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2014全国名校数学试题分类解析汇编:H单元 解析几何


H 单元 目录

解析几何

H 单元 解析几何 ........................................................................................................................... 1 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ...................................................................................... 1 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 .................................................................................. 5 H3 圆的方程 ................................................................................................................................ 12 H4 直线与圆、圆与圆的位置关系 ............................................................................................ 15 H5 椭圆及其几何性质 ................................................................................................................ 29 H6 双曲线及其几何性质 ............................................................................................................ 37 H7 抛物线及其几何性质 ............................................................................................................ 43 H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业) ..................................................................................... 49 H9 曲线与方程 ............................................................................................................................ 66 H10 单元综合 .............................................................................................................................. 67

H1

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【浙江效实中学高一期末?2014】18.已知 ?ABC 的三个顶点 A(?3, 0), B(2,1), C (?2,3) . 求(1) BC 边上的中线 AD 所在的直线方程; (2) BC 边的垂直平分线 DE 所在的直线方程. 【知识点】直线方程 【答案解析】 AD : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ; DE : 2 x ? y ? 2 ? 0 解析:解:(1)因为 B、C 的中点坐 标为(0,2),所以中线 AD 所在的直线方程为 BC 所在直线的斜率为

x y ? ? 1 ,即 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ;(2)因为 ?3 2

1? 3 1 ? ? ,所以其垂直平分线的斜率为 2,则 BC 边的垂直平 2?2 2

分线 DE 所在的直线方程为 y=2x+2,即 2 x ? y ? 2 ? 0 . 【思路点拨】求直线方程时,可结合已知条件确定其经过的点或求其斜率,再结合直线方程 相应的形式写出方程.

【浙江效实中学高一期末?2014】15.已知抛物线 x ? 3 y 上两点 A, B 的横坐标恰是方程
2

x 2 ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实根,则直线 AB 的方程是 ▲ .

【知识点】直线方程 【答案解析】 5x+3y+1=0 解析:解:设 A 、 B 两点坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则有
2 ? ? x1 ? 3 y1 得5 x1 ? 3 y1 ? 1 ? 0 ,同理 5x2 ? 3 y2 ? 1 ? 0 ,所以 A、B 两点都在直 ? 2 ? ? x1 ? 5 x1 ? 1 ? 0

线 5x+3y+1=0 上,而过两点的直线有且仅有一条,所以直线 AB 的方程为 5x+3y+1=0. 【思路点拨】通过已知条件寻求出 A、B 两点坐标所满足的同一个二元一次方程,即可得到 直线 AB 的方程.

【浙江效实中学高一期末?2014】2.若 ? A. ?? 【知识点】直线的倾斜角 B.

?
2

? ? ? 0 ,则直线 y ? ? x tan ? ? 1 的倾斜角为
C. ? ? ? D.

?
2

??

?
2

??

【答案解析】A 解析:解:因为直线的斜率为 ? tan ? ? tan ? ?? ?,而-? ? ? 0, ? ,所以 直线的倾斜角为-α ,选 A. 【思路点拨】 根据直线方程求直线的倾斜角通常通过直线的斜率解答, 注意倾斜角的范围是 [0,π ).

? ?? ? 2?

【黑龙江哈六中高一期末?2014】18. (本小题满分 12 分)过点 P(3,0) 作一直线 l ,使它被 两直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 和 l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截的线段 AB 以 P 为中点,求此直线 l 的方程. 【知识点】点斜式直线方程;中点坐标公式. 【答案解析】 y ? 8 x ? 24 解析 :解:(1)当 k 不存在时, l : x ? 3 不满足题意;?????2 分 (2)当 k 存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 3) ,?????1 分

2 ? 3k ? 4k 3k ? 3 ? 6k , ) , B( , ) ,?????6 分 2?k 2?k k ?1 k ?1 由中点坐标公式得 k ? 8 ?????2 分 所以直线方程为 y ? 8 x ? 24 ?????1 分
可得 A( 【思路点拨】先对 k 分类讨论,当 k 不存在时,不满足题意;当 k 存在时,设出直线方程, 然后借助于中点坐标公式即可.

【文?江西鹰潭一中高一期末?2014】17. (本题 12 分)求与两坐标轴的正半轴围成面积为 2 平方单位的三角形,并且两截距之差为 3 的直线的方程。 【知识点】直线的一般式方程. 【答案解析】x+4y﹣4=0或4x+y﹣4=0

解析 :解:设直线方程为 ∵直线截距差为 3,∴|a﹣b|=3…①

(a>0 且 b>0)

又∵直线与坐标轴正方向围成面积为 2, ∴ ab=2,得 ab=4…② ① ② 联解,得 a=1,b=4 或 a=4,b=1 ∴直线方程为 +y=1 或 x+ =1,化成一般式得 x+4y﹣4=0 或 4x+y﹣4=0 故答案为:x+4y﹣4=0或4x+y﹣4=0 【思路点拨】设直线在x、y轴上的截距分别为a、b,则a>0且b>0.根据三角形面积和截距 的差为3建立关于a、b的方程组,解之即可得到直线的截距式方程,再化成一般式即可.

【文? 江西鹰潭一中高一期末? 2014】 13. 对于任给的实数 m ,直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过一定点,则该定点坐标为 【知识点】直线过定点问题. 【答案解析】 9, - 4

(

)

解析 :解:直线(m﹣1)x+(2m﹣1)y=m﹣5 即 m(x+2y﹣1)+

(﹣x﹣y+5)=0,故过直线 x+2y﹣1=0 和﹣x﹣y+5=0 的交点, 由 得 定点坐标为(9,﹣4) ,

故答案为: (9,﹣4) . 【思路点拨】利用直线 m(x+2y﹣1)+(﹣x﹣y+5)=0过直线x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的 交点.

【文?江西鹰潭一中高一期末?2014】3.直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a , 在 y 轴上 的截距为 b, 则( A.a=2,b=5 ) B.a=2,b=-5 C.a=-2,b=5 D.a=-2,b=-5

【知识点】直 线 的 一 般 式 方 程 . 【答案解析】B 解析 :解:令 y=0 , 得 到 5x-10=0 , 解 得 x=2 , 所 以 a=2 ; 令 x=0 , 得 到 -2y-10=0 , 解 得 y=-5 , 所 以 b=-5 . 故选B 【思路点拨】根 据 截 距 的 定 义 可 知 , 在 x 轴 的 截 距 即 令 y=0 求 出 的 x 的 值 , 在 y 轴 上 的 截 距 即 令 x=0 求 出 y 的 值 , 分 别 求 出 即 可 .

【文?江西鹰潭一中高一期末?2014】1.过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程 是( ) B.4x-3y-19=0 C. 3x-4y-16=0 D. 3x+4y-8=0 A.4x+3y-13=0

【知识点】直 线 的 一 般 式 方 程 ; 两 条 直 线 垂 直 与 倾 斜 角 、 斜 率 的 关 系 . 【答案解析】 A 解析 :解 : 因 为 两 直 线 垂 直 , 直 线 3x-4y+6=0 的 斜 率 为 所 以 所 求 直 线 的 斜 率 k= -

3 , 4

4 4 则 直 线 方 程 为 y- ( -1 ) = - ( x-4 ) , 3 3

化 简 得 4x+3y-13=0 故选 A 【思路点拨】要 求 直 线 方 程 , 即 要 知 道 一 点 和 斜 率 , 所 以 就 要 求 直 线 的 斜 率 , 根 据 所 求 直 线 与 已 知 直 线 垂 直 得 到 斜 率 乘 积 为 -1 即 可 求 出 斜 率 .

【江西鹰潭一中高一期末?2014】13.对于任给的实数 m ,直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都 通过一定点,则该定点坐标为 【知识点】直线过定点问题. 【答案解析】 9, - 4 .

(

)

解析 :解:直线(m﹣1)x+(2m﹣1)y=m﹣5 即 m(x+2y﹣1)+

(﹣x﹣y+5)=0,故过直线 x+2y﹣1=0 和﹣x﹣y+5=0 的交点, 由 得 定点坐标为(9,﹣4) ,

故答案为: (9,﹣4) . 【思路点拨】利用直线 m(x+2y﹣1)+(﹣x﹣y+5)=0过直线x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的 交点.

【江西鹰潭一中高一期末?2014】3.直线 5 x ? 2 y ? 10 ? 0 在 x 轴上的截距为 a , 在 y 轴上 的截距为 b, 则( A.a=2,b=5 ) B.a= ? 2 ,b= ? 5 C.a= ? 2 ,b=5 D.a=2,b= ? 5

【知识点】直 线 的 一 般 式 方 程 . 【答案解析】D解析 :解 : 令 y=0 , 得 到 5x-10=0 , 解 得 x=2 , 所 以 a=2 ; 令 x=0 , 得 到 -2y-10=0 , 解 得 y=-5 , 所 以 b=-5 . 故 选 D. 【思路点拨】根 据 截 距 的 定 义 可 知 , 在 x 轴 的 截 距 即 令 y=0 求 出 的 x 的 值 , 在 y 轴 上 的 截 距 即 令 x=0 求 出 y 的 值 , 分 别 求 出 即 可 .

【江西鹰潭一中高一期末?2014】1.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程 为( )

A.x ? 2 y ? 7 ? 0

B.2 x ? y ? 1 ? 0

C.x ? 2 y ? 5 ? 0

D.2 x ? y ? 5 ? 0

【知识点】直 线 的 一 般 式 方 程 ; 两 条 直 线 平 行 的 判 定 . 【 答 案 解 析 】 A 解 析 : 解 : 由 题 意 可 设 所 求 的 直 线 方 程 为 x-2y+c=0 ∵ 过 点 ( -1 , 3 ) 代 入 可 得 -1-6+c=0 则 c=7 ∴ x-2y+7=0 故 选 A. 【思路点拨】由 题 意 可 先 设 所 求 的 直 线 方 程 为 x-2y+c=0 再 由 直 线 过 点 ( -1 , 3 ) , 代 入 可 求 c的 值 , 进 而 可 求 直 线 的 方 程 .

H2

两直线的位置关系与点到直线的距离

【重庆一中高一期末? 2014】 20. (本小题满分 12 分) (原创)已知圆 M:x 2 ? y 2 ? 2 y ? 24 , 直线 l :x+y=11,

l 上一点 A 的横坐标为 a , 过点 A 作圆 M 的两条切线

l1 , l2 , 切点分别为 B ,C.
(1)当 a=0 时,求直线 l1 , l2 的方程;
M

y B A C O x

(2)当直线 l1 , l2 互相垂直时,求 a 的值; (3)是否存在点 A,使得 AB ? AC ? ?2 ?若存在, 求出点 A 的坐标,若不存在,请说明理由. 【知识点】直线方程的求法;点到直线的距离公式;向量的数量积公式. 【答案解析】(1) y ? ? 3x ? 11 (2)a=5(3)点A不存在.

解析 :解:(1) )圆 M: x ? ( y ? 1) ? 25 ,圆心 M(0 , 1) , 半径 r=5,A(0, 11) , 设
2 2

切线的方程为 y=k x+11, 圆心距 d ?

10 k2 ?1

? 5 , ∴ k ? ? 3 ,所求直线 l1 , l2 的方

程为 y ? ? 3x ? 11 (2)当 l1 ⊥l2 时,四边形 MCAB 为正方形,∴
2 2

| AM |? 2 | MB |? 5 2


设 A(a , 11-a), M(0 , 1) 则 a ? (10 ? a ) ? 5 2
2

a 2 ? 10a ? 25 ? 0 ∴ a=5
2 2

(3)设 ? AB, AC ?? ? ,则 AB ? AC ?| AB | cos2? ?| AB | (1 ? 2sin

?) ,

又 sin ? ?

r 50 25 ? 50 2 ) ? AM 2 ? ? 75 ,又圆心 M , 故 AB ? AC ? ( AM ? 25)(1 ? 2 AM 2 AM 2 | AM |
∴ AM 2 ? 50 , AB ? AC ? 50 ?

到直线l 的距离是5 2

25 ? 50 ? 75 ? 0 ,故点A 不存在 50
uu u r uuu r

【思路点拨】(1)设出直线方程的斜截式,利用点到直线的距离公式可求斜率,进而求出

B ?A C ? 0 与已知 直线方程(2)l1 ⊥l2时,四边形MCAB为正方形,解方程即可; (3)计算 A
矛盾,故不存在.

【重庆一中高一期末?2014】2. 已知直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,则 “ a ? ?2 ”是“ l1 ? l 2 ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】两直线垂直的充要条件. 【答案解析】A解析 :解 : 因 为 l1 ? l 2 ,则 a ?1 ? a ? a ? 1? ? 0 ,解得 a ? ?2 或 a ? 0 ,所 以“ a ? ?2 ”是“ l1 ? l 2 ”的充分不必要条件. 故选:A. 【思路点拨】利用两直线垂直的充要条件解方程可得 a ? ?2 或 a ? 0 ,然后判断即可.

【浙江效实中学高一期末?2014】16.已知平面上的线段 l 及点 P ,任取 l 上一点 Q ,线段

PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) .设 l 是长为 2 的线段,则点的集
合 D ? {P d (P, l ) ? 1} 所表示的图形面积为 ▲ . 【知识点】轨迹问题 【答案解析】4+π 解析:解:由题意知集合 D={P|d(P,l)≤1}所表示的图形是一个边长为 2 的正方形和
两个半径是 1 的半圆,如图,则点集 D={P|d(P,l)≤1}所表示图形的面积为:S=22+π=4+π.

【思路点拨】正确分析点 P 的轨迹是解题的关键,结合所给的点 P 到线段 l 的距离的定义, 应对点 P 的位置分情况进行判断.

【浙江效实中学高一期末?2014】12.将一张坐标纸折叠一次,使点 (2, 6) 点 (4, 6) 重合, 则与点 (?4,1) 重合的点的坐标是 ▲ . 【知识点】对称问题 【答案解析】(10,1)解析:解:由题意知点 (2, 6) 与点 (4, 6) 关于折痕所在直线对称,其中 点坐标为(3,6),所以折痕所在的直线方程为 x=3,则与点 (?4,1) 重合的点与点 (?4,1) 关于直线 x=3 对称,所以所求点的坐标为(10,1). 【思路点拨】本题解题的关键是抓住折叠后重合的点关于折痕对称进行解答.

【浙江效实中学高一期末?2014】1.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 4 x ? (a ? 3) y ? 2 ? 0 垂 直,则实数 a 的值 A. ?1 B. 4 C.

3 5

D. ?

3 2

【知识点】两直线垂直的判定 【答案解析】C 解析:因为两直线垂直,所以 4a+a-3=0,解得 a ?

3 ,所以选 C. 5

【思路点拨】利用两直线 A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0与A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直的充要条件:

A1 A2 ? B1B2 ? 0 解答即可.

【文?江苏扬州中学高二期末?2014】7.点 A(2,2)关于直线 x-y-1=0 的对称点 A ' 的坐标 为 ▲ . 【知识点】与 直 线 关 于 点 、 直 线 对 称 的 直 线 方 程 . 【答案解析】( 3 , 1 ) 解析 :解:设 点 A( 2 , 2 )关 于 直 线 x-y-1=0 的 对 称 点 A ′ 的 坐 标 为 B ( a , b ) ,

则 由

? b?2 ? 1= ? 1 ? ?a=3 ? a?2 求 得 ? , 故 点 ? 1 ? b= ? a ? 2 ? b ? 2 ? 1=0 ? ? 2 2

B ( 3 , 1 ) ,

故 答 案 为 : ( 3, 1) . 【思路点拨】设 点 A( 2 , 2 ) 关 于 直 线 x-y-1=0 的 对 称 点 A ′ 的 坐 标 为 B ( a , b ) , 利 用 垂 直 及 中 点 在 轴 上 这 两 个 条 件 , 求 出 a、 b 的 值 , 可 得 答 案 . 【黑龙江哈六中高一期末? 2014】 14. 已知直线 l : x ? 2 y ? 8 ? 0 和两点 A(2,0) ,B (?2,?4) ,

若直线 l 上存在点 P 使得 | PA | ? | PB | 最小,则点 P 的坐标为 【知识点】根 据 两 点 坐 标 写 出 直 线 的 方 程 ; 求 两 直 线 的 交 点 坐 标 . 【答案解析】 - 2,3 解析 :解:根据题意画出图形,如下图所示:

(

)

A1 x-2y+8=0 P

A(2,0)

B(-2,-4)
ì n- 0 1 ? -1 ? ? m- 2 2 设 点 A 关 于 直 线 x - 2 y + 8 = 0的对称点 A1 ( m, n) ,则有 í ,解得 n +0 ? m +2 - 2? 8=0 ? ? 2 2
m = - 2, n = 8, 此时直线 A1B 为 x = - 2 ;所以当 P 是直线 A1B 与 x - 2 y +8 = 0 的交点时

| PA | ? | PB | 最小,把 x = - 2 与 x - 2 y +8 = 0 联立可得点 P 的坐标为 ( - 2,3)
【思路点拨】 根据图形可知, 当P是直线 A 1B 与 x - 2 y + 8 = 0 的交点时 | PA | ? | PB | 最小, 把 x = - 2 与 x - 2 y +8 = 0 联立即 可 求 出 交 点 的 坐 标 即 为 P 的 坐 标 .

【黑龙江哈六中高一期末?2014】10.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? c ? 0 与直线 3 x ? 4 y ? 0 相交于

A, B 两点,圆心为 P ,若 ?APB ? 90? ,则 c 的值为(
(A)8 (B) 2 3 (C) ? 3 (D)3[]



【知识点】点到直线的距离公式;等腰直角三角形直角边与斜边的关系.

【答案解析】C解析 :解:圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? c ? 0 整理得 x - 2

(

) +( y +1)

2

2

= 5 - c ,可

知圆心坐标为 2, - 1 ,半径 r = 5 - c ,设圆心到直线的距离为 d =

(

)

3? 2 4? ( 1) 5

= 2,

APB 为等腰直角三角形, 若 ?APB ? 90? , 则D 故 r = 2d , 即 5 - c =2 2 , 解得 c = - 3 ,
故选C. 【思路点拨】先找到圆心坐标与半径,再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 d, 然后建立关系式 r = 2d ,解之即可.

【黑龙江哈六中高一期末?2014】9.光线从点 A(?3,4) 发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴 反射,最后光线经过点 B (?2,6) ,则经 y 轴反射的光线的方程为( (A)2 x ? y ? 2 ? 0 (B)2 x ? y ? 2 ? 0 (C)2 x ? y ? 2 ? 0 ) (D)2 x ? y ? 2 ? 0

【知识点】直 线 的 一 般 式 方 程 ; 与 直 线 关 于 点 、 直 线 对 称 的 直 线 方 程 . 【答案解析】A 解析 :解:∵ A(?3,4) 关 于 x 轴 的 对 称 点 A1 (- 3 在经 x 轴反射的 , - 4) 光 线 上 , 同 样 A1 (- 3, - 4) 关 于 y 轴 的 对 称 点 A2 (3, - 4) 在 经 过 射 入 y 轴 的 反 射 线 上 , ∴ K A2 B =

6 +4 = - 2 . 故 所 求 直 线 方 程 为 y-6=-2 ( x+2 ) , 即 2x+y-2=0 . -2- 3

故 选 A. 【思路点拨】要 求 反 射 线 所 在 直 线 的 方 程 , 我 们 根 据 已 知 条 件 所 知 的 均 为 点 的 坐 标 ,故 可 想 办 法 求 出 反 射 线 所 在 直 线 上 两 点 ,然 后 代 入 两 点 式 即 得 直 线 方 程 ,而 根据反射的性质,我们不难得到反射光线所在直线上的两个点的坐标. 【典型总结】在 求 直 线 方 程 时 ,应 先 选 择 适 当 的 直 线 方 程 的 形 式 ,并 注 意 各 种 形 式 的 适 用 条 件 ,用 斜 截 式 及 点 斜 式 时 ,直 线 的 斜 率 必 须 存 在 ,而 两 点 式 不 能 表 示 与 坐 标 轴 垂 直 的 直 线 ,截 距 式 不 能 表 示 与 坐 标 轴 垂 直 或 经 过 原 点 的 直 线 ,故 在 解 题 时 ,若 采 用 截 距 式 ,应 注 意 分 类 讨 论 ,判 断 截 距 是 否 为 零 ;若 采 用 点 斜 式 ,应 先 考 虑 斜 率 不 存 在 的 情 况 .而 根 据 已 知 条 件 ,使 用 两 点 式 对 本 题 来 说 ,更 容 易 实 现.

【黑龙江哈六中高一期末?2014】8.直线 ax ? y ? 1 ? 0 与连接 A(2,3) , B (?3,2) 的线段相 交,则 a 的取值范围是( (A) [?1,2] ) (C) [?2,1] (D) (??,?2] ? [1,??)

(B) (??,?1] ? [2,??)

【知识点】过 两 条 直 线 交 点 的 直 线 系 方 程 ; 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 . 【 答 案 解 析 】 B 解 析 : 解 : 由 直 线 ax ? y ? 1 ? 0 的 方 程 , 判 断 恒 过 P 0, - 1 , 如下图示:

(

)

A(2,3) B(-3,2)

P (0,-1)

∵ K PA = 2, KPB = - 1, , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 : a ? 2 或 a ? 1 . 故 选 B. 【思路点拨】由 直 线 ax ? y ? 1 ? 0 的 方 程 ,判 断 恒 过 P 0, - 1 ,求 出 K PA 与 KPB ,判 断 过 P 点 的 竖 直 直 线 与 AB 两 点 的 关 系 , 求 出 满 足 条 件 的 直 线 斜 率 的 取 值 范 围 . 【典型总结】 求 恒 过 P 点 且 与 线 段 AB 相 交 的 直 线 的 斜 率 的 取 值 范 围 ,有 两 种 情 况 : 当 AB ,在 P 竖 直 方 向 上 的 同 侧 时 ,计 算 K PA 与 KPB ,若 K PA < KPB ,则 直 线 的 斜 率 k ∈ [ K PA , KPB ];当 AB ,在 P 竖 直 方 向 上 的 异 侧 时 ,计 算 K PA 与 KPB ,若 K PA < KPB , 则 直 线 的 斜 率 k ∈( - ∞ , K PA ] ∪ [ KPB , + ∞ ) ,就 是 过 p 点 的 垂 直 x 轴 的 直 线 与 线 段 有交点时,斜率范围写两段区间,无交点时写一段区间.

(

)

【黑龙江哈六中高一期末?2014】 7. 若两条直线 y ? a 2 x ? 1 与 y ? (a ? 2) x ? a ? 1 互相平行, 则 a 等于( (A)2 ) (B)1 (C) ? 2 (D) ? 1

【知识点】直 线 的 一 般 式 方 程 ; 直 线 的 平 行 关 系 . 【答案解析】D解析 :解:∵ 两条直线 y ? a 2 x ? 1 与 y ? (a ? 2) x ? a ? 1 互相平行,∴

, a 2 = a + 2 ,即 a = - 1 或 a = 2 ;当 a = 2 时,两直线都为 y = 4 x - 1 ,两直线重合(舍去) 当 a = - 1 时满足题意. 故选D. 【思路点拨】先利用斜率相等,解出 a 的值后再进行检验即可.

【文? 江西鹰潭一中高一期末?2014】16. (本题 12 分)求经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和 (2)垂 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点,且分别与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 (1)平行的直线方程; 直的直线方程。 【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【答案解析】(1) 2x﹣y +1 = 0 (2) x ? 2 y ? 7 ? 0

解析 :解:由

,得

;………….….2′ …………….3′

∴ l1 与 l 2 的交点为(1,3) 。

(1)设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程为 2x﹣y+c=0…………….4′ 则 2﹣3+c=0,解得 c=1…………….5′ \ 所求直线方程为 2x﹣y+1=0…………….6′ (2)设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 x+2y+d=0…………….8′ 则 1 ? 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=-7。………………….10′ ∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 。……………..…12′ 【思路点拨】联立方程组可得交点坐标,分别由平行、垂直关系设所求直线的方程为 2x﹣ y+c=0、x+2y+d=0代入交点的坐标分别可解得c、d,可得直线方程.

【文?江西鹰潭一中高一期末? 2014 】 12 .点 M ? 2,1? 直线 l : 3 x ? y ? 2 3 ? 0 的距离是 _______ 【知识点】点到直线的距离公式. 【答案解析】

| 2? 3 1 - 2 3 | 1 1 = ,故答 解析 :解: 由点到直线的距离公式得 d = 2 2 2 2 3 +1

( )

案为

1 . 2

【思路点拨】直接利用点到直线的距离公式计算即可.

【文? 江西鹰潭一中高一期末? 2014】 7. 若 ac>0 且 bc<0, 直线 ax ? by ? c ? 0 不通过(

)

A.第三象限

B.第一象限

C.第四象限

D.第二象限

【知识点】确 定 直 线 位 置 的 几 何 要 素 . 【答案解析】C 解析 :解:直 线 ax+by+c=0 即 y = 则 ab < 0 ,则 斜 率 距 大 故 选 C. 于 0

a c x- , ac>0 且 bc<0, b b

a c > 0 ,截 距 - > 0 ,即 直 线 的 倾 斜 角 为 锐 角 ,在 y 轴 上 的 截 b b
, 故 直 线 不 经 过 第 四 象 限 ,

【思路点拨】由 题 意 可 得 斜 率 -

a c > 0, 在 y 轴 上 的 截 距 - > 0, 即 直 线 的 倾 斜 角 b b

为 锐 角 , 在 y 轴 上 的 截 距 大 于 0, 故 直 线 不 经 过 第 四 象 限 .

【江西鹰潭一中高一期末?2014】16. (本题 12 分)求经过两条直线 l1 : x ? y ? 4 ? 0 和

l 2 : x ? y ? 2 ? 0 的交点,且分别与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 (1)平行;(2)垂直的直线方
程。 【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【答案解析】(1) 2x﹣y +1 = 0 (2) x ? 2 y ? 7 ? 0

解析 :解:由

,得

;………….….2′ …………….3′

∴ l1 与 l 2 的交点为(1,3) 。

(1)设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行的直线方程为 2x﹣y+c=0…………….4′ 则 2﹣3+c=0,解得 c=1…………….5′ \ 所求直线方程为 2x﹣y+1=0…………….6′ (2)设与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 x+2y+d=0…………….8′ 则 1 ? 2 ? 3 ? c ? 0 ,∴c=-7。………………….10′ ∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 7 ? 0 。……………..…12′ 【思路点拨】联立方程组可得交点坐标,分别由平行、垂直关系设所求直线的方程为 2x﹣ y+c=0、x+2y+d=0代入交点的坐标分别可解得c、d,可得直线方程.

H3

圆的方程
2 2

【重庆一中高一期末?2014】6.圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与直线 y ? x 相切于第三象限,则 a 的

值是( A. 2

) . B. ?2 C. ? 2 D. 2

【知识点】圆 的 标 准 方 程 ; 点 到 直 线 的 距 离 公 式 . 【答案解析】C 解析 :解:由 圆 ? x ? a? ? y ?1 , 得 到 圆 心 ( a , 0 ) , 半 径 r=1 ,
2 2

根 据 题 意 得 : 圆 心 到 直 线 y ? x 的 距 离 d=r , 即

| a? 0 | 解得: a?? 2 , ? 1, 2
a?? 2
.

∵ 圆 与 直 线 相 切 于 第 三 象 限 , ∴ a < 0 . 即

故 选 C. 【思路点拨】由 圆 方 程 找 出 圆 心 坐 标 与 半 径 , 根 据 题 意 得 到 圆 心 到 切 线 的 距 离 等 于 圆 的 半 径 , 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 列 出 关 于 a的 方 程 , 求 出 方 程 的 解 即 可 得 到 a的 值 .

【 浙 江 效 实 中 学 高 一 期 末 ? 2014 】 11 . 圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的 圆 心 到 直 线

3x ? 4y ? 4? 0的距离 d ?

▲ .

【知识点】点到直线的距离,圆的方程 【答案解析】3 解析:解:因为圆心坐标为(1,2),所以 d=

3?8? 4 ?3 5

【思路点拨】结合圆的方程求出圆心坐标,再利用点到直线距离公式求圆心到直线

3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离.

【浙江效实中学高一期末?2014】7.实数 x, y 满足 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,则
2 2

y 的最 x

大值为 A. 3 2 B. 3 ? 2 2 C. 2 ? 2 D. 6

【知识点】圆的方程、直线的斜率 【答案解析】B 解析:解:实数 x, y 满足 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 12 ? 0 ,所以点(x,y)在以
2 2

(3,3)为圆心, 6 为半径的圆上,则

y 为圆上的点与原点连线的直线的斜率,设过原点的 x

直线方程为 y=kx,则直线与圆相切时

3k ? 3 k 2 ?1

? 6 ,解得 k ? 3 ? 2 2 ,所以

y 的最 x

大值为 3 ? 2 2 ,选 B.

【思路点拨】理解方程及

y 的几何意义是本题解题的关键,利用其几何意义结合图形可知 x

最大值为直线与圆相切时的斜率..

【理?浙江宁波高二期末 `2014 】 13. 过点 P(4, 2) 作圆 x 2 ? y 2 ? 4 的两条切线 , 切点分别为

A, B , O 为坐标原点,则 ?OAB 的外接圆方程是
【知识点】圆 的 标 准 方 程 的 求 法 . 【答案解析】 x - 2



(

) +( y - 1)

2

2

= 5 解析 :解:由 题 意 知 , OA ⊥ PA , BO ⊥ PB ,∴ 四 边

形 AOBP 有 一 组 对 角 都 等 于 90 °, ∴ 四 边 形 AOBP 的 四 个 顶 点 在 同 一 个 圆 上 , 此 圆 的 直 径 是 OP , OP 的 中 点 为 ( 2 , 1 ) , OP = 2 5 , ∴ 四 边 形 AOBP 的 外 接 圆 的 方程为 x - 2

(

) +( y - 1)
2

2

2

= 5 , ∴ △ AOB 外 接 圆 的 方 程 为 ( x - 2) + ( y - 1) = 5 ,
2

2

2

故答案为: x - 2

(

) +( y - 1)

= 5.

【思路点拨】由 题 意 知 OA ⊥ PA , BO ⊥ PB , 四 边 形 AOBP 的 四 个 顶 点 在 同 一 个 圆 上 , 此 圆 的 直 径 是 OP , △ AOB 外 接 圆 就 是 四 边 形 AOBP 的 外 接 圆 .

【黑龙江哈六中高一期末?2014】12.已知 AC , BD 为圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 的两条互相垂直的 弦,且垂足为 M (1, 2 ) ,则四边形 ABCD 面积的最大值为( (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 )[学,科,]

【知识点】圆 方 程 的 综 合 应 用 . 【答案解析】A 解析 :解:设 圆 心 O 到 AC , BD 的 距 离 分 别 为 d1 和 d2 , 则 d12 + d22 = OM 2 = 3 , ∴ 四 边 形 ABCD 的 面 积

S=

1 A C B D= 2 2

( 4 - d)( 4 - d)
2 1 2 2

?8

(

2 1

2 d + 2 d

)

=5 .

故 选 A. 【思路点拨】设 圆 心 O 到 AC , BD 的 距 离 分 别 为 d1 和 d2 , 则 d12 + d2 2 = OM 2= 3 , 由 此 能 求 出 四 边 形 ABCD 的 面 积 的 最 大 值 .

【江西鹰潭一中高一期末?2014】4.圆 ? x ? 2 ? ? y ? 5 关于原点 O 0,0 对称的圆的方
2 2

( )

程为 (

)

A.? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 5 B. x 2 ? ? y ? 2 ? ? 5 C.? x ? 2 ? ? y 2 ? 5 D. x 2 ? ? y ? 2 ? ? 5
2 2

2

2

2

【知识点】点关于点对称;圆的标准方程. 【答案解析】C 解析 :解:圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 5 的圆心坐标为 - 2,0 ,关于原点 O 0,0
2

(

)

( )

的对称点坐标为 2,0 ,所以对称的圆的方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 5 ,故选C.

( )

2

【思路点拨】先求出已知圆的圆心坐标,再求出关于原点 O 0,0 的对称点坐标,最后写出 对称的圆的方程即可.

( )

H4

直线与圆、圆与圆的位置关系
( 原 创 ) 设 集 合

【 重 庆 一 中 高 一 期 末 ? 2014 】 10.

A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A B=? , 则实数 m 的取值范围是 ( )
A. 2 ? 2 ? m ? 1 C. m ? 2 ? 2或m ? 1 B. 0 ? m ? 2 ? 2 D. m ?

1 或m ? 2 ? 2 2
m , 2
.

【知识点】直 线 与 圆 的 位 置 关 系 . 【答案解析】 D 解析 : 解: 因为 A 解 ( 2 得 ) 当
2 B=? , 则 A=?或 A 蛊 , ( 1) 当 A=?时, 必有 m <

0<m<

1 2




满 ≤m
2

足 解 可 得





A蛊



m 2



m 30或m

1 2



此 时 集 合 A 表 示 圆 环 内 点 的 集 合 或 点( 2 ,0 ),集 合 B 表 示 与 x+y=0 平 行 的 一 系 列 直 线 的 集 合 , 要 使 两 集 合 为 空 集 , 圆 环 与 直 线 系 无 交 点 . ① 此 时

m = 0时,A =( { 2, 0) },B =( { x,y) | 0 ? x y 1},

A B=?













② 当 m<0 时 , 有 |

2 - 2m 2- 2 m- 1 |< - m且 | < | - m; 则有 2 2

2-

2 2m> - m, 2

2m> - m,

又 由 m<0 , 则 2> 2 m+ 1 ,可得 A ③当 m ?

B=? , 满足题意;

2 - 2m 2 - 2m - 1 1 时,有 | 解可得: #m或 | m , 2 2 2
2,或m > 1 +
1 2 2 又由 m ? ,则 m 的范围是: 或m < 1 , 2 2 2

m > 2 + 2或m < 2 -

m >2+ 2
综合可得 m 的范围是 m ?

1 或m ? 2 ? 2 2

故答案为 m ?

1 或m ? 2 ? 2 2

【思路点拨】根 据 题 意 可 把 问 题 转 换 为 圆 与 直 线 有 交 点 , 即 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于或等于半径,进而联立不等式组求得 m 的范围.

【浙江效实中学高一期末?2014】20.圆 C 与 y 轴切于点 (0, 2) ,与 x 轴正半轴交于两点 , M , N (点 M 在点 N 的左侧) 且 MN ? 3 . (1)求圆 C 的方程; (2)过点 M 任作一直线与圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B ,连接 AN , BN , 求证: k AN ? kBN ? 0 . 【知识点】圆的方程、直线与圆的位置关系的应用、斜率公式
2 2 【答案解析】 (1) ( x ? ) ? ( y ? 2) ?

5 2

25 ; (2)略 4

解析:解:(1)因为圆 C 与 y 轴切于点 (0, 2) ,可设圆心坐标为(m,2),则圆的半径为 m,所 以 m2 ? 4 ? ?

5 5 2 25 ? 3 ? 25 2 ,得 m ? ,所以所求圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ? ; ? ? 2 2 4 4 ?2?
2 2 2 2

2

(2) 证明:设 AB : x ? 1 ? ty ,代入 x ? y ? 4 ? 0 ,并整理得: (t ? 1) y ? 2ty ? 3 ? 0

2t ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?1 ? ? y y ? ?3 , 1 2 ? t2 ?1 ?
k AN ? kBN ?



y1 y y1 y2 2ty y ? 3( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? ? 1 2 ? 0. x1 ? 4 x2 ? 4 ty1 ? 3 ty2 ? 3 (ty1 ? 3)(ty2 ? 3)

【思路点拨】 求圆的方程关键是确定圆心和半径, 当遇到弦长的条件通常转化为弦心距解答. 当遇到直线与圆锥曲线的交点问题时,可通过联立方程,利用韦达定理转化.

【浙江效实中学高一期末?2014】3.圆 x ? y ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条
2 2

件是 A. k ? (??, ? 2) C. k ? (??, ? 3)

( 2, ??) ( 3, ??)

B. k ? (? 2, 2) D. k ? (? 3, 3)

【知识点】直线与圆的位置关系 【答案解析】D 解析:解:若圆 x 2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点,则

2 k 2 ?1

?1,

解得 k ? (? 3, 3) ,所以选 D. 【思路点拨】 一般遇到直线与圆的位置关系的问题通常利用圆心到直线的距离与半径的关系 进行解答.

【文?重庆一中高二期末?2014】15. 已知圆 O: x ? y ? 4 ,直线 l : x ? y ? m ? 0 ,
2 2

若圆 O 上恰好有两不同的点到直线 l 的距离为 1,则实数 是 . 【知识点】圆 与 直 线 的 位 置 关 系 ; 数 形 结 合 .

m 的取值范围

(- 3 2, - 2) ( 2,3 2) 【答案解析】 解析 :解:由 已 知 可 得 :圆 半 径 为 2 ,圆 心
为 ( 0 , 0 )

故 圆 心 ( 0 , 0 ) 到 直 线 4x-3y+c=0 的 距 离 为 : d =

m 2

如 图 中 的 直 线 m 恰 好 与 圆 由 3 个 公 共 点 , 此 时 d=OA=2-1 , 直 线 n 与 圆 恰 好 有 1 个 公 共 点 ,此 时 d=OB=2+1=3 ,当 直 线 介 于 m 、 n 之 间 满 足 题 意 . 2 2 故 要 使 圆 x +y =4 上 恰 有 两 个 点 到 直 线 4x-3y+c=0 的 距 离 为 1 , 只 需 d 大 于 1 小 于 3 , 即 1 <

m 2



3





c















(- 3

,2 ) ( , 23

) 2

2

(- 3 2 , 故答案为:

2 ) ( 2 ,3

) 2

【思路点拨】由 条 件 求 出 圆 心 ,求 出 半 径 ,由 数 形 结 合 ,只 需 圆 心 到 直 线 的 距 离 d 大 于 半 径 与 1的 差 小 于 半 径 与 1的 和 即 可 .

【文? 浙江宁波高二期末? 2014】 12. 直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 相交于 A,B 两点,
2 2

若弦 AB 的中点 ? ?2,3? ,则直线 l 的方程为_____________ 【知识点】直 线 与 圆 相 交 的 性 质 ; 直 线 的 一 般 式 方 程 . 【答案解析】 x - y + 5 = 0 解析 :解:由 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 整理得
2 2

( x +1) +( y - 2)

2

2

=4



















(- 1, 2)



由 题 意 得 : 圆 心 C 与 弦 AB 中 点 的 连 线 与 直 线 l 垂 直 , ∵ 弦 AB 的 中 点 为 ? ?2,3? ,

2 ), ∴ 圆 心 与 弦 AB 中 点 的 连 线 的 斜 率 为 圆 心 C 的 坐 标 为 (- 1,

3- 2 = - 1, - 2 +1

∴ 直 线 l的 斜 率 为 1 , 又 直 线 l 过 ? ?2,3? , 则 直 线 l的 方 程 为 y - 3 = x + 2 , 即

x - y +5 = 0



故答案为: x - y + 5 = 0 . 【思路点拨】由 圆 的 方 程 找 出 圆 心 C 的 坐 标 , 连 接 圆 心 与 弦 AB 的 中 点 , 根 据 垂 径 定 理 的 逆 定 理 得 到 此 直 线 与 直 线 l 垂 直 , 根 据 两 直 线 垂 直 时 斜 率 的 乘 积 为 -1 , 由 圆 心 与 弦 AB 中 点 的 连 线 的 斜 率 , 求 出 直 线 l 的 斜 率 , 再 由 直 线 l 过 AB 的 中 点 , 即 可 得 到 直 线 l的 方 程 . 【典型总结】此 题 考 查 了 直 线 与 圆 相 交 的 性 质 , 涉 及 的 知 识 有 : 圆 的 标 准 方 程 , 两 直 线 垂 直 时 斜 率 满 足 的 关 系 ,垂 径 定 理 ,以 及 直 线 的 点 斜 式 方 程 ,其 中 由 垂 径 定 理 的 逆 定 理 得 到 圆 心 与 弦 AB 中 点 的 连 线 与 直 线 l 垂 直 是 解 本 题 的 关 键 .

【文?江苏扬州中学高二期末?2014】19. (本小题满分 16 分) 如图,圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 与坐标轴交于点 A, B, C . ⑴求与直线 AC 垂直的圆的切线方程; ⑵设点 M 是圆上任意一点 (不在坐标轴上) ,直线 CM 交 x 轴于点 D ,直线 BM 交直线 AC 于点 N , ①若 D 点坐标为 (2 3,0) ,求弦 CM 的长;
10 8

y

5

4

3

N M

C
2 1

A
6 4 2

O
1

2

B

x
4 D 6 8 10

②求证: 2kND ? kMB 为定值. 【知识点】直 线 和 圆 的 方 程 的 应 用 . 【答案解析】⑴ x ? y ? 2 2 ? 0 ;⑵①2;②见解析 解析 :解: A(?2,0), B(2,0), C (0, 2) ,直线

2

3

4

5

AC : x ? y ? 2 ? 0 ,
⑴设 l : x ? y ? b ? 0 ,

……2 分

|b| 12 ? 12

? 2 则 b ? ?2 2 ,所以 l : x ? y ? 2 2 ? 0 ; ……5 分

⑵① CM : x ? 3 y ? 2 3 ? 0 ,圆心到直线 CM 的距离 d ?

2 3 12 ? ( 3) 2

? 3,

所以弦 CM 的长为 2 R ? d ? 2 ; (或由等边三角形 ?COM 亦可)
2 2

……9 分

②解法一:设直线 CM 的方程为: y ? kx ? 2(k 存在, k ? 0, k ? ?1) ,则 D (? 由?

2 , 0) k

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? y ? 4

,得 (1 ? k ) x ? 4kx ? 0 ,所以 x ? 0 或 x ? ?
2 2

4k , 1? k 2

将x??

2 ? 2k 2 4k 2 ? 2k 2 4k CM y ? M ( ? , ) ,……12 分 代入直线 ,得 ,即 1? k 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2

则 k BM

? k ?1 k ?1 ? ( x ? 2) , ? , BM : y ? , N (?2k , 2 ? 2k ) k ?1 k ?1 k ?1 l : y ? ( x ? 2) BM ? ? k ?1
k 2k k ?1 ? ? 1 为定值. ,所以 2k ND ? k MB ? 1? k 1? k k ?1
……16 分

?l AC : x ? y ? 2 ? 0

得 k ND ?

2 2 解法二:设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? ?2, x0 ? 0, x0 ? y0 ? 4 ,直线 lCM : y ?

y0 ? 2 x?2, x0

则 D(

y0 y0 2 x0 ,直线 lBM : y ? ( x ? 2) ,又 lAC : y ? x ? 2 , 0) , kMB ? x0 ? 2 x0 ? 2 2 ? y0
x0 ? y0 ? 2 ?4 y0 ), x0 ? y0 ? 2

AC 与 BM 交点 N ( 4 ? 2 x0 ? 2 y0 ,

k ND

4 y0 2 x0 ? y0 ? 2 4 y0 ? 2 y0 ? ? 2 2 2 x0 4 ? 2 x0 ? 2 y0 x0 ? 2 x0 y0 ? 4 y0 ? 4 ? y0 ? 2 ? y0 x0 ? y0 ? 2

2 2 将 x0 ,代入得 k ND ? ? 4 ? y0

y0 ? 2 , x0 ? y0 ? 2

……13 分

所以 2kND ? kMB ?

2 2( y0 ? 2) y x y0 ? 2 y0 ? 4 x0 ? 8 ? y0 , ? 0 ? 0 2 x0 ? y0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? x0 y0 ? 2 y0 ? 4

得 2kND ? kMB ?

2 2 x0 y0 ? 2 y0 ? 4 x0 ? 8 ? y0 x0 y0 ? 2 y0 ? 4 x0 ? 8 ? y0 ? ? 1 为定值.…16 分 2 2 4 ? y0 ? 4 x0 ? x0 y0 ? 2 y0 ? 4 8 ? y0 ? 4 x0 ? x0 y0 ? 2 y0

【思路点拨】( 1 ) 先 求 直 线 AC 的 方 程 , 设 出 切 线 方 程 , 利 用 点 线 距 离 等 于 半 径 , 即 可 求 与 直 线 AC 垂 直 的 圆 的 切 线 方 程 ; ( 2 ) ① 求 出 CM 的 方 程 , 圆 心 到 直 线 CM 的 距 离 , 即 可 求 弦 CM 的 长 ; ② 确 定 N , D 的 坐 标 , 表 示 出 2k ND ? kMB , 即 可 证 明 2k N D ? k M B为 定 值 .

【文?江苏扬州中学高二期末? 2014 】 13 .已知点 A(?1, 2), B (1, 2), ,若分别以 C (5, ? 2)

AB, BC 为弦作两外切的圆 M 和圆 N ,
且两圆半径相等,则圆的半径为 ▲ 【知识点】圆 与 圆 的 位 置 关 系 及 其 判 定 . .

【答案解析 】 10 解析 :解 : 点 A ( -1 , 2 ) , B ( 1 , 2 ) , C ( 5 , -2 ) , 若 分 别 以 AB , BC 为 弦 作 两 外 切 的 圆 M 和 圆 N , 且 两 圆 半 径 相 等 , ∴ B 是 两 圆 圆 心 的 中 点 , 圆 M 的 圆 心 在 y 轴 上 , M( 0, b) , 两 圆 外 切 , 切 点 定

是 ∴

B 圆

, N

两 (

圆 2
2

半 ,



相 4-b

等 )

. ,

∵ |NB|=|NC| , ? 所 求 两 个

? 2 ?1?


? (2 ? b)2= (2 ? 5)2 ? (4 ? b ? 2)2,解 得 : b=5 ,
半 径 为 :



? 2 ? 1?

2

? (2 ? 5)2= 10.

故 答 案 为 : 10 . 【思路点拨】由 题 意 判 断 B 是 两 圆 圆 心 的 中 点 ,圆 M 的 圆 心 在 y 轴 上 ,M( 0 ,b ) , 两 圆 外 切 , 切 点 定 是 B , 两 圆 半 径 相 等 . 得 到 圆 N ( 2 , 4-b ) , 通 过 |NB|=|NC| , 求 出 b, 然 后 求 出 圆 的 半 径 . 【理?广东惠州一中高三一调?2014】15.(几何证明选讲选做题)如图所示, ?OAB 是等 腰三角形, P 是底边 AB 延长线上一点, 且 PO ? 3 , PA ? PB ? 4 ,则腰长 OA = . 【知识点】构造圆应用其切割线定理. 【答案解析】 5 解析 :解: 】以 O 为圆心,以 OA 为半径作圆,则圆 O 经过点 B ,即

OA ? OB ? r , 设 PO 与 圆 O 交 于 点 C 且 延 长 PO 交 圆 O 与 点 D , 由 切 割 线 定理 知
PA PB ? PD PC ,即 (3 ? r )(3 ? r ) ? 4 ,
D

O C

得 r ? 5 ,所以 OA ? r ? 5 .

A

B

P

【思路点拨】构造以 OA 为半径的圆,由切割线定理建立关于半径的等式从而求出 OA .

【黑龙江哈六中高一期末?2014】21. (本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 A(1,3) , B (2,2) , 并且直线 m : 3 x ? 2 y ? 0 平分圆的面积. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的公共点 M , N . ①求实数 k 的取值范围; ②若 OM ? ON ? 12 ,求 k 的值.

【知识点】圆 的 标 准 方 程 ; 直 线 的 方 程 ; 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ; 向 量 的 坐 标 运 算 公 式 . 【答案解析】(1) ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 (2)① 解 析

4+ 7 ;② k ? 1 3 3 2 2 2 : 解 : ( 1 ) 设 圆 C 的 标 准 方 程 为 ( x - a) + ( y - b) = r <k <

4-

7

∵ 圆 C 被 直 线 m : 3x ? 2 y ? 0 平 分 , ∴ 圆 心 C a, b 在 直 线 m 上 , 可 得 3a - 2b = 0 ① ,

( )

ì 1- a 2 + 3 - b 2 = r2 ?( ) ( ) 又 ∵ 点 A(1,3) , B (2,2) 在 圆 上 , ∴ í ? ② , 2 2 2 ? 2 a + 2 b = r ) ( ) ?( 2 2 将 ① ② 联 解 , 得 a = 2 , b = 3 ,r = ,1 ∴ 圆 C 的 方 程 是 ( x - 2) + ( y - 3) = 1 ;
( 2 ) 过 点 D 0 , 1且 斜 率 为 k 的 直 线 l 方 程 为 y = k x +1 , 即 kx - y +1 = 0 , ①直 线 l 与 圆 C 有 两 个 不 同 的 交 点 M , N ;∴ 点 C 2, 3 到 直 线 l 的 距 离 小 于 半 径 r , 即

( )

( )


2k - 3 +1
2

3 k +1 ì y = kx +1 ? 2 2 ② 由 í 消 去 y , 得 1 + k x - ( 4 + 4k ) x + 7 = 0 . 2 2 ? ? ( x - 2) +( y - 3) = 1 设 直 线 l 与 圆 C 有 两 个 不 同 的 交 点 坐 标 分 别 为 M ( x1 , y1) , N ( x2 , y2 ) ,

<1







4-

7

<k <

4+ 7 3



(

)

可 得 x1 + x 2 =

4 + 4k 7 , x 1x 2= , 2 1+k 1+k 2

∴ y1 y2 = kx1 +1 kx2 +1 = k x1x2 + k x1 + x2 +1

(

)(
2

)

2

(

)

7k 4k + 4k + +1 2 1+k 1+k 2 7 7 k 2 4k + 4k 2 + + +1 = 12 , 解 之 得 k = 1 . ∵ OM ?ON 1+k 2 1+k 2 1+k 2 =
【思路点拨】( 1 )设 圆 C 的 标 准 方 程 为 x - a

2



(

) +( y - b)


2

2

= r 2 .由 圆 C 被 直 线 平 分

可 得 3a - 2b = 0, 结 合 点 A, B 在 圆 上 建 立 关 于 a, b, r 的 方 程 组 , 解 出 a, b, r 的 值 即 可 得 到 圆

C







( 2) ①由 题 意 得 直 线 l 方 程 为 kx - y +1 = 0 , 根据直线 l 与圆 C 有两个不同的交点, 利用点到直线的距离建立关于 k 的不等式,解之即可得到 k 的取值范围;
2 2 ②直 线 l 方 程 与 圆 C 方 程 联 解 消 去 y , 得 1 + k x - 4 + 4k x + 7 = 0 . 设

(

)

(

)

M ( x1, y1) , N ( x2 , y2 ) , 利 用 根 与 系 数 的 关 系 、 直 线 l 方 程 和 向 量 数 量 积 的 坐 标 运
算 公 式 , 化 简 OM ?ON

12 得 到 关 于 k 的 方 程 , 解 之 即 可 得 到 k 的 值 .

【黑龙江哈六中高一期末?2014】20. (本小题满分 12 分)已知直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,圆

O : x2 ? y2 ? 4 .
(1)求直线 l1 被圆 O 所截得的弦长;[.Com] (2)如果过点 (?1,2) 的直线 l2 与直线 l1 垂直, l2 与圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上的圆 M 相切,

圆 M 被直线 l1 分成两段圆弧,且弧长之比为 2 : 1 ,求圆 M 的方程. 【知识点】 直 线 与 圆 相 交 的 性 质 ;点 到 直 线 距 离 公 式 的 应 用 ;数 形 结 合 思 想 的 运 用 . 【答案解析】(1) 2 3 (2) M : ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ?

8 3

4 3

100 或 x2 ? y2 ? 4 9

解析 :解:( 1 ) 由 题 意 得 : 圆 心 到 直 线 l1 : 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的 距 离 d = 由垂径定理得弦长为 2 3 ( 2 ) 直 线 l2 : y - 2 = 设圆心 M 为( a ,

0 +0 - 5 32 + 42

=1 ,

4 ( x +1) 3

a ) 圆 心 M 到 直 线 l1 的 距 离 为 r , 即 圆 的 半 径 , 由 题 意 可 得 , 圆 2 3 4a - a + 1 0 2 3a + 2 a+ 5 r 2 心 M 到 直 线 l2 的 距 离 为 , 所 以 有 : =r = 2 32 + 42 32+ 42
解得 a =

骣 8 8 10 8 4 或 a = 0 , 当 a = 时圆 心 为 M 琪 , , r= , 琪 3 3 3 3 3 桫
8 2 4 100 ) + ( y - )2 = 3 3 9

所 以 所 求 圆 方 程 为 : (x -

当 a = 0 时, 圆 方 程 为 : x 2 + y 2 = 4 . 故圆 方 程 为 : ( x -

8 2 4 100 ) + ( y - )2 = 或 x2 + y 2 = 4 . 3 3 9

【思路点拨】( 1 )先 利 用 点 到 直 线 的 距 离 求 得 圆 心 到 直 线 的 距 离 ,进 而 利 用 垂 径 定 理 求 得 弦 长 . ( 2 )设 出 圆 心 M 的 坐 标 和 半 径 ,根 据 题 意 建 立 等 式 求 得 a ,则 圆 心 坐 标 可 得 ,利 用点到直线的距离求得半径,则圆的方程可得.

【黑龙江哈六中高一期末?2014】13.两个圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的公切线有



【知识点】圆 的 标 准 方 程 的 特 征 ; 两 圆 的 位 置 关 系 . 【答案解析】4 解析 :解:圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 即 x +1 以

(

) +( y +1)
1 的

2

2

= 1 ,表 示
圆 .

( - 1, - 1)








2


2





圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 即 x - 2 于 2

(

) +( y - 1)

2

= 4 ,表 示 以 ( 2,1) 为 圆 心 ,半 径 等
圆 .

两圆的圆心距等于 d =

( 2 +1) +(1 +1)

2

= 13 , 大 于 半 径 之 和 , 故 两 圆 相 离 , 故

两 圆 的 公 切 线 的 条 数 为 4 , 故 答 案 为 : 4. 【思路点拨】把 两 圆 的 方 程 化 为 标 准 形 式 , 求 出 圆 心 和 半 径 , 根 据 两 圆 的 圆 心 距 大于半径之和,可得两圆相离,由此可得两圆的公切线的条数.

【文?浙江温州十校期末联考?2014】5.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 ,设该圆 中过点 M (?3,5) 的最长弦、最短弦分别为 AC , BD ,则 AC ? BD 的值为( ▲ ) A.

10 ? 26

B. 10 ? 2 26

C. 10 ? 2 6

D. 10 ? 4 6

【知识点】直 线 与 圆 的 关 系 ; 圆 的 一 般 方 程 的 应 用 . 【答案解析】D 解析 :解:该 圆 中 过 点 M ( -3 , 5 ) 的 最 长 弦 AC , 就 是 圆 的 直 径 ; 最 短 弦 分 别 为 BD , 就 是 过 该 点 与 圆 的 直 径 垂 直 的 弦 长 . 圆 的 方 程 为

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 , 圆 心 ( -3 , 4 ) , 半 径 为 : 5 , ∴ |AC|=10 ,

BD = 2 52 -

(

( - 3 +3) +( 5 - 4)

2

2

)

2

= 2 24 = 4 6.

\ AC + BD = 10 ? 4 6 .
故 选 : D. 【思路点拨】利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 半 径 半 弦 长 的 关 系 ,求 出 弦 长 ,求 出 直 径 , 即 可 求 解 AC + BD的 值 .

【理?浙江温州十校期末联考?2014】4.已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 ,设该圆
2 2

中过点 M (?3,5) 的最长弦、最短弦分别为 AC , BD ,则 AC ? BD 的值为( ▲ ) A.

10 ? 26

B. 10 ? 2 26

C. 10 ? 2 6

D. 10 ? 4 6

【知识点】直 线 与 圆 的 关 系 ; 圆 的 一 般 方 程 的 应 用 . 【答案解析】D 解析 :解:该 圆 中 过 点 M ( -3 , 5 ) 的 最 长 弦 AC , 就 是 圆 的 直 径 ; 最 短 弦 分 别 为 BD , 就 是 过 该 点 与 圆 的 直 径 垂 直 的 弦 长 . 圆 的 方 程 为

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 , 圆 心 ( -3 , 4 ) , 半 径 为 : 5 , ∴ |AC|=10 ,

BD = 2 52 -

(

( - 3 +3) +( 5 - 4)

2

2

)

2

= 2 24 = 4 6.

\ AC + BD = 10 ? 4 6 .
故 选 : D. 【思路点拨】利 用 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 半 径 半 弦 长 的 关 系 ,求 出 弦 长 ,求 出 直 径 , 即 可 求 解 AC + BD的 值 .

【理?吉林一中高二期末?2014】22. 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于 A、 B 两点,∠APE 的平分线和 AE、BE 分别交于点 C、D.求证:

(Ⅰ) CE ? DE ; (Ⅱ)

CA PE ? . CE PB

【知识点】与圆有关的比例线段. 【答案解析】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析 解析 :解: (Ⅰ)证明: PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE ?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED (Ⅱ)证明: ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?

PE PC ? PB PD DE ? CE , ? CA PE ? CE PB

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?

PC CA PE CA ? ? ? PD DE PB DE

【思路点拨】(Ⅰ)通过弦切角定理以及角的平分线,直接证明三角形是等腰三角形,即可 证明 CE=DE; (Ⅱ)利用切割线定理以及角的平分线定理直接求证: = 即可.

【理?吉林一中高二期末?2014】18. 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于 E , AB ? 2 AC ,

(1)求证: BE ? 2 AD (2)当 AC ? 1, BC ? 2 时,求 AD 的长.
【知识点】与圆有关的比例线段.

【答案解析】(1)见解析(2)

2 3
∴∠BDE=∠BCA 又

解析 :解 : (1 )证明:连接 DE,∵ACDE 为圆的内接四边形. ∠DBE=∠CBA

∴△BDE∽△BCA 即

BE DE ? 而 AB=2AC ∴BE=2DE,又 CD 是∠ACB 的平分线 ∴AD=DE BA CA

从而 BE=2AD. (2)由条件得 AB=2AC=2,设 AD=t,根据割线定理得 BD?BA=BE?BC,
∴(AB﹣AD)?BA=2AD? BC,∴(2﹣t)×2=2t×2,∴3t﹣2=0, 解得 t=

2 2 ,即 AD= . 3 3

【思路点拨】(1)连接 DE,因为 ACED 是圆的内接四边形,所以△BDE∽△BCA,由此 能够证明 BE=2AD. (2)由条件得 AB=2AC=2,根据割线定理得 BD?BA=BE?BC,即(AB ﹣AD)?BA=2AD? BC,由此能求出 AD.

【理?吉林一中高二期末?2014】17. 如图,已知 AB 为圆 O 的直径,BC 切圆 O 于点 B, AC 交圆 O 于点 P,E 为线段 BC 的中点.求证:OP⊥PE.
A

O

P

B

E

C

【知识点】圆周角定理;弦切角与圆心角的关系. 【答案解析】见解析. 解析 :解: 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠APB=90°,从而∠BPC=90°. 在△BPC 中,因为 E 是边 BC 的中点,所以 BE=EC,从而 BE=EP,因此∠1=∠3. 又因为 B、P 为圆 O 上的点,所以 OB=OP,从而∠2=∠4. 因为 BC 切圆 O 于点 B,所以∠ABC=90°,即∠1+∠2=90°, 从而∠3+∠4=90°,于是∠OPE=90°.所以 OP⊥PE.
A

O 4 2 B 1 E 3

P

C

【思路点拨】先根据圆周角定理得到∠APB及∠BPC. 再利用等腰三角形的性质结合弦切角 与圆心角的关系即可证明结论.

【理?吉林一中高二期末?2014】16. 如图 2, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一

点 , 过 P 作 ⊙ O 的 切 线 , 切 点 为 C , PC ? 2 3 , 若 ?CAP ? 30? , 则 ⊙ O 的 直 径

AB ? __________ .

【知识点】切割线定理;特殊角的直角三角形的性质;圆周角定理. 【答案解析】4 解析 :解:连接 BC,设圆的直径是 x,则三角形 ABC 是一个含有 30°角的 三角形,∴BC= AB,三角形 BPC 是一个等腰三角形,BC=BP= AB,∵PC 是圆的切线,PA 是圆的割线,∴PC2=PB?PC= x? x= ,∵PC=2 ,∴x=4,

故答案为:4 【思路点拨】 根据所给的条件判断三角形ABC 是一个含有30° 角的直角三角形, 得到直角边 与斜边的关系,即直角边与直径之间的关系,根据切割线定理写出关系式,把所有的未知量 用直径来表示,解方程得到结果.

【理?吉林一中高二期末?2014】13. 如图(3)所示,AB 是⊙O 的直径,过圆上一点 E 作切线 ED⊥AF,交 AF 的延长线于点 D,交 AB 的延长线于点 C.若 CB=2,CE=4,则 AD 的 长为 .
A
O

B C E 图(3)

F D

【知识点】与圆有关的比例线段. 【答案解析】 AD ?

24 解析 :解:设 r 是⊙O 的半径.由 CE 2 ? CA ? CB ,解得 r=3.由 5 CO OE 24 解得 AD ? 。 ? CA AD 5

【思路点拨】 设出圆的半径直接利用切割线定理求出圆的半径, 通过三角形相似列出比例关 系求出AD即可.

【理?吉林一中高二期末?2014】12. 如图所示,CD 切⊙O 于 B,CO 的延长线交⊙O 于 A,若∠C=36°,则∠ABD 的度数是( ).

A.72° B.63° C.54° D.36° 【知识点】圆的切线的性质;三角形外角定理. 【答案解析】B 解析 :解:连结 OB.∵CD 为⊙O 的切线,∴∠OBC=90°. ∵∠C=36°,∴∠BOC=54°. 又∵∠BOC=2∠A,∴∠A=27°. ∴∠ABD=∠A+∠C=27°+36°=63°. 【思路点拨】先由切线的性质得到∠C,再用三角形外角定理即可得到结论.

【江西鹰潭一中高一期末? 2014】17. (本题 12 分)已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线

x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程.
【知识点】垂径定理;勾股定理;点到直线的距离公式;圆的切线方程. 【答案解析】(1) (x﹣3)2+(y﹣1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. (2)7x﹣24y+78=0,或 x=6. 解析 :解:(1)设圆心为(3t,t) ,半径为 r=|3t|, 则圆心到直线 y=x 的距离 而 , ,

∴(x﹣3)2+(y﹣1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. (2)圆心在第一象限的圆是(x﹣3)2+(y﹣1)2=9, 设过点(6,5)且与该圆相切的直线方程为 y﹣5=k(x﹣6) ,即 kx﹣y+5﹣6k=0, ∵圆心 O(3,1) ,半径 r=3,∴ ,解得 k= .

∴当切线的斜率 k 存在时,其方程为 y﹣5=

(x﹣6) ,即 7x﹣24y+78=0.

当切线的斜率 k 不存在时,其方程为 x=6. 故切线方程为7x﹣24y+78=0,或x=6. 【思路点拨】(1)由圆心在直线 x﹣3y=0 上,设出圆心坐标,再根据圆与 y 轴相切,得到 圆心到 y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径 r,然后过圆心作出弦 的垂线,根据垂径定理得到垂足为弦的中点,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 y=x 的距离 d,由弦长的一半,圆的半径 r 及表示出的 d 利用勾股定理列出关于 t 的方程,求出 方程的解得到 t 的值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可. (2)圆心在第一象限的圆是(x﹣3)2+(y﹣1)2=9,设过点(6,5)且与该圆相切的直线

方程为 y﹣5=k (x﹣6) , 即 kx﹣y+5﹣6k=0, 由圆心 O (3, 1) , 半径 r=3, 知 由此能求出切线方程.



H5

椭圆及其几何性质
x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的 25 9

【浙江效实中学高一期末? 2014】 13. 已知 F1、F2 为椭圆 直线交椭圆于 A, B 两点. 若 F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ? 【知识点】椭圆的定义 ▲ .

【答案解析】 8 解析: 解: 因为 F2 A ? F2 B + AB ? 4a=20,F2 A ? F2 B ? 12 , 所以 AB =8. 【思路点拨】在圆锥曲线中,当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时,注意应用其定 义建立等量关系进行解答.

【浙江效实中学高一期末?2014】5.椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长 的两倍,则 m 的值为 A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

【知识点】椭圆的标准方程 【答案解析】A 解析:由椭圆 x2 ? my 2 ? 1 得 x ?
2

y2 ? 1,因为焦点在 y 轴上,长轴长是短 1 m

轴长的两倍,所以 2

1 1 ? 4 ,解得 m= ,选 A. 4 m

【思路点拨】先把椭圆化成标准方程,即可得出 a,b 对应的值,再结合条件列关系解答即 可..

【文?重庆一中高二期末?2014】21.(本小题 12 分(1)小问 5 分, (2)小问 7 分) M 是椭圆 T:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点,F 是椭圆 T 的右焦点,A 为左顶点,B 为 a2 b2

上顶点,O 为坐标原点,如下图所示,已知 MF 的最大值为 3 ? 5 ,最小值为 3 ? 5 . (1)求椭圆 T 的标准方程; (2)求 ? ABM 的面积的最大值 S 0 .若点 N ( x, y ) 满足 x ? Z , y ? Z ,称点 N 为格点.问椭圆 T 内部是否存在格点 G,使得 ?ABG 的面积 S ? (6, S 0 ) ?若存在,求出 G 的坐标;若不存 在,请说明理由 .( 提示:点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 T 内部
B

y

?

x0 y ? 02 ? 1 ). 2 a b
A O F

2

2

【知识点】椭圆的标准方程;点到直线的距离公式;利 用点在椭圆内部的结论. 【答案解析】 (1)

x

x2 y2 ? ?1 (2) 点 (2,?1) 在直线 A0 B0 9 4

M

下方,且

2 2 (?1) 2 25 ? ? ? 1 ,点在椭圆内部,故而 9 4 36

(2,?1) 为所求格点 G
解析 : 解: (1) 由椭圆性质可知 MF ?

c a2 c ( ? xM ) ? a ? xM , 其中 c ? 0, c 2 ? a 2 ? b 2 , a c a

因为 x M ? [?a, a] ,故 MF ?[a ? c, a ? c] 则?

? ?a ? 3 ?a ? c ? 3 ? 5 ,解之得 ? ? ?c ? 5 ?a ? c ? 3 ? 5

????4 分

2 2 2 故b ? a ?c ? 4

椭圆 T 的方程为

x2 y2 ? ?1 9 4

????5 分

(2)由题知直线 AB 的方程为 y ?

2 2 x ? 2 ,设直线 l : y ? x ? m 与椭圆 T 相切于 x 轴下 3 3

方的点 M 0 (如上图所示) ,则 ?ABM0 的面积为 ? ABM 的面积的最大值 S 0 .

2 ? y ? x?m ? 2 2 m m2 m2 2 m2 ? 3 ? x ? x ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? 4 ? ( ? 1) ? 0 ? m ? ?2 2 ? 2 2 9 3 4 9 9 4 x y ? ? ?1 ? 4 ?9

此时,直线 AB 与直线 l 距离为

2?2 2 4 1? 9

?

3(2 ? 2 2 ) 13

,而 AB ? 13

S0 ?

1 3(2 ? 2 2 ) ? 13 ? ? 3(1 ? 2 ) 2 13 12 3(1 ? 2 ) 13 13 h ,令 6 ? h ? 3(1 ? 2 ) ,则 ?h? 2 2 13 13

????8 分

而S ?

设直线 l1 : y ?

n?2 12 12 2 x ? n 到直线 AB 的距离为 ? ,则有 ,解得 n ? ?2或6 , 3 13 4 13 1? 9

注意到 l1 与直线 AB 平行且 l1 需与椭圆 T 应有公共点,易知只需考虑 n ? ?2 的情形. 直线 y ?

2 x ? 2 经过椭圆 T 的下顶点 B0 (0,?2) 与右顶点 A0 , 3
????10 分

则线段 A0 B0 上任意一点 G0 与 A、B 组成的三角形的面积为 6.

根据题意若存在满足题意的格点 G,则 G 必在直线 A0 B0 与 l 之间.而在椭圆内部位于四象限 的格点为 (1,?1), (2,?1) 因为 ? 1 ? 而 ?1 ?

2 ? 1 ? 2 ,故 (1,?1)在直线 A0 B0 上方,不符题意 3

2 2 (?1) 2 25 2 ? 2 ? 2 ,则点 (2,?1) 在直线 A0 B0 下方,且 ? ? ? 1 ,点在椭圆内部, 3 9 4 36
????12 分

故而 (2,?1) 为所求格点 G.

【思路点拨】(1)由椭圆性质可知 MF ?[a ? c, a ? c] ,然后解出 a、c 的值即可.(2)由 题 判 断 出 ?ABM0 的 面 积 为 ? ABM 的 面 积 的 最 大 值 S 0 . 而 S ?

13 h , 2

12 13

?h?

3(1 ? 2 ) 13

, 再根据题意找出满足题意的格点 G 在椭圆内部, 故而 (2,?1) 为所求

格点 G. 【文?浙江宁波高二期末?2014】17.已知 F1 , F2 分别是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的左右焦点,A b2

是双曲线在第一象限内的点, 若 AF2 ? 2 且 ?F1 AF2 ? 45 , 延长 AF2 交双曲线右支于点 B,

则 ?F1 AB 的面积等于_______ 【知识点】椭圆的定义;余弦定理;三角形面积公式. 【答案解析】 4 解析 :解:如下图所示:

A

F1

F2

B

由椭圆的定义可知, AF 2 = x, 1 - AF 2 = 2a = 2, \ AF 1 = AF 2 + 2 = 4 ,设 BF 则 BF AF1B 中,由余弦定理得: BF1 = AF1 + AB + 2 AF1 1 = x + 2, 在 D 即 x +2
2 2 2

AB cos A ,

(

)

2

= ( x + 2) + 42 + 2 醋 4

2

( x + 2) cos 45

0

,解得 x = 2 2 - 2 ,所以三角形的面积

SDAF1B =

1 1 2 AF1 AB sin A = 创 4 2 2? 2 2 2

4.

故答案为:4. 【思路点拨】 先由定义求出 AF1 , 再设 BF2 = x, 然后在 D AF1B 中利用余弦定理解出 BF2 , 最后利用三角形面积公式即可求出结果.

【理?重庆一中高二期末?2014】21、(12 分)如图,F1,F2 是离心率为

2 2

的椭圆 C:

x2 y2 a ? b ? 0 )的左、 右焦点, 抛物线 y2 ? 4x 与椭圆 C 在第一象限的交点到 x ?? ? ?1 ( 1的 a2 b2
距离为 ? 3?3

2.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 在直线 x ? ?

1 上,线段 AB 2

的中垂线与 C 交于 P,Q 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在点 M,使以 PQ 为直径的圆经过点 F2,若存在,求出 M 点坐标,若不存在,请 说明理由。

【知识点】椭圆的标准方程;点差法;根与系数的关系;判断点在椭圆内的依据. 【答案解析】(1)

x2 ? y 2 ? 1 (2) 存在两点 M 符合条件,坐标为 M(﹣ ,﹣ 2

)和 M

(﹣ ,

) .

解析 :解:(Ⅰ)由离心率

2 2

可设椭圆 C 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1, 2b2 b2

设抛物线和椭圆 C 的交点为 ( x, y)
2 ? ?? 4 32 则: x ,y ? ? 1 61 ? 22
2 (4 ?? 32 ) ? 1 61 ? 22 ,解得 b ? 1 ? ? 1 2 2 2 b b

代入椭圆方程:

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 的方程为 x ? ?

1 , 2

此时 P ,不合题意. PF ?2 Q ? ? 1 (? 2 ,0 ), Q ( 2,0 ), F 2 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设存在点 M ( ?

1 , m) , m? 0. 2

设直线 AB 的斜率为 k,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



,得



则? ,故 k ? 14 ? m k ? 0

1 ,此时,直线 PQ 的斜率为 k1=﹣4m, 4m

PQ 的直线方程为 y﹣m=﹣4m(x+ ) ,即 y=﹣4mx﹣m.

联立

,消去 y,整理,得(32m +1)x +16m x+2m ﹣2=0.

2

2

2

2

∴ 由题意 =0,

,x1x2= ∴

, =(x1﹣1) (x2﹣1)+y1y2

=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m) (4mx2+m) =(1+16m )x1x2+(4m ﹣1) (x1+x2)+1+m = +
2 2 2

+1+m

2

=

=0,∴m=



∵M 在椭圆内,∴

,∴m=

符合条件. )和 M(﹣ , ) .

综上所述,存在两点 M 符合条件,坐标为 M(﹣ ,﹣

【思路点拨】(1)由离心率得到 a,b 的关系,再设交点坐标代入椭圆方程可求 b 的值,进 而求出椭圆方程;(2) 分类讨论:当直线 AB 垂直于 x 轴时,不合题意.当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设存在点 M ( ? 圆方程联立,最后结合

1 , m) ,利用点差法得到 k 与 m 的关系式,再把 PQ 的直线方程与椭 2
=0,求出 m 的值再判断即可.

【理?重庆一中高二期末?2014】11、设集合 A={(x,y)| 则 A∩ B 的子集的个数是_______ 【知识点】椭 圆 的 标 准 方 程 ; 交 集 及 其 运 算 . 【答案解析】4 解析 :解:∵ 集 合 A={(x,y)|

x2 y2 ? =1 },B={(x,y)|y= 2 x }, 4 16

x2 y2 ? =1 },B={(x,y)|y= 2 x }, 4 16

∴ ( 0, 1) 在 椭 圆 内 , 两 曲 线 有 两 个 交 点 , ∴ A∩ B 有 两 个 元 素 2 ∴ A ∩ B 的 子 集 的 个 数 是 2 =4 故答案为:4 【思路点拨】确 定 A ∩ B 有 两 个 元 素 , 从 而 可 求 A ∩ B 的 子 集 的 个 数 .

【理? 重庆一中高二期末? 2014】 8、 椭圆 C:

2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 , 2 2 a b

若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ?FF 1 2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率取值 范围是( A、 ( , ) ) B、 (

1 2 3 3

1 ,1 ) 2

C、 (

2 ,1 ) 3

D、 ( , )

1 1 3 2

1 ( ,1) 2

【知识点】椭 圆 的 标 准 方 程 ; 简 单 几 何 性 质 . 【 答 案 解 析 】 D











(1) 点 P 与 短 轴 的 顶 点 重 合 时 , △ F 1 F 2 P 构 成 以 F 1 F 2 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 , 此 种 情 况 有 2 个 满 足 条 件 的 等 腰 △ F1F2P; (2) 当 △ F 1 F 2 P 构 成 以 F 1 F 2 为 一 腰 的 等 腰 三 角 形 时 , 以 F 2 P 作 为 等 腰 三 角 形 的 底 边 为 例 , ∵ F 1 F 2 =F 1 P , ∴ 点 P 在 以 F 1 为 圆 心 , 半 径 为 焦 距 2c 的 圆 上 ,因 此 , 当 以 F 1 为 圆 心 ,半 径 为 2c 的 圆 与 椭 圆 C 有 2 交 点 时 ,存 在 2 个 满 足 条 件 的 等 腰 △ F 1 F 2 P , 此 时 a-c < 2c , 解 得 a < 3c , 所 以 离 心 率 e > 当 e=

1 3

1 1 时 , △ F1F2P 是 等 边 三 角 形 , 与 ① 中 的 三 角 形 重 复 , 故 e≠ 2 2 1 1 同 理 , 当 F1P 为 等 腰 三 角 形 的 底 边 时 , 在 e> 且 e≠ 时 也 存 在 2 个 满 足 条 件 3 2
的 等 腰 △ F1F2P 这 样 , 总 共 有 6 个 不 同 的 点 P 使 得 △ F1F2P 为 等 腰 三 角 形 综 上 所 述 , 离 心 率 的 取 值 范 围 是 : e∈ ( , )

1 1 3 2

1 ( ,1) . 2

故选:D. 【思路点拨】 分 等 腰 三 角 形 △ F1F2P 以 F1F2 为 底 和 以 F1F2 为 一 腰 两 种 情 况 进 行 讨 论 , 结 合 以 椭 圆 焦 点 为 圆 心 半 径 为 2c 的 圆 与 椭 圆 位 置 关 系 的 判 断 , 建 立 关 于 a 、 c 的不等式,解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围.

【江苏盐城中学高二期末?2014】19. (本小题满分 16 分)

x2 y 2 3 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其中 b ? a, a b 2 过椭圆 E 内一点 P (1,1) 的两条直线分别与椭圆交于点 A, C 和 B, D ,且满足 AP ? ? PC , y 5 BP ? ? PD ,其中 ? 为正常数. 当点 C 恰为椭圆的右顶点时,对应的 ? ? . 7 A (1)求椭圆 E 的离心率; D (2)求 a 与 b 的值; P (3)当 ? 变化时, k AB 是否为定值?若是,请求出此定值;
若不是,请说明理由. 【知识点】椭圆的性质;椭圆的标准方程;根与系数的关系. 第 19 题 O C

B x

1 3 (2) a ? 2, b ? 3 (3) k AB ? ? 为定值. 2 4 3 3 1 3 解析 :解:(1)因为 b ? a ,所以 b 2 ? a 2 ,得 a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? c 2 , 4 4 4 2 c 1 所以离心率 e ? ? . ???4 分 a 2 5 12 ? 5a 12 , ), (2)因为 C (a, 0) , ? ? ,所以由 AP ? ? PC ,得 A( ???7 分 7 7 7 (12 ? 5a ) 2 12 2 ? ? 1 ,解得 a ? 2 , 将它代入到椭圆方程中,得 3 2 49a 2 49 ? a 4 所以 a ? 2, b ? 3 . ???10 分 (3)法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,
【答案解析】(1)

1 ? x1 ? x3 ? ?1 ? ? ? 由 AP ? ? PC ,得 ? , ???12 分 1 ? y 1 ?y ? ?1 3 ? ? ? x2 y2 x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 ,所以由 1 ? 1 ? 1, 3 ? 3 ? 1 , 又椭圆的方程为 4 3 4 3 4 3 1 ? x1 1 ? y1 ? 1) 2 ? 4( ? 1) 2 ? 12 得 3x12 ? 4 y12 ? 12 ①, 且 3( ②, ? ? 1 2 2 2 由②得, 2 [3(1 ? x1 ) ? 4(1 ? y1 ) ] ? [3(1 ? x1 ) ? 4(1 ? y1 )] ? 5 , ? ? 1 2 2 2 即 2 [(3 x1 ? 4 y1 ) ? 7 ? 2(3 x1 ? 4 y1 )] ? [7 ? (3 x1 ? 4 y1 )] ? 5 , ? ? 2 19 ? 14? ? 5? 结合①,得 3x1 ? 4 y1 ? , ???14 分 2? ? 2 19 ? 14? ? 5? 2 同理,有 3x2 ? 4 y2 ? ,所以 3x1 ? 4 y1 ? 3x2 ? 4 y2 , 2? ? 2 3 y ? y2 3 从而 1 ???16 分 ? ? ,即 k AB ? ? 为定值. 4 x1 ? x2 4 法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,
由 AP ? ? PC ,得 ?

? x1 ? ? x3 ? 1 ? ? ? x2 ? ? x4 ? 1 ? ? ,同理 ? ,??12 分 ? y2 ? ? y4 ? 1 ? ? ? y1 ? ? y3 ? 1 ? ?

2 2 ? ?3 x1 ? 4 y1 ? 12 将 A, B 坐标代入椭圆方程得 ? 2 ,两式相减得 2 ? ?3 x2 ? 4 y2 ? 12 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ,

即 3( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )k AB ? 0 , ??14 分 同理, 3( x3 ? x4 ) ? 4( y3 ? y4 )kCD ? 0 , 而 k AB ? kCD ,所以 3( x3 ? x4 ) ? 4( y3 ? y4 )k AB ? 0 , 所以 3? ( x3 ? x4 ) ? 4? ( y3 ? y4 )k AB ? 0 ,

所以 3( x1 ? ? x3 ? x2 ? ? x4 ) ? 4( y1 ? ? y3 ? y2 ? ? y4 )k AB ? 0 , 即 6(1 ? ? ) ? 8(1 ? ? )k ? 0 ,所以 k AB ? ?

3 为定值. 4

???16 分

【思路点拨】( 1 )根据椭圆的性质求出 a , c 的关系式即可;( 2 )由 AP ? ? PC 得

12 ? 5a 12 A( , ) 代入到椭圆方程中即可得结果; 7 7 (3)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3, y3), D( x4, y4) ,由 AP ? ? PC ,得到点坐标间的关系,
再将将 A, B 坐标代入椭圆方程后两式相减,再利用

k AB ? kCD 即可.

H6

双曲线及其几何性质

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过 【浙江效实中学高一期末?2014】14.双曲线 9 16
点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B ,则 S?AFB ? 【知识点】双曲线的几何性质 【答案解析】 ▲ .

32 解析:解:因为双曲线右顶点为 A (3,0),右焦点为 F (5,0),一条渐进 15 4 4 线方程为 y ? x , 则过点 F 平行双曲线的渐近线的直线方程为 y ? ? x ? 5 ? 与双曲线 3 3

x2 y 2 32 1 32 32 ? ? 1 联立得 y= ? ,则 S?AFB ? ? ? 5 ? 3? ? ? . ? 15 9 16 2 15 15
【思路点拨】由双曲线方程熟练的写出其顶点、焦点及渐进线方程是解题的关键,本题最后 通过联立方程确定 B 点纵坐标,即可求三角形面积.

【浙江效实中学高一期末?2014】9.已知 F1 , F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点 的椭圆和双曲线的一个交点, 并且 PF1 ? PF2 , e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有 A.

1 1 ? 2 ?4 e12 e2

2 2 B. e1 ? e2 ?4

C.

1 1 ? 2 ?2 e12 e2

2 2 D. e1 ? e2 ?2

【知识点】椭圆定义及几何性质、双曲线定义及几何性质 【答案解析】C 解析:解:设 PF 1 ? x, PF 2 ? y ,椭圆长轴长为 2a,双曲线实轴长为 2m,

则有 ?

? x ? y ? 2a
2 2 ? x ? y ? 4c

,得 2

? x ? y ? 2m 1 x2 ? y 2 ? 2 xy ? 1 x 2 ? y 2 ? 2 xy , , 得 ? ? ? 2 2 2 e2 2 x2 ? y 2 e12 x2 ? y 2 ? ? x ? y ? 4c

,所以

1 1 ? 2 ?2 e12 e2

,选 C.

【思路点拨】在圆锥曲线中,当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时,注意应用其定 义建立等量关系进行解答,本题还应注意观察所得式子的整体特征进行转化.

【浙江效实中学高一期末?2014】8.设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点。若 a 2 b2

双曲线上存在点 A ,使 ?F 1 ? 3 AF 2 ,则双曲线的离心率为 1 AF 2 ? 90 ,且 AF

A.

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

【知识点】双曲线的定义及几何性质 【答案解析】 B 解析: 解: 设 AF2 ? x, 则 AF 由双曲线的定义知 2a=3x-x=2x,a=x, 1 ? 3x ,
2 2 2 又 ?F 1 AF 2 ? 90 , 所 以 9 x ? x ? 4c , 得c ?

10 x ,所以双曲线的离心率为 2

10 x 10 2 ,则选 B. ? x 2
【思路点拨】在圆锥曲线中,当遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系问题时,注意应用其定 义建立等量关系进行解答.

【浙江效实中学高一期末?2014】6.经过点 M (2 6, ?2 6) 且与双曲线 同渐近线的双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 有共 4 3

x2 y 2 ? ?1 A. 6 8
【知识点】双曲线的性质

y 2 x2 ? ?1 B. 6 8

x2 y 2 ? ?1 C. 8 6

y 2 x2 ? ?1 D. 8 6

【答案解析】B 解析:解:.因为与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同渐近线,可设所求双曲线方程 4 3



x2 y 2 y 2 x2 ? ? k ,将点 M (2 6, ?2 6) 代入得 k=-2,代回整理得 ? ? 1 ,所以 4 3 6 8 x2 y 2 ? ? 1 有共同渐进线的双曲线可用待定系数法设为 a 2 b2

选 B. 【思路点拨】一般与双曲线

x2 y 2 ? ? k 进行解答. a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦 a 2 b2 点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 | PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最
【文?浙江绍兴一中高二期末`2014】15.已知双曲线 大值为 ; 【知识点】双曲线的定义;双曲线的离心率;余弦定理.

5 解析 :解 :由定义知 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ,又已知 | PF1 |? 4 | PF2 | ,解得 3 8 2 PF1 ? a , PF2 ? a ,在 ?PF1 F2 中,由余弦定理, 3 3 64 2 4 2 a ? a ? 4c 2 17 9 9 得 cos ?F1 PF2 ? 9 ? ? e 2 ,要求 e 的最大值,即求 cos ?F1 PF2 的最 8 2 8 8 2? a? a 3 3 5 5 小值,当 cos ?F1 PF2 ? ?1 时,解得 e ? .即 e 的最大值为 . 3 3 5 故答案为: . 3
【答案解析】 【思路点拨】由双曲线的定义结合 | PF1 |? 4 | PF2 | 可求出 | PF1 |,| PF2 | ,然后借助余弦定理 即可求出 e 的最大值.

【文?四川成都高三摸底?2014】9.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线与 a 2 b2

圆(x-3)2+y2=9 相交于 A,B 两点,若|AB|=2,则该双曲线曲离心率为 (A)8 (B) 2 2 (C)3 (D)

3 2
b x的 a

【知识点】直线与圆的位置关系,双曲线的性质 【答案解析】C 解析:解:因为|AB|=2,圆的半径为 3,所以圆心(3,0)到渐进线 y=

距离

3b b2 ? a 2

? 32 ? 12 ? 2 2 ,得 b2 ? 8a 2,所以e=

c a 2 ? b2 3a ? ? ? 3 ,则选 C. a a a
c 即可; a

【思路点拨】 一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于 a, b, c 的关系式, 再求

在直线与圆的位置关系中, 当出现弦长问题时经常转化为圆心到直线的距离, 再利用点到直 线的距离建立等量关系.

x2 y 2 【文?广东惠州一中高三一调?2014】9.若双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近 a b
线的斜率为( A. ?2 ) B. ? 2 C. ?

1 2

D. ?

2 2

【知识点】双曲线的离心率的概念;渐近线方程. 【答案解析】 B 解析 :解 : 双曲线的离心率 e ?

c a 2 ? b2 b2 ? ? 1 ? 2 ? 3 ,所以 a a a

b b ? 2 ,其渐近线的方程为 y ? ? x ,其斜率为 ? 2 ,故选 B. a a b 【典型总结】先由双曲线的离心率转化出 ? 2 ,然后去求渐进线的斜率即可. a

【理?浙江绍兴一中高二期末?2014】9.已知 F 是双曲线 点,上下虚轴端点 B、C,若 FB 交 CA 于 D,且 | DF |? A .

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,A 为右顶 a2 b2

3

B.

2 3 3

5 | DA | ,则此双曲线的离心率为 2 5 C. D. 5 2

【知识点】直线方程的基本形式;双曲线的斜率. 【答案解析】B解析 :解:由题意可知: A? a, 0? , B? 0,b ?b ? ,C? 0, ? ,F ? ? c ,?0,所以 BF 的直线方程为:

x y x y ? ? 1 , AC 的直线方程为: ? ? 1 ,两式联立可解得 ?c b a ?b
2

2 ? 2ac b ? a ? c ? ? ? 2ac ? ? b ?a ? c? ? 2 | DF | ? ? c , 根据两点间的距离公式 D? , ? , ? ? ? ?? c ? a c ? a c ? a c ? a ? ? ? ? ? ?

5 5 ? 2ac ? ? b ?a ? c? ? | DA | ? ? ? a? ?? | DA | ,所以 | DF |2 ? | DA |2 , ? ,又因为 | DF |? 4 2 ?c?a ? ? c?a ?
2 2 2

c2 4 2 3 e ? 2 ? ,e ? 即 4c ? 5a ? b , 在双曲线中有 c ? a ? b , 整理得 3c ? 4a , , a 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2

2

故选:B. 【思路点拨】根据A,B,C,F的坐标求出 BF 、 AC 的直线方程,两式联立可解得D点坐标,然 后利用 | DF |?

5 | DA | 可解出 4c 2 ? 5a 2 ? b2 ,进而可求出离心率. 2

【理?浙江宁波高二期末`2014】7.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

F1, F2 ,过 F2 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 H ,若 F2 H 与双曲线 C 的交点 M
恰为 F2 H 的中点,则双曲线 C 的离心率为 ( ) B.

A. 2

3

C.2

D.3

【知识点】双 曲 线 的 标 准 方 程 ; 双 曲 线 的 简 单 性 质 的 应 用 . 【答案解析】A 解析 :解:由 题 意 可 知 ,一 渐 近 线 方 程 为 y =

b x ,则 F 2 H 的 方 程 为 a

y-0=k( x-c ),代 入 渐 近 线 方 程 y =

a2 a b b x 可得 H 的坐标为 ( , ) ,故 F 2 H 的 中 点 a c c

骣 a2 琪 c+ ab 琪 M琪 c , ,根据中点 M 在双曲线 C 上,∴ 2 2c 琪 琪 桫
故 故 选 A. 【思路点拨】设 一 渐 近 线 方 程 为 y =

骣 a2 琪 c+ 琪 桫 c 4a 2

2

-

c2 a 2b 2 =2, , ∴ = 1 a2 4b 2c 2

c = 2 c



b x ,则 F 2 H 的 方 程 为 y-0=k( x-c ),代 入 渐 a

近线方程 求得 H 的坐标,有中点公式求得中点 M 的坐标,再把点 M 的坐标代入 双曲线求得离心率.

【理? 四川成都高三摸底? 2014】 10. 如图, 已知椭圆 Cl:

x2 2 x2 y 2 +y =1, 双曲线 C2: 2 ? 2 =1 11 a b

(a>0,b>0) ,若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线相交于 A,B 两点,且 C1 与该

渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为 (A)5 (C) 5 (B) 17

(D)

2 14 7

【知识点】椭圆、双曲线性质的应用 【答案解析】C 解析:解:因为 AB 方程为 y ? 一象限的交点横坐标 x ?

b x ,与椭圆方程联立得渐进线与椭圆在第 a

1 1 b2 ? 11 a 2

,因为且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,由

椭圆的对称性知该点到原点的距离为 ? 2 11 ,又由弦长公式得该交点到原点的距离为

1 6

b2 1? 2 ? a

b2 c 2 a 2 ? b2 b2 1 2 ? 1 ? 2 ? 5 ,得 ? ? 2 11 ,整理得 2 ? 4 ,得 e ? 2 ? a a a2 a 1 b2 6 ? 2 11 a

1

e ? 5 ,所以选 C
【思路点拨】 一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于 a, b, c 的关系式, 再求

c 即可, a

本题注意抓住 AB 长为圆的直径, 直线 AB 与椭圆在第一象限的交点到原点的距离等于直径 的

1 ,即可建立 a,b,c 关系. 6
2

【理?广东惠州一中高三一调?2014】10.以抛物线 y ? 4 x 的焦点为顶点,顶点为中心, 离心率为 2 的双曲线方程是 . 【知识点】待定系数法求双曲线方程. 【答案解析】x ?
2

y2 c ? 1 解析 :解:抛物线焦点 (1, 0) ,则双曲线中:a ? 1 ,且 e ? ? 2 , a 3
2

2 2 2 3 得 c ? 2 ,又 c ? a ? b 得 b ? 3 ,则双曲线的标准方程为: x ?

y2 ? 1. 3

2 2 2 【思路点拨】据已知求 a,由离心率为 2 求 c,再由 c = a + b 求 b,从而得到方程.

【文?浙江温州十校期末联考?2014】8.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心 a 2 b2

率为 5 ,则 C 的渐近线方程为( ▲) A. y ? ?2 x B. y ? ?

1 x 2

C. y ? ?

1 x 3

D. y ? ?

1 x 4

【知识点】双 曲 线 的 简 单 性 质 .

【答案解析】A 解析 :解:因为

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 5 , a 2 b2

e=

c c2 a 2 + b2 b2 b = 4,\ = 2 ,则 C 的渐近线方程为 y ? ?2 x . = 5,\ 2 = = 5, 即 2 2 a a a a a

故 选 : A. 【思路点拨】由已知可 求 得 a , b 之 间 的 关 系 , 从 而 可 求 得 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 .

【理?浙江温州十校期末联考?2014】9.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 9 16

F1 , F2 , P 为 C 的右支上一点,且 PF2 ? F1 F2 ,则 ?PF1 F2 的面积等于( ▲ )
A. 24 B. 36 C. 48 D. 96

【知识点】双 曲 线 的 第 一 定 义 ; 双 曲 线 中 与 焦 点 、 准 线 有 关 三 角 形 问 题 . 【答案解析】C 解析 :解 : ∵ 双 曲 线 C:

x2 y 2 ? ? 1 中 a=3 , b=4 , c=5 , 9 16

∴ F 1 ( -5 , 0 ) , F 2 ( 5 , 0 ) ∵ |PF 2 |=|F 1 F 2 | , ∴ |PF 1 |=2a+|PF 2 |=6+10=16 作 PF 1 边 上 的 高 AF 2 , 则 AF 1 =8 , ∴ AF 2 = 6 ∴ △ PF 1 F 2 的 面 积 为

1 2

| PF 1 |?| PF 2 |



1 2

×16×6



48.

故 选 C. 【思路点拨】先 根 据 双 曲 线 方 程 求 出 焦 点 坐 标 ,再 利 用 双 曲 线 的 额 性 质 求 得 |PF 1 | , 作 PF 1 边 上 的 高 AF 2 则 可 知 AF 1 的 长 度 ,进 而 利 用 勾 股 定 理 求 得 AF 2 ,则 △ PF 1 F 2 的 面积可得.

H7

抛物线及其几何性质
2

【浙江效实中学高一期末?2014】10.过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物

线于 P, Q 两点,若线段 PF 和线段 FQ 的长分别是 p, q ,则

1 1 ? 等于 p q
D. 4 a

A.

1 4a

B.

1 2a

C. 2 a

【知识点】抛物线的性质 【答案解析】D 解析:解:当 PQ 为抛物线的通径时, PF ? FQ ?

1 1 1 ,则 ? 等于 2a p q

2a+2a=4a,所以选 D. 【思路点拨】在选择题中,当直接运算较烦琐时,可考虑用特例法确定选项,本题选择特殊 位置抛物线的通径位置即可快速确定结果.

【文?浙江绍兴一中高二期末`2014】B5 21. (本题满分 12 分)已知抛物线 C: x ? 2 py ,
2

的焦点为 F, ? ABQ 的三个顶点都在抛物线 C 上,点 M 为 AB 的中点, QF ? 3FM (1)若 M (?

2 2 2 , ) ,求抛物线 C 方程; 3 3

y


(2)若 p ? 0 的常数,试求线段 | AB | 长的最大值。 B


Q

M




F


A

【知识点】抛物线方程的求法;根与系数的关系;弦长公式; 二次函数的值域.

x

4 3p 【答案解析】(1) x = 4y (2) . 3
2

(第 21 题图)

解析 :解 : ( 1 ) 由 题 意 可 得 F 琪 0, 琪

骣2 2 2 骣 p , , 设 点 Q( x0 , y0 ) , 因 为 M 琪 , 琪 3 3 桫 2 桫

QF ? 3FM ,∴ Q(2 2,- 2).代 入 抛 物 线 C : x 2 ? 2 py ,求 得 p = 2或p = - 1,由 题
意 M 在 抛 物 线 内 部 , 所 以 p > 0 ,故 抛 物 线 C : x = 4y . (2)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , Q ( x0 , y0 ) 由?
2

? y ? kx ? m ? x ? 2 py
2

得 x ? 2 pkx ? 2 pm ? 0
2

于是 ? ? 4 p k ? 8 pm ? 0 , x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 pm ,
2 2

所以 AB 中点 M 的坐标为 (2 pk , pk ? m)
2

由 QF ? 3FM ,得 (? x0 , 所以 ?

p p ? y0 ) ? 3( pk , pk 2 ? m ? ) , 2 2

? 2m 4 ? x0 ? ?3 pk 2 ,由 x0 2 ? 2 py0 得 k ? ? ? , 2 5 p 15 y ? 2 p ? 3 pk ? 3 m ? ? 0

由D >0, k 2

0,得 2

p <m 6

2p , 3

又 ∵ AB = k +1 x1 - x2 = 2

(

24 19 p 2 2 k +1 p k + 2 pm = - m + 3 pm + 15 36
2

)(

2

2

)

记 f (m) = - m + 3 pm +

2

19 p 2 p ( - <m 6 36

2p ), 3

易 得 f (m)m a x= f (

2p 75 p 2 24 )= , 故 |AB| 的 最 大 值 为 3 36 15

75 p2 4 3 p . = 36 3

【思路点拨】( 1 )设 点 Q( x0 , y0 ) ,,根 据 QF ? 3FM ,求 得 Q(2 2, - 2) .再 把 点 Q 的 坐 标 代 入 抛 物 线 C : x ? 2 py , 求 得 p 的 值 , 可 得 抛 物 线 C 的 方 程 .
2

( 2 ) 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,代 入 抛 物 线 的 方 程 , 利 用 韦 达 定 理 、 中 点 公 式 求 得 AB 中 点 M 的 坐 标 , 由 QF ? 3FM , 求 得 k ? ?
2

2m 4 ? .由 D >0,k 2 5 p 15
2

0,

19 p 2 求 得 m 的 范 围 ,利 用 弦 长 公 式 求 得 |AB| ,根 据 函 数 f (m) = - m + 3 pm + 上是 36
增 函 数 , 求 得 f ( m) 的 最 大 值 , 可 得 |AB| 的 最 大 值 .

【文?浙江绍兴一中高二期末`2014】8.已知圆C: ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的圆心为抛物
2 2 2

线 y ? 4 x 的焦点,直线3x+4y+2=0与圆C相切,则该圆的方程为(
2

) D. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

64 64 2 2 B.x ? ( y ? 1) ? 25 25 【知识点】抛 物 线 的 性 质 ; 圆 的 标 准 方 程 .
( x ? 1) 2 ? y 2 ? A.

C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

【答案解析】C 解析 :解:由 题 意 可 得 抛 物 线 y =4x 的 焦 点 为 1, 0 ,
2

( )

故 所 求 圆 C 的 圆 心 C 的 坐 标 为 1, 0 , ∴圆 C 的半径 r =

( )

3? 1 4? 0 2 32 + 42

=1 ,

∴圆 C 的方程为: x - 1

(

)

2

+ y2 =1.

故 选 : C. 【思路点拨】由 题 意 可 得 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 , 可 得 圆 心 , 再 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 圆 C的 半 径 , 可 得 其 标 准 方 程 .

【文?浙江宁波高二期末?2014】8. 已知抛物线 C1 : x ? 2 y 的焦点为 F ,以 F 为圆心的
2

圆 C2 交 C1 于 A, B 两点,交 C1 的准线于 C , D 两点,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C2 的方 程为(
2


2

A. x ? ( y ? 1) ? 12 C. x 2 ? ( y ? ) 2 ? 3

B. x ? ( y ? 1) ? 16
2 2

1 2

D. x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4

1 2

【知识点】抛 物 线 的 简 单 性 质 ; 圆 的 标 准 方 程 .
2 ,, ) ∴ 圆 C2 【答案解析】D 解析 :解 : 依 题 意 , 抛 物 线 C1 : x ? 2 y 的 焦 点 为 F ( 0

1 2













1 F(0, ), 2











, )为 圆 C 2 的 圆 心 , ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 , 且 BD 为 直 径 , AC 为 直 径 , F ( 0
∴ 点 F 为 该 矩 形 的 两 条 对 角 线 的 交 点 , ∴ 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 与 点 F 到 AB 的 距 离 相 等 ,又 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 d=1 , ∴ 直 线 AB 的 方 程 为 : y = , ∴ A( 3, ),

1 2

3 2

3 2

∴ 圆 C 2 的 半 径 r = AF = ( 3 - 0) + ( ∴ 圆 C 2 的 方 程 为 : x 2 ? ( y ? )2 ? 4 , 故 选 : D.

2

3 1 2 ) = 2, 2 2

1 2

, ),且 点 F 为 该 矩 形 ABCD 的 两 条 【思路点拨】依 题 意 知 ,圆 C 2 的 圆 心 坐 标 为 F ( 0
对 角 线 的 交 点 , 利 用 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 与 点 F 到 AB 的 距 离 相 等 可 求 得 直 线 AB 的 方 程 为 : y = , 从 而 可 求 得 A 点 坐 标 , 从 而 可 求 得 圆 C2 的 半 径 , 于 是 可 得 答案.

1 2

3 2

【理?宁夏银川一中高二期末?2014】2. 将曲线 y2=4x 按 ? : ? 源。变换后得到曲线的焦点坐标为( A. ( ,0 ) 错误!未找到引用源。 )

? x' ? 2 x 错误!未找到引用 ?2 y' ? y

1 8

B. ( ,0 ) 错误!未找到引用源。

1 4

C.

1 ( ,0 ) 错误!未找到引用源。 2
【知识点】抛物线的性质

D. (1,0)

1 ? 1 ?x ? x ' 2 【答案解析】A 解析:解:由已知得 ? 2 ,代入抛物线方程 y2=4x 得 y ' ? x ' ,所以 2 ? ?y ? 2y '
其焦点坐标为 ( ,0 ) 错误!未找到引用源。

1 8

,选 A.

【思路点拨】 先根据所给变换得出变换后的抛物线的标准方程, 再由所得抛物线的标准方程 确定其焦点坐标.

【江苏盐城中学高二期末?2014】7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知中心在坐标原点的双 曲线 C 经过点 (1, 0) ,且它的右焦点 F 与抛物线 y ? 8x 的焦点相同,则该双曲线的标
2

准方程 为 ▲



【知识点】抛 物 线 、 双 曲 线 方 程 .

y2 ? 1 解析 :解:抛 物 线 y 2 ? 8x 的 焦 点 坐 标 为( 2 , 0 ),则 双曲 【答案解析】 x ? 3
2

线

C









F



2



0









a 2 + b2 = 4



设双曲线方程为

x2 y 2 1 1 ,即 a 2 = 1 , b2 = 3 . - 2 =1, 代 入 点 ( 1, 0) , 可 得 2 = 2 a a b
2

∴双曲线的方程为 x ?

y2 ? 1. 3

y2 ? 1. 故答案为: x ? 3
2

【思路点拨】求 出 抛 物 线 y 2 ? 8x 的 焦 点 坐 标 , 可 得 双 曲 线 的 一 个 顶 点 , 设 出 双 曲 线方程,代入点的坐标,即可求出双曲线的方程.

【文?浙江温州十校期末联考?2014】16. 已知点 A(0, 4) 和抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦
2

点 F ,若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为___▲___. 【知识点】抛 物 线 的 定 义 及 几 何 性 质 . 【答案解析】

3 2 解析 2

:解 : 依 题 意 可 知

F 坐 标 为 (

P , 0 ) 2

∴ B ∴

的 坐 标 为 ( 抛 物 线

P , 2 ) 代 入 抛 物 线 方 程 得 4
准 线 方 程 为

p= x=

2 2 ,

- 2






B







线



线









2 3 2 + 2= 2 2

故答案为:

3 2 . 2

【思路点拨】根 据 抛 物 线 方 程 可 表 示 出 焦 点 F 的 坐 标 , 进 而 求 得 B 点 的 坐 标 代 入 抛 物 线 方 程 求 得 p ,则 B 点 坐 标 和 抛 物 线 准 线 方 程 可 求 ,进 而 求 得 B 到 该 抛 物 线 准 线 的距离.

【理?浙江温州十校期末联考?2014】15. 已知点 A(0, 4) 和抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦
2

点 F ,若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为___▲___. 【知识点】抛 物 线 的 定 义 及 几 何 性 质 . 【答案解析】

3 2 解析 2

:解 : 依 题 意 可 知

F 坐 标 为 (

P , 0 ) 2

∴ B ∴

的 坐 标 为 ( 抛 物 线

P , 2 ) 代 入 抛 物 线 方 程 得 4
准 线 方 程 为

p= x=

2 2 ,

- 2






B







线



线









2 3 2 + 2= 2 2

故答案为:

3 2 . 2

【思路点拨】根 据 抛 物 线 方 程 可 表 示 出 焦 点 F 的 坐 标 , 进 而 求 得 B 点 的 坐 标 代 入 抛 物 线 方 程 求 得 p ,则 B 点 坐 标 和 抛 物 线 准 线 方 程 可 求 ,进 而 求 得 B 到 该 抛 物 线 准 线 的距离.

H8

直线与圆锥曲线(AB 课时作业)
m2 ? 0 ,椭圆 2

【浙江效实中学高一期末?2014】21.已知 m>1,直线 l : x ? my ?

C:

x2 ? y 2 ? 1 , F1 , F2 分别为椭圆 C 的 m2
左、右焦点.

(1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF 1F 2,

VBF1F2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以
线段 GH 为直径的圆上,求实数 m . (重心:三角形三条中线的交点) 【知识点】直线方程、直线与圆锥曲线综合应用 【答案解析】 (1) l : x ? 2 y ?1 ? 0 ; (2) m ? 2 .
2 解析:解: ( 1 ) F2 ( m ? 1, 0) , 所 以

m2 ? 1 ?

m2 ? 0 , 解 得 : m2 ? 2, m ? 2 2

l : x?

2 y? 1 ? ; 0

(2)将 x ? my ?

x2 m2 m2 2 2 ?1 ? 0 , 代入 2 ? y ? 1 ,得 2 y ? my ? m 4 2

m ? y1 ? y2 ? ? ? x y x y ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则? , 因为 G ( 1 , 1 ), H ( 2 , 2 ) , 所以 OG ? OH , 2 3 3 3 3 ?y y ? m ? 1 1 2 ? 8 2 ?
2 所以 kOG ? kOH ? ?1 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , m ( y1 ?

m m )( y2 ? ) ? y1 y2 ? 0 ,解得 m ? 2 . 2 2

【思路点拨】 熟练由椭圆方程求其焦点坐标是解答第一问的关键, 一般遇到圆锥曲线与直线 综合问题,通常设方程,联立方程,利用韦达定理对条件进行转化.

【浙江效实中学高一期末?2014】17.过 A(?2, 0) 作椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两弦 AB, AC ,且 4

k AB ? k AC ? 1 ,则直线 BC 恒过定点 ▲ .
【知识点】直线与椭圆位置关系,两点连线斜率公式 【答案解析】 ? ?

? 10 ? , 0 ? 解析:解:设 BC : x ? m ? ty ,代入 x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 ,并整理得: ? 3 ?

(t 2 ? 4) y 2 ? 2mty ? m2 ? 4 ? 0
2mt ? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? t ?4 ? 2 ? y y ? m ?4 1 2 ? t2 ? 4 ?
所以

①,又

k AB ? k AC ?

y1 y ? 2 ?1 x1 ? 2 x2 ? 2

y1 y2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? (ty1 ? m ? 2)(ty2 ? m ? 2) ? t 2 y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2)2
将①代入解得: m ? ?2 (舍)或 m ? ? 点??

10 10 ? 0 ,显然恒过定 ,则直线 BC 方程为 x ? ty ? 3 3

? 10 ? ,0? . ? 3 ?

【思路点拨】求直线过定点问题一般先求出直线的含参的方程,再确定过的定点,本题可先 结合条件设出所求的直线方程,再根据条件减少参数,即可确定其过的定点.

【文?浙江宁波高二期末?2014】22. (本小题满分 l5 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 上有一点 Q (2, y0 ) 到焦点 F 的距离为
2

5 . 2

(1)求 p 及 y0 的值. (2) 如图, 设直线 y ? kx ? b 与抛物线交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 且 y1 ? y2 ? 2 ,过弦 连接 AD, BD .试判断 ?ABD 的 AB 的中点 M 作垂直于 y 轴的直线与抛物线交于点 D , 面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由。

【知识点】抛 物 线 的 标 准 方 程 及 其 性 质 ; 弦 长 公 式 ; 直 线 与 抛 物 线 相 交 问 题 ; 根 与系数的关系;三角形的面积计算公式. 【答案解析】(1) p = 1 , y0 ? ?2 (2) ?ABD 的面积是定值, S = 解析 :解:(1)焦点 ?

1 . 2

p 5 ?p ? ,0?,2 ? ? , p ?1 2 2 ?2 ?

------------------3 分

? y 2 ? 2 x, 代入 Q(2, y0 ) ,得 y0 ? ?2
(2)联立 ?

-----------------------5 分
2

? y ? kx ? b ? y ? 2x
2

,得 k x ? 2(kb ? 1) x ? b ? 0(k ? 0), ? ? 0, 即 1 ? 2kb ? 0
2 2

x1 ? x2 ?

2(1 ? kb) b2 , x x ? 1 2 k2 k2

-----------------------8 分

4(1 ? 2kb) 2 2 2 y1 ? y2 ? k 2 x1 ? x2 ? k 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? 4,1 ? 2kb ? k 2 ----10 分 ? ? k2 1 ? kb 1 1 1 -----------------------12 分 M ( 2 , ), D( 2 , ) k k 2k k
??ABC 的面积 S ?

1 1 1 ? 2kb 1 MD y1 ? y2 ? ? ? 2 ? -----------------15 分 2 2 2 2k 2
2

【思路点拨】 (1)由 抛 物 线 C :y =2px( p > 0 ) ,可 得 焦 点 ,利 用 弦 长 公 式 可 得 p .把 点 Q ( 2 , y0 ) 代 入 抛 物 线 方 程 可 得 y0 . (2)把 直 线 的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 可 得 △ > 0 及 根 与 系 数 的 关 系 , 再 利 用 三

角形的面积公式即可得出.

【文?四川成都高三摸底?2014】20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 F:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a>b>0)经过 D(2,0) ,E(1, )两点。 2 a b 2

(I)求椭圆 F 的方程; (Ⅱ)若直线 l :y=kx+m 与 F 交于不同两点 A,B,点 G 是线段 AB 中点,点 O 为坐标原 点,设射线 OG 交 F 于点 Q,且 OQ ? 2OG. ①证明:4m2=4k2+1; ②求△AOB 的面积。 【知识点】轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线位置关系、向量的坐标运算 【答案解析】 (I)

x2 3 ? y 2 ? 1; (Ⅱ)①略,② . 4 2

?4 ?1 ? ?a ? 2 x2 ? a2 解得 ? ? y 2 ? 1; 解析:解: (I)由题意得 ? ,所以所求的椭圆方程为 4 ?b ? 1 ? 1 ? 3 ?1 2 2 ? 4b ?a
(Ⅱ)①令 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由

? y ? kx ? m , 得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
? ? 2 2 2 ?? ? ? 8km ? ? 4 ?1 ? 4k ?? 4m ? 4 ? ? 0 ?m 2 ? 1 ? 4k 2 ? ? ?8km ?8km ? ? ①,所以 即 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? ? ? ? 4m 2 ? 4 4m 2 ? 4 ? x1 x2 ? ? x1 x2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? ?

y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ?

k ? ?8km ? 2m ? 2m ? ,由中点坐标公式得 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

m ? ? ?4km ? ?4? km ? m ? ,根据 OQ ? ?OG ,得 Q ? ,将其代入椭圆方 G? , , 2 2 ? 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?
程,有

?1 ? 4k ? ?1 ? 4k ?
2 2

4? 2 k 2 m2

?

? 2 m2

2 2

? 1 .化简得 ? 2 m2 ? 1 ? 4k 2 ②

4m 2 ? 4 4 1 ? 4 k 2 ? m 2 ? ?8km ? ? 4? ? ②由①②得 m≠0,且 x1 ? x2 ? ? ③, 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ?
在△AOB 中, S ???? ?

2

1 2 3m2 3 m ? x1 ? x2 ④,由②③④得 S?AOB ? ,所以△AOB ? 2 2 4m 2

的面积是

3 . 2

【思路点拨】已知轨迹类型求轨迹方程,可用待定系数法求解,在遇到直线与圆锥曲线位置 关系问题时,经常把问题转化为坐标关系,通过联立方程借助于韦达定理、中点坐标公 式及弦长公式寻求等量关系, 若遇到向量关系, 先看有无直接的几何条件特征进行转化, 否则就把向量关系利用向量的坐标运算转化为坐标关系解答.

【文?广东惠州一中高三一调?2014】20.(本题满分 14 分) 已 知 椭 圆 C1 :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? , 过 C1 的 左 焦 点 F 1 的直线 2 a b 3

l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? r 2 (r ? 0) 截得的弦长为 2 2 .
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点 P ,满足 PF1 ? 有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由. 【知识点】直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 ; 椭 圆 的 标 准 方 程 .

a2 PF2 ,若存在,指出 b2

a2 x2 y2 ? ? 1(2)圆 C2 上存在两个不同点 P ,满足 PF1 ? 2 PF2 . 【答案解析】 (1)C1 : 6 2 b
解析 :解:因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 , 令 y ? 0 ,得 x ? ?2 ,即 F1 (?2,0) ????????????????1 分 ∴ c ? 2 ,又∵ e ?

c 6 2 2 2 2 ,∴ a ? 6 , b ? a ? c ? 2 ? a 3

x2 y2 ? ? 1 .???????????????4分 ∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 : 6 2
(2)存在点 P,满足 PF1 ?

a2 PF2 b2

∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 .????????????8分 设圆 C2 上存在点 P ( x, y ) ,满足 PF1 ? 且 F1 , F2 的坐标为 F 1 (?2,0), F2 (2,0) ,
2 2 2 2 则 ( x ? 2) ? y ? 3 ( x ? 2) ? y ,

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 , b2

2 2 整理得 ( x ? ) ? y ?

5 2

5 3 9 ,它表示圆心在 C ( , 0) ,半径是 的圆。 2 2 4
2

∴ CC2 ? (3 ? ) ? (3 ? 0) ?
2

5 2

37 ???????????????12分 2

故有 2 ?

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

∴圆 C2 上存在两个不同点 P ,满足 PF1 ?

a2 PF2 .?????????14分 b2

【思路点拨】( 1 ) 由 a 2 =b 2 +c 2 , e ?

6 及 F1 的 坐 标 满 足 直 线 l 的 方 程 , 联 立 此 3

三 个 方 程 , 即 得 a2, b2, 从 而 得 椭 圆 方 程 ; ( 2) 根 据 弦 长 , 利 用 垂 径 定 理 与 勾 股定理得方程, 可 求 得 圆 的 半 径 r, 从而确定圆的方程, 再 由 条 件 PF1 ?

a2 PF2 , b2

将 点 P 满 足 的 关 系 式 列 出 , 通 过 此 关 系 式 与 已 知 圆 C2 的 方 程 联 系 , 再 探 求 点 P 的存在性. 【典型总结】本 题 采 用 交 集 思 想 巧 妙 地 处 理 了 点 P 的 存 在 性 .本 解 法 是 用 圆 特 有 的 方 式 判 断 两 圆 的 公 共 点 个 数 ,若 联 立 两 曲 线 的 方 程 ,消 去 x 或 y ,用 判 别 式 来 判断也可以,其适用范围更广,但计算量相对大一些.

【理?浙江绍兴一中高二期末?2014】20. (本题满分 10 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1 F2 |? 2 ,点 P 在 a 2 b2 椭圆上,且 ?PF1 F2 的周长为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为 (2,1) ,不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 不同两点,设线段 AB 的中点为 M ,且 M , O, P 三点共线.设点 P 到直线 l 的距离为 d ,求 d 的取值范围.
已知椭圆 C : 【知识点】直 线 与 圆 锥 曲 线 的 关 系 ; 椭 圆 的 标 准 方 程 . 【答案解析】(Ⅰ)

? 8 13 ? 4 39 8 13 ? 4 39 ? x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ) d ? ? , ? ? ? 4 3 13 13 ? ?

解析 :解: (Ⅰ)由已知得 2c ? 2 ,且 2a ? 2c ? 6 ,解得 a ? 2, c ? 1 ,又 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ) 当直线 l 与 x 轴垂直时,由椭圆的对称性可知: 点 M 在 x 轴上,且原点 O 不重合,显然 M , O, P 三点不共线,不符合题设条件. 所以可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , 由?

? y ? kx ? m
2 2

?3 x ? 4 y ? 12 2 2 2 2 则 ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0 ,即 4k 2 ? m 2 ? 3 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,
8km 4m 2 ? 12 4km 3m 且 x1 ? x2 ? ? 2 ,则点 M (? 2 , x1 x2 ? , 2 ), 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 3m ?2km 3 因为 M , O, P 三点共线,则 kOM ? kOP ,即 2 ,而 m ? 0 ,所以 k ? ? ? 2 4k ? 3 4k ? 3 2 2 此时方程①为 3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 ,且 12 ? m ? 0, | 8 ? 2m | 2 | m ? 4 | 因为 d ? ? 13 32 ? 22
所以 d ? ?

消去 y 并整理得: (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ??①
2 2 2

? 8 13 ? 4 39 8 13 ? 4 39 ? , ? ? ? 13 13 ? ?

【思路点拨】 (Ⅰ)利 用 椭 圆 的 定 义 和 焦 距 的 定 义 可 得 2c ? 2 , 2a ? 2c ? 6 .解 得 a ,
2 2 2 c ,再 利 用 b = a - c 解 出 即 可 ; (Ⅱ)设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? m( m ? 0) .与 椭 圆

的 方 程 联 立 , 得 到 判 别 式 △ > 0及 根 与 系 数 的 关 系 , 由 中 点 坐 标 公 式 得 到 中 点 M 的 坐 标 , 利 用 M , O , P 三 点 共 线 , 得 到 kOM ? kOP , 解 得 k ? ? 线 的 距 离 公 式 即 可 得 到 d 的取值范围

3 ,再利用点到直 2

【理?浙江宁波高二期末`2014】22.(本题满分 15 分)如图,F1、F2 是离心率为

2 的椭圆 C: 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右 a 2 b2
焦点,直线 l :x=-1 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 : 3.设 A、B 是椭圆 C 上的两个
y P A M B

动点,线段 AB 的中垂线与椭圆 C 交于 P、Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)求 F2 P ? F2Q 的取值范围.

【知识点】椭 圆 方 程 的 求 法 ; 向 量 的 数 量 积 的 取 值 范 围 的 求 法 ; 直 线 与 圆 锥 曲 线 的综合问题. 【答案解析】(Ⅰ)

125 x2 y 2 ? ? 1 (Ⅱ) [- 4, ) 8 4 58
c- 1 1 = ,所以 c = 2 c +1 3

解析 :解:(Ⅰ) 设 F2(c,0),则 因为离心率 e=
2 2



所以 a= 2 2 .[] ???? 6 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-1,此时 P( ? 2 2 ,0)、Q( 2 2 ,0)

F2 P ? F2Q ? ?4 .当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(-1,m) (m≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2).
? x12 y12 ? ? 1, ? ? 8 4 由 ? 2 得 2 x y ? 2 ? 2 ? 1, ? 4 ? 8
则 -1+2mk=0, 故 k=

(x1+x2)+2(y1+y2) ?

y1 ? y2 =0, x1 ? x2

1 . 2m

???? 8 分

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?2m ,PQ 的直线方程为

y ? m ? ?2m( x ? 1) . 即 y ? ?2mx ? m .

? y ? ?2mx ? m ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 消去 y,整理得 (8m ? 1) x ? 8m x ? 2m ? 8 ? 0 . y2 ?1 ? ? 4 ?8
所以 x1 ? x2 ? ?

8m 2 2m 2 ? 8 x x ? , .???? 10 分 1 2 8m 2 ? 1 8m 2 ? 1

于 是 F2 P ? F2Q = ( x1 - 2)( x2 - 2)+y1 y2= x1 x2 - 2( x1 + x2) +1 + ( 2m x1 + m)(2m x2 + m)

= (1 + 4m2 ) x1x2 +(2m2 - 2)( x1 + x2 ) + 4 + m2 =
令 t = 1 +8m2, 则 F2 P ? F2Q = 1<t<29,

19m2 - 4 . 8m2 +1

19 51 , 8 8t 125 又 1<t<29 , ∴ -4 < F2 P ? F2Q < , 58 125 综 上 , F2 P ? F2Q 的 取 值 范 围 是 [- 4, ) ? ( 14 分 ) 58
【思路点拨】 ( Ⅰ )设 F2 (c, 0) ,则

c- 1 1 2 = , 离 心 率 e= ,由 此 能 求 椭 圆 的 方 程 . 2 c +1 3

( Ⅱ ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=-1, F2 P ? F2Q ? ?4 . 当直线 AB 不 垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(-1,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).利 用 点

? y ? ?2mx ? m ? 差 法 求 出 PQ 的 直 线 方 程 为 y=-2mx-m . 联 立 ? x 2 ,得: y2 ? ? 1 ? 4 ?8

(8m 2 ? 1) x 2 ? 8m 2 x ? 2m 2 ? 8 ? 0 . 由 此 能 求 出 F2 P ? F2Q 的 取 值 范 围 .

【理?四川成都高三摸底?2014】20. (本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 x Oy 中,点 P 是圆 x2+y2=4 上一动点,PD⊥x 轴于点 D,记满足

OM ?

1 (OP ? OD ) 的动点 M 的轨迹为 F。 2

(I)求轨迹 F 的方程; (Ⅱ)已知直线 l :y=kx+m 与轨迹 F 交于不同两点 A,B,点 G 是线段 AB 中点,射线 OG 交轨迹 F 于点 Q,且 OQ ? ?OG, ? ∈R。 ①证明: ? 2m2=4k2+1; ②求△AOB 的面积 S( ? )的解析式,并计算 S( ? )的最大值。 【知识点】轨迹方程的求法、直线与圆锥曲线位置关系、向量的坐标运算 【答案解析】 ( I) 1.
2 2 解析:解: (I)设点 M(x,y), P ? x0 , y0 ? ,得点 D 坐标为 ? x 0 ,0 ? ,且 x0 ? y0 ? 4 .①

2 ? 2 ?1 x2 ? y 2 ? 1; , ? ? ?1, ?? ? ,最大值为 (Ⅱ)①略,② S ? ? ? ? 4 ?2

因为 OM ?

? x0 ? x 1 2 2 OP ? OD ,所以 ? ②,将②代入①得 x ? 4 y ? 4 ,所以所求的轨 2 y ? 2 y ? 0

?

?

迹方程为

x2 ? y 2 ? 1; 4

(Ⅱ)①令 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由

? y ? kx ? m , 得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
? ? 2 2 2 ?? ? ? 8km ? ? 4 ?1 ? 4k ?? 4m ? 4 ? ? 0 ?m 2 ? 1 ? 4k 2 ? ? ?8km ?8km ? ? ③,所以 即 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ? ? ? 4m 2 ? 4 4m 2 ? 4 x x ? x x ? ? 1 2 ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? ?

y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ?

k ? ?8km ? 2m ? 2m ? ,由中点坐标公式得 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

m ? ? ?4km ? ?4? km ? m ? ,根据 OQ ? ?OG ,得 Q ? ,将其代入椭圆方 G? , , 2 2 ? 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?
程,有

?1 ? 4k ? ?1 ? 4k ?
2 2

4? 2 k 2 m2

?

? 2 m2

2 2

? 1 .化简得 ? 2 m2 ? 1 ? 4k 2 ④
4m 2 ? 4 4 1 ? 4 k 2 ? m 2 ? ?8km ? ? 4 ? ? ⑤, 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ?
2

②由③④得 m≠0,λ >1.因为 x1 ? x2 ? ? 在△AOB 中, S ???? ?

1 m ? x1 ? x2 ⑥,由④⑤⑥得 2

2 m ? 2 m2 ? m2 2 ? 2 ? 1 S ?? ? ? ? , ? ? ?1, ?? ? ,令 t ? ? 2 ? 1 ? ? 0, ?? ? ,则. ? 2 m2 ?2
S? 2t 2 2 ? ? ? 1 当且仅当t ? 1即? ? 2时等号成立 t ?1 t ? 1 2 t
2

?

?

所以当 ? ?

2 时, S ? ? ? ?

2 ? 2 ?1

?2

取得最大值,其最大值为 1.

【思路点拨】在求轨迹方程问题时,若所求点与已知曲线上的点相关,可用代入法求轨迹方 程,在遇到直线与圆锥曲线位置关系问题时,经常把问题转化为坐标关系,通过联立方 程借助于韦达定理、中点坐标公式及弦长公式寻求等量关系,若遇到向量关系,先看有 无直接的几何条件特征进行转化, 否则就把向量关系利用向量的坐标运算转化为坐标关 系解答.

【理?四川成都高三摸底?2014】15.已知直线 y=k ? x ?

? ?

1? ? 与曲线 y ? x 恰有两个不同交 4?

点,记 k 的所有可能取值构成集合 A;P(x,y)是椭圆

x2 y 2 ? =l 上一动点,点 P1(x1, 16 9

y1)与点 P 关于直线 y=x+l 对称,记

y1 ? 1 的所有可能取值构成集合 B,若随机地从集合 A, 4


B 中分别抽出一个元素 ?1 , ? 2 ,则 ?1 > ? 2 的概率是____ 【知识点】几何概型、椭圆性质、直线与曲线位置关系的应用 【答案解析】

1? 3 ? 解析:解:若直线 y=k ? x ? ? 与曲线 y ? x 恰有两个不同交点,联立方 4? 4 ?

程得 k 2 x 2 ? ?
2

1 ? 1 ? ?1 2 ? 结合图形知若过点 ? ? , 0 ? 的直线 k ? 1? x ? k 2 ? 0 ,由△=0 得 k=±1, 16 ? 4 ? ?2 ?

与抛物线 y ? x 在 x 轴上方有 2 个不同交点,则有 0<k<1,所以 A={k│0<k<1};又点 P1(x1,y1)关于直线 y=x+l 对称点坐标为 ? y1 ? 1, x1 ? 1? ,则

y1 ? 1 x ? ? ? ?1,1? ,即 4 4

B=[-1,1],则总体为两个集合构成的矩形区域 ABCD,所求的事件为四边形 OBCD 对应 的区域,因为矩形区域 ABCD 的面积为 2,三角形 AOD 的面积为

1 ,所以所求的概率为 2

1 3 1? 2 ? . 2 4

【思路点拨】一般由曲线交点个数问题求参数范围,可结合图象分析;熟记点关于形如直线 y=±x+m 对称点的规律可减少运算量,若所求事件的概率问题与两个连续变量有关,可归 结为几何概型的面积问题解答.

【理? 吉林长春十一中高二期末? 2014】 20. (满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 ? y2 ? 1 4

的左,右焦点,

(Ⅰ)若 P 是椭圆在第一象限上一点,且 PF1 ? PF2

-

5 ,求 P 点坐标; 4

(Ⅱ)设过定点(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同两点 A, B ,且 ?AOB 为锐角(其 中 O 为原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
【知识点】平面向量数量积的运算;直线的斜率;直线与圆锥曲线的综合问题.

? ? ? 3? 3? ?; ??? 3, ? (2) ? ? 2, ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? 解析 :解:(1)由已知 F1 ? 3 ,0 , F2 3 ,0
【答案解析】(1) ? 1,

? ? 设 P ? x , y ? , x , ? 0, y , ? 0 , PF ? ??
0 0 0 0
1

? ? ?

?

?

3 ? x 0 ,? y 0 , PF2 ?

?

?

3 ? x 0 ,? y 0

?

2分

PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x 0 x0 ? y0 ? 3 ?
2

?

??

3 ? x0 ? y0 ? ?

?

2

5 4

4分

2

2

5 ?0 4

即 x0

2

x 7 3 2 3 3 ? 1 ? 0 ? ? 0 ? x 0 ? , x 0 ? 0 ? x 0 ? 1, y 0 ? 4 4 4 4 2

∴ P ? 1,

? ? ?

3? ? 2 ? ?

5分

(2)直线 l 的方程为: y ? kx ? 2

?x2 ? 4y2 ? 4 ? 1 ? 4k 2 x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 联立 ? ? y ? kx ? 2

?

?

7分

? ? ?16k ? ? 4 ? 12 ? 1 ? 4k 2 ? 0 ? k 2 ?
2

?

?

3 4

?AOB 为锐角等价于 OA ? OB ? 0
设 A? x 1 , y1 ?, B ? x 2 , y 2 ? , OA?OB

x1x2 + y1 y2 = x1x2 +( kx1 + 2)( kx2 + 2)
骣- 16k 12 + 2k 琪 +4 > 0 琪 2 1 + 4k 1 + 4k 2 桫

= 1 + k 2 x1 x2 + 2k ( x1 + x2 ) + 4 = (1 + k 2 )

(

)

? k 2 ? 4 ,综上

3 ? k2 ? 4 4

11 分

?2?k ??

? ? ? 3 3 3? ? ? ? 3 ,2 ? 或 ? k ? 2 ? k ?? ? 2,? ? ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? ? ?
-

【思路点拨】(Ⅰ)求出椭圆的 a,b,c,P 是第一象限内该椭圆上的一点设为

5 ,以及 P 在椭圆上,求点 P 的坐标; 4 (Ⅱ)设过定点M(0,2)的直线l方程为y=kx+2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与 >0 且∠AOB为锐角(其中O为作标 椭圆联立,注意到交于不同的两点A、B, D

P ? x 0 , y 0 ? ,利用 PF1 ? PF2

原点) ,就是 OA ? OB ? 0 利用韦达定理,代入化简,求直线 l 的斜率 k 的取值范 围.

【理?广东惠州一中高三一调?2014】20. (本小题满分 14 分) 椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . 2 2 a b

(1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点( A、 B 不是左右顶点), 且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 【知识点】椭圆方程,直线与椭圆的位置关系. 【答案解析】(1) x2 y2 2 + = 1 (2)恒过定点 ( ,0) . 4 3 7

解析 :解:(1)由题: e ?

c 1 ? ① a 2
10 ② ???????2 分 ???????3 分

左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为: d = (2 + c) 2 + 1 2 由①②可解得 c = 1 , a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3.

∴所求椭圆 C 的方程为

x2 y2 + =1 . 4 3

??????4 分

y

l

A

P x

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方程得 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0. 4m 2-12 8km ∴x1 + x2 = - 2 ,x1x2 = , 4k + 3 4k 2 + 3 且 y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m. → → ∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 A2A ? A2B = 0. ??????6 分 B F1 O F2 A2

??????7 分

所以 (x1-2,y1)· (x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4

4m 2-12 8km = (k + 1)· 2 -(km-2)· 2 + m2 + 4 = 0 . 4k + 3 4k + 3
2

??????10 分

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0. 2 ∴m = - k 或 m = -2k 都满足 △ > 0. 7 ??????12 分

若 m = -2k 时,直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) ,恒过定点 A2(2,0), 不合题意舍去; ???13 分

2 2 2 2 若 m = - k 时,直线 l 为 y = kx- k = k (x- ), 恒过定点 ( ,0) .???14 分 7 7 7 7 【思路点拨】 (1)利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 可 得 c ,再 利 用 椭 圆 的 标 准 方 程 及 其 性 质 即 可 得 出 a , b ; (2)把 直 线 l 的 方 程 与 椭 圆 的 方 程 联 立 可 得 根 与 系 数 的 关 系 ,再 利 用 → → 以 AB 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 的 右 顶 点 D ,可 得 A2A ? A2B = 0,即 可 得 出 m 与 k 的 关 系 ,从 而得出答案.

【文?浙江温州十校期末联考?2014】21. (本小题满分 14 分)已知抛物线 y ? 8 x 的焦点
2

x2 y 2 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,且椭圆的长轴长为 4 2 ,左右顶点分别为 A,B, a b
经过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点. (1)求椭圆标准方程: (2)记 ? ABD 与 ? ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,且 S1 ? S 2 ? 2 ,求直线 l 方程; (3)椭圆的上顶点 G 作直线 m 、 n ,使 m ? n ,直线 m 、 n 分别交椭圆于点 P 、 Q .问:

PQ 是否过一定点,若是求出该点的坐标;若不是,请说明理由.
【知识点】抛 物 线 的 方 程 与 性 质 ; 椭 圆 的 方 程 ; 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 .

x2 y 2 2? ? 【答案解析】(1) ? ? 1 (2) x ? 2 y ? 2 ? 0 (3)直线 PQ 经过定点 ? 0 , ? ? . 8 4 3? ? 2 解析 :解:(1)由题设可知抛物线 y ? 8 x 的焦点坐标为(2,0)
故椭圆中的 c=2,又椭圆的 a= 2 2 所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4

x2 y 2 ? ?1 8 4 (2)由题意可设直线 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆方程得
故椭圆标准方程为:

???4 分

(m 2 ? 2) y 2 ? 4my ? 4 ? 0
设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) ,A(- 2 2 ,0) ,B( 2 2 ,0) 则 y1 ? y2 ?

4m , m2 ? 2

???6 分

1 4m ? 4 2? | y1 ? y2 |? 2 2 | 2 |? 4 2 m ?2 解得 m= ? 2 ,故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 。 ???8 分 (3)易知 G (0 , 2) ,直线 m 、n 的斜率显然存在,设直线 m : y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程
于是 S1 ? S 2 ? 得 x ? 2(kx ? 2) ? 8 ,即 (2k ? 1) x ? 8kx ? 0 ,
2 2 2 2

解得 P? ??

?

8k 2 ? 4k 2 , 2 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2k

? ? ?. ?
10 分

? 8k 2k 2 ? 4 ? 1 ? ? , 2 同理,直线 n 的方程为 y ? ? x ? 2 , Q? 2 ? .?????? k k ? 2 k ? 2 ? ?
故直线 PQ 的方程为 y ? 即

2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ? 8k ? ? ?x ? ?, 2 3k ? 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ?

????12 分

k 2 ?1 2 y? x? 3k 3
? ? 2? ? . ????14 分 3?
2

所以,直线 PQ 经过定点 ? 0 , ?

【思路点拨】( 1 )利 用 抛 物 线 y =8x ,可 得 焦 点 坐 标 ,从 而 椭 圆 中 的 c=2 ,又 椭 圆

2 2 的 a= , 即 可 求 椭 圆 标 准 方 程 : ( 2 ) 设 直 线 l : x=my-2 , 代 入 椭 圆 方 程 , 利 用 韦 达 定 理 , 结 合 |S 1 -S 2 |=2 , 即 可 求 直 线 l 方 程 ; ( 3 ) 设 直 线 m : y=kx+2 , 代 入 椭 圆 方 程 , 求 出 P 的 坐 标 , 同 理 可 得 Q 的 坐 标 , 求 出 直 线 PQ 的 方 程 , 即 可 得 出 结 论 .

【文?江西省鹰潭一中高二期末?2014】9.对于函数 y ? e x ,曲线 y ? e 在与坐标轴交点处的
x

切线方程为 y ? x ? 1 ,由于曲线 y ? e x 在 切线 y ? x ? 1 的上方,故有不等式 e x ? x ? 1 . 类比上述推理:对于函数 y ? ln x( x ? 0) ,有不等 式 ( ) A. ln x ? x ? 1( x ? 0) C. ln x ? x ? 1( x ? 0) B. ln x ? 1 ? x( x ? 0) D. ln x ? x ? 1( x ? 0)

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【答案解析】D 解析 :解:由题意得,y′ =lnx= ,且 y=lnx 图象与 x 轴的交点是(1,0) , 则在(1,0)处的切线的斜率是 1,∴在(1,0)处的切线的方程是 y=x﹣1, ∵切线在 y=lnx 图象上方(x>0) ,∴x﹣1≥lnx(x>0) , 故选D. 【思路点拨】求出导数和函数图象与轴的交点坐标,再求出在交点处的切线斜率,代入点斜 式方程求出切线方程,再与函数的图象位置比较,得到不等式.

【文?吉林一中高二期末?2014】20. 已知

f ( x) ? ln x,  g ( x) ?

1 2

ax ? bx (a ? 0),  h( x) ? f ( x) ? g ( x).
2

(1)当 a ? 4,b ? 2 时,求 h( x) 的极大值点; (2)设函数 f ( x) 的图象 C1 与函数 g ( x) 的图象 C2 交于 P 、 Q 两点,过线段 PQ 的中点 做 x 轴的垂线分别交 C1 、 C2 于点 M 、 N ,证明: C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处 的切线不平行. 【知识点】利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ; 利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程 .
【答案解析】(1) h( x) 的极大值点为

5 ?1 (2) 见解析 4

解析 :解:(1) h( x) ? ln x ? 2 x2 ? 2 x, h '( x) ?

1 ?4 x 2 ? 2 x ? 1 ? 4x ? 2 ? , x x

令 h’(x)=0,则 4x +2x-1=0,解出 x1=

2

5 ?1 ? 5 ?1 , x2= , 4 4

?当0 ? x ?

5 ?1 5 ?1 5 ?1 时, h '( x) ? 0, 则h( x)在(0, )上为增函数; 当x ? 时, h '( x) ? 0, 4 4 4

? 5 ?1 ? 5 ?1 则h( x)在 ? ,+ ? 所以 h( x) 的极大值点为 . ? ? 4 ? 上为减函数. 4 ? ?
(2)设 P、Q 的坐标分别是 ( x1, y1),( x2 , y2 ), 且0 ? x1 ? x2 .则 M、N 的横坐标 x ? ∴C1 在点 M 处的切线斜率为 k1 ?

x1 ? x2 . 2

a( x1 ? x2 ) 2 ?b 假 ,C2 在点 N 处的切线斜率为 k2 ? 2 x1 ? x2

设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1 ? k2 ,即

2 a( x ? x ) ? 1 2 ? b. x1 ? x2 2

2( x2 ? x1 ) a( x22 ? x12 ) ax22 ax12 则 ? ? b( x2 ? x1 ) ? ( ? bx2 ) ? ( ? bx1 ) ? y2 ? y1 ? ln x2 ? ln x1 x1 ? x2 2 2 2
x2 -1) x2 x1 ( 2 t -1) x ? ln ? . 设 t= 2 , 则 ln t ? (t ? 1)????① x2 1+ t x1 x 1 1+ x1 2(
令 r (t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1)2 ( 2 t -1) (t ? 1) ,则 r '(t ) ? ? ? ,  t ? 1,  r '(t ) ? 0 1+t t (1+t )2 t (1+t )2

∴r(t)在[1,+∞)上单调递增,故 r(t)> r(1)=0.∴ ln t ?

( 2 t -1) ,这与①矛盾,假设不成 1+t

立, 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 【思路点拨】(1)先对原函数 h(x)求导,令 h’(x)=0,解出零点后利用函数的单调性求出

h( x) 的极大值点即可.(2)利 用 反 证 法 证 明 结 论 即 可 .

【文?吉林一中高二期末?2014】9. 已知点 P 在曲线 y ?

的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是( A. [

4 上, ? 为曲线在点 P 处 e ?1
x



3? ,? ) 4

B. [

? ?

, ) 4 2

C. ( ,

? 3?
2 4

]

D.[0,

? ) 4

【知识点】基本不等式;导数的几何意义;倾斜角的意义. 【答案解析】A 解析 :解:因为

tan ? ? y ' ?

?e

?4e x
x

? 1?

2

?

?4 ?4 ? ? ?1 ?? ? [0, ? ) ? , 1 4 x e ? x ?2 e

所以

3? ? ? ? ? ,故选 A. 4

【思路点拨】利用导数的几何意义求出斜率的取值范围,再求出倾斜角的范围即可.

【理?浙江温州十校期末联考?2014】21. (本小题满分 14 分)已知抛物线 y ? 8 x 的焦点
2

为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点,且椭圆的长轴长为 4 2 ,左右顶点分别为 A,B, a 2 b2

经过椭圆左焦点的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点. (1)求椭圆标准方程: (2)记 ? ABD 与 ? ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,且 S1 ? S 2 ? 2 ,求直线 l 方程; (3)椭圆的上顶点 G 作直线 m 、 n ,使 m ? n ,直线 m 、 n 分别交椭圆于点 P 、 Q .问:

PQ 是否过一定点,若是求出该点的坐标;若不是,请说明理由.
【知识点】抛 物 线 的 方 程 与 性 质 ; 椭 圆 的 方 程 ; 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 .

x2 y 2 2? ? ? ? 1 (2) x ? 2 y ? 2 ? 0 (3)直线 PQ 经过定点 ? 0 , ? ? . 8 4 3? ? 2 解析 :解:(1)由题设可知抛物线 y ? 8 x 的焦点坐标为(2,0)
【答案解析】(1) 故椭圆中的 c=2,又椭圆的 a= 2 2 所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4

x2 y 2 ? ?1 8 4 (2)由题意可设直线 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆方程得
故椭圆标准方程为:

???4 分

(m 2 ? 2) y 2 ? 4my ? 4 ? 0
设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) ,A(- 2 2 ,0) ,B( 2 2 ,0)

4m , ???6 分 m2 ? 2 1 4m 于是 S1 ? S 2 ? ? 4 2 ? | y1 ? y2 |? 2 2 | 2 |? 4 2 m ?2 解得 m= ? 2 ,故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 。 ???8 分 (3)易知 G (0 , 2) ,直线 m 、n 的斜率显然存在,设直线 m : y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程
则 y1 ? y2 ? 得 x ? 2(kx ? 2) ? 8 ,即 (2k ? 1) x ? 8kx ? 0 ,
2 2 2 2

? 8k 2 ? 4k 2 ? , 解得 P? ? 2 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2k

? ? ?. ? ? 8k 2k 2 ? 4 ? 1 , x ? 2 , Q? ?k2 ? 2 k2 ? 2 ? ? .?????? k ? ?
10 分

同理,直线 n 的方程为 y ? ? 故直线 PQ 的方程为 y ? 即

2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ? 8k ? ?x ? 2 3k ? 1 ? 2k 1 ? 2k 2

? ?, ?

????12 分

y?

k 2 ?1 2 x? 3k 3
? ? 2? ? . ????14 分 3?
2

所以,直线 PQ 经过定点 ? 0 , ?

【思路点拨】( 1 )利 用 抛 物 线 y =8x ,可 得 焦 点 坐 标 ,从 而 椭 圆 中 的 c=2 ,又 椭 圆 的 a=

2 2























( 2 ) 设 直 线 l : x=my-2 , 代 入 椭 圆 方 程 , 利 用 韦 达 定 理 , 结 合 |S 1 -S 2 |=2 , 即 可 求 直 线 l 方 程 ; ( 3 ) 设 直 线 m : y=kx+2 , 代 入 椭 圆 方 程 , 求 出 P 的 坐 标 , 同 理 可 得 Q 的 坐 标 , 求 出 直 线 PQ 的 方 程 , 即 可 得 出 结 论 .

H9

曲线与方程
2 2

【理?甘肃兰州一中高二期末?2014】2.在平面直角坐标系中,曲线 C: x ? y ? 36 经过

? / 1 x ? x ? ? 2 伸缩变换 ? 后,所得曲线的焦点坐标为( ? y/ ? 1 y ? 3 ?



A. (0, ? 5)

B. (? 5,0)

C. (0, ? 13)

D. (? 13,0)

【知识点】曲线间的转化.双曲线的焦点坐标.

? / 1 x ? x ? ? 2 2 2 【答案解析】 D解析 : 解: 曲线C:x ? y ? 36 经过伸缩变换 ? 得 x = 2 xⅱ , y = 3y , 1 / ?y ? y ? 3 ?

x2 y 2 = 1 ,即焦点坐标为 (? 13,0) ,故选D. 代入可得 9 4
【思路点拨】由 条 件 可 得 变 换 后 的 曲 线 方 程 为

x2 y 2 =1 , 化 简 可 得 结 果 . 9 4

H10

单元综合

【 重 庆 一 中 高 一 期 末 ? 2014 】 9. 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 圆 C 的 方 程 为

x2 ? y 2 ? ?2 y ? 3 ,直线 l 过点 (1, 0)且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直 . 若直线 l 与圆 C 交于
A、B 两点,则 ?OAB 的面积为(
A.1 B. 2 C.2 ) D. 2 2

【知识点】点 到 直 线 的 距 离 公 式 ; 直 线 的 方 程 ; 圆 的 方 程 ; 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 . 2 2 【答案解析】A 解析 :解:∵ 圆 C 的 方 程 为 x +y =-2y+3 , ∴ 化 成 标 准 方 程 , 可 得 2 2 x + ( y+1 ) =4 , 由 此 可 得 圆 的 圆 心 为 C ( 0 , -1 ) 、 半 径 为 2 . ∵ 直 线 x-y+1=0 的 斜 率 为 1 且 与 直 线 l 垂 直 , 直 线 l 经 过 点 ( 1 , 0 ) , ∴ 直 线 l 的 斜 率 为 k=-1 , 可 得 直 线 l 的 方 程 为 y=- ( x-1 ) , 即 x+y-1=0 .











C





线

l







d?

0 ? ?1 2

1 ? 2



∴ 直 线

l

被 圆

C

截 得 的 弦 长

AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ? 2 ? 2 2 ,
距 离 为













O



AB



d' ?

0 ? ?0 2

?

1 2 , 2
. ? ' 2 2 ?2





OAB









S?

1 2

A ? B

1 ? d 2

故选:A 【思路点拨】将 圆 C 化 成 标 准 方 程 , 得 到 圆 心 为 C ( 0 , -1 ) 、 半 径 为 2 . 由 垂 直 的 两 直 线 斜 率 的 关 系 算 出 直 线 l 的 斜 率 为 1 , 可 得 l 的 方 程 为 x+y-1=0 , 进 而 算 出 圆 心 C 到 l 的 距 离 d ? 2 , 再 根 据 垂 径 定 理 算 出 l 被 圆 C 截 得 的 弦 长 |AB|=

2 2 . 最 后 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 算 出 原 点 O 到 AB 的 距 离 , 根 据 三 角 形 的 面 积
公 式 即 可 算 出 △ OAB 的 面 积 .

【浙江效实中学高一期末?2014】22.曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) ,曲线 C2 : x2 ? 4 y .自 16 4

曲线 C1 上一点 A 作 C2 的两条切线切点分别为 B, C . (1)若 A 点坐标为 (2 3, ?1) , F (0,1) . 求证: B, F , C 三点共线; (2)求 S?ABC 的最大值.

y

C

B

x
A

【知识点】圆锥曲线综合问题 【答案解析】(1)略;(2)

17 17 2
, 则B 点 F( 0 , 1 ) C :2 3x 2 ?y 2? , 在直线 BC 上, 即 B, C , F

解析: 解: (1) 点 A( 23 ,1 )? 三点共线。 (2)设 lBC : y ? kx ? b

? x2 ? 4 y ? ? y ? kx ? b

x2 ? 4kx ? 4b ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4b ,

AB : y ? k1 ( x ? x1 ) ?

x12 2 ,代入 x2 ? 4 y ,得 x2 ? 4k1 x ? 4k1x1 ? x1 ?0 4
k1 ? 1 x1 2

? ? 16k12 ?16k1 x1 ? 4x12 ? 0

AB : y ?

x2 1 x1 x ? 1 2 4

同理 AC : y ?

x 1 x2 x ? 2 4

2 2

1 ? x ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 得 A: ? , 1 ? y? xx 1 2 ? ? 4

?2k 2 ? 2b 4k 2 b 2 2 2 ? ? 1, k ? b ? 4(0 ? b ? 2) , d A? BC ? 即 A(2k , ?b) ,所以 16 4 1? k 2

x1 ? x2 ? 16k 2 ? 16b

BC ? 1 ? k 2 x1 ? x2

S ?ABC

3 ?2k 2 ? 2b 1 2 ? 1 ? k x1 ? x2 ? 16k 2 ? 16b k 2 ? b ? 4(k 2 ? b) 2 2 1? k 2 2 3 2

1 2 17 3 17 17 ? 4(4 ? b ? b) ? 4(?(b ? ) ? ) 2 ? 2 4 2
当b ?

1 15 时取等号。 ,k ? ? 2 2

【思路点拨】证明点共线问题,可以先求出其中两点所在直线方程,再判断第三个点是否满 足直线方程即可;对于圆锥曲线与直线综合问题,通常设方程,联立方程,利用韦达定理对 条件进行转化.


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