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高三数学第一轮复习章节测试9-4


第9章 第4节 一、选择题 1. 设 A 为圆(x+1)2+y2=4 上的动点, PA 是圆的切线, 且|PA|=1, 则 P 点的轨迹方程为( A.(x+1)2+y2=25 B.(x+1)2+y2=5 C.x2+(y+1)2=25 D.(x-1)2+y2=5 [答案] B [解析] 圆心 C(-1,0),在 Rt△ACP 中,

)

C

P= CA2+AP2= 4+1= 5. 设 P(x,y),则|CP|= 5,所以(x+1)2+y2=5,选 B. 2.已知集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|kx-y≤2},其中 x,y∈R.若 A? B,则实数 k 的取值范围是( ) A.[0, 3] B.[- 3,0] C.[- 3, 3] D.[- 3,+∞) [答案] C [解析] 集合 A 表示的点集是单位圆上的点,集合 B 表示的是二元一次不等式 kx-y≤2 所表示 的平面区域,其边界直线是 kx-y=2,该直线必过定点(0,-2),所以要使 A? B,则圆与直 2 线必须相切或相离,故 ≥1,解得- 3≤k≤ 3,故选 C. k2+1 3.(2010· 湖北理)若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是( A.[-1,1+2 2] B.[1-2 2,1+2 2] C. [1-2 2,3] D.[1- 2,3] [答案] C )

[解析] 由 y=3- 4x-x2可知其图像为圆(x-2)2+(y-3)2=4 的下半圆,当直线 y=x+b 过 |2-3+b| 点(0,3)时 b=3,当直线与圆相切时 =2,解得 b=1-2 2或 b=1+2 2(舍去),故当 2 1-2 2≤b≤3 时直线和半圆有交点. 4.对任意实数 λ,直线 l1:x+λy-m-λn=0 与圆 C:x2+y2=r2 总相交于两不同点,则直线 l2:mx+ny=r2 与圆 C 的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定 [答案] A [解析] 直线 l1:(x-m)+λ(y-n)=0 过定点 A(m,n),因为直线 l1 与圆 C 恒相交于两不同点, ∴A 在⊙C 内,∴m2+n2<r2, r2 又圆心 C(0,0)到 l2 的距离 d= >r,故 l2 与⊙C 相离. m2+n2 x2 y2 5.如下图,双曲线a2-b2=1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意一点,则分 别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆的位置关系为( )

A.相交 C.相离 [答案] B

B.相切 D.以上情况都有可能

1 [解析] 设右焦点为 F2,取 PF1 的中点 M,连接 MO 和 PF2,则两圆半径分别为2|PF1|和 a, 1 两圆圆心距为|MO|,且|MO|=2|PF2|. 当 P 点在双曲线右支上时,|PF1|=|PF2|+2a, 1 ∴|MO|=2|PF1|-a,此时两圆内切;当 P 点在双曲线左支上时,|PF2|=|PF1|+2a, 1 ∴|MO|=2|PF1|+a,此时两圆外切.选 B. 6.已知 M,N 分别是圆 C1:(x+3)2+y2=4 和圆 C2:x2+(y-4)2=1 上的两动点,则|MN| 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析] 两圆心分别为 C1(-3,0)和 C2(0,4), 半径分别为 2 和 1, 圆心距|C1C2|=5.故两圆相离, |MN|的最小值为|C1C1|-2-1=2. 7.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x+2y+1=0 的公切线有且仅有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 [答案] B [ 解析 ] 两圆化成标准方程是 (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4 , (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4 ,圆心距 d = + + -1+ = 9<2+2,所以两圆相交.公切线只有 2 条. 8.在△ABC 中,a、b、c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,设向量 m=(b-c,c-a),n= (b,c+a),且 m⊥ n.若直线 y=bx+c 过圆 +y2-2x-2y=1 的圆心,则△ABC 面积的最大 值为( ) 3 A. 6 3 B. 16

C.2 3 D. 3 [答案] B [解析] 本题考查了向量、基本不等式及三角形的有关知识.求解的关键是对条件的破译.利 用 m⊥ n 和余弦定理可以得到角 A 的大小,利用直线 y=bx+c 过圆心可以得出关于 b、c 的关 系式. b2+c2-a2 1 π 3 由 m⊥ n 得 b2+c2-a2=bc,则 cosA= = ? A = , sinA = 2bc 2 3 2 .由于圆 +y2-2x

b+c 1 1 -2y=1 的圆心为(1,1),由 1=b+c,所以 bc≤( 2 )2=4,当且仅当 b=c=2时取等号,从而 1 3 S△ABC=2bc·sinA≤ 16 .选 B. 二、填空题 9. (2010· 广东理)已知圆心在 x 轴上, 半径为 2的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x+y=0 相切, 则圆 O 的方程是________.

[答案] (x+2)2+y2=2 [解析] 设圆的方程为(x-a)2+y2=2(a<0),由条件得 2= 2. 10.(2009· 全国Ⅱ)已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴 围成的三角形的面积等于________. [答案] 25 4 |a| ,∴|a|=2,又 a<0,∴a=- 2

[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力. 由题意知切线的斜率存在,设为 k, 切线方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y+2-k=0, |2-k| 由点到直线的距离公式,得 = 5, k2+1 1 解得 k=-2, 1 5 ∴切线方程为-2x-y+2=0, 5 令 x=0,y=2,令 y=0,x=5, 1 5 25 ∴三角形面积为 S=2×2×5= 4 . 11.(2010· 山东文)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 得的弦长为 2 2,则圆 C 的标准方程为________. [答案] (x-3)2+y2=4 [解析] 本题考查了圆的标准方程及圆的弦长问题,圆的弦长问题合 理应用特殊直角三角形是关键, 设圆心为(a,0), 由已知 a>0 作 CD⊥AB, |a-1| 则由|AB|=2 2? AD= 2,|CD|= .|CA|=|a-1|, 2 |a-1| 由勾股定理得:( 2)2+( )2=(|a-1|)2, 2 解得 a=3 或 a=-1, 又 a>0,∴a=3,∴r=3-1=2, ∴(x-3)2+y2=4 为所求. 三、解答题 12.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴,y 轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P(x,y)向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点 P 的轨迹方程. [解析] (1)由圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0, 得圆心坐标 C(-1,2),半径 r= 2, ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零. 设直线 l 的方程为 x+y=a, ∵直线 l 与圆 C 相切, =x-1 被该圆所截



|-1+2-a| = 2, 2

∴a=-1 或 a=3. ∴所求直线 l 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. (2)∵切线 PM 与半径 CM 垂直,设 P(x,y), 又∵|PM|2=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|, ∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2, ∴2x-4y+3=0, ∴所求点 P 的轨迹方程为 2x-4y+3=0. 13.m 为何值时,直线 l:2x-y+m=0 与圆 O:x2+y2=5. (1)无公共点; (2)截得的弦长为 2; (3)交点处两条半径互相垂直. [解析] (1)由题知,圆心 O(0,0),半径 r= 5, 直线 l:2x-y+m=0 与圆无公共点, |m| 设 O 到 l 的距离为 d,则 d= . 5 |m| 由题意可知 d>r,即 > 5. 5 ∴m>5 或 m<-5. (2)由题意可知 r2=d2+1, m2 ∴5= 5 +1,∴m=±2 5. (3)设 l 与圆交于 A、B 两点, ∵OA⊥OB,OA=OB, ∴△AOB 为等腰直角三角形. 2 |m| 2 则 d= 2 r,即 = 2 × 5, 5 5 2 ∴m=± 2 . 14.设 O 为坐标原点,曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P、Q,满足关于直线 x+my+4 → → =0 对称,又满足OP· OQ=0. (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程. [解析] (1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9 表示圆心为(-1,3),半径为 3 的圆. ∵点 P、Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 对称, ∴圆心(-1,3)在直线上,代入得 m=-1. (2)∵直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直, ∴设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ 方程 y=-x+b 将直线 y=-x+b 代入圆方程,得 2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0 Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得 2-3 2<b<2+3 2. 由韦达定理得

b2-6b+1 x1+x2=b-4①,x1x2= ② 2 → → OP· OQ=0 即 2x1x2-b(x1+x2)+b2=0 将①②代入得:b2-6b+1-b2+4b+b2=0 解得 b=1,经验证知符合题意 ∴PQ 方程为 y=-x+1. 15.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; →→ (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求PA· PB的 取值范围. →→ [分析] 对于(1)关键求半径.对于(2)用向量坐标运算表示PA· PB转化为函数. [解析] (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离,即 r= 所以圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),且 x1<x2,由 x2=4, 得 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,得 + +y2· 即 x2-y2=2. - +y2=x2+y2, =2, 1+3 4

→→ 所以PA· PB=(-2-x,-y)· (2-x,-y) =x2-4+y2=2(y2-1).
? ?x2+y2<4, 由于点 P 在圆 O 内,故? ?x2-y2=2. ?

由此得 0≤y2<1, →→ 所以PA· PB的取值范围为[-2,0). →→ [点评] PA· PB用 x 或 y 表示后,还要求出变量 x 或 y 的范围,才可求值域.


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