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2015年江苏高考南通密卷一(南通市数学学科基地命题)


2015 年江苏高考南通密卷一
南通市数学学科基地命题 一、填空题 1.已知集合 U ? ? 1,3,5,9?, A ? ? 1,3,9?, B ? ? 1,9?,则 CU ( A ? B) ? 2.已知复数 z 满足 ( z ? 2)i ? 1 ? i(i为虚数单位 ) ,则复数 z 的模是 . . .

a 在 x ? 1 处的导数为 ? 2 ,

则实数 a 的值是 x 4.右图是某算法的流程图,则输出的 T 的值为 .
3.已知函数 f ( x) ? 5.有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 这 5 张扑克牌,现从中随机抽取一张,则 抽到的牌为红心的概率是 . 6.某单位在岗职工 624 人,为了调查工人用于上班途中的时间,决 定采用系统抽样的方法抽取 10 % 的工人进行调查。 首先在总体中随 机 剔 除 4 人 , 将 剩 下 的 620 名 职 工 编 号 ( 分 别 为

619 ) , 002,??, ,若样本中的最小编号是 007, 则样本中 000, 001
的最大编号是 . . 个单位得 7.等差数列 ?an ? 中,若 a7 - a3 ? 20 ,则 a70 - a30 的值为 8.函数 y ? sin 2 x 的图像可由函数 y ? sin( 2 x ? 到. 9.已知 x ? 0, y ? 0, 且 2 x ? 5 y ? 20, 则 lg x ? lg y 的最大值为 .

?
3

) 的图像向右至少 平移 ....

2 10.已知 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,则不等式 f ( x ? x) ? 0 的解集



.

11.在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (cos25?, sin 25?) , b ? (sin 20?, cos20?) ,若 t 是 实数,且 u ? a ? t b ,则 u 的最小值为 12.在锐角三角形 ABC 中, sin A ? . .

3 1 , tan( A ? B ) ? ? ,则 tan C 的值为 5 3
2 2

13.某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息: ①题目: “在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 x ? 2 y ? 1 的左顶点为 A ,过点 A 作两条 斜率之积为 2 的射线与椭圆交于 B , C ,??” ②解:设 AB 的斜率为 k ,??点 B( 据此,请你写出直线 CD 的斜率为

1 ? 2k 2 2k 5 , ) , D(? ,0) ,?? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3 .(用 k 表示)

14.若二次函数 y ? f ( x) 满足对任意的正整数 n , 当 x ? 55 则 f ( x) 的 ? ?? ? 5 时,y ? 55 ? ?? ?5, ? ? ? ?
n个 5 2n 个 5

零点之和为 二.解答题

.

15.已知向量 m ? (cosx,? sin x) , n ? (cosx, sin x ? 2 3 cos x) , x ? R .设 f ( x) ? m ? n . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x ) ?

24 ? ? ,且 ? x ? ,求 sin 2 x 的值. 13 6 2

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC ,且 AD ? 2 BC , AD ? CD , PA ? PD , 点 M 为棱 AD 的中点. (1)求证: CD // 平面PBM ; (2)求证: 平面PAD ? 平面PBM .

17.在平面直角坐标系 xoy 中, 设 A, B 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1上的两点,M (1,2) 是线段 AB 的 2

中点,线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C , D 两点. (1)求直线 AB 与 CD 的方程; (2)判断 A, B, C , D 四点是否共圆?如共圆,求出圆的方程,若不共圆,说明理由.

18.某生物探测器在水中逆流行进时,所消耗的能量为 E ? cv T ,其中 v 为行进时相对于水 T 为行进时的时间 h) 的速度, (单位: , c 为常数, n 为能量次级数.如果水的速度为 4km / h , 该生物探测器在水中逆流行进 200 km . (1)求 T 关于 v 的函数关系式; (2) (i)当能量次级数为 2 时,求该探测器消耗的最少能量; (ii)当能量次级数为 3 时,试确定 v 的大小,使该探测器消耗的能量最少.
n

19.已知函数 f ( x) 的导函数 f ( x ) 是二次函数, f ( x) ? 0 的两根为 ? 1 ,且 f ( x) 的极大值
' '

与极小值之和为 0, f (?2) ? 2 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 在开区间 (m ? 9,9 ? m) 上存在最大值与最小值,求实数 m 的取值范围; (3)设函数 f ( x) ? x ? g ( x) ,正实数 a, b, c 满足 a ? g (b) ? b ? g (c) ? c ? g (a) ? 0 ,证明:

a ? b ? c.

20.设数列 ?an ?是公差为 d 的等差数列,且 a5 ? 6 . (1)若 d ? N ,且数列 ?an ?中的任意连续两项的和仍为数列 ?an ? 中的项,求 d 的值;
*

(2)若 a3 ? 1,且自然数 n1 , n2 ,?, nt ,? 满足 5 ? n1 ? n2 ? ? ? nt ? ? ,使得 (t ? N )
*

a , a , an , an
3 5 1

2

,?, a ,? 成等比数列,求 a 3 的所有可能值. nt

附加题
21.选做题(本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答. ...... 若多做,则按前两题评分) A.选修 4-1:几何证明选讲(10 分) 如图, C , D 是直径为 AB 的半圆上的两个不同的点, AC 与 BD 交于点 E ,点 F 在弦 BD 上,且 ?ACD ∽ ?BCF ,证明: ?ABC ∽ ?DFC

B.选修 4-2:矩阵与变换(10 分) 设 x 为实数,若矩阵 M ? ?

?1 ? 5? ? 为不可逆矩阵,求 M . ?2 x ?
2

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)
2 已知极坐标系中的曲线 ? cos ? ? sin ? 与曲线 ? sin(? ?

?
4

) ? 2 交于 A, B 两点,求线段

AB 的长.

D.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 设 a1 , a2 , a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1, 求证:

1 1 1 ? ? ? 9. a1 a2 a3

必做题(第 22、23 题,每题 10 分,共 20 分) 22.(10 分)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 1, A1 P ? ? A1C (0 ? ? ? 1) . (1)若 ? ?

1 ,求直线 PB 与 PD 所成角的正弦值; 2

(2)若直线 A1C ? 平面PBD ,求实数 ? 的值.

23.(10 分)设 i 为虚数单位, n 为正整数. (1)证明: (cosx ? i sin x) ? cosnx ? i sin nx ;
n

(2)结合等式“ [1 ? (cosx ? i sin x)] ? [(1 ? cos x) ? i sin x] ”证明:
n n

x nx 1 2 n 1 ? Cn cos x ? Cn cos 2 x ? ? ? Cn cos nx ? 2n cos n cos 2 2




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