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第三章 概率 3.2.1


3.2.1

古典概型

课时目标 1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概 率公式解决实际问题. 1.古典概型 一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有以下两个特征: (1)________:在一次试验中,可能出现的结果只有________,即只有________不 同的基本事件. (2)________

____:即每个基本事件发生的可能性是________. 2.概率的古典定义 一般地 , 在基本事件总数 为 n 的古典 概型中 , 每个基本 事件发生的概率 为 ________.如果随机事件 A 包含的基本事件总数为 m,则由互斥事件的概率加法公式 m 得 P(A)= .所以在古典概型中,P(A)=__________________________. n

(

一、选择题 1.下列试验中,是古典概型的有( ) A.种下一粒种子观察它是否发芽 B.从规格直径为(250± 0.6) mm 的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径 d C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 2.下列是古典概型的是( ) (1)从 6 名同学中,选出 4 人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小; (2)同时掷两颗骰子,点数和为 7 的概率; (3)近三天中有一天降雨的概率; (4)10 个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率. A.(1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(2)、(4) C.(2)、(3)、(4) D.(1)、(3)、(4) 3.下列是古典概型的是( ) A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率,将取出的正整数作为基本事件时 C.从甲地到乙地共 n 条路线,求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 4.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点 中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) 3 4 A. B. 18 18 5 6 C. D. 18 18 5.一袋中装有大小相同的八个球,编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,现从中有放回地每次取 一个球,共取 2 次,记“取得两个球的编号和大于或等于 14”为事件 A,则 P(A)等于 ( ) 1 1 A. B. 32 64 3 3 C. D. 32 64 6.有五根细木棒,长度分别为 1,3,5,7,9 (cm),从中任取三根,能搭成三角形的概率是 )

3 A. 20 题号 答案 1

2 B. 5 2

1 C. 5 3

D.

3 10 4

5

6

二、填空题 7.在 1,2,3,4 四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的 2 倍的概率是 ________. 8.甲,乙两人随意入住三间空房,则甲、乙两人各住一间房的概率是________. 9.从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中,不放回地任取两数,两数都是奇数的概率是________. 三、解答题 10.袋中有 6 个球,其中 4 个白球,2 个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概 率: (1)A:取出的两球都是白球; (2)B:取出的两球 1 个是白球,另 1 个是红球.

11.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一 个球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率.

能力提升 12.盒中有 1 个黑球和 9 个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别.现由 10 人依次摸出 1 个球,设第 1 个人摸出的 1 个球是黑球的概率为 P1,第 10 个人摸出黑 球的概率是 P10,则( ) 1 1 A.P10= P1 B.P10= P1 10 9 C.P10=0 D.P10=P1 13.田忌和齐王赛马是历史上有名的故事,设齐王的三匹马分别为 A、B、C,田忌的 三匹马分别为 a、b、c;三匹马各比赛一次,胜两场者为获胜.若这六匹马比赛优、劣 程度可以用以下不等式表示:A>a>B>b>C>c. (1)正常情况下,求田忌获胜的概率; (2)为了得到更大的获胜机会,田忌预先派出探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场 必出上等马 A,于是田忌采用了最恰当的应对策略,求这时田忌获胜的概率.

1. 判断一个概率问题是否为古典概型, 关键看它是否同时满足古典概型的两个特征—— 有限性和等可能性. 2.古典概型的概率公式:如果随机事件 A 包含 m 个基本事件,则 1 1 1 m P(A)= + +?+ = , n n n n A包含的基本事件的个数 即 P(A)= . 基本事件的总数 A包含的基本事件的个数 3.应用公式 P(A)= 求古典概型的概率时,应先判断它是否是 基本事件的总数 古典概型,再列举、计算基本事件数代入公式计算,列举时注意要不重不漏,按一定顺 序进行,或采用图表法、树图法进行.

第三章 概 率 § 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型
知识梳理 1. (1)有限性 有限个 有限个 (2)等可能性 均等的 1 事件A包含的基本事件数 2. n 试验的基本事件总数

作业设计 1.C [只有 C 具有:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件 出现的可能性相等.] 2.B [(1)(2)(4)为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而 (3)不适合等可能性,故不为古典概型.] 3.C [A 项中由于点数的和出现的可能性不相等,故 A 不是;B 中的基本事件是无限 的,故 B 不是;C 项满足古典概型的有限性和等可能性,故 C 是;D 项中基本事件既 不是有限个也不具有等可能性.] 4.C [正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件,两 5 条直线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线)包括 10 个基本事件, 所以概率等于 .] 18 5.C [事件 A 包括(6,8),(7,7),(7,8),(8,6),(8,7),(8,8)这 6 个基本事件,由于是有 6 3 放回地取,基本事件总数为 8×8=64(个),∴P(A)= = .] 64 32 6.D [任取三根共有 10 种情况,构成三角形的只有 3、5、7,5、7、9,3、7、9 三种情 3 况,故概率为 .] 10 1 7. 4 解析 可重复地选取两个数共有 4×4=16(种)可能, 4 1 其中一个数是另一个数的 2 倍的有 1,2;2,1;2,4;4,2 共 4 种,故所求的概率为 = . 16 4 2 8. 3 解析 设房间的编号分别为 A、B、C,事件甲、乙两人各住一间房包含的基本事件为: 甲 A 乙 B,甲 B 乙 A,甲 B 乙 C,甲 C 乙 B,甲 A 乙 C,甲 C 乙 A 共 6 个,基本事件 6 2 总数为 3×3=9,所以所求的概率为 = . 9 3 3 9. 10 解析 基本事件(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),而 3 两数都是奇数的有 3 种,故所求概率 P= . 10 10.解 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6.从袋中的 6 个小球中任取 2 个的方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6),(5,6),共 15 种. (1)从袋中的 6 个球中任取两个,所取的两球全是白球的方法总数,即是从 4 个白球中 任取两个的方法总数,共有 6 个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 6 2 ∴取出的两个球全是白球的概率为 P(A)= = . 15 5 (2)从袋中的 6 个球中任取两个,其中一个是红球,而另一个是白球,其取法包括(1,5), (1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共 8 种. 8 ∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为 P(B)= . 15

11. 解 (1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有:1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. 从袋中取出的两个球的编号之和不大于 4 的事件有:1 和 2,1 和 3,共 2 个.因此所求 2 1 事件的概率为 P= = . 6 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编 号为 n,其一切可能的结果(m,n)有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件有:(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个. 3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- = . 16 16 12.D [摸球与抽签是一样的,虽然摸球的顺序有先后,但只需不让后人知道先抽的 人抽出的结果, 那么各个抽签者中签的概率是相等的, 并不因抽签的顺序不同而影响到 其公平性.所以 P10=P1.] 13.解 比赛配对的基本事件共有 6 个,它们是:(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab, Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca). 1 (1)经分析:仅有配对为(Ac,Ba,Cb)时,田忌获胜,且获胜的概率为 . 6 (2)田忌的策略是首场安排劣马 c 出赛,基本事件有 2 个:(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb, 1 Ca),配对为(Ac,Ba,Cb)时,田忌获胜且获胜的概率为 . 2 1 1 答 正常情况下,田忌获胜的概率为 ,获得信息后,田忌获胜的概率为 . 6 2


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