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高中数学必修2,3专题辅导十四


态度决定一切,实力捍卫尊严!

高二上期数学综合专题辅导
1、如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E, F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点. (1)求证:EF⊥平面 BCG; (2)求三棱锥 D?BCG 的体积.

2、如图在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,

侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,点 E,F 分别为 A1C1,BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E?ABC 的体积.

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态度决定一切,实力捍卫尊严!
3、已知点 A(3,3),B(5,2)到直线 l 的距离相等,且直线 l 经过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2: x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程.

4、已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; → → (2)若OM· ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|.

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态度决定一切,实力捍卫尊严!
5、某市规定,高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格.某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100] (单 位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求抽取的 20 人中,参加社区服务时 间不少于 90 小时的学生人数; (Ⅱ)从参加社区服务时间不少于 90 小时 的学生中任意选取 2 人, 求所选学生的参加社 区服务时间在同一时间段内的概率.
0.07 0.06 0.04 0.02 0.01
频率 组距

O O

75

80

85

90

95

100

服务时间/小时

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态度决定一切,实力捍卫尊严!
6、 某工厂生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:大于或等于 7.5 为正品,小于 7.5 为次 品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下: A B 7 6 7 7.5 8.5 9 8.5 9.5

由于表格被污损, 数据看不清, 统计员只记得 B 元件最后一次检测结果比第二次检测结果多 1,且 A,B 两种元件的检测数据的平均值相等。 (I)求被污损表格中的值; (II)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正品的概率.

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态度决定一切,实力捍卫尊严!

高二上期数学综合专题辅导
1、如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E, F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点. (1)求证:EF⊥平面 BCG; (2)求三棱锥 D?BCG 的体积.

(1)证明:由 AB=DB,BC=BC,∠ABC=∠DBC, 得△ABC≌△DBC(SAS).∴AC=DC. 又 G 为 AD 的中点,∴CG⊥AD. ∵AB=BD,G 为 AD 的中点,∴BG⊥AD. 又 BG∩CG=G,∴AD⊥平面 BCG. 又 EF∥AD,故 EF⊥平面 BCG.

(2)解:如图 D98,在平面 ABC 内,过点 A 作 AO⊥BC,交 CB 的延长线于点 O. ∵平面 ABC⊥平面 BCD, ∴AO⊥平面 BDC. 又 G 为 AD 的中点, 1 ∴G 到平面 BCD 的距离 h= AO. 2 在△AOB 中, 3 AO=AB·sin60°= 3.∴h= . 2 1 ?1 1 ? ∴VD?BCG=VG?BCD= ×? DB·BC·sin120°?×h= . 2 3 ? 2 ? 2、如图在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,点 E,F 分别为 A1C1,BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E?ABC 的体积.

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态度决定一切,实力捍卫尊严!
(1)证明:在三棱柱 ABC?A1B1C1 中, BB1⊥底面 ABC,∴BB1⊥AB. 又∵AB⊥BC,且 BB1∩BC=B,∴AB⊥平面 B1BCC1. 又 AB? 平面 ABE,∴平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明:如图 D99,取 AB 中点为 G,连接 EG,FG.

∵E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 1 ∴FG∥AC,且 FG= AC. 2 ∵AC∥A1C1,且 AC=A1C1, ∴FG∥EC1,且 FG=EC1. ∴四边形 FGEC1 为平行四边形. ∴C1F∥EG. 又∵EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, ∴C1F∥平面 ABE. (3)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 2 2 ∴AB= AC -BC = 3. 1 1 1 3 ∴VE?ABC= S△ABC·AA1= × × 3×1×2= . 3 3 2 3 3、已知点 A(3,3),B(5,2)到直线 l 的距离相等,且直线 l 经过两直线 l1:3x-y-1=0 和 l2: x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程.
?3x-y-1=0, ? 解 解方程组? ?x+y-3=0, ?

得交点 P(1,2). ①若点 A,B 在直线 l 的同侧,则 l∥AB. 而 kAB= 3-2 1 =- , 2 3-5

由点斜式得直线 l 的方程为 1 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 5 ②若点 A,B 分别在直线 l 的异侧,则直线 l 经过线段 AB 的中点(4, ), 2 5 -2 y-2 2 由两点式得直线 l 的方程为 = , x-1 4-1 即 x-6y+11=0. 综上所述,直线 l 的方程为
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态度决定一切,实力捍卫尊严!
x+2y-5=0 或 x-6y+11=0.

4、已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; → → (2)若OM· ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 解 (1)由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1, 因为 l 与 C 交于两点,所以 |2k-3+1| <1. 1+k2

4- 7 4+ 7 ?4- 7 4+ 7?. 解得 <k< .所以 k 的取值范围为? ? 3 3 ? 3 , 3 ? (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 4?1+k? 7 所以 x1+x2= ,x1x2= . 1+k2 1+k2 → → OM· ON=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 4k?1+k? = +8. 1+k2 4k?1+k? 由题设可得 +8=12,解得 k=1, 1+k2 所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在 l 上,所以|MN|=2.

5、某市规定,高中学生在校期间须参加不少于 80 小时的社区服务才合格.某校随机抽取 20 位学生参加社区服务的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100] (单 位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求抽取的 20 人中,参加社区服务时 间不少于 90 小时的学生人数; (Ⅱ)从参加社区服务时间不少于 90 小时 的学生中任意选取 2 人, 求所选学生的参加社 区服务时间在同一时间段内的概率.
解: (Ⅰ)由题意可知, 7 0.07 0.06 0.04 0.02 0.01
频率 组距

O O

75

80

85

90

95

100

服务时间/小时

态度决定一切,实力捍卫尊严!
参加社区服务在时间段 [90,95) 的学生人数为 20 ? 0.04 ? 5 ? 4 (人) , 参加社区服务在时间段 [95,100]的学生人数为 20 ? 0.02 ? 5 ? 2 (人) . 所以参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 4+2 ? 6 (人) . (Ⅱ)设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件 A .由(Ⅰ)可知, 参加社区服务在时间段[90,95) 的学生有 4 人,记为 a, b, c, d ; 参加社区服务在时间段[95,100]的学生有 2 人,记为 A, B . 从这 6 人中任意选取 2 人有 ab, ac, ad , aA, aB, bc, bd , bA, bB, cd , cA, cB, dA, dB, AB 共 15 种情况. 事件 A 包括 ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况. 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 P ( A) ?

7 . 15

6、 某工厂生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:大于或等于 7.5 为正品,小于 7.5 为次 品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下: A B 7 6 7 7.5 8.5 9 8.5 9.5

由于表格被污损, 数据看不清, 统计员只记得 B 元件最后一次检测结果比第二次检测结果多 1,且 A,B 两种元件的检测数据的平均值相等。 (I)求被污损表格中的值; (II)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正品的概率. 解:设 B 元件第二次和最后一次检测结果分别是 x , y

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态度决定一切,实力捍卫尊严!
1 (7 ? 7 ? 7.5 ? 9 ? 9.5) ? 8, 5 ∵ 1 x B ? (6 ? x ? 8.5 ? 8.5 ? y ) 5 xA ?
又 y ? x ? 1,



x A ? x B , 得x ? y ? 17

? x ? 8, y ? 9

……5 分

? B 元件第二次检测结果为 8,最后一次检测结果为 9.………6 分
(2)记被检测的 5 件 B 元件分别为 B1,B2,B3,B4,B5, 其中 B2,B3,B4,B5, 为正品。 从中任取 2 件,共有 10 个基本事件,列举如下:

?B1,B2 ?, ?B1,B3 ?, ?B1,B4 ?, ?B1,B5 ?, ?B2,B3 ? ?B2,B4 ?, ?B2,B5 ?, ?B3,B4 ?, ?B3,B5 ?, ?B4,B5 ?
记“2 件都为正品为事件包含以下 6 个基本事件:

………8 分,

?B2,B3 ? , ?B2,B4 ?, ?B2,B5 ?, ?B3,B4 ?, ?B3,B5 ?, ?B4,B5 ? ………10 分
? P?C ? ?
3 6 3 ? .即 2 件都为正品的概率为 .………12 分 5 10 5

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