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质疑题目真意与命题本意错位的两道竞赛题


?42?

中学数学研究

2015第5期

∞2)e。_+?,还有待进一步解答,否则会导致错误. 如把题目改为新题目:已知函数以茗)=

函数单调性)做到底,把曾经出现过的极限恢复过 来,并增加洛比达法则求函数极限(一般地求函数 值域),以后的学习,都可认为是方程函数不等式及 其图像在各种知识上的应

用,能学多少就学多少,不 要贪多贪难.这是因为,在多元方程(不等式)中解 出一个未知数就得一些显函数(显函数就是代数 式,也就是多元方程实解表达式),多元方程有无实 解,有多少实解,求函数的定义域、值域就知道了,反 映在与之等价的图像(方程的图像就是方程解集的

f‘1,2戈.一龙27e。一1.,戈≤o,g(戈):八z)+2.j},若


【一z2+4戈+3,石>0.

g(x)恰有两个零点,则实数|j}的取值范围是

.则文[1]的正确通法也不通了.下面用导 数与极限通法解新题目. 解:当算≤O时,由厂(菇)
=(1+2省一戈2)e。+(2— 2戈)e。=(3一戈2)e。≥0,解得
,。





一怕≤x≤o,...八戈)的减区


间是(一∞,一怕],增区间是 [一播,o]'...八z)极小=

一V |l
图1



T。


另一表现形式)上,就是平行于菇轴的直线与图像有
无交点,有多少交点,交点分布的那部分函数值域问


题.而所有问题换元就进入方程(组)模型,消元再

回到一个方程中就可解决问题(可解决的话). 总之,如数学大师笛卡儿说:“一切问题都可数 学化,化归为数学问题,一切数学问题都可代数化, 化归为代数问题,一切代数问题都可化归为方程问 题,有了方程理论就可解决一切问题”.因此,无论 有多少数学思想都越不出基本的方程、函数思想,无 论有多少数学方法,都越不出基本的换(消)元法, 无论是国外的波利亚的怎样解题,还是国内众多专 家的解题理论都越不出笛卡儿的方程理论,所以,在 中学,最基本的数学思想是方程思想,最基本的数学 方法是换(消)元法(文[3]). 参考文献
[1]熊福州.从2012年高考题看非线性规划问题的解法.数 学通讯(下半月)2012,11.

八一万):一堕竽一1,又


火0)=0,lim[(1+2菇一菇2)e5—1]=一1,.?.八石)

(1+2菇一戈z)ez一1,戈≤o的值域是(一喾,
矿。一l

o],...可画出八并):f‘1,孙一石2)e。一1,菇≤o,的 L一菇‘+乱+3.并>0
正确图像(如图1),由g(省)=八菇)+2.|}=0得一2七 =八菇),令y=一2.|},y=以髫),则根据题意和图像知

一生磐一l≤一2I|}≤_1’或3<埘<7,即寻
e’ 厶

<五≤学+丢或一÷<忌<一丢.
因此,建议我们的教科书在修订时,不妨在方程 与函数上多着点墨,教科书在高一就干脆只讲方程 与函数,不等式及其图像,把解一元二次不等式和直 线与圆的方程提前在高一,并把好事(广泛的判断
么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1za么1么1么1么1么1么1么a么1∥I

[2]殷伟康.通法真的失效了吗?一一道“模考”题的解法辨
析与思考.中学数学教学参考,2014,10(上旬).

[3]熊福州.最基本的数学思想方法一方程思想,换元法.河
北理科教学研究,2000.4.

c乒I∥1么1£a纠纠纠么1么1。A。爿多'么1么1么1么1么a么1么1么1么1么1么1么1么1么1

质疑题目真意与命题本意错位的两道竞赛题
浙江省宁波市北仑明港中学
我们知道问题是数学的心脏,笔者这里提出疑 惑问题是数学探究的心脏.下面列举两例对疑惑问
题的质疑,期能展示数学探究的一种方式,并维护数 学学科的严谨性. 例1

(315806)
).

甘大旺

0的解为(

(A)茗>3或菇<2 (C)髫>3或戈<1

(B)z>2或戈<1 (D)l<菇<3

原解:命题组提供的评卷答案是(C),提示如下

(2011年浙江省高中数学竞赛的第10

题)已知。∈[一1,1],贝0石2+(口一4)菇+4—2口>

——不等式的左端可看成。的一次函数以口)=(菇 一2)口+(石2—4戈+4).由

万方数据

2015年第5期

中学数学研究

?43?

0^(1)=菇2—3石+2>0, 检验答案:根据条件口∈[一1,1],不妨取口= 0,则题设不等式变形为(戈一2)2>O,此时解得戈< 2或戈>2.所以,答案(C)错! 评判提示:命题专家给出的提示思路不是在解 含有参数。的关于菇的二次不等式,而是在探讨不 等式的恒成立问题,出现了“张冠李戴”的现象.
更正方案1

雎一1’-’髫2—5z+6>o,推得菇<1或石>3.

/二。(搿)=0,贝0口=0.由于36=/.m。(戈)=

max{八o)以6)}=max{16,÷(6—8)2)(其中6
>8),则16≤寺(6—8)2=36或÷(6—8)2<16
=36,结合6>8解得6=14+2√33. 总之,口=4,6=4;或口=0,6=14+2√33. 错因辨析:命题组与书[2]提供的解答过程默 认了题设函数火髫)的值域是[0,36],这并不符合数 学语言“y∈[O,36]”的含意“0≤,,≤36”,这里应

(保持题目真意):对于原题中的

二次不等式,由于判别式△=(口一4)2—4(4—2口) =口2是完全平方式,则分解因式得(x一2)[x一(2一 口)] >0.(木) 由于o∈[一1,1],则1≤2一n≤3.当口=0
时,(戈一2)2>0,则戈≠2;当一1≤口<0时,2< 2一口,则解不等式(:Ic)得,戈<2或戈>2一口;当0

理解为{y y=八菇),戈∈[o,6]}∈[o,36].
更正方案1(保持题目 真意):根据题意得到,二次函

数八z)=丢(咒一8)2一口对于
任意x∈[0,6]都使得不等式 0≤八z)≤36恒成立.于是,
r0<6<8,

<n≤l时,2>2一口,则解不等式(;Ic)得,石<2一 。或戈>2.总之,当一1≤o≤0时,原不等式的解是 z<2或z>2一口;当0<口≤l时,原不等式的解
是并<2一口或戈>2.

更正方案2 (还原命题本意):将这道竞赛题 的主干改编为“已知不等式菇2+(口一4)石+4—2口> 0对于任意口∈[一1,1]恒成立,则实数戈的取值为


运用数形结合的思想分三类得{以6)≥o,或
Ⅵo)≤36;
r8≤6<16, r6≥16,

)”,接下来的选择支、答案、提示就都可以不

{八8)≥o,
吹o)≤36;

或{以8)≥o,
虮6)≤36.
f0<6<8,

改变了.

代入函数式,化筒得到所求口、6的值所满足的

随想:命题专家构思试卷的最后这道选择题别 具匠心,试图考察学生的主元思想、函数思想、数形 结合思想,如此变通起来确实巧妙!专家命题后可能 自我陶醉、如释重负,这样偶尔出错是可以被谅解 的;然而令人惊奇的是,后续在命题组的审核中、在 评卷教师的演算中,在书[1]编辑的校稿中,这个错 误竟然蒙骗众人而以书[1]的形式散现于省内外读
者! 例2

关系是三个不等式组{(6—8)2≥4口,或
【36≥一(口一16);
r8≤6<16, r6≥16,

{口≤o,
L36≥一(口一16);

或{口≤o,
L(6一14)2≤4(口+33).

更正方案2(还原命题本意):将这道竞赛题 的条件“当戈∈[O,6]时,y∈[O,36]”改编为“当戈 ∈[0,6]时函数y=八菇)的最小值为0、最大值为 36”,接下来的解答过程就都可以不改变了. 感悟:对于任意函数八戈)的定义域的一个子区
间D,“当x∈D时,,,∈[p,g]”不是表示“函数),=

(2007年希望杯全国数学邀请赛高一第2

试第22题)已知y=八菇)=}2—4并+16一口,且
当z∈[0,6]时,y∈[0,36],求o、6的值.

原解答:配方得),=八戈)=÷(石一8)2一o.当

6≤8时以戈)在[0,6]上是减函数,则L(戈)=



八茗)在区间D上的值域是[p,g]”,而是表示“函数y =八并)在区间D上的值域是[p,g]的子集”,也可以 表示“对于任意菇∈D,不等式p≤八戈)≤口恒成
立”.

八o)=16一。工i。(戈)=八6)=÷62—46+16一o.
r16一口=36,

最后指出,为了杜绝试题的字符真意与命题专 家的构思本意错位的现象,审题人不要先看命题者 提供的解答过程以免产生定势思维,而要先独自解
答后再进行对比和推敲.

由题意得{{6z一46+16一口:o.解得口=6=4?
、4

当6>8时以i。(舅)=八8)=~Ⅱ,又由题意得
万方数据

?44?

中学数学研究

2015第5期

学邀请赛试题?培训题?解答[M].北京:气象出版社,

参考文献
[1]中国数学会普及工作委员会.2012年高中数学联赛备考 手册[M].上海:华东师范大学出版社,2012,1:180. [2]希望杯全国数学邀请赛组委会.第18届希望杯全国数

2007,10:1 8.

[3]甘大旺.设计释疑探究课的教学过程[J].数学通讯, 1994(07):15~16.

么a么1么1么1么1么1么1么1么1么1za么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么a么1么1彳1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么1么a么1么1么1么1

是“倾其所有",还是“信手拈来"
江苏省江阴市华士高级中学
有一类含全称量词与存在性量词的问题,让学
生甚至老师头疼不已. 例1

(214421)

沈亚军

/(石1)m盯.

这样,用同样的方法就可以轻松地转化下列问
题:

已知函数八戈)=菇2(咒∈[一2,2]),

g(并)=。2sin(2z+詈)+3…∈[o,詈],V名,E
[一2,2],总j‰∈[o,詈],使得g(‰)=八z。)成
立,则非零实数口的取值范围是 笔者是这样讲解的:


Vxt∈[_2,2],V‰∈【o,手】,使得g(z。)≥
氕蕾1)成立郇(‰)。i。≥灭戈。)。。;3石l∈[一2,2], V‰∈I o,手I,使得g(髫。)≥八戈,)成立锑(并。)。in
≥八戈。)商。;j戈。∈[一2,2],了戈。∈I o,詈I,使得
g(戈o)≥八菇I)成立§g(戈o)。。≥八咒1)…. “不等式恒成立与不等式有解”、“任意与存 在”,这类问题对学生阅读理解能力、等价转化能力 的要求是比较高的.本题以一促类,让学生对这类问 题有了较清晰的认识.事实上这类问题常与函数的 值域、最大值最小值有关,需运用合情推理转化为我
们熟悉的问题.教学中笔者利用生动形象的语言,将

师:设以x,)、g(x。)的值域分别为集合F、G, 八戈。)倾其所有,捧出全部家当F,g(石。)总能潇洒的 从G中信手拈来与F中相同的元素,可见谁的资源
多呢? 生:G. 师:集合F、G具有怎样的包含关系呢? 生:F∈G.

易得F=[o,4],G=[一手+3。,口2+3口】,从
而』一}+3口≤o,即口≤“或口≥6.
【口2+3。≥4.
变式

抽象的“任意性”比作无奈的“倾其所有”,而将“存 在性”描绘成潇洒地“信手拈来”.谈笑间,学生轻松 地将等式转化为值域之间的包含关系,将不等式转
化为函数最值的大小关系.这样一来,函数值域之间

已知函数,(x)=z2(髫∈[一2,2]),

的包含关系、最值的大小关系就一目了然了. 设函数八戈)=口z一2l眦,g(石)=氟若对 于任意戈∈[2,e],不等式火石)>g(戈)恒成立,求n
的取值范围. 例2

g(戈)=。2sin(2石+詈)+3叩∈[o,詈],V髫t∈
[一2,2],总|‰∈Io,詈l,使得g(戈。)≥八菇。)成


二。

立,则非零实数口的取值范围是 化不顺利.笔者是这样讲解的.

法一:(参变分离)o>丝兰+1对于任意戈∈


由于g(‰)以x。)都在变,学生理解更困难,转 师:令M=g(x。),贝0 Vx。E[一2,2],肘≥

[2,e]恒成立,易得口>(等芋+1)。,=÷+1.
法二:(构造新函数)令h(x)=爪菇)一g(z)=
a茗一2ln石一菇,易得^(石)。i。=ne一2一e>0,从而口

文茗1)铮船≥以戈1)。。;令Ⅳ=“茗I),则jzo∈Io,

>三+1.


,’

等I,g(戈o)≥撕(戈o)。。≥Ⅳ.从而g(菇o)一≥
万方数据

常见错解:不等式八x)>g(菇)恒成立


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