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广东省惠州市2015届高三第一次调研考试 数学理 Word版含答案


惠州市 2015 届高三第一次调研考试
数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1.复数 z ?

A. ?

1 2

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 ( 1? i 1 1 B. i C. 2 2



1 D. ? i 2


2.已知集合 A ? { y y ? x ? 1, x ? R} , B ? {x x ? 2} ,则下列结论正确的是(

C. A ? B ? B D. A ? B ? B 900、 1200 人,现用分层抽样的方 3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、 A. ? 3 ? A B. 3 ? B
法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本, 则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30
)
4 3 2 正视图 侧视图 3 俯视图 3

4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? (

B. 36 C. 54 D. 72 1 5 2 4 5.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是( ) x A. 10 B. ? 10 C. ? 5 D. 20

A. 18

6.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于(



A. 30

B. 12

7.已知 x , y 都是区间 [0,

?
2

C. 24

D. 4

] 内任取的一个实数,则使得 y ? sin x 的取值的概率是(
C.



A.

4 ?2

B.

2

?

1 2

D.

2 ?2

8.已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积” ,且 a ? b 是一个向量,它 的

长度 a ? b ? a b sin ? ,若 u ? (2,0) , u ? v ? (1, ? 3) ,则 u ? (u ? v) ? (

r

r r



A. 4 3

B.

3

C. 6

D. 2 3

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. 函数 y ? log 3 (3 x ? 2) 的定义域是 . .

10.以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线方程是 11.用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有____________个.

?x ? 0 ? 12.设变量 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 ?y ? 1 ?

.

13.函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ' ( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的 解 集为 . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14. (坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中,A,B 分别是直线 ? cos? ? ? sin ? ? 5 ? 0 和 圆 ? ? 2 sin ? 上的动点,则 A,B 两点之间距离的最小值是 15.(几何证明选讲选做题)如图所示, ?OAB 是等腰三角形, P 是底边 AB 延长线上一点, 且 PO ? 3 , PA ? PB ? 4 ,则腰长 OA = . O .

A B P 三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分)

(2)求

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2 (1)求 tan x 的值; cos2 x
已知 sin

2 cos( ? x) ? sin x 4
17. (本小题满分 12 分) 去年 2 月 29 日, 我国发布了新修订的 《环境空气质量标准》 指出空气质量指数在 0 ? 50 为优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测,

?

的值.

得到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间 为 ? 5,15? , ?15,25? , ? 25,35? , ? 35,45? ,由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图, 如图. (1) 求 a 的值; (2) 根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第 i 组的频率为 pi ,第 i 组区间的中点值为 xi ? i ? 1,2,3, 样本数据的平均值为 X ? x1 p1 ? x2 p2 ? x3 p3 ?

, n? ,则

? xn pn .)

(3) 如果空气质量指数不超过 15 ,就认定空气质量为“特优等级” ,则从这一年的监测数 据中随机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ? ,求 ? 的分布列和数学 期望. 频率 组距 0.032

a

0.020 0.018

O 18.(本小题满分 14 分)

5 15 25 35 45 空气质量指数

如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1 ,且 AA 1 ? AB ? 2 (1) 求证: AB ? BC ; (2) 若直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角为

? ,求锐二面角 A ? AC ? B 的大小。 1 6
A1 B1 C1

A B 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3,前 n 项和 S n ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式;

C

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 . 2

(2) 设数列 ? 都

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n ? an an?1 ?

成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . 2 2 a b

(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点), 且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. y l

A

P x A2

F1 O B 21. (本小题满分 14 分) 已 知 关 于 x 的 函 数 f ( x) ? ?

F2

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc , 其 导 函 数 为 f ?( x ) . 记 函 数 3

, ? 上的最大值为 M . g ( x) ? f ?( x) 在区间 ? ?11
(1) 如果函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 ,试确定 b、c 的值; 3

(2) 若 b ? 1,证明对任意的 c ,都有 M ? 2 ; (3) 若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.

惠州市 2015 届高三第一次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

C

C

B

D

A

C

A

D

1. 【解析】化简得 z ?

1 1 1 ? i ,则虚部为 ,故选 C 2 2 2

2. 【解析】已知集合 A ? (?3,??), B ? [2,??), ? A ? B ? B ,故选 C 3. 【解析】三个年级的学生人数比例为 3 : 3 : 4 ,按分层抽样方法,在高三年级应该抽取人 数为 50 ?

4 ? 20 人,故选 B 3?3? 4 8(a4 ? a5 ) ? 72 , 2

4. 【解析】由题意 a4 ? a5 ? 18 ,等差数列中 a4 ? a5 ? a1 ? a8 ,所以 S8 ? 故选 D

r 5. 【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为 C5 (?1)r x10 ?3r ,则 10 ? 3r ? 4 得 r ? 2 ,

所以含 x 项
2 的系数为 C5 (?1)2 ? 10 ,故选 A

4

3 2 3 4 第 6 题图

6. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的, 如图 V ?

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ( ? 3 ? 4) ? 3 ? 24 ,故选 C 2 3 2

7. 【解析】此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 y ? sin x 的图像在 [0, 的图形的面积,即 S ?

?
2

] 内与 x 轴围成

?

?

2 0

sin xdx ? 1 ,则事件 A 的概率为 P ?

s 1 4 ? ? 2 ,故 ? ? s? ? ? 2 2

选A 8.【解析】由题意 v ? u ? (u ? v) ? (1, 3) ,则 u ? v ? (3, 3) , cos ? u, u ? v ??

3 ,得 2


sin ? u , u ? v ??

1 2









u ? (u ? v) ? u u ? v sin ? u , u ? v ?? 2 ? 2 3 ?

1 ? 2 3 ,故选 D 2

二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题. 9.( ,?? )

2 3

10.x ?
2

y2 ?1 3

11. 12

3 12.

(?1, ??) 13.

14.2 2 ?1

15. 5

2 2 ,则定义域为: ( ,?? ) 3 3 c 2 2 b2 10. 【解析】 抛物线焦点 (1, 0) , 则双曲线中:a ? 1 , 且e ? ? 2 , 得c ? 2, 又 c ?a ? a
9. 【解析】由 3 x ? 2 ? 0 得 x ? 得b ? 3,
3

则双曲线的标准方程为: x ?
2

y2 ?1 3

y

11. 【解析】由题意,没有重复数字的偶数,则末位是 2 或 4, 当末位是 2 时,前三位将 1 , 3 , 4 三个数字任意排列,则
3 3 有 A3 ? 6 种排法,末位为 4 时一样有 A3 ? 6 种,两类共有:

C 1 O 1 -1 A

B

x y=-x

3 2 A3 ? 12 种,故共有没有重复数字的偶数 12 个。

12. 【解析】由约束条件画出可行域如图所示, 则目标函数 z ? x ? y 在点 B(2,1) 取得最大值, 代入得 x ? y ? 3 ,故 x ? y 的最大值为

3。
13. 【解析】设函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 4 ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? 2 ? 0 ,得函数 g ( x) 在 R 上 为增函数, 且 g (?1) ? f (?1) ? 2 ? (?1) ? 4 ? 0 , 所以当 f ( x) ? 2 x ? 4 时, 有 g ( x) ? 0 , 得 x ? ?1 , 故不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 (?1, ??) 14. 【解析】由题意,直线 l : x ? y ? 5 ? 0 ,圆的标准方程 x ? ( y ?1) ? 1 ,则圆心 (0,1) 到
2 2

直线 l 的距离为 2 2 ,且圆半径 r ? 1 ,故 AB min ? d ? r ? 2 2 ? 1 15. 【解析】以 O 为圆心,以 OA 为半径作圆,则圆 O 经过点 B ,即 OA ? OB ? r ,设 PO 与圆 O 交于 ? PD P C即 点 C 且 延 长 PO 交 圆 O 与 点 D , 由 切 割 线 定 理 知 P A P B ,

( 3? r ) (? 3r ?) , 4
得 r ? 5 ,所以 OA ? r ? 5 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ sin A -------------------------1 分 ---------------------------2 分

D

O C B P

x x x ? 2 cos ? 0 ,则 cos ? 0 2 2 2 x ∴ tan ? 2 2



tan x ?

2 tan

x 1 ? tan 2 2? 2 4 ? ?? 2 1? 2 3
2

x 2

----------------------------4 分

----------------------------5 分 ---------------------------7 分

(2) 原式 ?

cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 2? cos x ? sin x ? sin x 2 ? 2 ?

?
?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x)sin x

----------------------------9 分

cos x ? sin x sin x 1 ? tan x ? tan x 1 ? 4
17. (本小题满分 12 分)

------------------------------10 分 ------------------------------11 分 ------------------------------12 分

(1) 解:由题意,得 ? 0.02 ? 0.032 ? a ? 0.018? ?10 ? 1, 解得 a ? 0.03 . (2)解: 50 个样本中空气质量指数的平均值为

?????1 分 ?????2 分

X ? 0.2 ?10 ? 0.32 ? 20 ? 0.3 ? 30 ? 0.18 ? 40 ? 24.6

?????3 分

由样本估计总体, 可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . ????4 分 (3)解:利用样本估计总体,该年度空气质量指数在 ? 5,15? 内为“特优等级” , 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ,则 ?

? 1? B ? 3, ? . ? 5?

?????5 分

? 的取值为 0,1, 2,3 ,
64 48 ?4? 1?1? ? 4? , P ?? ? 1? ? C3 , P ?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ??? ? ? 125 ?5? ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3 3 2

?????6 分

12 1 ? 1 ? ? 4? 3?1? , P ?? ? 3? ? C3 . ?????10 分 P ?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5? 1 2 5 ? 5 ? 125
2 3

2

3

?

0

1

2

3

∴? 的分布列为:

P

64 125

48 125

12 125

1 125

?????11 分 ∴E? ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5 1 3 (或者 E? ? 3 ? ? ) 5 5

?????12 分

18. (本小题满分 14 分)

D ,连接 AD , 解: (1)证明:如右图,取 A 1B 的中点
因 AA 1 ? AB ,则 AD ? A 1B

?????1 分 ?????2 分 侧 面

由 平 面 A C 侧 面 A1 ABB1 , 且 平 面 A1 B C 1 B ?

A1 ABB1 ? A1B ,????3 分
得 AD ? 平面A 1BC ,又 BC ? 平面 A 1BC , 所以 AD ? BC . ???????4 分 A1 E B1 C1

因为三棱柱 ABC —A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA 1 ? 底面ABC , 所以 AA1 ? BC . 又 AA 1 D A

C B ??????7 分

AD=A ,从而 BC ? 侧面 A1 ABB1 ,

又 AB ? 侧面 A 1 ABB 1 ,故 AB ? BC .

(2)解法一:连接 CD ,由(1)可知 AD ? 平面A 1BC ,则 CD 是 AC 在 平面A 1 BC 内的 射影 ∴

?ACD 即 为 直 线 AC 与 平面A1BC 所 成 的 角 , 则
????8 分

?ACD =

?
6

D 是 A1B 中点 在等腰直角 ?A1 AB 中, AA 1 ? AB ? 2 ,且点

∴ AD ? ∴

1 ? ? A1 B ? 2 ,且 ?ADC = , ?ACD = 2 2 6

AC ? 2 2
E ,连 DE 过点 A 作 AE ? AC 1 于点

???????9 分

由(1)知 AD ? 平面A 1BC ,则 AD ? AC 1 ,且 AE ∴ 角

AD ? A

? AED

即 为 二 面 角

A?

1

A ? C 的B 一 个 平 面

???????10 分 且直角 ?A1 AC 中: AE ? 又 AD= 2 , ?ADE =

A1 A AC 2 ? 2 2 2 6 ? ? AC 3 2 3 1

?
2



sin ?AED=

AD 2 3 ,且二面角 A ? AC ? ? 1 ? B 为锐二面角 AE 2 6 2 3



?AED =

?
3

, 即 二 面 角

的 大 小 为 A ? AC 1 ?B

? 3

???????14 分

解法二(向量法) :由( 1 )知 AB ? BC 且 BB1 ? 底面ABC ,所以以点 B 为原点,以

BC、BA、BB1 所在直线分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 B ? xyz ,如图所
示,且设 BC ? a ,则

A(0, 2, 0) ,

B(0, 0, 0) ,

C (a,0,0) ,

A1 (0, 2, 2)

BC ? (a,0,0) ,

,, 2 ) BA1 ? ( 0 , 2

AC ? (a, ?2,0) ,

AA1 ? (0,0, 2) ??9 分
设平面 A 1BC 的一个法向量 n1 ? ( x, y, z ) 由 BC ? n1 ,

BA1 ? n1 得:

? xa ? 0 ? ?2 y ? 2 z ? 0



y ?1





x ? 0, z ? ?1





n1 ? (

0? ,

1

,

???? 1 ) 10 分

设直线 AC 与 平面A1BC 所成的角为 ? ,则 ? ? 得

?
6
解 得

sin

?
6

?

AC n1 AC n1

?

?2 4?a
2

2

?

1 2



a?2





AC ? ( ?2

,

??? 分 ) 2 , 12 0

又设平面 A 1 AC 的一个法向量为 n2 ,同理可得, n2 ? (1,1,0) 设锐二面角 A ? AC 1 ? B 的大小为 ? ,则

cos ? ? cos ? n1 , n2 ??
∴ 锐 二

n1 n2 n1 n2


?

? ? 1 ,且 ? ? (0, ) ,得 ? ? 3 2 2
A?
1



? A

C的

大 B





? 。 3
19. (本小题满分 14 分) 解: (1) (解法一)∵ S n ? ∴S n ?1 ?

???????14 分

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2

1 (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2

∴an?1 ? Sn?1 ? Sn

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
分 整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1 ∴(n ? 1)an ? 2 ? (n ? 2)an ?1 ? 1 两 式 相 减

???????3



(n ?

n?2

1a

?

n?1

)

n

?????? ? na ?15 分 ( ?

n 2 n

?

)a

即 (n ? 1)an?2 ? 2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an ? 0 ∴an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ?an ???????

7分 ∴ 数列 ?an ? 是等差数列 且 a1 ? 3 ,得 a2 ? 5 ,则公差 d ? 2 ∴

an ? 2n ? 1
(解法二) ∵ Sn ?

???????8 分

1 (n ? 1)(an ? 1) ? 1 2 1 ∴S n ?1 ? (n ? 2)(an ?1 ? 1) ? 1 2
∴an?1 ? Sn?1 ? Sn

1 ? [(n ? 2)(an ?1 ? 1) ? (n ? 1)(an ? 1)] 2
整理得 nan?1 ? (n ? 1)an ?1 等 式 两 边 同

???????3 分







n(n ? 1)



an?1 an 1 ? ? , n ? 1 n n(n ? 1)


???????5 分

an ?1 an 1 1 1 ? ?? ? ? n ?1 n n(n ? 1) n ? 1 n
累加得

???????6 分

an an an ?1 an ?1 an ? 2 a a a ? ? ? ? ? ? 2? 1? 1 n n n ?1 n ?1 n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 3 n n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2 1 ? ?2 n
得 an ? 2n ? 1 8分 (2) 由(1)知 an ? 2n ? 1 ∴ 分 ???????

1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

??????? 10

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? 2 3 5 5 7 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 ? 6

?

1 1 1 1 ? ? ? ) 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3

???????12

分 则要使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成立,只要 (Tn )max ? M ,所以只要 M ?

1 6

∴ 存在 实数 M ,使 得 Tn ? M 对一切正 整数 n 都成立 ,且 M 的最小 值为

1 ????14 分 6
20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题: e ? 左 焦 点 ②

c 1 ? ① a 2
到 点 P(2,1) 的 距 离 为 : d = (2 + c) 2 + 1 2 = 10

( - c,0)

???????2 分 ??????

由① ② 可解得 c = 1 , a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3. 3分 ∴ 所求椭圆 C 的方程为 x2 y2 + =1 . 4 3 ??????4 分

y

l

A

P x

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0. 4m 2-12 8km ∴ x1 + x2 = - 2 ,x1x2 = , 4k + 3 4k 2 + 3 且 y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m. → → ∵ AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 A2A ? A2B = 0. 分 所以 (x1-2,y1)· (x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4 4m 2-12 8km = (k 2 + 1)· 2 -(km-2)· 2 + m2 + 4 = 0 . 4k + 3 4k + 3 分 2 整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴ m = - k 或 m = -2k 都满足 △ > 0. 7 12 分 ?????? ??????10 ??????6 分 B F1 O F2 A2

??????7

若 m = -2k 时, 直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) , 恒过定点 A2(2,0), 不合题意舍去; ??? 13 分 2 2 2 2 若 m = - k 时, 直线 l 为 y = kx- k = k (x- ), 恒过定点 ( ,0) . 7 7 7 7 14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) ∵ f ?( x) ? ? x2 ? 2bx ? c ,由 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值 ? ?????

4 ,可得 3


? f ?(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? 1 4 ? f (1) ? ? ? b ? c ? bc ? ? ? 3 3 ?







?b ? 1 ? ?c ? ?1



?b ? ?1 ? ?c ? 3

???????2 分 若 b ? 1 , c ? ?1 ,则 f ?( x) ? ? x2 ? 2x ?1 ? ?( x ?1)2 ? 0 ,此时函数 f ( x ) 没有

极值;?3 分 若 b ? ?1 , c ? 3 ,则 f ?( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 ? ?( x ?1)(x ? 1) ,此时当 x 变化时,

f ( x) , f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)
∴ 求。

(??, ?3)

?3
0
极小值 ?12

(?3,1)

1

(1, ??)

?


?


0
极大值 ?

?
4 3



当 x ? 1 时 , f ( x) 有 极 大 值 ?

4 , 故 b ? ?1 , c ? 3 即 为 所 3

??????4 分

2 2 2 (2)证法一: g ( x) ? f ?( x) ? ? x ? 2bx ? c ? ?( x ? b) ? b ? c

当 b ? 1时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外 ∴ 中较大的一个 ∴

f ?( x ) 在区间 [?1,1] 上的最值在两端点处取得,故 M 应是 g (?1) 和 g (1)

2M

? g(1) ? g(?1) ? ?1? 2b ? c ? ?1? 2b ? c ? 4b ? 4 , 即

M ?2

????8 分

证法二(反证法) :因为 b ? 1,所以函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外, ∴ 较大的一个, 假 设 M ?2 , 则 ? 得: ??????6 分

f ?( x ) 在区间 [?1,1] 上的最值在两端点处取得,故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中

? ? 2 ? g ( ?1 ) ? ?1 b? 2 c ? , 将 上 述 两 式 相 加 ?b 2? c ? 2 ? ? g ( 1?) ? 1

4 ? ?1? 2b ? c ? ?1? 2b ? c ? 4b ? 4 ,得 4 ? 4 ,产生矛盾,


M ?2
2 2 (3) g ( x ) ? f ?( x ) ? ?( x ? b) ? b ? c

??????????8 分



i





b ?1









2







M ? 2;

??????9 分

(ii)当 b ? 1 时,函数 y ? f ?( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之内, 此 时

M ?m a ? g ? x
? 1 2)? b (

1 由 ( g 1 ?) g, , b ( 1 f ?( ) ? , ?) f? ( ?) (

1 b )有 ,

4

f ?( b ?) ? ? f ? (

1 )

0

① 若 ?1 ? b ? 0 ,则 f ? ?1? ? f ?(?1) ? f ?(b) ,则 g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于是 M ? max

? f ?(1) ,

f ?(b) ? ?

1 1 ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) 2 2
???????

?
???11 分

1 1 (b ? 1) 2 ? 2 2

② 若 0 ? b ? 1 ,则 f ? ? ?1? ? f ?(1) ? f ?(b) ,则 g (1) ? max ?g (?1), g (b)? 于 是

M ? max ? f ?(?1) , f ?(b) ? ?
??13 分

1 1 1 1 ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(?1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2
????????

综上可知,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0 ,c ? 对 任 意 的

1 2

1 1 1 2 时,g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? , 故M ? k 2 2 2
b


c









k











1 。 2

??????????14 分

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