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高考数学停课查缺补漏基础知识回放


2009 届高考数学查缺补漏基础知识回放
第一部分 集合与简易逻辑
1.集合元素的三个性质?举例说明互异性;描述法研究集合关系首先要搞清出什么?举例 说明。 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键: 元素是函数关系中自变量的取值? ..... 还是因变量的取值?还是曲线上的点? 2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦 .... 恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思 想方法解决,特别是在集合的交、并、补的运算之中。注意 ? 是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。注意补集思想的应用(反证法,对立事件,排除法等) 。 3.(1) 含 n 个元素的集合的子集数为 2 ,真子集数为 2 ? 1; 非空真子集的数为 2 ? 2 ;
n n n

(2) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; 注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况; (3) C I ( A ? B) ? (C I A) ? (C I B);C I ( A ? B) ? (C I A) ? (C I B) 。 4.四种命题:⑴原命题:若 p 则 q; ⑵逆命题:若 q 则 p;⑶否命题:若 ? p 则 ? q; ⑷逆否命题:若 ? q 则 ? p 注:(1)原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。判断命题真假时常常借助判 断其逆否命题的真假;(2)区别否命题与命题的否定。 5.充要条件的判断: (1)定义法:正、反方向推理,即要从 A 出发推得 B,再从 B 出发推得 A。 (2)利用集合间的包含关系:例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的 必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件。 6.逻辑连接词: ⑴且(and) :命题形式 p ? q; p q p?q p?q ⑵或(or) :命题形式 p ? q; 真 真 真 真 ⑶非(not) :命题形式 ? p . 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 7.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”“任意一个”等,用 ? 表示; 、

?p
假 假 真 真

全称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) 。 ⑵存在量词--------“存在一个”“至少有一个”等,用 ? 表示; 、 特称命题 p: ?x ? M , p( x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p( x) ;

第二部分

函数、导数与不等式

(一)函数 1.映射:①起始集中的元素必须有象;②一对一,或多对一。 2.函数定义域的求法:函数解析式有意义;符合实际意义;定义域优先原则 函数解析式的求法:代入法,凑配法,换元法,待定系数法,函数方程法 函数值域的求法:①观察法(熟悉基本初等函数的定义、性质) ;②配方法(二次函数
1

在闭区间上的最值) ;③判别式法(运用在具有二次特征的函数上) ;④利用函数单 调性 ;⑤换元法(代数与三角) ;⑥利用均值不等式

a?b a2 ? b2 ; ab ? ? 2 2

⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义以及圆锥曲线等) ;⑧利用函数 有界性( a 、 sin x 、 cos x 等) ;⑨导数法。 3.分段函数: (1)表述形式; (2) 定义域、值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分 段解决,再下结论。 4.复合函数的有关问题: (1)复合函数定义域求法:① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义 域由不等式 a≤g(x)≤b 解出② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域, 相当于 x ∈[a,b]时,求 g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函 数 u ? g (x) 与外函数 y ? f (u ) ; ②分别研究内、 外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数 y ? f (u ) 的定义域是内函数 u ? g (x) 的值域。 5.函数的奇偶性: ⑴ 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; .... ⑵ f (x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? ?1 ;
f ( x)
x

⑶ f (x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f (? x) ? 1 ;
f ( x)

⑷ 奇函数 f (x) 在原点有定义,则 f (0) ? 0 ; ⑸ 在关于原点对称的单调区间内: 奇函数有相同的单调性, 偶函数有相反的单调性; (6) 若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,等价变形,再判断其奇偶性; 6.函数的单调性: ⑴单调性的定义: f (x) 在区间 M 上是增(减)函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ? ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0(? 0)

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0(? 0) ; x1 ? x2

⑵单调性的判定定义法:注意:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商 的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分) ;③复合函数法(见 4(2)同增异减) ; ④图像法。 注:证明单调性要用定义法或导数法;求单调区间,先求定义域;多个单调区间之间不能用 “并集”“或” 、 ;单调区间不能用集合或不等式表示。单调性判断和证明有何区别?
2

7.函数的周期性: (1)周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 f ( x ? T ) ? f ( x) (其中 T 为非零常 数) ,则称函数 f (x) 为周期函数, T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为 函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期 ① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ;③ y ? tan x : T ? ? ; ④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? A cos(?x ? ? ) : T ?

? 2? ;⑤ y ? tan?x : T ? ; |? | |? |

(3)函数周期的判定:①定义法(试值) ②图像法 ③公式法(利用(2)中结论) (4)与周期有关的结论:① f ( x ? a) ? f ( x ? a) 或 f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0)

? f (x) 的周期为 2a ;② y ? f (x) 的图象关于点 (a,0), (b,0) 中心对称 ? f (x) 周期 2 a ? b ;③ y ? f (x) 的图象关于直线 x ? a, x ? b 轴对称 ? f (x) 周期为 2 a ? b ;
④ y ? f (x) 的图象关于点 (a,0) 中心对称,直线 x ? b 轴对称 ? f (x) 周期 4 a ? b ; 8.幂、指、对的运算法则: 9.基本初等函数的图像与性质 ⑴ 幂 函 数 : y ? x ? ( ? ? R) ; ⑵ 指 数 函 数 : y ? a x (a ? 0, a ? 1) ; ⑶ 对 数 函 数: y ? loga x(a ? 0, a ? 1) ;⑷正弦函数: y ? sin x ;⑸余弦函数: y ? cos x ; (6) 正切函数: y ? tan x ;⑺一元二次函数: y ? ax2 ? bx ? c ;⑻其它常用函数:①正比 例 函 数 : y ? kx(k ? 0) ; ② 反 比 例 函 数 : y ?

k 1 ( k ? 0) ; 特 别 的 y ? , 函 数 x x

y ? x?

a (a ? 0) ; x
2 2

10. 二次函数: ⑴解析式: ①一般式:f ( x) ? ax ? bx ? c ; ②顶点式:f ( x) ? a( x ? h) ? k ,

( h, k ) 为顶点;③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ;⑵二次函数问题解决需考虑的
因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 11.函数图象 ⑴图象作法 :①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换: ① 平移变换: (ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-” ; (ⅱ) y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-” ; ② 伸缩变换: (ⅰ)y ? f ( x) ? y ? f (?x) ,( ? ? 0) ———纵坐标不变, 横坐标伸长为原来的

1

?

倍;

3

(ⅱ) y ? f ( x) ? y ? Af ( x) , ( A ? 0) ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 A 倍; ③ 对称变换:

? (ⅰ) y ? f (x) ?? ? y ? ? f (? x) ; (ⅱ) y ? f (x) ??? y ? ? f (x) ;
( 0, 0 )

y ?0

? (ⅲ) y ? f (x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ y ? f (x) ??? x ? f ( y ) ;
④ 翻转变换: (ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———右不动,右向左翻( f (x) 在 y 左侧图象去掉) ; (ⅱ) y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———上不动,下向上翻(| f (x) |在 x 下面无图象) ; (3) .函数图象(曲线)对称性的证明: ⅰ证明函数 y ? f (x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴) 的对称点仍在图像上; ⅱ证明函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 图象的对称性, 即证明 y ? f (x) 图象上任意点关 于对称中心(对称轴)的对称点在 y ? g (x) 的图象上,反之亦然; 注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=a 的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x, y)=0; ③曲线 C1: f(x,y)=0,关于 y=x+a(或 y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y-a,x+a)=0(或 f(-

x ?0

y ?x

?? y=f(x)图像关于直线 x= y+a,-x+a)=0);④f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ?

a?b 对称; 2

?? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; 特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ?
⑤函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x=

a?b 对称; 2

12.函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法.

考纲要求:理解并掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法,能利用函数的图
像与性质判定函数零点的个数。 (二)导数 13.导数: ⑴导数定义: (i)f(x)在点 x0 处的导数记作 y ?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

(ii) 几何意义:瞬时变化率,切线的斜率。
' n ' n?1 ' ⑵常见函数的导数公式: ① C ? 0 ;② ( x ) ? nx ;③ (sin x) ? cos x ;

' x ' x x ' x ④ (cosx) ? ? sin x ;⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e ;⑦ (log a x ) ?
'

1 ; x ln a

⑧ (ln x ) ?
'

1 。 x
4

u u ?v ? uv ? ⑶导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u ? ? v ?; (uv )? ? u ?v ? uv ?; ( )? ? ; v v2 ⑸导数的应用: ①利用导数求切线:注意: (ⅰ)所给点是切点吗?(ⅱ)所求的是“在”还是“过”
该点的切线?②利用导数判断函数单调性: (ⅰ) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 是增函数; (ⅱ)

f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数; (ⅲ) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为常数;③利用导数求极值:
(ⅰ) 求导数 f ?(x) ; (ⅱ) 求方程 f ?( x) ? 0 的根; (ⅲ) 列表得极值。 (注意: ?(x 0 ) ? 0 f 是 x 0 为 y ? f (x) 的极值点的什么条件?)④利用导数求最大值与最小值: (ⅰ)求得 极值; (ⅱ)求区间端点值(如果有)(ⅲ)求得最值。 ; ⑤利用导数处理恒成立问题,证明不等式,解决实际应用问题 (常用结论:① ln x ? x ? 1 等) (三)不等式 14.均值不等式: ab ?

a?b a2 ? b2 ? 2 2
a ? b 2 a2 ? b2 。 ) ? 2 2

注意: ①积定和最小, 和定积最大, 一正二定三相等; ②变形,ab ? ( 15. (1)一元二次不等式; (2)二元一次不等式组及线性规划: (3)绝对值不等式: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 16.不等式的性质:

⑴ a ? b ? b ? a ;⑵ a ? b, b ? c ? a ? c ;⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c

a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;⑷ a ? b, c ? 0 ? ac ? bd ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑸ a ? b ? 0 ? a n ? b n ? 0(n ? N ? ) ;
(6) a ? b ? 0 ?
n

a ? n b (n ? N ? ) 。

17.不等式等证明(主要)方法:⑴比较法:作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。

三角函数、三角恒等变换与解三角形 ? 180 ? ? ? ) ? 57?18' 1.⑴角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180 , 1 ? 弧度, 1 rad ? ( 180 ? 1 2 1 ⑵弧长公式: l ? ?R ;扇形面积公式: S ? ?R ? Rl 。(其中 ? 用弧度表示) 2 2
2.三角函数定义:角 ? 中边上任意一点 P 为 ( x, y ) ,设 | OP |? r 则:

第三部分

sin ? ?

y x y y , cos ? ? , tan ? ? (若在单位圆中,则 sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? ) r r x x
5

3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦; 4.诱导公式记忆规律: “奇变偶不变,符号看象限” ; 5.⑴ y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴: x ?
k? ?

?
2

??

?

;对称中心: (

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ; ?
?
2 ?? ,0)(k ? Z ) ;

⑵ y ? A cos(?x ? ? ) 对称轴: x ? k? ? ? ;对称中心: (
?

k? ?

?

? k? ? ? ? k? ? ? 2 ,0) ,渐近线为 x ? (3) y ? tan(?x ? ?) 的对称中心: ( k?Z ? ?
6.同角三角函数的基本关系: sin x ? cos x ? 1;
2 2

sin x ? tan x ; cos x

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

? ③ tan( ? ? ) ?

tan? ? tan ? 。 (注意角的恒等变形! ) 1 ? tan? tan ?

8.二倍角公式:
2 2 2 2 ① sin 2? ? 2 sin ? cos ? ;② cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ;

2 tan ? 。 1 ? tan 2 ? a b c ? ? ? 2 R ( 2 R 是 ?ABC 外接圆直径) 9.正、余弦定理⑴正弦定理 sin A sin B sin C
(注意降幂公式的使用! )③ tan 2? ? 注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ;③

a b c a?b?c 2 2 2 ? ? ? 。 ⑵余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 等三个。 2bc

考纲要求:掌握正余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题
10。几个公式:⑴三角形面积公式:

S ?ABC ?

1 1 ah ? ab sin C ? 2 2
a?b?c

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , ( p ?

1 (a ? b ? c)) ; 2

⑵内切圆半径 r= 2 S ?ABC ;外接圆直径 2R= 11.已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定:

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

6

C b h A a

其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时:①a<h 时,无解; ②a=h 时, 一解(直角) ;③h<a<b 时,两解(一锐角, 一钝角) ;④a ? b 时,一解(一锐角) 。 ⑵A 为直角或钝角时:①a ? b 时,无解;②a>b 时, 一解(锐角) 。

第四部分

立体几何

1.三视图与直观图: (1)三视图:长对正、宽相等、高平齐; (2)斜二测画法。 2.表(侧)面积与体积公式: (1)要求计算不要求背公式; (2)注意表面积(全面积) 与侧面积的区别。 3.位置关系的证明(主要方法) : ⑴直线与直线平行:①平几方法,如三角形底的中位线,平行四边形的对边等;②平行 公理;③线面平行的性质定理;④面面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理;⑥ 向量方法。 ⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 ? 线面平行。 ⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行 (4)直线与直线垂直:①平几方法,如等腰三角形底边上的中线,菱形的对角线,勾股定 理等;②三垂线定理;③线面垂直,则线线垂直;④ a ? b, b ? c ? a ? c ;⑤向量 (5)直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 (6)平面与平面垂直:①定义:两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 4.求角: (步骤:一做二证三计算) ⑴异面直线所成角的求法:①平移法: 平移直线, 构造三角形; ②补形法: 补成正方体、 平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。⑵直线与平面所成的角:①直 接法(利用线面角定义) ;②先求斜线上的点到平面距离 h,与斜线段长度作比,得 sin ? 。 ⑶二面角的求法:①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点) ,作出平面角,再求解; 5.求距离: (步骤: 一做二证三计算)⑴点到直线的距离:①一般用三垂线定理作出垂 线段,再求解;②利用等面积;(2)点到平面的距离:①垂面法:借助面面垂直的性 质作垂线段(确定已知面的垂面是关键) ,再求解;②等体积法;③转移法:平行转 移或成比例转移;

第五部分

直线与圆

1.直线方程⑴点斜式: y ? y? ? k ( x ? x? ) ;⑵斜截式: y ? kx ? b ;⑶截距式:

y ? y1 x ? x1 x y ? ? 1 ;⑷两点式: ? a b y 2 ? y1 x2 ? x1

;⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 , (A,

B 不全为 0)(直线的方向向量: B,? A) ,法向量( A, B ) 。 ( 2.求解线性规划问题的步骤是: (1)列约束条件; (2)作可行域,写目标函数; (3)确定目标函数的最优解。

7

3.两条直线的位置关系: 直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2
l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0

k1 ? k2 , b1 ? b2
A1 B2 ? A2 B1 , 且

k1 ? k 2 ? ?1
A1 A2 ? B1 B2 ? 0

l1 ,l 2 有斜率
不可写成 分式

l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 B1C2 ? B2C1 (验证)
4.直线系 直线方程 平行直线系 垂直直线系 相交直线系

y ? kx ? b y ? kx ? m
y?? 1 x?m k

Ax ? By ? C ? 0 Ax ? By ? m ? 0 Bx ? Ay ? m ? 0

A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

5.几个公式 ⑴设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)、C(x3,y3) ,⊿ABC 的重心 G: ( ⑵两点间的距离: P1P2 ?
x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ) ; , 3 3

(x1 ? x 2 ) 2 ? (y1 ? y 2 ) 2 (注意数形结合! )
Ax 0 ? By 0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C 2 A ?B
2 2

(3)点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离: d ?



(4)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ?



6.圆的方程:⑴标准方程:① ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

;② x ? y ? r
2 2

2



⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

( D ? E ? 4F ? 0)
2 2

注:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 ? A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0; 7.圆的方程的求法:⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 8. 圆系: x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0, (? ? ?1) ; ⑴
2 2 2 2

注:当 ? ? ?1 时表示两圆交线。 ⑵ x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0, (? ? ?1) 。
2 2

9.点、直线与圆的位置关系: (主要掌握几何法)

8

⑴点与圆的位置关系: d 表示点到圆心的距离) ( ① d ? R ? 点在圆上;② d ? R ? 点在圆内;③ d ? R ? 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系: d 表示圆心到直线的距离) ( ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 ⑶圆与圆的位置关系: d 表示圆心距, R, r 表示两圆半径,且 R ? r ) ( ① d ? R ? r ? 相离;② d ? R ? r ? 外切;③ R ? r ? d ? R ? r ? 相交; ④ d ? R ? r ? 内切;⑤ 0 ? d ? R ? r ? 内含。 10.与圆有关的结论: ⑴过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; ⑵以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。

第六部分

圆锥曲线

1.定义:⑴椭圆: | MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ; ⑵双曲线: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1 F2 |) ;⑶抛物线:略 2.结论 ⑴焦半径:①椭圆: PF ? a ? ex0 , PF ? a ? ex0 (e 为离心率) (左“+” ; 1 2 右“-”;②抛物线: PF ? x 0 ? )

p 2

⑵弦长公式: AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ; 2 k k

注: (Ⅰ)焦点弦长:①椭圆: | AB |? 2a ? e( x1 ? x2 ) ;②抛物线: AB = x1+x2+p=

2p 2 ; (Ⅱ)通径(最短弦) :①椭圆、双曲线: 2b ;②抛物线:2p。 2 sin ? a
2 2

⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为: mx ? ny ? 1 ( m, n 同时大于 0 时表示 椭圆, mn ? 0 时表示双曲线) ; ⑷椭圆中的结论:①内接矩形最大面积 :2ab;②P,Q 为椭圆上任意两点,且 OP ? 0Q, 则

? 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ;③椭圆焦点三角形:(i) S ?PF1F2 ? b 2 tan , 2 2 2 | OP | | OQ | a b
| PM | a ? | MN | c


( ? ? ?F1 PF2 ) ;(ii)点 M 是 ?PF F2 内心, PM 交 F1 F2 于点 N ,则 1 ④当点 P 与椭圆短轴顶点重合时 ?F1 PF2 最大;

2 2 2 2 ⑸双曲线中的结论:①双曲线 x ? y ? 1 (a>0,b>0)的渐近线: x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2

9

b x2 y2 ; x 的双曲线标准方程为 2 ? 2 ? ? (? 为参数, ? ≠0) a a b (6)抛物线中的结论:
②共渐进线 y ? ?
2 1 1 2 ①抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB 性质: (i)x1x2= p ;y1y2=-p2;(ii) ; ? ? | AF | | BF | p 4 (iii)以 AB 为直径的圆与准线相切;(iv)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切;

(v) S ?AOB

p2 ? 。 2 sin ?

②抛物线 y2=2px(p>0)内结直角三角形 OAB 的性质: (i) x1 x2 ? 4P 2 , y1 y2 ? ?4P 2 ;(ii) l AB 恒过定点 (2 p,0) ;(iii) A, B 中点轨迹方程:

y 2 ? p( x ? 2 p) ;(iv) OM ? AB ,则 M 轨迹方程为: ( x ? p) 2 ? y 2 ? p 2 ; (v) (S ?AOB ) min ? 4 p 2 。
3.直线与圆锥曲线问题解法: ⑴直接法(通法) :联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解。 注意以下问题:①联立的关于“ x ”还是关于“ y ”的一元二次方程?②直线斜率不存 在时考虑了吗?③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法) :处理弦中点或斜率有关问题 步骤如下:①设点 A(x1,y1)、B(x2,y2);②作差得 k AB ?

y1 ? y 2 ? ?? ;③解决问题。 x1 ? x2

4.求轨迹的常用方法: (1)定义法:利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式)(3)代入法(相关点法 ; 或转移法) ;⑷待定系数法; (5)参数法; (6)平面几何法。

第七部分

平面向量

⑴设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:① a∥b(b≠0) ? a= ? b ( ? ? R) ? x1y2-x2y1=0; ② a⊥b(a、b≠0) ? a·b=0 ? x1x2+y1y2=0 . ⑵a·b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2; 注:①|a|cos<a,b>叫做 a 在 b 方向上的投影; |b|cos<a,b>叫做 b 在 a 方向上的投影;②a·b 的几何意义:a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。⑶cos<a,b>=

a ?b ; | a || b |

⑷三点共线的充要条件 P,A,B 三点共线 ? OP ? xOA ? yOB(且x ? y ? 1) ;

第八部分
1.定义:

数列

⑴等差数列 {an} an ?1 ? an ? d (d为常数) 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N*) ? ?

? an ? kn ? b ? sn ? An2 ? Bn ;

10

⑵等比数列 {a n } ?

an ?1 2 ? q(q ? 0) ? an ? an -1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N) an

? an ? cqn (c, q均为不为 的常数) Sn ? k ? kqn (q ? 0, q ? 1, k ? 0) ; 0 ?
2.等差、等比数列性质 等差数列 通项公式 等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

an ? a1q n?1
1.q ? 1时,S n ? na1 ; a1 (1 ? q n ) 1? q

前 n 项和

Sn ?

2.q ? 1时,S n ? ? a1 ? a n q 1? q

性质

①an=am+ (n-m)d, ②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ③ S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 成 AP ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,?成 AP, d ' ? md

①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 aman=apaq ③ S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ,? 成 GP ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,?成 GP, q' ? q
m

等差数列特有性质: ①项数为 2n 时: 2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); 偶 ? S奇 ? nd ; S S

S奇

S偶

?

an ; a n ?1

②项数为 2n-1 时:S2n-1=(2n-1) a中 ; S奇 - S偶 ? a中 ;

S奇 S偶

?

n ; n -1

③若 an ? m, am ? n, (m ? n),则am?n ? 0 ;若 S n ? m, S m ? n, 则S m?n ? ?(m ? n) ; 若 S n ? S m , (m ? n),则S m?n ? 0 。 3.数列通项的求法: S1 (n=1) an= ⑴分析法;⑵定义法(利用 AP,GP 的定义) ;⑶公式法:累加法( an ?1 ? (n≥2) n ; Sn-Sn-1 an ? c ⑷叠乘法(

an?1 ;⑸构造法( an?1 ? kan ? b 型)(6)迭代法; ; ? cn 型) an
1 1 ? ? 4 ) ⑻作商法( a1a2 ?an ? cn ; an an?1

⑺间接法 (例如:a n ?1 ? a n ? 4a n a n ?1 ?

型) ;⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。 注:当遇到 an ?1 ? an?1 ? d或

an?1 ? q 时,要分奇数项偶数项讨论,结果是分段形式。 an?1

11

4.前 n 项和的求法:⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前 n 项和最值的求法: ⑴ ?a n ? 0 ? 或 ?a n ? 0 ? ? ? ? ? ? ?
?a n ?1 ? 0? ?a n ?1 ? 0 ?

;⑵利用二次函数的图象与性质。

第九部分 复数
1.概念: ⑴z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; ⑵z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; ⑷a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); (5)若 z ? a ? bi ,则共轭复数 z ? a ? bi 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i; (3)z1÷z2 =

(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bd ? bc ? ad i (z2≠0) ; (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2 c2 ? d 2
1? i 1? i ? i; ? ?i; 1? i 1? i

3.几个重要的结论:
2 (1) z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2( z1 ? z2 ); (2) z ? z ? z ? z ;⑶ (1 ? i) ? ?2i ;⑷
2 2 2 2 2 2

⑸ i 性质:T=4; i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;

第十一部分

统计与统计案例

1.抽样方法 ⑴简单随机抽样:一般地,设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容 量为 n 的样本,且每个个体被抽到的机会相等,就称这种抽样为简单随机抽样。 注:①每个个体被抽到的概率为

n ; N

②常用的简单随机抽样方法有:抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样:当总体个数较多时,可将总体均衡的分成几个部分,然后按照预先制定的 规则,从每一个部分抽取一个个体,得到所需样本,这种抽样方法叫系统抽样。 注:步骤:①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号 l ; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样: 当已知总体有差异比较明显的几部分组成时, 为使样本更充分的反映总体的情 况,将总体分成几部分,然后按照各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样。 注:每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 ? 2.总体特征数的估计: ⑴样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i ;
n n
i ?1
n ⑵样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( xi ? x )2 ; n n i ?1

n N

n

12

n ⑶样本标准差 S ? 1 [(x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ? ? ( xn ? x )2 ] = 1 ( x ? x )2 ; ? i

n

n

i ?1

第十二部分
1.程序框图: ⑴图形符号: ① 终端框(起止况) ;② ③ 处理框(执行框) ;④

算法初步

输入、输出框;⑥

连接点。

判断框;⑤

流程线 ;

⑵程序框图分类: ①顺序结构:
输入 n

②条件结构: r=0? 是
n 不是质素

③循环结构: 否
n 是质数 求 n 除以 i 的余数 i=i+1

i=2 i ? n 或 r=0?否 是 注:循环结构分为:Ⅰ.当型(while 型)——先判断条件,再执行循环体; Ⅱ.直到型(until 型)——先执行一次循环体,再判断条件。 2.基本算法语句: ⑴输入语句: INPUT “提示内容” ;变量 ;输出语句:PRINT “提示内容” ;表达式 赋值语句: 变量=表达式 ⑵条件语句:① IF 条件 THEN 语句体 END IF ② IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF ②直到型: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件

⑶循环语句:①当型: WHILE 条件 循环体 WEND

第十三部分

常用逻辑用语与推理证明

1.推理: ⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进 行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理: 由某类食物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。

13

注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理: 由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有 这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论” 是演绎推理的一般模式, 包括: ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提--------所研究的特殊情况;⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

二.证明⒈直接证明
⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等) ,这种证明的方法叫 分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证 明原命题成立,这种证明方法叫反证法。

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