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复变函数与积分变换试卷


一.计算题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分)
1.求 lim ? n ,这里 ? n ? ?1 ? n ??

? ?

1 ? i? n ?e . n?

? ? ?? ? 1 ? i n ? 1 ?? 解 ? n ? ?1 ? ? e ? ?1 ? ?? cos ? i sin ? n n? ? n? ? n ??

? ? 1? ? 1? ? ? n ? ?1 ? ? cos , bn ? ?1 ? ? sin n n n n
? ? ? ?
而 lim an ? 1, lim bn ? 0 ,所以,lim ? n ? 1
n ?? n ?? n ??

3分 5分

2.计算 z dz ,其中 C 为从原点到点 z0 ? 1 ? 2i 的直线段。
C

?



C 的参数方程为: z ? (1 ? 2i)t ,0 ? t ? 1 .则

2分 5分

C

? zdz ? ? (1 ? 2i)t (1 ? 2i)dt ? 5? tdt ? 2 .
0 0

1

1

5

二.计算题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) 1.

? ? ( z ? 4)( z ?1)dz , C 为正向圆周 z ? 5 .
C

cos z



? ? ( z ? 4)( z ?1)dz ?
C

cos z

? ? ? ? cos z cos z 2? i Re s ? , ?4? ? 2? i Re s ? ,1? ? ( z ? 4)( z ? 1) ? ? ( z ? 4)( z ? 1) ? ? ? ? ? cos z cos z ? 2? i lim ?( z ? 4) ? 2? i lim ?( z ? 1) ? z ??4 z ?1 ( z ? 4)( z ? 1) ? ( z ? 4)( z ? 1) ? ? ? ?
? 2? i lim
z ??4

2分

cos z cos z 2? i ? 2? i lim ? (? cos 4 ? cos1) z ? 1 z ?1 ( z ? 4) 5

6分

2.求 Re s ?

?

? ? ? 1 , ? 3 , 2? . ? 与 Re s ? 2 2 ? ? z ? 2 ? ( z ? 3) ? ? ( z ? 2) ( z ? 3) ? ? ? 1



? ? ? ? 1 1 1 Re s ? , ?3? ? lim ?( z ? 3) ? 2 2 ( z ? 2) ( z ? 3) ? ? ( z ? 2) ( z ? 3) ? z ??3 ? ? 25
3分

? ? ? ?? 1 1 1 2 Re s ? , 2 ? lim ( z ? 2) ?? ? ? ? 2 2 z ? 2 ( z ? 2) ( z ? 3) ? 25 ? ( z ? 2) ( z ? 3) ? ?
6分 三. 将函数 f ( z ) ?

1 分别在圆环域 1 ? z ? 2 及 0 ? z ? 1 ? 3 内展 z ?z?2
2

开成罗朗级数。 (8 分) 解

f ( z) ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? z ? z ? 2 3 ? z ? 2 z ?1 ?
2

2分

在圆环域 1 ? z ? 2 内展开

f ( z) ?

1 1? 1 1 ? 11 1 1 1 ? ? ? ? ??? z ? z ? 2 3 ? z ? 2 z ?1 ? 3 2 1 ? z 3z 1 ? 1 2 z
2

??

1 ? z n 1 ? (?1)n ? ? ? 3 n?0 2n?1 3 n?0 z n?1

5分

在圆环域 0 ? z ? 1 ? 3 内展开

f ( z) ?

1 1? 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? z ? z ? 2 3 ? z ? 2 z ?1 ? 9 1? z ?1 3 z ?1 3
2

? ? 1 1 ( z ? 1) n ? ? ? ? 3 z ?1 n?2 ? n ?0 3 ?? n ? ?或 ? 1 1 ? ( z ? 1) ? ? 3 z ? 1 n ?0 3n ?

8分

四、单项选择题(本题共9 小题,每小题3分,满分27 分) 1.方程 z ? i ?

2 所代表的曲线是

(A)中心为 i ,半径为 2 的圆周 (C)中心为 ?i ,半径为 2 的圆周 2.下列函数中,为解析函数的是 (A) x2 ? y 2 ? 2 xyi (C) 2( x ?1) y ? i( y 2 ? x2 ? 2x)

(B)中心为 ?i ,半径为 2 的圆周 (D)中心为 i ,半径为 2 的圆周

(B) x2 ? xyi (D) x3 ? y3i

3.设 f ( z ) ? sin z ,则下列命题中,不正确的是 (A) f ( z ) 在复平面上处处解析 (C) f ( z) 是无界的 4.函数
?

(B) f ( z)? (iez ? ?e i z ) / 2 (D) f ( z ) 以 2? 为周期

1 在点 z ? ?1 处的泰勒展开式为 z2
(B)
?

(A)

? (?1)n n( z ? 1)n?1, z ? 1 ? 1
n ?1

? (?1)
n ?1

?

n ?1

n( z ? 1)n?1 , z ? 1 ? 1

(C) ?

? n( z ? 1)n?1, z ? 1 ? 1
n ?1

?

(D)

? n( z ? 1)
n ?1

n ?1

,

z ?1 ? 1

5.若幂级数

?c z
n ?0 n

?

n

在 z ? 2i 处收敛,则该级数在 z ? 1 处的敛散性为 (B) 条件收敛 (C)发散 (D)不能确定

(A)绝对收敛
?

zn 6.幂级数 ? 3 的收敛半径 R ? n ?1 n
(A)2
1

(B) 0

(C) 1

(D) ??

7. z ? 2 为函数 e z ? 2 的() (A)解析点 8.设 f (t ) ? e
j?0t

(B) 本性奇点

(C)可去奇点

(D)极点

,则 f (t ) 的 Fourier 变换为 (C) 2?? (? ? ?0 ) (D) 2?? (? ? ?0 )

(A) ? (? ? ?0 ) (B) ? (? ? ?0 )

9.设 F (? ) 是函数 f (t ) 的 Fourier 变换,则函数 g (t ) ? tf (t ) 的 Fourier 变 换为 (A)

d F (? ) d?

(B) ?

d F (? ) d?

(C) ? j

d d F (? ) (D) j F (? ) d? d?

五.填空题(本题共7 小题,每小题3 分,满分21 分) 1.复数 1 ? i 的指数表示式为 z ?

2e

i

?
4

2.复变数方程 Im z ? 2 ? ?1 在 z 平面上表示的曲线为 y ? 1 3.设函数 f ( z ) ? z Re( z ) ,则函数 f ( z ) 仅在 z ? 0 处可导。

?

?

ez 4.设 C 正向圆周: z ? 1,则 ? ? ( z ? 3)3 dz ? 0 C
5. Ln(?1) ? (2k ? 1)? i 6. z ? 0 为函数 f ( z ) ?

1 ? cos z 的 m 级极点,则 m ? 1 z3

7.

?

?? ??

? (t )e? jwt dt ? 1

一.计算题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 1.求 i 的值.
i



ii ? eiLni

2分
? 2 k? i )

?e
C

i(

?i
2

?e

? ( ? 2 k? ) 2

?

, k ? 0, ?1, ?2,?

5分

2.计算 Im(z ) dz ,其中 C 为从原点到点 z0 ? 1 ? i 的直线段。 解

?

C 的参数方程为: z ? (1 ? i)t ,0 ? t ? 1 .则

2分 5分

C

? Im( z)dz ? ? t (1 ? i)dt ? (1 ? i)? tdt ?
0 0

1

1

1? i . 2

二.计算题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) 1.

ez ? ? ( z ? 1)( z ?1)dz , C 为正向圆周 z ? 2 . C
? ? ez ez 1 Re s ? , ?1? ? lim ?? , 2e ? ( z ? 1)( z ? 1) ? z ??1 z ? 1 ? ? e ez Re s ? ,1? ? ? ( z ? 1)( z ? 1) ? 2
4分

解: z ? ?1 为一级极点, z ? 1 一级极点

ez dz ? 2? i ? Re s ? f ( z),0? ? Re s ? f ( z),1?? ? ? i(e ? e?1 ) ? ? z( z ?1) C
2.求 Re s ? 解

6分

?

? ? ? 2z ?1 2z ?1 , ?2? 与 Re s ? ,3? . 2 2 ? ( z ? 3) ( z ? 2) ? ? ( z ? 3) ( z ? 2) ?

? ? ? ? 2z ?1 2z ?1 3 Re s ? , ?2? ? lim ?( z ? 2) ?? ? 2 2 ( z ? 3) ( z ? 2) ? 25 ? ( z ? 3) ( z ? 2) ? z ??2 ?

3分

? ? ? ?? 3 2z ?1 2z ?1 2 Re s ? ,3? ? lim ?( z ? 3) ? 6分 2 ( z ? 3) 2 ( z ? 2) ? ? ( z ? 3) ( z ? 2) ? z ?3 ? ? 25 1 三.将函数 f ( z ) ? 2 分别在圆环域 1 ? z ? 3 及 4 ? z ?1 ? ?? z ? 2z ? 3
内展开成罗朗级数。 (8 分)

解 在圆环域 1 ? z ? 2 内展开

f ( z) ?

1 1? 1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? z ? 2 z ? 3 4 ? z ? 1 z ? 3 ? 4 z 1 ? 1 12 1 ? z z 3
2

1 ? 1 1 ? (?1)n z n ? ? n?1 ? ? n?1 4 n ?0 z 4 n ?0 3
在圆环域 4 ? z ?1 ? ?? 内展开

4分

f ( z) ?

1 1? 1 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? z ? 2z ? 3 4 ? z ?1 z ? 3 ? 4 z ?1 4 z ?1 1 ? 4 z ?1
2

? ? ( ?1) n ?1 4 n ?1 ? ? n ?1 1 1 1 ? (?1)n 4n ? n ?1 ( z ? 1) ? ? ? ? ? ? 4 z ? 1 4 n?0 ( z ? 1) n?1 ? 1 ( ?1) n 4 n 或 2 ? n ? ? ( z ? 1) n ?0 ( z ? 1)

8分

四、单项选择题(本题共9 小题,每小题3分,满分27 分) 1.集合 D ? {z 1 ? z ? 2} ,则 D 是 (A)无界区域 (B)闭区域
2 2

(C) 单连通区域
2 2

(D)多连通区域

2.若函数 f ( z) ? x ? 2xy ? y ? i( y ? axy ? x ) 在复平面上处处解析, 那么, a ? (A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) ?2

3.设 f ( z ) ? sin z ,则下列命题中,不正确的是 (B) f ( z ) ?

(A) f ( z ) 在复平面上处处解析 (C) f ( z ) 以 2? 为周期

eiz ? e?iz 2

(D) f ( z) 是无界的

4.级数

1 ? ? () ?n? ? n?
n ?1

?

1?

i?

(A) 发散
?

(B) 收敛

(C) 绝对收敛

(D) 条件收敛

5.若幂级数

?c z
n ?0 n

n

在点 z ? ?i 处收敛,则它必在 (B) z ? 2 处发散

(A) z ? 2 处收敛 (C) z ?

1 1 处发散 (D) z ? 处收敛 2 2 1 6.函数 在点 z ? 2i 处的泰勒展开式为 z ? 3i
(A)

? (?i)n ( z ? 2i)n , z ? 2i ? 1
n ?0

?

(B) ?

? (?i) ( z ? 2i) , z ? 2i ? 1
n n n ?0 ? n ?1

?

(C) i

? (?i)n ( z ? 2i)n , z ? 2i ? 1
n ?0

?

(D)

? (?i)
n ?0

( z ? 2i) n , z ? 2i ? 1

7. z ? 1 为函数 sin (A)可去奇点

1 的 z ?1
(B)本性奇点 (C)一级极点 (D)一级零点

8.设 F (?) ? 2?? (? ??0 ) ,则 F (? ) 的 Fourier 逆变换为 (A) e
j?0t

(B) e

? j?0t

(C)

? (t ? t0 )

(D) ? (t ? t0 )

9.设 F (? ) 是函数 f (t ) 的 Fourier 变换,则函数 g (t ) ? tf (t ) 的 Fourier 变 换为 (A) ?

d F (? ) d?

(B)

d F (? ) d?

(C) ? j

d d F (? ) (D) j F (? ) d? d?

五.填空题(本题共7 小题,每小题3 分,满分21 分) 1.复数 1 ? i 的三角表示式为 z ?

? ?? ? 2 ? cos ? i sin ? 4 4? ?

2.复变数方程 z ?1 ? z ?1 在 z 平面上表示的曲线为 x ? 0 3.设函数 f ( z ) ? z Re( z ) ,则函数 f ( z ) 仅在 z ? 0 处可导。 4.设 C 正向圆周: z ? 3 ,则

? ? ( z ? 4)
C

2z ? 5
3

dz ? 0

5. z ? 0 为函数 f ( z ) ?
?

ez ?1 的 m 级极点,则 m ? 3 z4

6.幂级数

? e n z n 的收敛半径 R ? 1
i n ?0

?

7.单位脉冲函数 ? (t ) 的 Fourier 变换为 F (? ) ? 1

一.计算题(本大题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 1. 设函数 f ( z) ? my ? nx y ? i( x ? lxy ) 。 当常数 l , m, n 取何值时,
3 2 3 2

f ( z ) 在复平面内处处解析?


ux ? 2nxy, uy ? 3my 2 ? nx2 , vx ? 3x2 ? ly2 , vy ? 2lxy 要 使

,只需 ux ? vy, uy ? ? v x

2nxy ? 2lxy,3my 2 ? nx2 ? ?(3x2 ? ly 2 )
3分 因 此 , 当 l ? n ? ?3, m ? 1 时 , f ( z ) 在 复 平 面 内 处 处 解 析.
C

5分

2.计算 z dz ,其中 C 为从原点到点 z0 ? 1 ? i 的直线段。
2

?

解 分

C 的参数方程为:z ? (1 ? i)t ,0 ? t ? 1 . 则

2

C

? z dz ? ? (1 ? i) t dt ? (1 ? i) ? t dt ? 3 (i ?1)
2 3 2 3 2 0 0

1

1

2



5分 二.计算题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)

ez 1. ? ? ( z ? 1)( z ?1)dz , C 为正向圆周 z ? 2 . C
解: z ? ?1 为一级极点, z ? 1 一级极点

? ? ? ez ? ez 1 ?1 Re s ? , ?1? ? lim ? ??? e , 2 ? ( z ? 1)( z ? 1) ? z ??1 ? z ? 1 ? ? ? 1 ez Re s ? ,1? ? e , ? ( z ? 1)( z ? 1) ? 2

3分

6分

ez dz ? 2? i ? Re s ? f ( z ), ?1? ? Re s ? f ( z),1?? ? ? i(e ? e?1 ) ? ? ( z ? 1)( z ? 1) C
8分

2.求 Re s ? 解

?

? ? ? 1 1 , ?2 ? 与 Re s ? 2 ,0? . ? z ( z ? 2) ? ? z ( z ? 2) ?
2

? ? ? ? 1 1 1 Re s ? 2 , ?2? ? lim ?( z ? 2) 2 ? z ?? 2 z ( z ? 2) ? ? z ( z ? 2) ? ? ? 4
4分

? ? ? ?? 1 1 1 Re s ? 2 , 0? ? lim ? z 2 2 ?? ? 4 ? z ( z ? 2) ? z ?0 ? z ( z ? 2) ?
8分 三.将函数 f ( z ) ? 展开成罗朗级数。 (10 分) 解 2分 在圆环域 2 ? z ? 3 内展开

1 分别在圆环域 2 ? z ? 3 及 0 ? z ? 2 ? 1内 z ? 5z ? 6
2

f ( z) ?

1 1 ? ? z ? 5z ? 6 z ? 3 z ? 2
2

1

f ( z) ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? z ? 5z ? 6 z ? 3 z ? 2 3 1? z z 1? 2 3 z
2

1 ? z n ? 2n ? ? ? ( ) ? ? n?1 3 n ?0 3 n ?0 z
5分 在圆环域 0 ? z ? 2 ? 1内展开

f ( z) ?

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? z ? 5z ? 6 z ? 3 z ? 2 1 ? ( z ? 2) z ? 2
2

? ? ? ( z ? 2)n
n ??1

?

10 分 四、单项选择题(本题共 9 小题,每小题3分,满分 27 分)(请将此题答案填入第 一页中相应位置) 1.已知方程 (1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,则 z ? (A) 2 ? i (B) ?2 ? i 2.下列函数中,为解析函数的是 (A) 2( x ?1) y ? i( y 2 ? x2 ? 2x) (C) x2 ? y 2 ? 2 xyi 3.设 f ( z ) ? sin z ,则下列命题中,不正确的是 (A) f ( z ) 在复平面上处处解析 (C) f ( z ) ? (B) f ( z ) 以 2? 为周期 (C) 2 ? i (D) ?2 ? i (B) x2 ? xyi (D) x3 ? y3i

eiz ? e?iz 2
?

(D) f ( z) 是无界的

4.设 ? 为任意实数,则 1

(A)无定义 (C)是复数,其模等于 1 5.若幂级数

(B)是复数,其实部等于 1 (D)等于 1

?c z
n ?0 n

?

n

在点 z ? ?i 处收敛,则它必在 (B) z ? 2 处发散 (D) z ?

(A) z ? 2 处收敛 (C) z ?
?

1 处发散 2

1 处收敛 2

6.级数

1 ? ? () ?n? ? n?
n ?1

1?

i?

(A) 收敛

(B) 发散

(C) 绝对收敛

(D) 条件收敛

7.函数 sin z 在点 z ?
?

?
2

处的泰勒展开式为

(A)

(?1)n ? ( z ? )2 n?1 , ? 2 n ?0 (2n ? 1)!

z?

?
2

? ??

(B)

(?1)n ? ( z ? )2 n , ? 2 n ?0 (2n)!
? ?

z?

?
2

? ??

(C)

(?1)n?1 ? ( z ? )2 n?1 , ? 2 n ?0 (2n ? 1)!
?

z?

?
2

? ??

(?1)n?1 ? (D) ? ( z ? )2 n , 2 n ?0 (2n)!

z?

?
2

? ??

8.设 F (?) ? 2?? (? ??0 ) ,则 F (? ) 的 Fourier 逆变换为 (A) 1 (B) ? (t ? t0 ) (C) e
? j?0t

(D) e

j?0t

9.设 F (? ) 是函数 f (t ) 的 Fourier 变换,则函数 g (t ) ? tf (t ) 的 Fourier 变 换为 (A) ?

d F (? ) d?

(B)

d F (? ) d?

(C) ? j

d d F (? ) (D) j F (? ) d? d?

五.填空题(本题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) (请将此题答案填入第一 页中相应位置) 1. ?1 ? i ?

2

2.复变数方程 z ? 4 ? z ? 4 在 z 平面上表示的曲线为 x ? 0 3.设函数 f ( z ) ? z Re( z ) ,则函数 f ( z ) 仅在 z ? 0 处可导。 4.设 C 正向圆周: z ?

1 cos z ,则 ? dz ? 0 2 ? 2 ( z ? 1) ( z ? 1)( z ? 2) C

5.

zn 的收敛半径 R ? 1 ? 3 n ?0 n

?

6.

?

?? ??

? (t )dt ? 1
cos z ? 1 的 m 级极点,则 m ? 2 z4

7. z ? 0 为函数 f ( z ) ?


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