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河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 扫描版含答案


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-4-

2014—2015 学年上期期末学业水平测试

高中一年级
一、选择题 CBCBD CDCBA 二、填空题 13: AB

数学

参考答案

26

14:

7

15: x ? y ? 2 ? 0

16: 2 3

三、解答题 17. 解: 依题意得 f ? x ? 的定义域为 ? ??,0 ? 且 f ??x? ? ? f ? x? 即

? 0, ?? ? ,…………………..2 分

………………………..4 分

3 ? 3 ? ? k ? ?? ?x ?k? 2 ?1 ? 2 ?1 ?
x

… ……………………..6 分

?

3 3 ? 2x ? k ? ?k ?0 2x ?1 1 ? 2x

? 2k ?
?k ?

3 ? 2 x ? 1? 2x ?1
…………………………..10 分

3 2

18. 解: 令 f ? x ? ? x 2 ? 2 px ? p 2 ? 2 p ? 2 , 则 f ? 0 ? ? p ? 2 p ? 2 ? ? p ? 1? ? 1 ? 0
2 2

由 A I R ? ? ? 知 f ? x ? 没有正实根……………………………3 分 (Ⅰ)若 A ? ? ,即 f ? x ? 无实数根,则 f ? x ? 的判别式小于零

? 4 p2 ? 4 ? p2 ? 2 p ? 2? ? 0
? p ? ?1
…………………………….6 分 (Ⅱ)若 A ? ? ,即 f ? x ? 有实数根但是非正. 则由(1)知 p ? ?1 . 且对称轴不能在 y 轴右侧,即 p ? 0 ………………………………10 分 ? p ? ?1 . 综 上所述: p ? R 均满足条件. ………………………… ……12 分

-5-

19. 证 明: 直三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中, D, M 分别为 AB, A ' B ' 的中点

C E A D N A'
D

? DB // A ' M 且 DB ? A ' M ? 四边形 DBMA ' 为平行四边形 ? A ' D // MB …………………………3 分 又 A ' D ? 面 MNCB , MB ? 面 MNCB …………………………….5 分 ? A ' D // 面 MNCB ……………………………6 分 同理: ? A ' E // 面 MNCB …………………………….9 分
又 A' E

C'

B

A' D ? A'

……………………………..10 分 ……………………………12 分

? 平面 A ' DE // 平面 MNCB
20.

M

B'
C

(Ⅰ)解: 在正方形 A ' B ' C ' D ' 中 , 三角形 D ' A ' M 全等于三角形 A ' B ' N (SAS)

? ?NA ' B '? ?D ' MA ' ? ?A ' D ' M ? ?D ' MA ' ? 90
………………………….3 分 又在正方体中 AA ' ? 面 A ' B ' C ' D ' , D ' M ? 面 A ' B ' C ' D '

? D ' M ? A' N

? D ' M ? AA '

又 AA ' A ' N ? A '

A

B D' K C' N B'

? D ' M ? 面 AA ' N

…………………….6 分

(Ⅱ)证明: 连接 AB ', A ' B 交于点 K ,连接 DK . 由 AD // B ' N 知 A, D, N , B ' 共面,
A'

AD ? 面 AD ? ABB ' A '

M

? AD ? BK
又 AB ' ? BK

AD AB ' ? A ? BK ? 面 ADB ' N ? BK ? DK 且 ?BDK 即为直线 DB 与平面 ADN 所成的角
设正方 体棱长为 a 则 BD ?

…………………….9 分

2a , BK ?

2 a 2

2 a BK 1 2 sin ?BDK ? ? ? BD 2a 2
? ?BDK ? 30 即直线 DB 与平面 ADN 所成的角为 30 .
分 21. 解: 设 M t , t ……………………….12

? ? 为抛物线上任意一点,直线 l 的一般式为:
2

x ? 2y ? 2 ? 0

-6-

则点 M 到直线 l 的距离为: d ?

t ? 2t 2 ? 2 12 ? ? ?2 ?
2

……………………4 分

?

? 1 ? 15 ?2 ? t ? ? ? 8 ? 4? 5
2

2

? 1 ? 15 2? t ? ? ? 4? 8 ? ? 5

……………………8 分

15 ? 8 5

?

3 5 8

………………… ..10 分

当t ?

3 5 1 时,等号成立.即所求的最小距离为 . 8 4

…………………..12 分

22. 解:(Ⅰ)设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,依题意得:

x2 ? y2

? x ? 2?

2

?y

2

?

3 1

…………………………..2 分

? x2 ? y 2 ? 6x ? 6 ? 0

? ? x ? 3? ? y 2 ? 3
2

即点 M 的轨迹方程为:

? x ? 3?

2

? y2 ? 3

… ………………………..4 分

(Ⅱ) M 的轨迹为圆心在 ? 3,0 ? ,半径为 3 的圆. 由图易知 l 的斜率存在. 又 l 过点 Q ? ?1,0 ? ,故可设 l 的方程为: y ? k ? x ? 1? 即: kx ? y ? k ? 0 圆心到 l 的距离为 ………………………..5 分

3k ? 0 ? k 1? k 2

-7-

? 3k ? 0 ? k ? ? 2 ?2 由垂径定理及勾股定理知: ? ? ?? ? ? 2 1 ? k ? ? ?2?

2

? 3?

2

…………………8 分

?

16k 2 ?2 1? k 2
1 7
7 7
………………….10 分

? k2 ?

?k ??

于是 l 的方程为 y ?

7 7 ? x ? 1? 或 y ? ? ? x ? 1? . 7 7

…………………..12 分

-8-


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