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一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时规范训练


第三章 三角函数、 解三角形 3.3 两角和与差的正弦、 余弦和正切公 式课时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2015?高考陕西卷)“sin α =cos α ”是“cos 2α =0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:cos 2α =0 等价于 cos α -sin α =0,即 cos

α =±sin α .由 cos α =sin α 可得到 cos 2α =0,反之不成立,故选 A. 答案:A 2. (2016?衡阳模拟)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)?cos(110°-x)的值 为 ( A. 2 C. 1 2 B. 2 2 D. 3 2 )
2 2

)

解析:原式=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)?cos[90°-(x-20°)] =sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°) =sin[(65°-x)+(x-20°)] =sin 45°= 答案:B 3.4cos 50°-tan 40°=( A. 2 C. 3 ) B. 2+ 3 2 2 . 2

D.2 2-1

sin 40° 解析:4cos 50°-tan 40°=4sin 40°- cos 40° = = 4sin 40°cos 40°-sin 40° 2sin 80°-sin 40° = cos 40° cos 40° sin 80°+sin?60°+20°?-sin?60°-20°? cos 40°

1

= = =

sin 80°+2cos 60°sin 20° sin 80°+sin 20° = cos 40° cos 40° sin?50°+30°?+sin?50°-30°? cos 40° 2sin 50°cos30° cos 40° = 3? = 3. cos 40° cos 40°

答案:C π? 4 π? ? ? 4.(2016?山东德州一中月考)设 α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 sin?α - ?= 6? 5 12? ? ? __________. π? 4 ? 解析:因为 α 为锐角,cos?α + ?= , 6? 5 ? π? 3 ? 所以 sin?α + ?= , 6? 5 ? π? π? π? π? ?? ? ? 故 sin?α - ?=sin??α + ?- ?=sin?α + ? 6? 4? 12? 6? ? ? ?? π? π 3 π 2 4 2 2 ? cos -cos?α + ?sin = ? - ? =- . 6? 4 4 5 2 5 2 10 ? 答案:- 2 10

1 3 5.(2016?武汉调研)化简 - =________. sin 10° cos 10° 解析: 1 3 cos 10°- 3sin 10° -2sin?10°-30°? - = = = sin 10° cos 10° sin 10°?cos 10° 1 sin 20° 2

2sin 20° =4. 1 sin 20° 2 答案:4 6.已知 α ,β ∈? ________. 解析:由于 α ,β ∈?

?3π ,π ?,sin(α +β )=-3,sin?β -π ?=12,则 cos?α +π ?= ? ? ? 4? 4? 5 ? 4 ? ? ? 13 ? ? ?3π ,π ?,所以3π <α +β <2π ,π <β -π <3π ,故 cos(α + ? 2 2 4 4 ? 4 ?

π? π? π ?? 4 ? 5 ? 4 5 ? ? ? ? β ) = , cos ?β - ? =- , cos ?α + ? = cos ??α +β ?-?β - ?? = ? ?- ? + 4? 4? 4 ?? 5 ? 13? 5 13 ? ? ? ?

?-3??12=-56. ? 5? 13 65 ? ?

2

56 答案:- 65 π 7.已知- <α <0,且函数 f(α )=cos 2 (1)化简 f(α ); 1 (2)若 f(α )= ,求 sin α ?cos α 和 sin α -cos α 的值. 5 解:(1)f(α )=sin α -sin α ? -1=sin α +cos α . 1 2 2 (2)法一:由 f(α )=sin α +cos α = ,平方可得 sin α +2sin α ?cos α +cos α 5 1 24 12 2 = ,即 2sin α ?cos α =- ,∴sin α ?cos α =- ,∵(sin α -cos α ) =1- 25 25 25 49 π 2sin α ?cos α = ,又- <α <0,∴sin α <0,cos α >0,∴sin α -cos α <0. 25 2 7 ∴sin α -cos α =- . 5 1 ? ?sin α +cos α = , 5 法二:联立方程? 2 2 ? ?sin α +cos α =1. 3 sin α =- , ? ? 5 ? 4 cos α = . ? ? 5 4 sin α = , ? ? 5 或? 3 cos α =- . ? ? 5 ?1+cos α ? 1+cos α -1=sin α +sin α ? 2 1-cos α sin α
2

?3π +α ?-sin α ? ? 2 ? ? ?

1+cos α -1. 1-cos α

解得

3 sin α =- , ? ? 5 π ∵- <α <0,∴? 2 4 cos α = , ? ? 5 12 7 即 sin α ?cos α =- ,sin α -cos α =- . 25 5 8.(2014?高考江苏卷)已知 α ∈?

?π ,π ?,sin α = 5. ? 5 ?2 ?

?π ? (1)求 sin? +α ?的值; ?4 ?
(2)求 cos?

?5π -2α ?的值. ? ? 6 ?

解: (1)由 sin α 求出 cos α , 再用两角和的正弦公式求解; (2)用倍角公式求出 sin 2α ,
3

cos 2α ,再用两角差的余弦公式求解. 5 ?π ? (1)因为 α ∈? ,π ?,sin α = , 5 ?2 ? 2 5 2 所以 cos α =- 1-sin α =- . 5 故 sin? =

?π +α ?=sin π cos α +cos π sin α ? 4 4 ?4 ?

2 ? 2 5? 2 5 10 ??- ?+ 2 ? 5 =- 10 . 2 ? 5 ? 5 ? 2 5? 4 2 ??- =- ,cos 2α =1-2sin α ? 5 ? 5 5 ?

(2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2? =1-2??

? 5?2 3 ?= , ?5? 5 ?5π -2α ?=cos 5π cos 2α +sin 5π sin 2α ? 6 6 ? 6 ?

所以 cos? =?-

? ?

4+3 3 3? 3 1 ? 4? ?? + ??- ?=- 10 . 2 ? 5 2 ? 5? [B 级 能力突破]

7π ? 4 ?π ? ? 1.(2016?合肥模拟)已知 cos? -α ?+sin α = 3,则 sin?α + ?的值是( 6 6 ? 5 ? ? ? 2 3 A.- 5 C. 4 5 B. 2 3 5

)

4 D.- 5 1 ? ?π -α ?+sin α =? 3 ? ? cos α + sin α ?+sin α 6 ? ? 2 ?2 ?

解析:由条件知 cos? = 3?

1 ? 3 ? sin α + cos α ? 2 ?2 ?

π? 4 3 ? = 3sin?α + ?= . 6? 5 ? π? 4 ? ∴sin?α + ?= . 6? 5 ? 7π ? 3 1 ? ∴sin?α + ?=- sin α - cos α 6 ? 2 2 ? =-? 1 ? 3 ? sin α + cos α ? 2 2 ? ?

π? 4 ? =-sin?α + ?=- . 6? 5 ?
4

答案:D 2.(2016?洛阳高三统考)已知 2sin α +cos α = A. 3 4 B. 4 3 10 ,则 tan 2α =( 2 )

3 C.- 4

4 D.- 3

5 5 3 2 2 解析:∵(2sin α +cos α ) =3sin α +2sin 2α +1= ,∴ - cos 2α +2sin2α = 2 2 2 5 3 ,∴tan 2α = . 2 4 答案:A 3.(2016?成都检测)若 sin 2α = 5 10 ?π ? ,sin (β -α )= ,且 α ∈? ,π ?,β ∈ 5 10 ?4 ?

?π ,3π ?,则 α +β 的值是( ? 2 ? ? ?
A. C. 7π 4 5π 7π 或 4 4

) B. D. 9π 4 5π 9π 或 4 4

解析:∵sin 2α =

5 ?π ? ,α ∈? ,π ?, 5 ?4 ?

2 5 ?π π ? ∴cos 2α =- 且 α ∈? , ?, 5 ?4 2? 又∵sin (β -α )= 3π ? 10 ? ,β ∈?π , ?, 2 ? 10 ?

3 10 ∴cos (β -α )=- , 10 因此,cos(α +β )=cos[(β -α )+2α ]=cos(β -α )?cos 2α -sin (β -α )sin 10 5 2 ? 3 10? ? 2 5? ? 5π 5π ? 2α =?- ???- ?- 10 ? 5 = 2 ,又 α +β ∈? 4 , 2 ?,且在此范围内角与余 ? ? ? 10 ? ? 5 ? 弦值一对一,所以 α +β = 答案:A 4.(2016?烟台模拟)已知角 α ,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合, 1 α ,β ∈(0,π ),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α +β 的终边与单位圆交 3 7π ,故选 A. 4

5

4 点的纵坐标是 ,则 cos α =________. 5 解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cos β =- ,sin(α +β )= . 3 5 π 2 2 又∵0<β <π ,∴ <β <π ,sin β = , 2 3 π 3π 3 <α +β < ,cos(α +β )=- . 2 2 5 ∴cos α =cos[(α +β )-β ] =cos(α +β )cos β +sin(α +β )sin β 3 ? 1? 4 2 2 3+8 2 =- ??- ?+ ? = . 5 ? 3? 5 3 15 3+8 2 答案: 15 5.(2016?鄂州模拟)已知:0°<α <90°,0°<α +β <90°,3sin β =sin(2α +β ), 则 tan β 的最大值是________. 解析:由 3sin β =sin(2α +β )得 3sin(α +β -α )=sin(α +β +α ),化简得 sin(α +β )cos α =2cos(α +β )sin α , ∴tan(α +β )=2tan α , tan?α +β ?-tan α ∴tan β =tan(α +β -α )= 1+tan?α +β ?tan α = tan α = 2 1+2tan α 1 , 1 +2tan α tan α



1 1 2 +2tan α ≥2 2,∴tan β 的最大值为 = . tan α 4 2 2 2 4

答案:

? π π? 2 6.方程 x +3ax+3a+1=0(a>2)的两根为 tan α ,tan β ,且 α ,β ∈?- , ?, ? 2 2?
则 α +β =________. 解析:依题意,得 tan α + tan β =- 3a< - 6 , tan α tan β = 3a + 1>7 ,所以
? ?tan α <0 ? ?tan β <0 ?

? π ? , α , β ∈ ?- ,0? , 所 以 α + β ∈ ( - π , 0) , 又 tan(α + β ) = ? 2 ?

tan α +tan β -3a = =1,且在(-π ,0)上角与正切值一对一,所以 α +β = 1-tan α tan β 1-?3a+1?
6

3π - . 4 3π 答案:- 4 π 7.(2016?西宁一检)已知函数 f(x)=sin x+acos x(x∈R), 是函数 f(x)的一个零 4 点. (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; π? 3π ? 3 5 10 ? ? π? ? (2)若 α ,β ∈?0, ?,且 f?α + ?= ,f?β + ?= ,求 sin (α +β )的 2 4 4 ? 5 ? ? ? ? 5 ? 值. π 解:(1)∵ 是函数 f(x)的一个零点, 4 π π ?π ? ∴f? ?=sin +acos =0, 4 4 ?4? ∴a=-1, ∴f(x)=sin x-cos x= 2? 2 ? 2 ? sin x- cos x? 2 ?2 ?

? π? = 2sin?x- ?. 4? ?
π π π 由 2kπ - ≤x- <2kπ + (k∈Z)得 2 4 2 π 3π 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z), 4 4 π 3π ? ? ∴函数 f(x)的单调递增区间是?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 4 4 ? ? π? 10 10 5 ? (2)∵f?α + ?= ,∴ 2sin α = ,∴sin α = . 4? 5 5 5 ? 2 5 ? π? 2 ∵α ∈?0, ?,∴cos α = 1-sin α = . 2? 5 ? 3π ? 3 5 π? 3 5 ? ? ∵f?β + ?= ,∴ 2sin?β + ?= , 4 2? 5 5 ? ? ? 3 10 ∴cos β = . 10 10 ? π? 2 ∵β ∈?0, ?,∴sin β = 1-cos β = , 2? 10 ? ∴sin (α +β )=sin α cos β +cos α sin β = 5 3 10 2 5 10 2 ? + ? = . 5 10 5 10 2

7

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