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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-2)练习:1.2 第2课时]


第一章
一、选择题 π 1.若 f(x)=cos ,则 f′(x)为( 4 π A.-sin 4 C.0 [答案] C )

1.2

第 2 课时

π B.sin 4 π D.-cos 4

2.函数 f(x)=xa,a∈Q,若 f′(-1)=-4,则 a 的值为( A.4 C.5 [答

案] A 3.给出下列命题: 1 ①y=ln2,则 y′= 2 1 2 ②y= 2,则 y′|x=3=- x 27 ③y=2x,则 y′=2x· ln2 1 ④y=log2x,则 y′= xln2 其中正确命题的个数为( A.1 C.3 [答案] C [解析] 由求导公式知②③④正确. ) B.2 D.4 B.-4 D.-5

)

π π 4.(2014· 山师附中高二期中)设 f(x)=sinx-cosx,则 f(x)在 x= 处的导数 f ′( )=( 4 4 A. 2 C.0 [答案] A [解析] ∵f ′(x)=cosx+sinx, π π π ∴f ′( )=cos +sin = 2,故选 A. 4 4 4 B.- 2 D. 2 2

)

?π?? 5.设函数 f(x)=cosx 则? ?f?2??′等于(
A.0 C.-1 [答案] A π? π [解析] ∵f? ?2?=cos2=0,

) B.1 D.以上均不正确

?π?? ∴? ?f?2??′=0′=0,故选 A.
6.设函数 f(x)=sinx,则 f′(0)等于( A.1 C.0 [答案] A [解析] ∵f′(x)=(sinx)′=cosx, ∴f′(0)=cos0=1.故选 A. 7.若 y=lnx,则其图象在 x=2 处的切线斜率是( A.1 C.2 [答案] D 1 1 1 [解析] ∵y′= ,∴y′|x=2= ,故图象在 x=2 处的切线斜率为 . x 2 2 8.已知直线 y=kx 是 y=lnx 的切线,则 k 的值为( 1 A. 2 [答案] C 1 ? 1 1 [解析] ∵y′= =k,∴x= ,切点坐标为? ?k,1?, x k 1 又切点在曲线 y=lnx 上,∴ln =1, k 1 1 ∴ =e,k= . k e 二、填空题 π 9.函数 f(x)=sinx 在 x= 处的切线方程为________. 3 π [答案] x-2y+ 3- =0 3 1? 1 10.y= 3在点 A? ?2,8?处的切线方程为________. x 1 B.- 2 ) 1 1 C. D.- e e B.0 1 D. 2 ) ) B.-1 D.以上均不正确

[答案] 3x+16y-8=0 1? -4 [解析] ∵? ?x3?′=-3x , 1? 1 3 ∴y= 3在点 A? ?2,8?处的切线的斜率为-16. x 1 3 ∴切线方程为 y- =- (x-2), 8 16 即 3x+16y-8=0. 11.曲线 y=lnx 与 x 轴交点处的切线方程是____________________________. [答案] y=x-1 [解析] ∵曲线 y=lnx 与 x 轴的交点为(1,0) ∴y′|x=1=1,切线的斜率为 1, 所求切线方程为:y=x-1. 三、解答题 12.(1)y=ex 在点 A(0,1)处的切线方程; (2)y=lnx 在点 A(1,0)处的切线方程. [解析] (1)∵(ex)′=ex, ∴y=ex 在点(0,1)处的切线的斜率为 1. ∴切线方程为 y-1=1×(x-0),即 x-y+1=0. 1 (2)∵(lnx)′= , x ∴y=lnx 在点 A(1,0)处的切线的斜率为 1. ∴切线方程为 y=1×(x-1),即 x-y-1=0.

一、选择题 1.物体运动的图象(时间 x,位移 y)如图所示,则其导函数图象为( )

[答案] D [解析] 由图象可知, 物体在 OA, AB, BC 三段都做匀速运动, 位移是时间的一次函数, 因此其导函数为常数函数,并且直线 OA,直线 AB 的斜率为正且 kOA>kAB,直线 BC 的斜率 为负,故选 D. 2.(2014· 合肥一六八高二期中)下列函数中,导函数是奇函数的是( A.y=sinx C.y=lnx [答案] D [解析] 由 y=sinx 得 y′=cosx 为偶函数,故 A 错;又 y=ex 时,y′=ex 为非奇非偶 1 函数,∴B 错;C 中 y=lnx 的定义域 x>0,∴C 错;D 中 y=cosx- 时,y′=-sinx 为奇函 2 数,∴选 D. 3.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…fn+1(x)=fn′(x),n∈N+,则 f2010(x) 的值是( ) B.-sinx D.-cosx B.y=ex 1 D.y=cosx- 2 )

A.sinx C.cosx [答案] B

[解析] 依题意:f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx, f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx, 按以上规律可知:f2010(x)=f2(x)=-sinx,故选 B.

4.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( A.1 C.-1 [答案] B [解析] y′= 1 ,设切点为(m,n), x+a B.2 D.-2

)

1 则切线斜率为 =1, m+a 即 m+a=1,n=ln(m+a)=ln1=0. 又(m,n)在直线 y=x+1 上, ∴m=-1,从而 a=2.故选 B. 二、填空题 5.过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点坐标为________,切线方程为________. [答案] (1,e) y=ex [解析] 设切点为(x0,ex0),又 y′=(ex)′=ex, ∴切线的斜率为 k=y′|x=x0=ex0, ∴切线方程为 y-ex0=ex0(x-x0). 又切线过原点, ∴-ex0=-x0· ex0,即(x0-1)· ex0=0, ∴x0=1, ∴切点为(1,e),斜率为 e, ∴切线方程为 y=ex. 6.函数 y=log2x 图象上一点 A(a,log2a)处的切线与直线(2ln2)x+y-3=0 垂直,则 a =________. [答案] 2 [解析] y=log2x 在点 A(a,log2a)处的切线斜率为 k1=y′|x=a= 1 1 | = . xln2 x=a aln2

已知直线斜率 k2=-2ln2. -2 ∵两直线垂直,∴k1k2= =-1,∴a=2. a 7.(2014· 杭州质检)若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f ′(x)>0 的解集为________. [答案] (2,+∞) [ 解析 ] 4 由 f(x)= x2- 2x-4lnx,得函数定义域为 (0,+ ∞),且 f ′(x)= 2x- 2- = x

2x2-2x-4 x2-x-2 ?x+1??x-2? =2· =2· ,f ′(x)>0,解得 x>2,故 f ′(x)>0 的解集为(2,+ x x x ∞). 三、解答题 8.设点 P 是 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最短距离. [解析] 根据题意得,平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切的切点为 P,该切点即 为与 y=x 距离最近的点,如图,即求在曲线 y=ex 上斜率为 1 的切线,由导数的几何意义可 求解. 令 P(x0,y0),∵y′=(ex)′=ex, ∴由题意得 ex0=1,得 x0=0,

代入 y=ex,y0=1,即 P(0,1). 利用点到直线的距离公式得最短距离为 2 . 2

9. 已知两条曲线 y=sinx、 y=cosx, 是否存在这两条曲线的一个公共点, 使在这一点处, 两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. [解析] 由于 y=sinx、y=cosx,设两条曲线的一个公共点为 P(x0,y0), ∴两条曲线在 P(x0,y0)处的斜率分别为 k1=y′|x=x0=cosx0, k2=y′|x=x0=-sinx0. 若使两条切线互相垂直,必须 cosx0· (-sinx0)=-1, 即 sinx0· cosx0=1,也就是 sin2x0=2,这是不可能的, ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.


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