tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 选修4-5 第2讲 不等式的证明


第 2 讲 不等式的证明

1.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. a+b 定理 2:如果 a、b 为正数,则 ≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2 a+b+c 3 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则 ≥ abc,当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 3 定理 4 : ( 一般形式的算术 — 几何平均不等式 ) 如果 a1 , a2 ,?, an 为 n 个正数,则 a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an,当且仅当 a1=a2=?=an 时,等号成立. n 2.柯西不等式 (1)设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时等号成 立. n n n b 1 b2 bn 2 (2)若 ai,bi(i=1,2,?,n)为实数,则(∑a2 )( ∑ b ) ≥ ( ∑ aibi)2,当且仅当 = =?= i i a 1 a2 an i=1 i=1 i=1 (当 ai=0 时,约定 bi=0,i=1,2,?,n)时等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α· β|,当且仅当 α, β 共线时等号成立. 3.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(参阅本书第六 章相应内容)

,[学生用书 P224]) 考点一__利用基本不等式证明不等式____________ 1 1 1 设 a,b,c 为正实数,求证: 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c 3 1 1 1 1 1 1 [证明] 因为 a,b,c 为正实数,由均值不等式可得 3+ 3+ 3≥3 · · , a b c a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3+ 3+ 3≥ , a b c abc 1 1 1 当且仅当 3= 3= 3,即 a=b=c 时,等号成立, a b c 1 1 1 3 所以 3+ 3+ 3+abc≥ +abc. a b c abc



3 +abc≥2 abc

3 ·abc=2 3, abc

3 当且仅当 =abc,即 abc= 3时,等号成立, abc 1 1 1 所以 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c [规律方法] 利用基本不等式必须要找准“对应点”,明确“类比对象”,使其符合几 个著名不等式的特征,注意检验等号成立的条件,特别是多次使用基本不等式时,必须使等 号同时成立. 1 1 1.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,求证 + ≥4. a b 证明:由 3是 3a 与 3b 的等比中项得 3a·3b=3, 即 a+b=1. 要证原不等式成立, a+b a+b b a 只需证 + ≥4,即证 + ≥2. a b a b b a ∵a>0,b>0,∴ + ≥2 a b 1 1 ∴ + ≥4. a b 考点二__放缩法证明不等式____________________ (2015· 洛阳模拟)有小于 1 的 n(n≥2)个正数 x1,x2,x3,?,xn,且 x1+x2+x3 +?+xn=1. 求证: 1 1 1 1 + >4. 3+ 3+?+ x1-x3 x - x x - x x - x3 1 2 2 3 3 n n 1 1 > ,其中 i=1,2,3,?,n, x xi-x3 i i b a b a 1 · =2(当且仅当 = ,即 a=b= 时,取“=”号), a b a b 2

[证明] ∵0<xi<1,∴



n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 3+ 3+ 3+?+ 3> + + +?+ ≥n xn x1-x1 x2-x2 x3-x3 xn-xn x1 x2 x3 x1x2x3?xn

x1+x2+x3+?+xn 1 n ∵ x1x2x3?xn≤ = , n n ∴ ∴ n 1 ≥n, x1x2x3?xn

1 1 1 1 + 3+ 3+?+ x1-x3 x - x x - x x - x3 1 2 2 3 3 n n 1 1 1 1 + + +?+ >4. x1-x3 x2-x3 x3-x3 xn-x3 1 2 3 n

>n2≥22=4, ∴

[规律方法] 放缩法证明不等式时,常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性.缩小分 母、扩大分子,分式值增大;缩小分子、扩大分母,分式值减小;每一次缩小其和变小,但 需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头.

1 1 1 1 2.设 n 是正整数,求证: ≤ + +?+ <1. 2 n+1 n+2 2n 证明:由 2n≥n+k>n(k=1,2,?,n), 得 1 1 1 ≤ < . 2n n+k n

1 1 1 当 k=1 时, ≤ < ; 2n n+1 n 1 1 1 当 k=2 时, ≤ < ; 2n n+2 n ? 1 1 1 当 k=n 时, ≤ < , 2n n+n n 1 n 1 1 1 n ∴ = ≤ + +?+ < =1. 2 2n n+1 n+2 2n n 考点三__柯西不等式____________________________ (2014· 高考福建卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a. (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 是正实数,且满足 p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3. [解] (1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2 时,等号成立, 所以 f(x)的最小值等于 3,即 a=3. (2)证明:由(1)知 p+q+r=3,又因为 p,q,r 是正实数, 所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即 p2+q2+r2≥3. [规律方法] 利用柯西不等式求最值的一般结构为: 1 1? 2 2 ?1 2 2 (a2 要注意右 1+a2+?+an) a2+a2+?+a2 ≥(1+1+?+1) =n .在使用柯西不等式时, ? ?
1 2 n

边为常数且应注意等号成立的条件. 3.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,求证: 1≤a≤2. 证明:由柯西不等式得 1 1 1? 2 (2b2+3c2+6d2)? ?2+3+6?≥(b+c+d) , 即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2, 由已知可得 2b2+3c2+6d2=5-a2,b+c+d=3-a, ∴5-a2≥(3-a)2,即 1≤a≤2. 当且仅当 2b 3c 6d = = ,即 2b=3c=6d 时等号成立. 1 1 1 2 3 6

1.如果 x>0,比较( x-1)2 与( x+1)2 的大小. 解:( x-1)2-( x+1)2 =[( x-1)+( x+1)][( x-1)-( x+1)] =-4 x. ∵x>0,∴ x>0,∴-4 x<0, ∴( x-1)2<( x+1)2. 1+x 1+y 2.若 x,y 都是正实数,且 x+y>2,求证: <2 和 <2 中至少有一个成立. y x 1+x 1+y 证明:假设 <2 和 <2 都不成立, y x 1+x 1+y 则有 ≥2 和 ≥2 同时成立. y x 因为 x>0 且 y>0, 所以 1+x≥2y,且 1+y≥2x. 两式相加,得 2+x+y≥2x+2y, 所以 x+y≤2. 这与已知条件 x+y>2 矛盾, 1+x 1+y 因此 <2 和 <2 中至少有一个成立. y x a b c 3.已知△ABC 的三边长分别是 a,b,c 且 m 为正数,求证: + > . a+m b+m c+m 证明:要证 a b c + > , a+m b+m c+m

只需证 a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0, 即证 abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-acm-bcm-cm2>0, 即证 abc+2abm+(a+b-c)m2>0. 由于 a,b,c 分别是△ABC 的三边长,故有 a+b>c. ∵m>0,∴(a+b-c)m2>0, ∴abc+2abm+(a+b-c)m2>0 是成立的, a b c 因此 + > 成立. a+m b+m c+m 4.已知 a>0,b>0,c>0,a+b>c. 求证: a b c + > . 1+a 1+b 1+c

证明:∵a>0,b>0, ∴ ∴ a a b b > , > . 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b a+b a b + > . 1+a 1+b 1+a+b

x 1 而函数 f(x)= = 1- 在(0,+∞)上递增, 1+x 1+x 且 a+b>c,c>0, a+b c ∴f(a+b)>f(c),则 > , 1+a+b 1+c

a b c 所以 + > , 1+a 1+b 1+c 则原不等式成立. 1 1 5.(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)若 a>0,b>0,且 + = ab. a b (1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 1 1 2 解:(1)由 ab= + ≥ ,得 ab≥2,且当 a=b= 2时等号成立. a b ab 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2,且当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2. (2)由(1)知,2a+3b≥2 6 ab≥4 3. 由于 4 3>6,从而不存在 a,b,使得 2a+3b=6. 6.(2015· 贵州省六校第一次联考)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 1 1 (1) + + ≥8; a b ab 1?? 1? (2)? ?1+a??1+b?≥9. 证明:(1)∵a+b=1,a>0,b>0, 1 1 1 1 1 a+b ∴ + + = + + a b ab a b ab 1 1? =2? ?a+b? =2? a+b a+b? ? a + b ?

b a? =2? ?a+b?+4 ≥4 b a 1 × +4=8(当且仅当 a=b= 时,等号成立), a b 2

1 1 1 ∴ + + ≥8. a b ab 1?? 1? 1 1 1 (2)∵? ?1+a??1+b?=a+b+ab+1, 1 1 1 由(1)知 + + ≥8. a b ab 1?? 1? ∴? ?1+a??1+b?≥9. 1.(2013· 高考新课标全国卷Ⅱ)设 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (1)ab+bc+ac≤ ; 3 a2 b2 c2 (2) + + ≥1. b c a 证明:(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,

得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 a2 b2 c2 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, b c a a2 b2 c2 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), b c a a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a a2 b2 c2 所以 + + ≥1. b c a 2.(2015· 河北唐山模拟)设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b∈M. 1 1 ? 1 (1)证明:? ?3a+6b?<4; (2)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小,并说明理由. 3,x≤-2, ? ? 解:(1)证明:记 f(x)=|x-1|-|x+2|=?-2x-1,-2<x<1, ? ?-3,x≥1. 1 1 由-2<-2x-1<0,解得- <x< , 2 2 1 1 - , ?. 则 M=? ? 2 2? 1 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 所以? ?3a+6b?≤3|a|+6|b|<3×2+6×2=4. 1 1 (2)由(1)得 a2< ,b2< . 4 4 因为|1-4ab|2-4|a-b|2 =(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2) =(4a2-1)(4b2-1)>0, 所以|1-4ab|2>4|a-b|2, 故|1-4ab|>2|a-b|. 3.(2014· 高考辽宁卷)设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N. (1)求 M; 1 (2)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤ . 4
? ?3x-3,x∈[1,+∞), 解:(1)f(x)=? ?1-x,x∈(-∞,1). ?

4 4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤ ,故 1≤x≤ ; 3 3

当 x<1 时,由 f(x)=1-x≤1 得 x≥0,故 0≤x<1. 4? ? 所以 f(x)≤1 的解集为 M=?x|0≤x≤3?.
? ?

1 2 x- ? ≤4, (2)证明:由 g(x)=16x2-8x+1≤4 得 16? ? 4? 1 3 解得- ≤x≤ . 4 4 1 3? ? 因此 N=?x|-4≤x≤4?,
? ?

3? ? 故 M∩N=?x|0≤x≤4?.
? ?

当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x, 于是 x2f(x)+x· [f(x)]2=xf(x)[x+f(x)] 1 2 1 1 x- ? ≤ . =x· f(x)=x(1-x)= -? 4 ? 2? 4 4.(2015· 洛阳市统考)(1)已知 x,y 都是正实数,求证:x3+y3≥x2y+xy2; (2)若不等式|a-1|≥ 3x+1+ 3y+1+ 3z+1对满足 x+y+z=1 的一切正实数 x,y,z 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)证明:(x3+y3)-(x2y+xy2)=x2(x-y)+y2(y-x)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)2(x+y). 又 x,y 都是正实数, ∴(x-y)2≥0,x+y>0,即(x3+y3)-(x2y+xy2)≥0, ∴x3+y3≥x2y+xy2. (2)根据柯西不等式有 ( 3x+1+ 3y+1+ 3z+1)2 =(1· 3x+1+1· 3y+1+1· 3z+1)2 ≤(12+12+12)[( 3x+1)2+( 3y+1)2+( 3z+1)2] =3· [3(x+y+z)+3] =3×6=18, ∴ 3x+1+ 3y+1+ 3z+1≤3 2. 又∵|a-1|≥ 3x+1+ 3y+1+ 3z+1恒成立, ∴|a-1|≥3 2, ∴a-1≥3 2或 a-1≤-3 2,即 a≥3 2+1 或 a≤1-3 2, ∴a 的取值范围是(-∞,1-3 2]∪[1+3 2,+∞).


推荐相关:

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 选修4-5 第1讲 绝对...

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 选修4-5 第1讲 绝对值不等式_数学_高中教育_教育专区。2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 选修4-5 第1讲 绝对值不等式...


【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精...

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义:选修4-5 不等式选讲 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。选修 4-5 不等式选讲 第一节 绝对...


2016届高考数学一轮复习 第2节 不等式的证明与利用不等...

2016届高考数学一轮复习 第2不等式的证明与利用不等式求最大(小)值课后限时自测 理 苏教版选修4-5_数学_高中教育_教育专区。【高考讲坛】2016 届高考数学...


...新课标一轮复习练习:选修4-5第2讲不等式的证明.doc

【卓越学案】2017高考理科数学新课标一轮复习练习:选修4-5第2讲不等式的证明.doc_数学_高中教育_教育专区。1.如果 x>0,比较( x-1)2 与( x+1)2 的大小...


【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精...

【三维设计】2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精品讲义:第六章++不等式、推理与证明 (1)_高考_高中教育_教育专区。第一节 不等关系与不等式 基础盘查...


2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第一章 第2讲 简单...

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第一章 第2讲 简单不等式的解法_数学_高中教育_教育专区。2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第一章 第2讲 简单不等式的...


2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第2讲 排列...

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第2讲 排列与组合_数学_高中教育_...(种). 4.在一展览会上,要展出 5 件艺术作品,其中不同书法作品 2 件、不...


2016届高考文科数学第一轮复习教案——选修4-5不等式

2016届高考文科数学第一轮复习教案——选修4-5不...绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1)|a+b...2016届新课标数学(理)一... 7页 2下载券 2015...


2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精品讲义:第六章...

2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精品讲义:第六章 不等式、推理与证明_...< a b 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ ) ) ) ) 2.(...


2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第5讲 椭圆

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第5讲...c 的等式(或不等式), 利用 a2=b2+c2 消去 b,...(2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 2 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com