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【2016年高考数学】广东省肇庆市饶平县凤洲中学2016届高三上学期第一次月考数学(理)试题及答案


饶平县凤洲中学 2016 届第一次月考数学(理科)试题
一. 选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式能成立的是( (A)
a ?1 b

) (D) b 2 ? a 2 )

(B) | a| ? ? b (C)

1 1 ? a

b

2.若等差数列 ?an ? 的前 3 项和 S3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a2 等于( (A)3 3 (B)4 (C) 5 (D) 6 )

在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? (
900

(A)

(B) 600

(C) 1200

(D) 1500 )

4.若命题 p 的逆命题是 q ,命题 p 的逆否命题是 r ,则 q 与 r 的关系是( (A)互为逆否命题 (B)互为逆命题 (A) x ? y ? 6 6. 双曲线 (A)16 (B) x ? y ? 6 (C)互为否命题 (C) | x | ? | y |? 6 ( ) (D)不能确定 ) (D) | x ? y |? 6

5. 到两坐标轴的距离之和为 6 的点的轨迹方程是(

x2 y2 ? ? 1的焦距为 25 ? k 9 ? k

(B)8

(C)4

(D)不确定,与 k 值有关

x2 y2 ? 1 的顶点,则抛物线的方程是( ) 7. 若抛物线的顶点在原点,焦点是双曲线 ? 9 4

(A) y 2 ? 4x,y 2 ? ?4x (C) y 2 ? 10x,y 2 ? ?10x

(B) y 2 ? 6x,y 2 ? ?6x (D) y 2 ? 12x,y 2 ? ?12x )

8. 若不等式 1 ? a ? b ? 2,2 ? a ? b ? 4 ,则 4a ? 2 b 的取值范围是( (A) [5,10] (B) (5,10) (C) [3,12] (D) (3,12)

9. 已知双曲线 M:9x 2 ? 16y 2 ? 144 ,若椭圆 N 以 M 的焦点为顶点,以 M 的顶点为焦点, 则椭圆 N 的准线方程是( (A) x ? ?
16 5


25 4

(B) x ? ?

(C) x ? ?
·1·

16 25 (D) x ? ? 3 3

10. 满足不等式 ( x ? y)( x ? 2 y ? 2) ? 0 的点(x,y)所在的区域应为(



11. 各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 S10=2,S30=14,则 S40 等于( (A)80 (B)30 (C)26 (D)16



12. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于点 P,直线 PF 1 (F 1 为 椭圆的左焦点)是该圆的切线,则椭圆的离心率为( (A)
1 2



(B)

2 2

(C)

3 2

(D) 3 ? 1

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2x+ x ) 的展开式中 x 的系数是 14.曲线 y ? x 2 , x ? 0, y ? 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为__________. 15.从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,推广到第 n 个等式为_________. 16.已知函数 f ( x) ? kx 3 ? 3( k ? 1) x 2 ? k 2 ? 1( k ? 0) ,若 f ( x) 的单调减区间是 (0,4) ,则在曲 线 y ? f ( x) 的切线中,斜率最小的切线方程是_________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知 f ( x) ? cos 2 x ?
4 3

3 1 sin 2 x ? , 2 2

(1)写出 f ( x) 图像的对称中心的坐标和单调递增区间; (2) ?ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,若 f ( A) ? 1 ? 0 , b ? c ? 2 .求 a 的最小 值.

·2·

18.(本小题满分 10 分)某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶):
幸福度 7 8 9 3 0 7 8 8 9 9

6 6 6 6 7 7 6 5 5

若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”. (1)从这 16 人中随机选取 3 人,记 X 表示抽到“极幸福”的人数,求 X 的分布列及数学期望,并 求出至多有 1 人是“极幸福”的概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示 抽到“极幸福”的人数,求 ? 的数学期望.

19.(本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 与矩形 BDEF 所在平面互相垂直, ?BAD ? (1)求证: FC ∥平面 AED ; (2)若 BF ? k ? BD ,当二面角 A ? EF ? C 为直二面角时,求 k 的值; (3)在(2)的条件下,求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 ? 的正弦值.

?
3



20. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n ? an , (n ? 1,2,3,?) . (1)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;

·3·

(2)令 bn ? (2 ? n)(an ? 1) ( n ? 1, 2, 3... ) ,如果对任意 n ? N * ,都有 bn ? 值范围.

1 t ? t 2 ,求实数 t 的取 4

21. (本小题满分 12 分)如图,过点 D(0, ?2) 作抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的切线 l ,切点 A 在第二象 限. (1)求切点 A 的纵坐标; (2) 若离心率为

x2 y2 3 的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 恰好经过切点 A , 设切线 l 交椭圆的另一点为 B , 2 a b

记切线 l , OA , OB 的斜率分别为 k , k1 , k2 ,若 k1 ? 2k2 ? 4k ,求椭圆方程.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a ? x ? 1? ,其中 a ? 0 . (1) 若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上有极大值 0,求 a 的值; (提示:当且仅当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1) (2) 讨论并求出函数 f ( x ) 在区间 [ , e ] 上的最大值; (3)在(2)的条件下设 h( x) ? f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x1 , x2 ? (0, ??)( x1 ? x2 ) , 证明:不等式

1 e

x1 ? x2 x ? x2 恒成立. ? 1 h( x1 ) ? h( x2 ) 2

·4·

参考答案
一. 选择题(本题共 60 分,每小题 5 分)
1. B 7.D
二、填空题 13.24 14.

2. A 8.A
2 3

3.C 9. B

4. C 10. B 11. B

5. C 12. D

6. B

15. 1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ? ? (?1) 三、解答题:

n ?1

? n 2 ? (?1) n?1 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)

16. 12 x ? y ? 8 ? 0

17.解: (1)化简得: f ( x ) ? cos( 2 x ? 对称中心为: (

?
3

) ,???2 分

k? ? 2 ? ? ,0)( k ? Z ) ,??4 分,单调递增区间为: [k? ? ? , k? ? ]( k ? Z ) ??6 2 12 3 6

分(2)由(1)知: f ( A) ? cos( 2 A ?

?

? 0 ? A ? ? ,?

7? ? ? ,? 2 A ? ? ? ,? A ? ,???8 分 3 3 3 3 3 ? b?c 2 2 2 2 ) ? 1, 根据余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos ? 4 ? 3bc ? 4 ? 3( 3 2 当且仅当 b ? c ? 1 时, a 取最小值 1.???12 分 ? 2A ? ?
18.解: (1) X 的可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 ,???1 分

?

?

3

) ? 1 ? 0 ,? cos( 2 A ?

?

3

) ? ?1 ,

P( X ? 0) ?

3 2 1 C12 C12 C4 11 33 , , ? P ( X ? 1 ) ? ? 3 3 70 C16 28 C16

1 2 3 C12 C4 C4 9 1 ,???3 分 P( X ? 2) ? ? , P( X ? 3) ? 3 ? 3 70 C16 C16 140

? X 的分布列为

X

0
11 28

1

2

3

P

33 70

9 70

1 140

???4 分 数学期望 E ( X ) ? 0 ?

11 33 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? , 28 70 70 140 4
·5·

???5 分

至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,则 P( A) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? 分

11 33 121 ? ? .???6 28 70 140

(2)解法一: ξ 的可能取值为0、1、2、3,随机选取1人是“极幸福”的概率为 P ?
3 ∴ P(? ? 0) ? ( ) ?

4 1 ? 16 4

3 4

27 ; 64

1 P(? ? 1) ? C3

1 3 2 27 ( ) ? 4 4 64

1 3 9 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ; 4 4 64
∴ ? 的分布列为

1 1 P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 64

ξ
P

0
27 64

1

2

3

27 64

9 64

1 64

数学期望 E(? ) ? 0 ?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . ???10分 64 64 64 64
4 1 ? , 16 4 1 3 ? .???10 分 4 4

解法二:依题意知,随机选取1人是“极幸福”的概率为 P ?

故随机变量 ? 满足二项分布 ? ~ B (3, ) ,故数学期望 E (? ) ? 3 ?

1 4

19. (1)证明:? FB ∥ ED, BC ∥ AD , PB ? BC ? B , ED ? AD ? D ,? 平面 FBC ∥平面 EDA , 故 FC ∥平面 AED ???4 分 (2)解:取 EF , BD 的中点 M , N .由于 AE ? AF , CE ? CF , 所以 AM ? EF , CM ? EF ,

?AMC 就是二面角 A ? EF ? C 的平面角.???6 分
当二面角 A ? EF ? C 为直二面角时, MN ? AN ? (3)几何方法: 由(2) CM ? 平面 AEF ,欲求直线 BC 与平面 AEF 所成的角,先求 BC 与 MC 所成的角.??9 分 连结 BM ,设 BC ? 2. 则在 ?MBC 中, CM ?

3 3 BD ,即 k ? . ???8 分 2 2

2MN ? 2 ? 3 ? 6 , MB ? 2 ,
E

z

cos ?MCB ?

MC 2 ? BC 2 ? MB 2 6 6 ?? . ? sin ? ? . ??12 分 2MC ? BC 4 4
·6·

M F

D N

C

y

(3)向量方法: 以 D 为原点, DC 为 y 轴、 DE 为 z 轴,建立如图的直角坐标系, 设 AD ? 2. 则 M (

3 1 , , 3 ) , C (0,2,0) ,平面 AEF 的法向量 2 2

n ? MC ? (?

3 3 n ? CB 6 , ,? 3 ) ,??10 分, CB ? DA ? ( 3 ,?1,0) . cos n, CB ? ?? . 2 2 4 n CB

? sin ? ?

6 . ???12 分 4
① ②

20.解: (1)由题可知: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? n ? an
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 ? n ? 1 ? an ?1

1 1 ②—①可得 2an ?1 ? an ? 1 .即: an ?1 ? 1 ? (an ? 1) ,又 a1 ? 1 ? ? . 2 2

1 1 所以数列 {an ? 1} 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列.???6 分 2 2
1 n?2 (2)由(1)可得 an ? 1 ? ( ) n , bn ? n . ???8 分 2 2
由 bn ?1 ? bn ?

n ? 1 ? 2 n ? 2 n ? 1 ? 2(n ? 2) 3 ? n ? n ? ? n ?1 ? 0 ,可得 n ? 3 .而由 bn ?1 ? bn ? 0 可得 n ? 3 . 2n ?1 2 2n ?1 2

所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? ? bn ? ? ,故 bn 有最大值 b3 ? b4 ?

1 .???10 分 8

1 1 1 所以,对任意 n ? N * ,有 bn ? .如果对任意 n ? N * ,都有 bn ? t ? t 2 ,即 bn ? t 2 ? t 成立, 8 4 4
1 1 1 1 1 则 (bn ) max ? t 2 ? t ,故有: ? t 2 ? t .解得 t ? 或 t ? ? . 4 4 8 4 2

1 2 2 x x 21.解: (1)设切点 A( x0 , y 0 ) ,且 y 0 ? 0 ,由切线 l 的斜率为 k ? 0 , 2p p
所以,实数 t 的取值范围是 (??, ? ] ? [ , .???12 分 ? ?) 得 l 的方程为 y ?

1 4

x x0 x x ? 0 ,又点 D(0,?2) 在 l 上,? 0 ? 2 ,即点 A 的纵坐标 y 0 ? 2 .??4 分 2p p 2p
2 p


2

2

(2)由(1)得 A(?2 p ,2) ,切线斜率 k ? ?

设 B( x1 , y1 ) ,切线方程为 y ? kx ? 2 ,由 e ?

3 ,得 a 2 ? 4b 2 , 2
·7·

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,且过 A(?2 p ,2) ,? b 2 ? p ? 4 . 2 2 4b b

16k ? x0 ? x1 ? ? ? y ? kx ? 2 ? 1 ? 4k 2 2 2 2 由? 2 . , ???7 分 ? ? ( 1 ? 4 k ) x ? 16 kx ? 16 ? 4 b ? 0 ? 2 2 2 ? x ? 4 y ? 4b ? x x ? 16 ? 4b 0 1 ? 1 ? 4k 2 ?

? k1 ? 2k2 ? ?

y0 2 y1 x1 y0 ? 2 x0 y1 ? ? x0 x1 x0 x1 x1 (kx0 ? 2) ? 2 x0 ( kx1 ? 2) x0 x1 2 x1 ? 4 x0 x0 x1

? 3k ?

2( x1 ? x0 ) ? 2 x0 x0 x1

? 3k ?

32k ?4 p 2 ? 3k ? 1 ? 4k 16 ? 4b 2 1 ? 4k 2 32k ? 4 p (1 ? 4k 2 ) ? 3k ? 16 ? 4b 2 ? 4k

将k ? ?

2 p

, b 2 ? p ? 4 代入得: p ? 32 ,所以 b 2 ? 36, a 2 ? 144 .

? 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 .??? 12 分 144 36

1 1 ? ax ?a ? ???1 分 x x 1 1 明显,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 a a 1 1 故函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减,???3 分 a a 1 因此函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有极大值 f ( ) ? ? ln a ? 1 ? a ? 0 a
22. 分析: (1) f '( x) ? ∴ ln a ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ???5 分

1 1 ? ax ?a ? x x 1 1 1 ①若 ? e ,即 0 ? a ? ,则当 x ? [ , e] 时,有 f '( x) ? 0 , e a e 1 ? 函数 f ( x) 在 [ , e ] 上单调递增,则 f ( x)max ? f (e) ? 1 ? ea ? a .???6 分 e 1 1 1 1 1 1 ②若 ? ? e ,即 ? a ? e ,则函数 f (x)在 ( , ) 上单调递增,在 ( , e) 上单调递减, e a e a e a
(2)∵ f '( x) ?
·8·

∴ f ( x) max ? f ( ) ? ? ln a ? 1 ? a .???7 分

1 a

1 1 1 1 ? ,即 a ? e ,则当 x ? [ , e] 时,有 f '( x) ? 0 ,函数 f (x)在 [ , e ] 上单调递减, a e e e 1 a 则 f ( x) max ? f ( ) ? ?1 ? ? a .???8 分 e e 1 1 综上得,当 0 ? a ? 时, f ( x)max ? 1 ? ea ? a ;当 ? a ? e 时, f ( x)max ? ? ln a ? 1 ? a ; e e a 当 a ? e 时, f ( x) max ? ?1 ? ? a .???9 分 e
③若 (3)要证明

x1 ? x2 x ? x2 x1 ? x2 x ?x ,只需证明 ? 1 ? 1 2 ???10 分 h( x1 ) ? h( x2 ) 2 ln x1 ? ln x2 2

x1 ?1 x1 ? x2 1 x2 1 x 只需证明 ? ? ln x1 ? ln x2 ? 即证明 ? ln 1 ,???11 分 x1 2 x2 x1 ? x2 2 ?1 x2
不妨设 x1 ? x2 ? 0 ,令

t ?1 1 x1 ? ln t ? 0 ???12 分 ? t ,则 t ? 1 ,则需证明 t ?1 2 x2

t ?1 1 ? (t ? 1) 2 ? ln t (t ? 1) ,则 ? ?( x) ? 令 ? ( x) ? 1, ? ?)上单调递减 ? 0 ,?? (t )在( t ?1 2 2t (t ? 1) 2 ? ? (t ) ? ? (1) ? 0即
故不等式

t ?1 1 ? ln t ? 0 t ?1 2

x1 ? x2 x ? x2 得证???14 分 ? 1 h( x1 ) ? h( x2 ) 2
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·9·


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