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讲义---平面向量与三角形四心的交汇


讲义---平面向量与三角形四心的交汇
一、四心的概念介绍
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1; (2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心) :角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量

的结合
(1) OA ? OB ? OC

? 0 ? O 是 ?ABC 的重心. 证法 1:设 O( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), C( x3 , y3 )
x1 ? x 2 ? x3 ? ?x ? ?( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? 0 ? 3 ?? OA ? OB ? OC ? 0 ? ? ? O 是 ?ABC y1 ? y 2 ? y 3 ( y1 ? y) ? ( y 2 ? y) ? ( y3 ? y) ? 0 ? ?y ? ? 3 ?

的重心. 证法 2:如图

A

? OA ? OB ? OC ? OA ? 2OD ? 0 ? AO ? 2OD ? A、O、D 三点共线,且 O 分 AD
为 2:1

O

E

? O 是 ?ABC 的重心 (2) OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? O 为 ?ABC 的垂心.
证 明 : 如 图 所 示 O 是 三 角 形 足. OA ? OB ? OB ? OC ? OB(OA ? OC)

B

D

C

ABC 的 垂 心 , BE 垂 直 AC , AD 垂 直 BC ,

D 、 E 是 垂

? OB ? CA ? 0
A

? OB ? AC
E

同理 OA ?

BC , OC ? AB
B

O

? O 为 ?ABC 的垂心 (3)设 a , b , c 是三角形的三条边长,O 是 ? ABC 的内心 aOA ? bOB ? cOC ? 0 ? O 为 ?ABC 的内心.
AB AC 、 分别为 AB AC 方向上的单位向量, 、 c b AB AC ? 平分 ?BAC , ? c b AB AC bc ? ),令 ? ? ? AO ? ?( a?b?c c b
证明:?

D

C

?

AO ?

AB AC bc ? ( ) a?b?c c b

化简得 (a ? b ? c)OA ? b AB ? c AC ? 0

? aOA ? bOB ? cOC ? 0
1

(4)

OA ? OB ? OC ? O 为 ?ABC 的外心。

三、典型例题:
例 1: O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 OP ? OA ? ?( AB ? AC) ,

? ? ?0,???

,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的( B.内心 全国理 4) C.重心

) D.垂心

A.外心

例 2 : 03 (

O

是平面上一定点,

A、B、C

是平面上不共线的三个点,动点

P

满足

OP ? OA ? ? (
A.外心

AB AB

?

AC AC

) , ? ? ?0,???

,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的(



B.内心

C.重心

D.垂心 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点

例 3

: 1)

O

是 平 面 上 一 定 点 ,

A、B、C

P

满 足

OP ? OA ? ? (
A.外心

AB AB c o B s

?
B.内心

AC AC c o C s

) , ? ? ?0,???
C.重心

,则点 P 的轨迹一定通过 ?ABC 的(



D.垂心

2) 已 知 O 是 平 面 上 的 一 定 点 , A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? AB AC ? ? OP ? OA ? ? ( ??? ? ??? ) , ? ?[0, ??) , | AB | sin B | AC | sin C
A. 重心 B. 垂心 C. 外心

则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(

)

D. 内心

3) 已 知 O 是 平 面 上 的 一 定 点 , A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? OB ? OC ? AB AC ? ? OP ? ? ? ( ??? ? ??? ) , ? ?[0, ??) , 2 | AB | cos B | AC | cos C
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(

)

??? ???? ???? ? ??? ???? ???? ? ??? ???? ???? ? ? 例 4、已知向量 OP , OP , OP 满足条件 OP ? OP ? OP ? 0 , | OP |?| OP |?| OP |? 1 ,求证: △PP2 P 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
是正三角形.

???? ??? ??? ??? ? ? ? ? 例 5、 ABC 的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H, 则实数 m = OH ? m(OA ? OB ? OC) ,



2

例 6、点
) .

O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足 OA? OB ? OB? OC

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ? OC ? ,则点 OA

O 是 ?ABC 的(

A.三个内角的角平分线的交点 C.三条中线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点

例7

在 △ABC 内求一点 P ,使

AP 2 ? BP 2 ? CP 2 最小.

例 8
△ABC 的

已知 O 为 △ABC 所在平面内一点,满足 | OA | 心.

??? ?

2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | BC |2 ?| OB |2 ? | CA |2 ?| OC |2 ? | AB |2 ,则 O 为

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 例 9..已知 O 是△ABC 所在平面上的一点,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 点是△ABC 的(
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

)

例 10
△ABC 的( A. 垂心

已知 O 为△ABC 所在平面内一点,满足 | OA | ) B. 重心 C. 内心

??? ?

2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | BC |2 ?| OB |2 ? | CA |2 = | OC |2 ? | AB |2 ,则 O 点是

D. 外心 0,则 O

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 11 已知 O 是△ABC 所在平面上的一点,若 (OA ? OB) ? AB = (OB ? OC) ? BC = (OC ? OA) ? CA =
点是△ABC 的( A. 外心 ) B. 内心 C. 重心 D. 垂心 0,则 O 点是△ABC 的( )

??? ? ??? ? ??? ? 例 12:已知 O 是△ABC 所在平面上的一点,若 aOA ? bOB ? cOC =
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

??? ? ??? ? ??? ? ??? aPA ? bPB ? cPC ? 例 13: O 是△ABC 所在平面上的一点, PO ? 已知 若 (其中 P 是△ABC 所在平面内任意一点), a?b?c
则 O 点是△ABC 的( A. 外心 ) B. 内心 C. 重心 D. 垂心

四、配套练习:
1.已知

?ABC

三个顶点

A、B、C
) C.3

及平面内一点

P

,满足

PA ? PB ? PC ? 0 , 若 实 数 ?

满足:

AB ? AC ? ? AP ,则 ? 的值为(
A.2 B.

3 2

D.6

3

2.若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1, OA ? OB ? OC A.

? 0 ,则 OA ? OB ? (

)

1 2

B.0

C.1

D. ?

1 2

3.点 O 在 ?ABC 内部且满足 OA ? 2OB ? 2OC ? 0 ,则 ?ABC 面积与凹四边形 A.0 B.

ABOC

面积之比是(



3 2

C.

5 4

D.

4 3
是 ?ABC 的( )

4. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,若 OH A.外心 B.内心

? OA ? OB ? OC ,则 H
D.垂心

C.重心

5. O 是平面上一定点,

A、B、C 是平面上不共线的三个点,若 OA ? BC ? OB
) D.垂心

2

2

2

? CA ? OC ? AB
A.外心

2

2

2

,则 O 是 ?ABC 的( C.重心

B.内心

6. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H, OH 则实数 m = 1 7. (06 陕西)已知非零向量与满足(+)〃=0 且〃= , 则△ABC 为( 2 A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形 8.已知 ?ABC 三个顶点 A.等腰三角形 C.直角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

? m(OA ? OB ? OC) ,

)

A、B、C ,若 AB ? AB ? AC ? AB ? CB ? BC ? CA ,则 ?ABC 为(
B.等腰直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形

2



9.已知 O 是平面上一定点, B、 是平面上不共线的三个点, A、 C 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( AB ? AC) , 则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的( A. 外心 B. 内心 ) C. 重心 D. 垂心 )

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

? ?[0, ??) .

10.已知 O 是△ABC 所在平面上的一点,若 OA ? OB ? OC = 0, 则 O 点是△ABC 的( A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

??? ??? ??? ? ? ?

??? 1 ??? ??? ??? ? ? ? ? 11.已知 O 是△ABC 所在平面上的一点,若 PO ? ( PA ? PB ? PC ) (其中 P 为平面上任意一点), 3
的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

则 O 点是△ABC

4


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