1 2 x 1 + x2 = 1 ? a, x1 x2 = a, 于是 0 < x1 < x2 < 1 ? ? ?(1 ? x1 ) + (1 ? x2 ) > 0, ?(1 ? x1 )(1 ? x2 ) > 0, ?
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?a > 0, ? ? ?a < 1, ? 0 < a < 3 ? 2 2. ? ? a < 3 ? 2 2 , 或a > 3 + 2 2 , 故所求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2 )
(Ⅱ)依题意可设 g(x)=(x-x1)(x-x2),则由 0<x1<x2<1 得 f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)=[x1(1-x1)] 2(1-x2)] [x <?

1 1 ? x1 + 1 ? x1 ? ? x2 + 1 ? x2 ? ? ? ? = , 故f (0) f (1) ? f (0) < . 2 2 16 ? ? ? ? 16
2 2

20.本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法,以及综合运用所学知识分析和解决问 题的能力。满分 14 分。 证明: (Ⅰ)若 a = 0, 则 b = -c , f (0) f (1) = c (3a + 2b + c ) = ?c ≤ 0 ,与已知矛盾, 所以 a ≠ 0.
2

方程 3ax + 2bx + c = 0 的判别式 ? = 4(b 2 ? 3ac), 由条件 a + b + c = 0,消去 b,得
2

1 3 ? ? ? = 4(a 2 + c 2 ? ac) = 4 ? (a ? c)2 + c 2 ? > 0 2 4 ? ?
故方程 f (x) = 0 有实根. (Ⅱ)由 f (0)f (1) > 0 ,可知 c(3a + 2b + c) > 0 又 a + b + c = 0,所以 c = ?(a + b) 所以 (a + b)( 2a + b) < 0 ,又 a ≠ 0. 所以 a > 0
2

b b b + 1)( + 2) < 0 ,解得 ?2 < < ?1, a a a 2b c a+b (Ⅲ)由条件,知 x1 + x2 = ? , x1 ? x2 = =? , 3a 3a 3a 4 b 3 2 1 2 2 所以 ( x1 ? x2 ) = ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = ( + ) + . 9 a 2 3 b 1 4 因为 ?2 < < ?1, 所以 ≤ ( x1 ? x2 ) 2 < a 3 9 3 2 故 ≤ x1 ? x2 < 3 3
所以 (

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