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专题五 第2讲 空间中的平行与垂直


2015 届高三直升班第二轮复习
第2讲
知识主干 1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理 a∥b? 线面平行的判定定理 b?α??a∥α a?α ? ?

专题五

立体几何

空间中的平行与垂直

?

a∥α 线面平行的性质定理

?

? a?β ??a∥b α∩β=b? ?

a?α,b?α? 线面垂直的判定定理 a∩b=O

? ??l⊥α l⊥a,l⊥b ? ?
a⊥α? ? ??a∥b ? b⊥α?

线面垂直的性质定理 2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理

面面垂直的判定定理

a⊥α? ? ??α⊥β ? a?β? α⊥β

面面垂直的性质定理

α∩β=c a?α a⊥c a?β

? ? ??a⊥β ? ?

面面平行的判定定理

? ? ??α∥β a∩b=O ? a∥α,b∥α?
b?β α∥β

面面平行的性质定理

? ? α∩γ=a??a∥b β∩γ=b? ?

提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时,要注意其具备的条件,缺一不可.

3.平行关系及垂直关系的转化

热点一 空间线面位置关系的判定 例1 (1)设 a,b 表示直线,α,β,γ 表示不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α C.若 a∥α 且 a∥β,则 α∥β (2)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 思维启迪 判断空间线面关系的基本思路:利用定理或结论;借助实物模型作出肯定或否定. 答案 解析 (1)D (2)D (1)A:应该是 b∥α 或 b?α;B:如果是墙角出发的三个面就不符合题意;C:α∩β=m, ) B.若 γ⊥α 且 γ⊥β,则 α∥β D.若 γ∥α 且 γ∥β,则 α∥β )

若 a∥m 时,满足 a∥α,a∥β,但是 α∥β 不正确,所以选 D. (2)若 α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,则 a∥α,a∥β,故排除 A. 若 α∩β=l,a?α,a∥l,则 a∥β,故排除 B. 若 α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除 C.故选 D. 思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置 关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利 用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立 体几何中.

设 m、n 是不同的直线,α、β 是不同的平面,有以下四个命题: ①若 α⊥β,m∥α,则 m⊥β ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 其中真命题的序号为( A.①③ 答案 D ) B.②③ C.①④ D.②④ ②若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n ④若 n⊥α,n⊥β,则 β∥α

解析 ①若 α⊥β,m∥α,则 m 与 β 可以是直线与平面的所有关系,所以①错误; ②若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n,所以②正确; ③若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,所以③错误; ④若 n⊥α,n⊥β,则 β∥α,所以④正确. 故选 D. 热点二 平行、垂直关系的证明 例2 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面

PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 思维启迪 (1)利用平面 PAD⊥底面 ABCD 的性质,得线面垂直;(2)BE∥AD 易证;(3)EF 是△

CPD 的中位线. 证明 (1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,

且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD, 所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且 ABED 为平行四边形. 所以 BE⊥CD,AD⊥CD, 由(1)知 PA⊥底面 ABCD. 所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD. 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF. 所以 CD⊥平面 BEF. 又 CD?平面 PCD,

所以平面 BEF⊥平面 PCD. 思维升华 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.

如图所示,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为 等边三角形,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. 求证:(1)AF∥平面 BCE; (2)平面 BCE⊥平面 CDE. 证明 (1)如图,取 CE 的中点 G,连接 FG,BG.

1 ∵F 为 CD 的中点,∴GF∥DE 且 GF= DE. 2 ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 1 又 AB= DE,∴GF=AB. 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. ∵AF?平面 BCE,BG?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE. (2)∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE.

热点三 图形的折叠问题 例3 如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上

的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图(2).

(1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?请说明理由. 思维启迪 折叠问题要注意在折叠过程中,哪些量变化了,哪些量没有变化.第(1)问证明线面

平行, 可以证明 DE∥BC; 第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直, 即证明 A1F⊥平面 BCDE; 第(3)问取 A1B 的中点 Q,再证明 A1C⊥平面 DEQ. (1)证明 因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点, 所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB,BC?平面 A1CB, 所以 DE∥平面 A1CB. (2)证明 由图(1)得 AC⊥BC 且 DE∥BC, 所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以 DE⊥平面 A1DC.而 A1F?平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD, 所以 A1F⊥平面 BCDE,又 BE?平面 BCDE, 所以 A1F⊥BE. (3)解 线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:

如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC, 所以 DE∥PQ.

所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知,DE⊥平面 A1DC, 所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. 思维升华 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下,

折线同一侧线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破 口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前 的图形. π 如图(1),已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAD= ,AB=BC=2AD=4,E,F 分 2 别是 AB,CD 上的点,EF∥BC,AE=x.沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF(如 图(2)所示),G 是 BC 的中点.

(1)当 x=2 时,求证:BD⊥EG; (2)当 x 变化时,求三棱锥 D-BCF 的体积 f(x)的函数式.

(1)证明 作 DH⊥EF,垂足为 H,连接 BH,GH, 因为平面 AEFD⊥平面 EBCF,交线为 EF,DH?平面 AEFD, 所以 DH⊥平面 EBCF,又 EG?平面 EBCF,故 EG⊥DH. 1 因为 EH=AD= BC=BG=2,BE=2,EF∥BC,∠EBC=90° , 2 所以四边形 BGHE 为正方形,故 EG⊥BH. 又 BH,DH?平面 DBH,且 BH∩DH=H,故 EG⊥平面 DBH. 又 BD?平面 DBH,故 EG⊥BD. (2)解 因为 AE⊥EF,平面 AEFD⊥平面 EBCF,交线为 EF,AE?平面 AEFD,

所以 AE⊥平面 EBCF.

由(1)知,DH⊥平面 EBCF,故 AE∥DH, 所以四边形 AEHD 是矩形,DH=AE,故以 B,F,C,D 为顶点的三棱锥 D-BCF 的高 DH=AE =x. 1 1 又 S△BCF= BC· BE= ×4×(4-x)=8-2x, 2 2 1 所以三棱锥 D-BCF 的体积 f(x)= S△BFC· DH 3 1 1 = S△BFC· AE= (8-2x)x 3 3 2 8 =- x2+ x(0<x<4). 3 3

1.证明线线平行的常用方法 (1)利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; (2)利用平行四边形进行转换; (3)利用三角形中位线定理证明; (4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明. 2.证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证线线平行; (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证面面平行. 3.证明面面平行的方法 证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将 证面面平行转化为证线面平行,再转化为证线线平行. 4.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直;

(2)利用勾股定理逆定理; (3)利用线面垂直的性质,即要证线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. 5.证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直; (2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证面面垂直; (3)利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. 6.证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理, 即证明一个面过另一个面的一条垂线, 将证明面面垂直 转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线 或添加辅助线解决.

真题感悟 1.(2014· 辽宁)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 答案 B 解析 方法一 若 m∥α,n∥α,则 m,n 可能平行、相交或异面,A 错; 若 m⊥α,n?α,则 m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B 正确; 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,C 错; 若 m∥α,m⊥n,则 n 与 α 可能相交,可能平行,也可能 n?α,D 错. 方法二 如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,用平面 ABCD 表示 α. A 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′,满足 m∥α,n∥α, )

但 m 与 n 是相交直线,故 A 错. B 项中,m⊥α,n?α, ∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故 B 正确. C 项中,若 m 为 AA′,n 为 AB, 满足 m⊥α,m⊥n,但 n?α,故 C 错. D 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′, 满足 m∥α,m⊥n,但 n∥α,故 D 错. 2.(2014· 辽宁)如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD =2,∠ABC=∠DBC=120° ,E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点. (1)求证:EF⊥平面 BCG; (2)求三棱锥 D-BCG 的体积. 1 附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高. 3 (1)证明 由已知得△ABC≌△DBC,因此 AC=DC. 又 G 为 AD 的中点,所以 CG⊥AD. 同理 BG⊥AD,又 BG∩CG=G,因此 AD⊥平面 BGC. 又 EF∥AD,所以 EF⊥平面 BCG. (2)解 在平面 ABC 内,作 AO⊥BC,交 CB 的延长线于 O.

由平面 ABC⊥平面 BCD,知 AO⊥平面 BDC. 又 G 为 AD 中点,因此 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△AOB 中,AO=AB· sin 60° = 3, 1 所以 VD-BCG=VG-BCD= S△DBC· h 3 1 1 3 1 = × BD· BC· sin 120° · = . 3 2 2 2 押题精练 1.如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB; ②MO∥平面 PAC; ③OC⊥平面 PAC; ④平面 PAC⊥平面 PBC. 其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).

答案 ②④ 解析 ①错误,PA?平面 MOB;②正确;③错误,否则,有 OC⊥AC,这与 BC⊥AC 矛盾;④ 正确,因为 BC⊥平面 PAC. 2.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)证明:平面 ADC1B1⊥平面 A1BE; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F∥平面 A1BE?并证明你的结论. (1)证明 如图,因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 所以 B1C1⊥面 ABB1A1. 因为 A1B?面 ABB1A1, 所以 B1C1⊥A1B. 又因为 A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1, 所以 A1B⊥面 ADC1B1. 因为 A1B?面 A1BE,所以平面 ADC1B1⊥平面 A1BE. (2)解 当点 F 为 C1D1 中点时,可使 B1F∥平面 A1BE.

证明如下: 取 C1D1 中点 F,连接 EF,B1F 1 易知:EF∥C1D,且 EF= C1D. 2 1 设 AB1∩A1B=O,连接 OE,则 B1O∥C1D 且 B1O= C1D, 2 所以 EF∥B1O 且 EF=B1O, 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F∥OE. 又因为 B1F?面 A1BE,OE?面 A1BE. 所以 B1F∥面 A1BE.

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1.(2014· 广东)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结 论一定正确的是( A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 答案 D 解析 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,记 l1=DD1,l2=DC,l3=DA, 若 l4=AA1,满足 l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时 l1∥l4,可以排除选项 A 和 C. 若 l4=DC1,也满足条件,可以排除选项 B.故选 D. 2.已知 m 和 n 是两条不同的直线,α 和 β 是两个不重合的平面,那么下面 给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( A.α⊥β,且 m?α C.α⊥β,且 m∥α 答案 B 解析 根据定理、性质、结论逐个判断.因为 α⊥β,m?α?m,β 的位置关系不确定,可能平行、 相交、m 在 β 面内,故 A 错误;由线面垂直的性质定理可知 B 正确;若 α⊥β,m∥α,则 m,β 的位置关系也不确定,故 C 错误;若 m⊥n,n∥β,则 m,β 的位置关系也不确定,故 D 错误. 3.ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下列结论错误的是( A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 答案 D 解析 因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,所以 DD1∥BB1 且 DD1=BB1,所以四边形 DD1B1B 为 平行四边形,所以 BD∥B1D1,因为 BD?面 CB1D1,B1D1?面 CB1D1,所以 BD∥平面 CB1D1, 故 A 正确;因为 AA1⊥面 ABCD,BD?面 ABCD,所以 AA1⊥BD,因为 ABCD 为正方形,所以 AC⊥BD,因为 AC∩AA1=A,所以 BD⊥面 A1ACC1,因为 A1C?面 A1ACC1,所以 BD⊥A1C,故 B 正确.同理可证得 B1D1⊥面 A1ACC1,因为 AC1?面 A1ACC1,所以 B1D1⊥AC1,同理可证 CB1 B.A1C⊥BD D.AC1⊥BD1 ) ) )

B.m∥n,且 n⊥β D.m⊥n,且 n∥β

⊥AC1,因为 B1D1∩CB1=B1,所以 AC1⊥平面 CB1D1,故 C 正确.排除法应选 D. 4.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° , 将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱 锥 A-BCD 中,下列命题正确的是( A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 答案 D 解析 ∵在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,∴BD⊥CD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴CD⊥平面 ABD,则 CD⊥AB, 又 AD⊥AB,AD∩CD=D,∴AB⊥平面 ADC, 又 AB?平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ADC,故选 D. 5.直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α;②若 m∥β,α∥β,则 m∥α;③若 m⊥n,n⊥α,则 m∥α; ④若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α.其中正确命题的个数是( A.1 C .3 答案 D 解析 对①,根据线面平行的判定定理知,m∥α;对②,如果直线 m 与平面 α 相交,则必与 β 相交,而这与 α∥β 矛盾,故 m∥α;对③,在平面 α 内取一点 A,设过 A、m 的平面 γ 与平面 α 相交于直线 b.因为 n⊥α,所以 n⊥b,又 m⊥n,所以 m∥b,则 m∥α;对④,设 α∩β=l,在 α 内作 m′⊥β,因为 m⊥β,所以 m∥m′,从而 m∥α.故四个命题都正确. 6.在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM,若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S-ABC 外接球的表面积是( A.12π C.36π 答案 C 解析 由 MN⊥AM 且 MN 是△BSC 的中位线得 BS⊥AM, 又由正三棱锥的性质得 BS⊥AC,∴BS⊥面 ASC. 即正三棱锥 S-ABC 的三侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,外接球直径为 3SA=6. B.32π D.48π ) B.2 D.4 ) )

∴球的表面积 S=4πR2=4π×32=36π.选 C. 二、填空题 7.已知两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 α,β,给出下列四个命题: ①若 m∥α,n∥β,且 α∥β,则 m∥n;②若 m∥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m∥n;③若 m⊥α,n∥β, 且 α∥β,则 m⊥n;④若 m⊥α,n⊥β,且 α⊥β,则 m⊥n.其中正确的个数为_________________. 答案 2 解析 ①中 m,n 可能异面或相交,故不正确;②因为 m∥α,n⊥β,且 α⊥β 成立时,m,n 两 直线的关系可能是相交、平行、异面,故不正确;③因为 m⊥α,α∥β 可得出 m⊥β,再由 n∥β 可得出 m⊥n,故正确;④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故③④正确. 8.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点,能 得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).

答案 ①③ 解析 对于①, 注意到该正方体的面中过直线 AB 的侧面与平面 MNP 平行, 因此直线 AB 平行于 平面 MNP;对于②,注意到直线 AB 和过点 A 的一个与平面 MNP 平行的平面相交,因此直线 AB 与平面 MNP 相交;对于③,注意到此时直线 AB 与平面 MNP 内的一条直线 MP 平行,且直 线 AB 位于平面 MNP 外,因此直线 AB 与平面 MNP 平行;对于④,易知此时 AB 与平面 MNP 相 交.综上所述,能得出直线 AB 平行于平面 MNP 的图形的序号是①③. 9.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直 角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=________时,CF⊥平面 B1DF. 答案 a 或 2a 解析 由题意易知,B1D⊥平面 ACC1A1,所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥DF 即可.

令 CF⊥DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x. 易知 Rt△CAF∽Rt△FA1D, 得 即 AC AF = , A1F A1D 2a 3a-x = , x a

整理得 x2-3ax+2a2=0, 解得 x=a 或 x=2a. 10.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(不含端点)上一 动点.现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为 垂足.设 AK=t,则 t 的取值范围是________.

1 ? 答案 ? ?2,1? 解析 破解此题可采用两个极端位置法, 即对于 F 位于 DC 的中点时,t=1, 随着 F 点到 C 点时, ∵CB⊥AB,CB⊥DK, ∴CB⊥平面 ADB, 即有 CB⊥BD, 对于 CD=2,BC=1, ∴BD= 3, 又 AD=1,AB=2,因此有 AD⊥BD, 1 则有 t= , 2 1 ? 因此 t 的取值范围是? ?2,1?. 三、解答题 11.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1.

证明

(1)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,

∴AB2=AC2+BC2, ∴AC⊥BC.CC1⊥平面 ABC, AC?平面 ABC, ∴AC⊥CC1,又 BC∩CC1=C, ∴AC⊥平面 BCC1B1, BC1?平面 BCC1B1, ∴AC⊥BC1. (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE, ∵D 是 AB 的中点,E 是 C1B 的中点, ∴DE∥AC1, ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. 12. 如图所示, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1⊥平面 ABC, D, E 分别为 A1B1, 1 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF= AB. 4 (1)求证:EF∥平面 BC1D; (2)在棱 AC 上是否存在一个点 G, 使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体 积之比为 1∶15,若存在,指出点 G 的位置;若不存在,请说明理由. (1)证明 取 AB 的中点 M,连接 A1M. 1 因为 AF= AB,所以 F 为 AM 的中点. 4 又 E 为 AA1 的中点,所以 EF∥A1M. 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,M 分别是 A1B1,AB 的中点, 所以 A1D∥BM,A1D=BM, 所以四边形 A1DBM 为平行四边形,所以 A1M∥BD. 所以 EF∥BD. 因为 BD?平面 BC1D,EF?平面 BC1D, 所以 EF∥平面 BC1D. (2)解 设 AC 上存在一点 G, 使得平面 EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之 比为 1∶15,如图所示. 则 VE-AFG∶VABC-A1B1C1=1∶16,

VE-AFG 所以 VABC-A1B1C1 1 1 × AF· AGsin∠GAF· AE 3 2 1 1 1 AG 1 AG = = × × × = × , 1 3 4 2 AC 24 AC ×AB· ACsin∠CAB· AA1 2 1 AG 1 AG 24 3 由题意, × = ,解得 = = . 24 AC 16 AC 16 2 3 所以 AG= AC>AC,所以符合要求的点 G 不存在. 2 13.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=4,∠ABC=120° ,E,M 分 别为 AB,DE 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A′DE,F 为 A′C 的中点,A′C=4. (1)求证:平面 A′DE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 A′DE. 证明 (1)由题意,得△A′DE 是△ADE 沿 DE 翻折而成的,

∴△A′DE≌△ADE. ∵∠ABC=120° ,四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=60° . 又∵AD=AE=2, ∴△A′DE 和△ADE 都是等边三角形. 如图,连接 A′M,MC, ∵M 是 DE 的中点, ∴A′M⊥DE,A′M= 3. 在△DMC 中,MC2=DC2+DM2-2DC· DMcos 60° =42+12-2×4×1×cos 60° , ∴MC= 13. 在△A′MC 中,A′M2+MC2=( 3)2+( 13)2=42=A′C2. ∴△A′MC 是直角三角形,∴A′M⊥MC. 又∵A′M⊥DE,MC∩DE=M, ∴A′M⊥平面 BCD. 又∵A′M?平面 A′DE, ∴平面 A′DE⊥平面 BCD. (2)取 DC 的中点 N,连接 FN,NB.

∵A′C=DC=4,F,N 分别是 A′C,DC 的中点, ∴FN∥A′D. 又∵N,E 分别是平行四边形 ABCD 的边 DC, AB 的中点, ∴BN∥DE. 又∵A′D∩DE=D,FN∩NB=N, ∴平面 A′DE∥平面 FNB. ∵FB?平面 FNB, ∴FB∥平面 A′DE.


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【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练五 第2讲 空间中的平行与垂直 理

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专题五第2讲立体几何与空间向量(理)(教师)

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2016届高考数学二轮复习能力测试训练:专题五 5.2 空间中的平行与垂直(新人教A版含解析)(浙江专用)

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高考数学(理)二轮专题练习【专题5】(2)空间中的平行与垂直(含答案)

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【专题5】(2)空间中的平行与垂直(含答案)

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2016广东高考理数大二轮 专项训练【专题5】(2)空间中的平行与垂直(含答案)

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高考数学(理科)二轮专题复习 :专题五第2讲 立体几何

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专题五立体几何第二讲空间点、直线、平面的位置关系

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