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2016年上海市高考数学理科试题(Word版)


2016 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试

上海

数学试卷(理工农医类)

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格 填对得 4 分,否则一律得零分. 1、设 x ? R ,则不等式 x ? 3 ? 1 的解集为_________

_____________ 2、设 Z ?

3 ? 2i ,期中 i 为虚数单位,则 Im z =______________________ i

3、已知平行直线 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0, l2 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1 , l2 的距离_______________ 4、 某次体检, 6 位同学的身高 (单位: 米) 分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 则这组数据的中位数是_________ (米) 5、已知点 (3,9) 在函数 f ( x) ? 1 ? a 的图像上,则 f ( x)的反函数 f
x ?1

( x) ? ________
2 , 3

6、 如图, 在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 的边长为 3, BD1 与底面所成角的大小为 arctan 则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程 3sin x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0,2? ? 上的解为___________

2? ? 8、在 ? 3 x ? ? 的二项式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于_________ x? ?
9、已知 ?ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设 a ? 0, b ? 0. 若关于 x , y 的方程组 ?

n

?ax ? y ? 1 无解,则 a ? b 的取值范围是____________ ? x ? by ? 1
?

11.无穷数列 ?an ?由 k 个不同的数组成,Sn 为 ?an ?的前 n 项和.若对任意 n ? N ,Sn ??2,3?,则 k 的最大值 为. 12.在平面直角坐标系中,已知 A(1,0) ,B(0,-1) ,P 是曲线 y ? 1 ? x 2 上一个动点,则 BP ? BA 的取值 范围是. 13.设 a, b ? R, c ? ?0,2? ? ,若对任意实数 x 都有 2 sin ? 3x ?

? ?

??

? ? a sin ?bx ? c ? ,则满足条件的有序实数组 3?

?a, b, c ? 的组数为.
14.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,O 为正八边形 A1 A2 ? A8 的中心,

A1 ?1,0? .任取不同的两点 Ai , Aj , 点 P 满足 OP ? OAi ? OA j ? 0 , 则点 P

落在第一象限的概率是. 二、选择题(5×4=20) 15.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“ a 2 ? 1 ”的( )

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( ) (A) ? ? 6 ? 5cos? (C) ? ? 6 ? 5cos? (B) ? ? 6 ? 5sin? (D) ? ? 6 ? 5sin?

l m S n ? S .下列条件中, 17.已知无穷等比数列 ?an ?的公比为 q , 前 n 项和为 Sn , 且i 使得 2Sn ? S n ? N ? 恒
n??

?

?

成立的是(

) (B) a1 ? 0,?0.7 ? q ? ?0.6 (D) a1 ? 0,?0.8 ? q ? ?0.7

(A) a1 ? 0,0.6 ? q ? 0.7 (C) a1 ? 0,0.7 ? q ? 0.8

18 、设 f ( x ) 、 g ( x) 、 h( x) 是定义域为 R 的三个函数,对于命题:①若 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? h( x) 、

g ( x) ? h( x) 均为增函数,则 f ( x) 、 g ( x) 、 h( x) 中至少有一个增函数;②若 f ( x) ? g ( x) 、 f ( x) ? h( x) 、
则 f ( x) 、 下列判断正确的是 ( g ( x) ? h( x) 均是以 T 为周期的函数, g ( x) 、 h( x) 均是以 T 为周期的函数, )

A 、①和②均为真命题 B 、①和②均为假命题 C 、①为真命题,②为假命题 D 、①为假命题,②为真命题
三、解答题(74 分)

? 19.将边长为 1 的正方形 AAO 1 1O (及其内部)绕的 OO 1 旋转一周形成圆柱,如图, AC 长为


? ,其中 B1 与 C 在平面 AAO 1 1O 的同侧。 3

2 ? ,? A1 B1 长 3

O1

O

A1 B1
A

(1)求三棱锥 C ? O1 A1B1 的体积; (2)求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小。

C

20、(本题满分 14) 有一块正方形菜地 EFGH , EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到 F 点或河边运走。于是,菜地 分为两个区域 S1 和 S2 ,其中 S1 中的蔬菜运到河边较近,S2 中的蔬菜运到 F 点较近,而菜地内 S1 和 S2 的分 界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其 中原点 O 为 EF 的中点,点 F 的坐标为(1,0) ,如图 (1)求菜地内的分界线 C 的方程 (2)菜农从蔬菜运量估计出 S1 面积是 S2 面积的两倍,由此得到 S1 面积

8 。设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点,请计算以 EH 为一 3 边、另一边过点 M 的矩形的面积,及五边形 EOMGH 的面积,并判断
的“经验值”为 哪一个更接近于 S1 面积的经验值

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点。 b2

(1)若 l 的倾斜角为 (2)设 b ?

?
2

, ?F1 AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;

??? ? ???? ??? ? 3 ,若 l 的斜率存在,且 ( F1 A ? F1B) ? AB ? 0 ,求 l 的斜率.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? log 2 (

1 ? a) . x

(1)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x ) ? 0 ; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? log2 [(a ? 4) x ? 2a ? 5] ? 0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范围; (3)设 a ? 0 ,若对任意 t ? [ ,1] ,函数 f ( x ) 在区间 [t, t ? 1] 上的最大值与最小值的差不超过 1,求 a 的 取值范围.

1 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 若无穷数列 {an } 满足:只要 a p ? aq ( p, q ? N * ) ,必有 a p?1 ? aq?1 ,则称 {an } 具有性质 P . (1)若 {an } 具有性质 P ,且 a1 ? 1, a2 ? 2, a4 ? 3, a5 ? 2 , a6 ? a7 ? a8 ? 21 ,求 a3 ; (2)若无穷数列 {bn } 是等差数列,无穷数列 {cn } 是公比为正数的等比数列, b1 ? c5 ? 1 , b5 ? c1 ? 81 ,

an ? bn ? cn 判断 {an } 是否具有性质 P ,并说明理由;
(3)设 {bn } 是无穷数列,已知 an?1 ? bn ? sin an (n ? N ) .求证: “对任意 a1 ,{an } 都具有性质 P ”的充要条
*

件为“ {bn } 是常数列”.


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