tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

曲线中切线定理在求解高考压轴题中的应用


再谈曲线割线与中切线斜率关系定理 在妙解高考压轴题中的应用
在函数与导数应用有关的习题中,时常会遇到这样一类题目,即给定某一函 数(如图 1 所示),已知其割线 y ? kx ? b 与曲线 y ? f ( x) 交于两个不同点

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,过 AB 中点的铅垂线与曲线交于 C 点,根据不同的函数类型,

r />割线 AB 的斜率 k ?
f '(

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 与过 C 点的切线(姑且称其为中切线)斜率 x2 ? x1
f(x) B

x2 ? x1 ) 之间存在着某种固定关系, 即有 2 如下定理(估且称之为曲线的割线和其中 切线的斜率关系定理,简称为中切线定 理)。

A

C x

曲线的割线和其中切线斜率关系定理: 设函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 某 一子集 D 上的连续函数,其一、二阶导函 数在 D 上均连续且可导,对于

x1

x2

图1
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ' ( 2 1 ) ;若 x2 ? x1 2

?x1, x2 ? D, 且x1 ? x2 :若 f ''( x) 单调递增,则有
f ''( x) 为常数,则有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ' ( 2 1 ) ;若 f ''( x) 单调递减,则有 x2 ? x1 2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f '( 2 1 ) 。 x2 ? x1 2
笔者在专著《谈 曲 线 割 线 与 中 切 线 斜 率 关 系 问 题 的 通 用 解 法 》 。 ( http://wenku.baidu.com/view/12a53de483d049649a665813.html ) 中 给出了证明,但证明过程中用到了拉格朗日中值定理,对一般高中 生而言,理解起来有一定困难。为此,笔者在此再给出一种适合于 高中生的证明方法。 曲线的割线和其中切线斜率关系定理之证明(二): 设

g ( x) ? f '( x) ? xf ''( x), x ? D





g '( x) ? f ''( x) ? f ''( x) ? xf '''( x) ? ? xf '''( x).

1

当 ? xf '''( x) ? 0, 即 x ? 0,f '''( x) ? 0 时, g '( x) ? 0 ,故 f ''( x) 在定义域内单调 递增,且 g ( x) 在定义域内单调递减。 先讨论 0 ? x1 ? x2 的情形:当 x ? ( x1 , x2 ] 时,因 x1 ?

x ? x1 ? x ? x2 ,故 2
, 即

f '( x) ? f '( f( ?

x ? x1 ) 2 x? 1 ? x ' 2



g ( x1 ) ? g ( x f ( ? 1 x ? x) 2

x ? x1 ) 2 x ? 2
1

x)

,f (



而)

x

有 f

x

'

f ( x) ? f (

x ? x1 x ? x1 x ? x1 x ? x1 x ? x1 x ? x1 ) ? xf '( x) ? f '( ) ? xf '( )? f '( )? 2 2 2 2 2 2

(x ?

x ? x1 x ? x1 ) f '( ) ,所以 2 2

f ( x) ? f (

x ? x1 ) x ? x1 2 ? f '( ) ,令 x ? x2 ,即有 x ? x1 2 x? 2
?? xf '( x ).

) ?xf '( x ) 设 g ( x) ? f ( x) ? xf '( x), x ? D ,则 g '( x) ? f '( x) ? f '( x

当 ? xf ''( x) ? 0, 即 x ? 0,f ''( x) ? 0 或 x ? 0,f ''( x) ? 0 时, g '( x ) ? 0, g ( x) 在定 义域内单调递减; 反之, 当 ? xf ''( x) ? 0, 即 x ? 0,f ''( x) ? 0 或 x ? 0,f ''( x) ? 0 时,

g '( x) ? 0 , g ( x) 在定义域内单调递增。
先讨论 0 ? x1 ? x2 且 f ''( x) ? 0 的情形:此时 f '( x) 单调递增, g ( x) 单调递 增 ; 当 x ? ( x1 , x2 ] 时 , 因 x1 ?

x ? x1 x?x ? x ? x2 , 故 f ' ( x ? ) f '( 1 , ) 2 2

g ( x1 ) ? g ( f ( x) ? f (

x ? x1 x ? x1 x ? x1 x ? x1 ) ,即 f ( x) ? xf '( x) ? f ( )? f '( ),进而有 2 2 2 2

x ? x1 x ? x1 x ? x1 x? x x? x x? x 1 1 1 ) ? xf '( x )? f '( )? xf '( )? f '( )? 2 2 2 2 2 2

(x ?

x ? x1 x ? x1 ) f '( ) ,所以 2 2

f ( x) ? f (

x ? x1 ) x ? x1 2 ? f '( ) ,令 x ? x2 ,即有 x ? x1 2 x? 2

2

xf '(

x ? x1 x ? x1 x ? x1 x ? x1 x ? x1 )? f '( )? f '( ) 2 2 2 2 2 h( x ) ? g ( x ) ? g ( x ? x1 ) 2 x ? x1 x ?x ) , 则 h( x1 ) ? g ( x1 ) ? g ( 1 1 ) ? 0 , 2 2



h '( x) ? g '( x) ? g '(

g ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' (
x1 ?

x ? x1 ( x ? x1 ) x ? x1 )? f ''( ), 由 于 f ( x) 的 二 阶 导 数 存 在 , 而 2 2 2

x ? x1 x ? x1 , x ] 上满足拉格朗日中值定理成立的条 ? x ? x2 故 f ' ( x) 在 [ 2 2

x ? x1 x ? x1 f ' ( x) ? f ' ( ) f ' ( x) ? f ' ( ) x ? x1 2 2 , x) ,使得 f ' ' (? ) ? 件,由此知 ?? ? ( , ? x ? x1 x ? x1 2 x? 2 2 x ? x1 x ? x1 f ' ' (? ) ? f ' ( x) ? f ' ( ) 成立,所以 即有 2 2

g ' ( x) ?

x ? x1 ( x ? x1 ) x ? x1 x ? x1 x ? x1 f ' ' (? ) ? f ''( )? [ f ' ' (? ) ? f ' ' ( )]. 2 2 2 2 2

设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x1 ) ? ( x ? x1 ) f ' (

x ? x1 ), x ? ( x1 , x2 ], 则 2

g ' ( x) ? f ' ( x) ? f ' (
x1 ?

x ? x1 ( x ? x1 ) x ? x1 )? f ''( ), 由 于 f ( x) 的 二 阶 导 数 存 在 , 而 2 2 2

x ? x1 x ? x1 , x ] 上满足拉格朗日中值定理成立的条 ? x ? x2 故 f ' ( x) 在 [ 2 2

x ? x1 x ? x1 f ' ( x) ? f ' ( ) f ' ( x) ? f ' ( ) x ? x1 2 2 , x) ,使得 f ' ' (? ) ? 件,由此知 ?? ? ( , ? x ? x1 x ? x1 2 x? 2 2 x ? x1 x ? x1 f ' ' (? ) ? f ' ( x) ? f ' ( ) 成立,所以 即有 2 2

3

g ' ( x) ?

x ? x1 ( x ? x1 ) x ? x1 x ? x1 x ? x1 f ' ' (? ) ? f ''( )? [ f ' ' (? ) ? f ' ' ( )]. 2 2 2 2 2

若 f ''( x)单调递增 , 则 f ' ' (? ) ? f ' ' (

x ? x1 ) ? 0,即 g ' ( x) ? 0, 故g ( x) 单 调 递 2
x1 ? x1 ) ? 0, ? g ( x) ? g ( x1 ) ? 0 , 即 2

增 。 而 g ( x1) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? ( x1 ? x1 ) f ' (

f ( x) ? f ( x1 ) ? ( x ? x1 ) f ' (

x ? x1 x ?x ) ? 0, 令x ? x2 , 即有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 ) f ' ( 2 1 ). 2 2

当 f ' ' ( x) 为常 数时, 上式 中 f ' ' (? ) ? f ' ' (

x ? x1 ) ,显然 命题中 等号 成 立;当 2

f ''( x)单调递减 时,证法与 f ''( x)单调递增 的情形完全相同。
本文主要通过实例使读者体会该定理在解决部分高考压轴题中的巧妙应用。 【例题 1】(直接应用:吉林省长春市 2014 届高三毕业班第二次调研测试题) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ,且 x1 ? x2 ,证明:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ?( 1 2 ) . x2 ? x1 2

1 1 解:(Ⅰ)易求得 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) ,单调递增区间为 ( , ??) 。 e e

(Ⅱ)由于 f ( x) ? x ln x , 故 f '( x) ? ln x ? 1, f ''( x) ? , f '''( x) ? ? 在定义域 (0, ??) 上单调递减。由中切线定理即知, 【例题 2】(直接应用:2011 辽宁卷理科 21 题) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a) x . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?
1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ; a a a

1 x

1 ?0, 故 f ''( x) x2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ?( 1 2 ) 。 x2 ? x1 2

(III) 若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A, B 两点, 线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,

4

证明: f ( x0 ) ? 0 .
1 解: (I)易知:当 a ? 0 时 f ( x)在(0, ??) 上单调增加;当 a ? 0 时, f ( x)在(0, ) 上 a 1 单调增加,在 ( , ??) 上单调减少. a (II)证明略。

(III)设函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有
2 由于 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a) x, 故 x ? 0, 且 f '( x) ? ? 2ax ? 2 ? a, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 。

1 x

f ''( x) ? ?

1 2 ? 2a, f '''( x) ? 3 ? 0 ,故 f ''( x) 在定义域 (0, ??) 上单调递增。由中切 2 x x
x1 ? x2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) )? ? 0 ,命题得证。 2 x2 ? x1

线定理即知, f '( x0 ) ? f ?(

【例题 3】(直接应用:2005 湖南卷理科 21 题、2010 年广东省高中青年教师命 题大赛参赛试题、2013 年辽宁省重点中学协作体领航高考预测理科试题、2014 年鄂尔多斯市高考模拟理科试题) 已知 f ( x) ? ln x,  g ( x) ?

1 2

ax ? bx (a ? 0),  h( x) ? f ( x) ? g ( x).
2

(Ⅰ)当 a ? 4,b ? 2 时,求 h( x) 的极大值点; (Ⅱ) 设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于 P 、Q 两点, 过线段 PQ 的 中点做 x 轴的垂线分别交 C1 、C2 于点 M 、N , 证明:C1 在点 M 处的切线与 C2 在 点 N 处的切线不平行. 解:(I)易知当 a ? 4,b ? 2 时, h( x) 的极大值点为 (II)依题意设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,记 x0 ?
5 ?1 . 4

x1 ? x2 ,则 M ( x0 , f ( x0 )), N ( x0 , g ( x0 )) 。 2

由于 f ( x) ? ln x, 故 x ? 0, 且 f '( x ) ? , f ''( x) ? ?

1 x

1 2 , f '''( x) ? 3 ? 0 ,故 f ''( x) 在定 2 x x
x1 ? x2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) )? 。 2 x2 ? x1

义域 (0, ??) 上单调递增。由中切线定理知, f '( x0 ) ? f ?(

另一方面,由于 g ( x) ?

1 2 ax ? b(a ? 0), g '( x) ? ax, g ''( x) ? a 为常数, 2

5

由中切线定理知,g '( x0 ) ? g '(

x1 ? x2 g ( x2 ) ? g ( x1 ) 。 由于 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) 为曲 )? 2 x2 ? x1 f ( x2 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) , ? x2 ? x1 x2 ? x1

线 C1 , C2 的交点,故有 f ( x1 ) ? g ( x1 ), f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,

由此知 f '( x0 ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ? g '( x0 ) ,命题得证。 x2 ? x1 x2 ? x1

【例题 4】(微变应用:2014 届杭州市高考模拟考试样题理科 22 题) a ?1 2 x ,a?R , 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1, g ( x) ? 2 (Ⅰ)已知 a ? 2, h( x) ? f ( x) ? g ( x), 求 h( x) 的单调区间; ( Ⅱ ) 已 知 a ? 1, 若 0 ? x1 ? x2 ? 1 , f '(t ) ?
t? x1 ? x2 2 .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? t ? x2 ) , 求 证 : x1 ? x2

解:(I)略。 (II) 依题意, 由于 a ? 1, f ( x) ? ln x ? x ? 1 故 x ? 0, 且 f '( x) ?

1 1 ? 1, f ''( x) ? ? 2 ? 0, x x

f '''( x) ?

2 ? 0 ,故 f '( x) 在定义域 (0, ?? ) 上单调递减, f ''( x) 单调递增。由中切 x3
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ?( 1 2 ) ;又因为 f '( x) 单调递减,即知命题 x2 ? x1 2

线定理知, f '(t ) ?

成立。 【例题 5】(变式拓展:2009 辽宁卷理科 21 题、2010 年广东省高中青年教师命 题大赛参赛试题) 1 已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1 。 2 (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 ,有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

解:(I)易知当 a ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) ? (a ? 1, ??) 单调递增,在 (1, a ? 1) 单调递 减;当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (0, a ? 1) ? (1, ??) 单调递增,在 (a ? 1,1) 单调递减.

6

( II ) 依 题 意 , 由 于 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x,1 ? a ? 5 故 x ? 0, 且 2

f '( x) ? x ? a ?

a ?1 2(a ? 1) a ?1 ? 0, , f ''( x) ? 1 ? 2 , f '''( x) ? 故 f ''( x) 在定义域 (0, ??) x x3 x
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x x ?x 2(a ? 1) ? f ?( 1 2 ) ? 1 2 ? a ? x2 ? x1 2 2 x1 ? x2

上单调递增。由中切线定理知,

?2

x1 ? x2 2(a ? 1) , 5 ) ? ? a ? 2 a ? 1 ? a ? ?( a ? 1 ? 1) 2 ; 而 当 a ? ( 1 , 时 2 x1 ? x2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 成立。 x1 ? x2

?( a ?1 ?1)2 ? (?1,0] 。综上所述知,

【例题 6】(变式拓展:2010 天津卷理科 21 题) 已知函数 f ( x) ? xe? x ( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,证明 当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) ; (Ⅲ)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2 。 解:(Ⅰ)易知 f ( x) 在 (??,1) 上单调增加,在 (1, ??) 上单调减少; f ( x) 有唯一
1 极大值点, f (1) ? 。 e (Ⅱ)证明略。

(Ⅲ)证明:由于 f ( x) 在 (??,1) 上单调增加且 f (0) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上单调减 少且 f ( x) ? 0 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则必有 0 ? x1 ? 1 ? x2 。 (1)若 x2 ? 2 ,则 x1 ? x2 ? 2 显然成立; (2) 若 1 ? x2 ? 2 , 则 f '( x) ? (1 ? x)e , f ''( x) ? ( x ? 2)e , f '''( x) ? (3 ? x)e
x2 ? x1
?x ?x ?x

? 0, 故

f ''( x) 在 R 上单调递增。由中切线定理知, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ?( x1 ? x2 ) ,因为
2

所以 f ?( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

x ?x x1 ? x2 x ? x x1 ? x2 ) ? (1 ? 1 2 )e 2 ? 0, 即 1 ? 1 2 ? 0, x1 ? x2 ? 2 成 2 2 2

7

立。 【例题 7】(变式拓展:2010 辽宁卷理科 21 题) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? ax2 ? 1 , (I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? ?1 .如果对任意 x1 , x2 ? (0,??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的 取 值范围。 解:(I)略。 (II)由于 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1故 x ? 0, 且 f '( x ) ?

a ?1 ? 2ax, x

f ''( x) ? ?

a ?1 2(a ? 1) ? 2a, f '''( x) ? ;又因为 a ? ?1 ,故 f '( x) ? 0, f '''( x) ? 0, 2 x x3

f ( x), f ''( x) 在定义域 (0, ??) 上单调递减。 若 x1 ? x2 , 则 a 可取题设要求的任
意值;若 x1 ? x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | f (x2 ) ? f (x1 ) 。由中切线 ?? | x1 ? x2 | x2 ? x1

定理知, ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ?2(a ? 1) ? ? f ?( 1 2 ) ? ? a( x1 ? x2 ) ? 2 2a(a ? 1) 。依题 x2 ? x1 2 x1 ? x2

意,因为

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? 4 ,故只需 2 2a(a ? 1) ? 4, 即 a(a ? 1) ? 2, 结合 a ? ?1 得 | x1 ? x2 |

a ? ?2 ,即 a 的取值范围为 (??, ?2] 。

【例题 8】(变式拓展) 已知函数 f ( x) ? ex ? ax ? a, a ? R 的图像与 x 轴交于 A( x1,0), B( x2 ,0) 两点,证明:

x1x2 ? x1 ? x2 。
证明:由于 f ( x) ? ex ? ax? a 与 x 轴有两个交点,易知 , a? R
1 ? x1 ? x3 ? e 2 , ,且 2

f '( x) ? ex ? a, f ''( x) ? f '''( x) ? ex ? 0, 故 f ''( x) 在 R 上单调递增。由中切线定理知,
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ?( 1 2 ) ;又因为 A( x1,0), B( x2 ,0) 是 f ( x) 与 x 轴的交点,所以 x2 ? x1 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,由此知 f ?(

x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 ) ? e 2 ? a ? 0 , a ? e 2 , a 2 ? e x1 ? x2 。 2

8

另一方面,仍由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 知 ex1 ? ax1 ? a ? 0, ex2 ? ax2 ? a ? 0,

ex1 ? ax1 ? a ? a( x1 ?1) , ex2 ? ax2 ? a ? a( x2 ?1) ,故 x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ?1

?

e x1 e x2 e x1 ? x2 ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ,即 x1x2 ? x1 ? x2 ,命题成立。 a a a

【例题 9】(变式拓展:2015 届成都七中阶段性测试题) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax, a ? R , (Ⅰ) 若曲线 y ? f ( x) 的图像过点 P(1, ?1) , 求曲线 y ? f ( x) 在该点处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最大值; (Ⅲ)若函数 f ( x) 有两个不同的零点 x1 , x2 ,求证: x1 x2 ? e 。
2

解:(I)、(II)略。 ( Ⅲ ) 证 明 : 由 于 f ( x) ? ln x ? ax, a 与 x 轴有两个交点,易知 a ? 0 ,且 ? R

1 2 1 f '( x )? ? a , f ''( x) ? ? 2 , f '''( x) ? 3 ? 0, 故 f ''( x) 在定义域 (0, ?? ) 上单调递增。 x x x
由中切线定理知,
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x ? f ?( 1 2 ) ;又因为 x1 , x2 是 f ( x) 的零点,所以 x2 ? x1 2 x1 ? x2 2 2 。 )? ?a ? 0,a ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,由此知 f ?(

另一方面,仍由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 知 ln x1 ? ax1 ? 0,ln x2 ? ax2 ? 0, ln x1 ? ax1 ,
ln x2 ? ax2 , 代 入 上 式 有 a ?

2 2 2 2a ,所以 ? ? ? x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 ln( x1 x2 ) a a a

l nx1 x2 ? 2 ,x1 x2? 2e ,证毕。
【例题 10】(变式拓展) 已知函数 f ( x) ?
( x ? a) 2 ,a?R , ln x

(Ⅰ)当 a ? 0 求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)已知 0 ? a ? 1, 设函数 f ( x) 的 3 个极值点分别为 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ,

9

求证: x1 ? x3 ? 解:(I)略。

2 . e

(II)依题意,由于 0 ? a ? 1, f ( x) ? 间 断 点 。 因 为 f '( x) ?

( x ? a)2 , 知 x ? 0, 且 x ? 1 是函数 f ( x) 的无穷 ln x

( x ? a)(2 x ln x ? x ? a) , 故 x ? a 是 f ( x) 的 一 个 极 值 点 , 且 x ln 2 x
x ?0 ?

( )x 0 ? ,故 f ( x) 必在 (0, a ) 上 f (a) ? 0 ;又因为当 0 ? x ? a 时, f (a) ? 0 ,且 lim f

取得某一极小值。另一方面,由于 lim f ( x) ? ??, lim f ( x) ? ??, lim f ( x) ? ??, 故
x ?1? x ?1? x ???

f ( x) 必在 (1, ??) 上取得某一极小值。结合 x1 ? x2 ? x3 知 x1 ? (0, a), x3 ? (1, ??) ,且

x1 , x3 是方程 2 x ln x ? x ? a ? 0 的两个实根。函数图
像大致如右图所示。 令 g ( x) ? 2 x ln x ? x ? a ,则 g '( x) ? 2ln x ? 1, 进而 g ''( x) ? , g '''( x) ? ?

2 x

2 ? 0 ,故 g ''( x) 在定义 x2

域 (0, ??) 上单调递减。由中切线定理知,
g ( x3 ) ? g ( x1 ) x ?x ? g '( 1 3 ) ;又因为 x1 , x3 是方程 x3 ? x1 2

2 x ln x ? x ? a ? 0 的二实根,故 g ( x1 ) ? g ( x3 ) ? 0, 代
入上式得 g '(
ln x1 ? x3 x ?x ) ? 2 ln 1 3 ? 1 ? 0 ,即 2 2

1 1 ? ? x1 ? x3 x ?x 1 2 ? ? ,所以 1 3 ? e 2 , 即 x1 ? x3 ? 2e 2 ? 。 2 2 2 e

小结:通过上述例题可以看出,与中切线定理有关的各类题目在高考和各地 模拟题中出现的频率还是相当高的,纵观上述题目可以看出:有些题目其实就是 该定理的直接应用,比如文中的例题 1、2、3,特别是例题 3,已经不止一次出 现在高考卷和一些学校的测试卷中,该类题目在命题者心目中的地位足见一斑; 有些题目是对定理内容稍加改变或延伸,比如命题 4;而大部分题目是以该定理 为内核,通过延伸与拓展从而派生出一系列优秀题目,这些题目从表面看与中切 线定理没有直接关系,但如果揭穿其表像而挖其本质,找到它们和中切线定理的 内在联系,往往能够使这些题目得到完美而巧妙的解决,当然这要求考生必须具

10

有“慧眼实珍珠”的能力。

个人教学研究成果,详细介绍了曲线割线与其中切线斜率关系定理,证明方 法,特别是如何利用该定理妙解高考压轴题。

11


推荐相关:

曲线中切线定理在求解高考压轴题中的应用

曲线中切线定理在求解高考压轴题中的应用_数学_高中教育_教育专区。再谈曲线割线与中切线斜率关系定理 在妙解高考压轴题中的应用在函数与导数应用有关的习题中,...


高考数学压轴题解题技巧和方法

高考数学压轴题解题技巧和方法圆锥曲线的解题技巧 一...动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 ?...韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中 点等问题中...


高等数学轻松解决高考压轴题,助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破140瓶颈!!!

不过本文对以上定理中最最重要的,也是高考压轴题中...f ( a ) 是连接曲线上两点 A(a, f (a)), ...)) 的切线的斜率。那么,定理就可解释为 在曲线 y...


09高考文科数学解析几何压轴题(含解析)

09高考文科数学解析几何压轴题(含解析)_高三数学_数学...PF1 F2 ? c P1 F1 中,由正弦定理得 sin PF1...圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等...


用洛必达定理来解决高考压轴题

用洛必达定理解决高考压轴题_高三数学_数学_高中...2 . 2011 年全 国新课标理)已 知函数,曲线 y ...(1)) 处的 切线方程 为( x + 2y ?3 = 0。...


2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十七 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十七 与圆锥...圆锥曲线中的定点、定值问题 该类问题多以直线与...上消去参 数(圆的切线斜率)即可得证. (1)解 法...


从2014四川省部分地区高三一诊数学压轴题探讨高等数学知识在高考中的应用

从2014四川省部分地区高三一诊数学压轴题探讨高等数学知识在高考中的应用_高三...f ( x) 曲线上两点,函数曲线 A1 与 A2 之间任一点 A 处切线的斜率:凹...


2015届高考数学解析几何压轴题专题

基本定理: ①一个线性规划问题,若有可行解,则可行...( x 0 , y 0 ) 在椭圆 <内 (k 为切线...曲线、直线—定义—标准方程 解析几何压轴题分类解析...


高考圆锥曲线解题技巧总结

有关的证明问题等,在圆锥曲 线的综合应用中经常...和分别与双曲线两支相切的两条 切线,共四条;②P...那就是解决高考解析几何 问题无外乎做两项工作: 1...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com