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高中数学选修2-1新教学案:1.1.1命题1.1.2四种命题


选修 2-1 1.1.1 命题 1.1.2 四种命题(学案)

【知识要点】 1.命题; 2.真命题、假命题; 3. 四种命题. 【学习要求】 1. 了解命题的意义,能够判一个语句是否为命题; 2. 了解“若 p ,则 q ”型的命题的意义,能够判断这种形式的命题的真假; 3. 了解命题的逆命题、否命题和逆否命题的意义及其相互关系.

【预

习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 2 页~第 6 页) 1.在数学中,我们把用 、 或 表达的,可以 的 叫做命题, 其中 的语句叫做真命题, 的语句叫做假 命题. 2.命题的数学形式: “若 p ,则 q ” ,命题中的 p 叫做命题的 , q 叫做命题 的 . 3.四种命题的概念 ⑴对两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另个命题的结论和条件,那么我们 把这样的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做 . p q 原命题为: “若 ,则 ” ,则逆命题为: “ ”. ⑵一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样 的两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 . 若原命题为: “若 p ,则 q ” ,则否命题为: “ ”. ⑶一个命题的条件和结论恰好是另个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的 两个命题叫做 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 .若原命题为: “若 p , 则q ” , 则逆否命题为: “ ” . 4.注意: “若 p ,则 q ”型的命题只是命题的一种类型,还有大量的命题写不成这种 形式,例如: “某些三角形没有外接圆.”这个命题就不能写成“若 p ,则 q ”的形式.判断 一个语句是不是命题, 分为两步: 第一步看他是不是陈述语句, 第二步看它能不能判断真假. 【基础练习】 1.下列语句不是命题的是( ) (A)地球是太阳系的行星 (B)等腰三角形的两底角相等 (C)今天会下雪吗? (D)正方形的四个内角均为直角 2.下列语句中,是命题的个数是(). ①难道平行四边形的对角线不是互相平分吗?② x ? 3 ;③若 x ? 3 ,则 x ? 5 ;④ x 是无 理数.

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(A)1 (B)2 (C) 3 (D)3 3.“全等三角形一定是相似三角形”的逆否命题( ). (A)不全等三角形不一定不是相似三角形 (B)不相似三角形不一定是全等三角形 (C)不相似三角形一定不是全等三角形 (D)不全等三角形不一定是相似三角形 4.命题 x ? ( A ? B) 的否命题是 【典型例题】 例 1 判断下列命题的真假. ⑴形如 a ? b 6 的数是无理数. ⑵正项等数列的公差大于零. ⑶奇函数的图像关于原点对称. ⑷能被 2 整除的数一定. .

变式训练 1:设 ? , ? 为两个不同的平面, l , m 为两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? , 有如下两个命题:①若 ? ∥ ? ,则 l ∥ m ,②若 l ? m ,则 ? ? ? ,那么( ) (A)①是真命题,②是假命题 (B)①是假命题,②是真命题 (C)①②都是真命题 (D)①②都是假命题 例2 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假. (1) 负数的平方式正数; (2) 正方形的四条边相等.

变式训练 2:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题. (1) 若 x ? y ? 0 ,则 x, y 全为 0 ;
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(2) 若 a ? b 是偶数,则 a , b 都是偶数.

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1.命题“若 a ? b ,则 a ? 5 ? b ? 5 ”的逆否命题是( ). (A)若 a ? b ,则 a ? 5 ? b ? 5 (B)若 a ? 5 ? b ? 5 ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? 5 ? b ? 5 (D)若 a ? 5 ? b ? 5 ,则 a ? b 2.设 ?ABC 的三边分别为 a, b, c, 在命题“若 a ? b ? c ,则 ?ABC 不是直角三角形”及
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其逆命题中( ). (A)原命题真,逆命题假 (B)逆命题真,原命题假 (C)两个命题都真 (D)两个命题都假 3.平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m ? 和 n? ,给出下列 四个命题: ①若 m? ? n? ,则 m ? n ;②若 m ? 与 n? 相交,则 m 与 n 相交或重合; ③若 m ? n ,则 m? ? n? ;④若 m ? 与 n? 平行,则 m 与 n 平行或重合. 其中不正确的命题的个数是( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( ). (A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题 5.设 a , b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( (A)若 a , b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b (B)若 a ∥ ? , b ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b (C)若 a ? ? , b ? ? , a ∥ b ,则 ? ∥ ? (D)若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b 6.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( (A)若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n (C)若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? (B)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? (D)若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n . ). ).

7.命题“若 ab ? 0, 则 a ? 0 或 b ? 0 ”的逆否命题是 8.设有两个命题: ①关于 x 的不等式 m x ? 1 ? 0 的解集是 R;
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②函数 f ?x ? ? logm x 是减函数.

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如果这两个命题中有且只有一个真命题,则实数 m 的取值范围是 9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假. (1)实数的平方式非负数; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.

.

10.判断命题“已知 a, x 为实数,如果关于 x 的不等式 x 2 ? ?2a ? 1?x ? a 2 ? 2 ? 0 的解集非 空,则 a ? 1 ”的逆否命题的真假.

1.判断一个语句是否为命题的方法: (1)凡是感叹句、疑问句、反问句、祈使句都不是命题. (2)陈述句中,凡是比喻、形容、肆意模糊不清的,都不是命题. 2.关于“若 p ,则 q ”型的命题: (1) p 、 q 可以是命题,也可以不是命题.如果 p 、 q 不是命题,那么 p 、 q 是含有变量 的陈述句. (2)很多命题表面上不是“若 p ,则 q ”型的,但可以改写成“若 p ,则 q ”的形式,但 也有很多命题是不能改写成“若 p ,则 q ”的形式的,这点必须注意.

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选修 2-1 1.1.1 命题 1.1.2 四种命题(教案)

【教学目标】 1.理解命题的概念,会判断命题的真假; 2.会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题; 【重点】命题的概念及命题的四种形式; 【难点】写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题;

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 2 页~第 6 页) 1.在数学中,我们把用 语言 、 符号 或 式子 表达的,可以 判断真假 的 陈述句 叫做命题, 其中 判断为真 的语句叫做真命题, 判断为假 的语句叫做假命 题. q 叫做命题的 结 2.命题的数学形式: “若 p , 则q ” , 命题中的 p 叫做命题的 条件 , 论 . 3.四种命题的概念 ⑴对两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另个命题的结论和条件,那么我们 把这样的两个命题叫做 互逆命题 ,其中一个命题叫做 原命题 . 原命题为: “若 p ,则 q ” ,则逆命题为: “若 q ,则 p ”.

⑵一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样 的两个命题叫做 互否命题 ,其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的 否命题 . 若原命题为: “若 p ,则 q ” ,则否命题为: “ 若 ? p ,则 ? q ”.

⑶一个命题的条件和结论恰好是另个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的 两个命题叫做 互为逆否命题 , 其中一个命题叫做原命题, 那么另一个命题叫做原命题的 逆否命题 .若原命题为: “若 p ,则 q ” ,则逆否命题为: “ 若 ? q ,则 ? p ”.

4.注意: “若 p ,则 q ”型的命题只是命题的一种类型,还有大量的命题写不成这种 形式,例如: “某些三角形没有外接圆.”这个命题就不能写成“若 p ,则 q ”的形式.判断 一个语句是不是命题, 分为两步: 第一步看他是不是陈述语句, 第二步看它能不能判断真假. 【基础练习】 1.下列语句不是命题的是( C ) (A)地球是太阳系的行星 (B)等腰三角形的两底角相等 (C)今天会下雪吗? (D)正方形的四个内角均为直角 2.下列语句中,是命题的个数是( A ). ①难道平行四边形的对角线不是互相平分吗?② x ? 3 ;③若 x ? 3 ,则 x ? 5 ;④ x 是无 理数.

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(A)1 (B)2 (C) 3 (D)3 3.“全等三角形一定是相似三角形”的逆否命题( C ). (A)不全等三角形不一定不是相似三角形 (B)不相似三角形不一定是全等三角形 (C)不相似三角形一定不是全等三角形 (D)不全等三角形不一定是相似三角形 4.命题 x ? ( A ? B) 的否命题是 【典型例题】 例 1 判断下列命题的真假. ⑴形如 a ? b 6 的数是无理数. ⑵正项等数列的公差大于零. ⑶奇函数的图像关于原点对称. ⑷能被 2 整除的数一定. 【审题要津】 判断一个命题为假命题, 只要举出一个反例即可, 而要判断一个命题为真命题, 一般要进行严格的逻辑推证. 解:⑴假命题;⑵假命题;⑶真命题;⑷假命题. 【方法总结】判断一个命题为假命题,只要举出一个反例即可. 变式训练 1:设 ? , ? 为两个不同的平面, l , m 为两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? , 有如下两个命题:①若 ? ∥ ? ,则 l ∥ m ,②若 l ? m ,则 ? ? ? ,那么( D )

x ? A或x ? B

.

(A)①是真命题,②是假命题 (B)①是假命题,②是真命题 (C)①②都是真命题 (D)①②都是假命题 例3 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假. (3) 负数的平方式正数; (4) 正方形的四条边相等. 【审题要津】此题的题设和结论不很明显,因此首先将命题改写成“若 p ,则 q ”的形式, 然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题. 解: (1)逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数.(假命题) 否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数. (假命题) 逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数.(真命题) (2)逆命题:若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.(假命题) 否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等.(假命题) 逆否命题:若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形.(真命题) 【方法总结】 (1)题还有另一种解答: 原命题也可以写成:若一个数是负数的平方,则这个数是正数. 逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方. 否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数. 逆否命题:若一个数不是正数,则它不是负数的平方. 变式训练 2:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题. (3) 若 x ? y ? 0 ,则 x, y 全为 0 ;
2 2

(4) 若 a ? b 是偶数,则 a , b 都是偶数.

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【审题要津】注意一些常见词语和其否定词语.“都是”的否定词语是“不都是” , “至多有 一个”的否定词语是“至少有两个”.等等的转化. 解: (1)逆命题:若 x, y 全为 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 0 . 否命题:若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 不全为 0 . 逆否命题:若则 x, y 不全为 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 0 . (2)逆命题:若 a , b 都是偶数,则 a ? b 是偶数. 否命题:若 a ? b 不是偶数,则 a , b 不都是偶数. 逆否命题:若 a , b 不都是偶数,则 a ? b 不是偶数. 【方法总结】注意一些常见词语和其否定词语.

1.命题“若 a ? b ,则 a ? 5 ? b ? 5 ”的逆否命题是( D ). (A)若 a ? b ,则 a ? 5 ? b ? 5 (B)若 a ? 5 ? b ? 5 ,则 a ? b a ? b a ? 5 ? b ? 5 (C)若 ,则 (D)若 a ? 5 ? b ? 5 ,则 a ? b 2.设 ?ABC 的三边分别为 a, b, c, 在命题“若 a ? b ? c ,则 ?ABC 不是直角三角形”及
2 2 2

其逆命题中( B ). (A)原命题真,逆命题假 (B)逆命题真,原命题假 (C)两个命题都真 (D)两个命题都假 3.平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m ? 和 n? ,给出下列 四个命题: ①若 m? ? n? ,则 m ? n ;②若 m ? 与 n? 相交,则 m 与 n 相交或重合; ③若 m ? n ,则 m? ? n? ;④若 m ? 与 n? 平行,则 m 与 n 平行或重合. 其中不正确的命题的个数是( D ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( A ). (A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题 5.设 a , b 为两条直线, ? , ? 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( D (A)若 a , b 与 ? 所成的角相等,则 a ∥ b (B)若 a ∥ ? , b ∥ ? , ? ∥ ? ,则 a ∥ b (C)若 a ? ? , b ? ? , a ∥ b ,则 ? ∥ ? (D)若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b ).

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6.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( D ). (A)若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n (C)若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? (B)若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? (D)若 m ? ? , n ? ? , 则 m ∥ n

7.命题“若 ab ? 0, 则 a ? 0 或 b ? 0 ”的逆否命题是 若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 . 8.设有两个命题: ①关于 x 的不等式 m x ? 1 ? 0 的解集是 R;
2

②函数 f ?x ? ? logm x 是减函数. 如果这两个命题中有且只有一个真命题,则实数 m 的取值范围是 m ? 0或m ? 1 .

9.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假. (1)实数的平方式非负数; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧. 【审题要津】当一个命题不是“若 p ,则 q ”的形式,首先要把它转化成“若 p ,则 q ”. 解: (1)逆命题:如果一个数的平方式非负数,则这个数是实数.(真命题) 否命题:如果一个不是实数,则它的平方不是非负数.(真命题) 逆否命题:如果一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.(真命题) (2)逆命题:如果一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线. (真命题) 否命题: 如果一条直线不是弦的垂直平分线, 则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧. (真 命题) 逆否命题: 如果一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧, 则这条直线不是弦的垂直平分线. (真命题) 【方法总结】命题的改写,首要的是要把命题改成“若 p ,则 q ” ,同时需要注意词语和其 否定词语. 10.判断命题“已知 a, x 为实数,如果关于 x 的不等式 x ? ?2a ? 1?x ? a ? 2 ? 0 的解集非
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空,则 a ? 1 ”的逆否命题的真假. 【审题要津】首先写出其逆否命题.
2 2 解:其逆否命题:若 a ? 1, 则不等式 x ? ?2a ? 1?x ? a ? 2 ? 0 解集是空集.

? ? ? ?2a ? 1? ? 4 ? a 2 ? 2 ? 4a ? 1 ? 8
2

?

?

又? a ? 1 ,? ? ? 0 既不等式 x ? ?2a ? 1?x ? a ? 2 ? 0 解集是空集.所以逆否命题是真命题.
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【方法总结】等以后可以不用写出等价命题,而是用它的等价命题.还可以用反证法.

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1.判断一个语句是否为命题的方法: (1)凡是感叹句、疑问句、反问句、祈使句都不是命题. (2)陈述句中,凡是比喻、形容、肆意模糊不清的,都不是命题. 2.关于“若 p ,则 q ”型的命题: (1) p 、 q 可以是命题,也可以不是命题.如果 p 、 q 不是命题,那么 p 、 q 是含有变量 的陈述句. (2)很多命题表面上不是“若 p ,则 q ”型的,但可以改写成“若 p ,则 q ”的形式,但 也有很多命题是不能改写成“若 p ,则 q ”的形式的,这点必须注意

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